2020-2021学年福建省泉州市南安市九年级(上)期中数学试卷 解析版
福建省泉州市南安市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 (1)
福建省泉州市南安市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列根式是最简二次根式的是（）A B CD2．下列计算正确的是（）A=B=C．22=D3=-x x+=的根是（）3．方程(2)0A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=2 4．一元二次方程2201930--=的根的情况是（）x xA．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一个根为05．用配方法解方程2x2x10--=时，配方后所得的方程为（）A．2+=x12x12-=（）（）D．2 +=x10（）C．2（）B．2x10-=6．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（）A．1、2、2、3 B．1、2、3、4C．1、2、2、4D．3、5、9、137．下列图案中花边的内外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不相似的是（）A．B．C．D．8．若两个相似三角形的面积比为3∶5，则它们的对应角的角平分线的比为（）A B．3∶5 C．1∶5 D．9∶259．如图，△ABC和△AʹBʹCʹ位似，位似中心为点O，点A（-1，2）、点Aʹ（2，-4），若△ABC的面积为4，则△AʹBʹCʹ的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．1610．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》章，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里＝300步）你的计算结果是：出南门几何步而见木（）A．300步B．315 步C．400 步D．415步二、填空题11．当x_______12．若x：y=1：2，则x yx y-+= ．13．比较大小：14．一元二次方程2540x x-+=的两个根分别是1x，2x，则12x x⋅=______．15．如图所示，已知点E，F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE，CF相交于点G，FG ＝1，则CF的长为____．16．如下图，反比例函数kyx=（x>0）图象上一点A，连结OA，作AB丄x轴于点B ，作BC ∥OA 交反比例函数图象于点C ，作CD 丄x 轴于点D,若点A 、点C 横坐标分别为m 、n ，则m ：n 的值为_______________．三、解答题17-18．解方程：2(2)2(2)x x -=-19(a a ，其中a =20．如图，两车分别从路段AB 两端同时出发，沿平行路线AC 、BD 行驶，CE 和DF 的长分别表示两车到道路AB 的距离．（1）求证：△ACE ∽△BDF ；（2）如果两车行驶速度相同，求证：△ACE ≌△BDF ．21．某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？22．已知 ：关于x 的一元二次方程25m (32)20(0)2x m x m m -+++=≠，求证：方程有两个不相等的实数根.23．已知：如图所示的一张矩形纸片()ABCD AD AB >， 将纸片折叠一次，使点A 与C 重合，再展开， 折痕EF 交AD 边于E ，交BC 边于F ，分别连结AF 和CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）在线段AC 上是否存在一点P ，使得22AE AC AP =⋅?若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．24．已知：如图1，在△ABC 中，点D 在AB 上，连接CD ．DE 平分∠BDC 交BC 于点E ，且DE ∥AC, 若F 为AC 的中点，连接DF ．（1）求证：DF ⊥DE ．（2）若BE ：CE=2：3，S △CDE ＝9，求△ABC 的面积．（3）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN ∥DE 交AB 于点N ，交CD 于点G ，若BD=a ，DG=b.试求CD 的长（用a 、b 的代数式表示）．25．如图，在平面直角坐标系中，A (8,0) ,B (0,6)，动点M 从点A 出发沿AO 以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，同时动点N 从点B 出发沿折线BO ﹣OA 向终点A 运动，点N 在y 轴上的速度是每秒3个单位长度，在x 轴上的速度是每秒4个单位长度，过点M 作x 轴的垂线交AB 于点C ，连结MN 、CN ．设点M 运动的时间为t （秒），△MCN的面积为S （平方单位）．（1）当t为何值时，点M、N相遇?（2）求△MCN的面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式；（3）当t为何值时，△MCN是等腰三角形?参考答案1．C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：ABCD不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．C【分析】根据二次根式的加法运算以及二次根式的性质逐一分析即可．【详解】解：A不是同类项，不能合并，故本选项错误；B=C．22=，故本选项正确；D3=，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的加法法则以及二次根式的性质，熟知二次根式的性质以及运算的法则是解题的关键．3．C【解析】试题解析：x （x+2）=0，⇒x=0或x+2=0，解得x 1=0，x 2=-2．故选C ．4．A【分析】计算根的判别式△=b 2-4ac ，根据判别式b 2-4ac 的符号即可得出答案．【详解】解：2201930x x --=这里a=1，b=-2019，c=-3，∵b 2-4ac=（-2019）2-4×1×（-3）=22019+12＞0，∴有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．5．D【解析】根据配方的正确结果作出判断：()2222x 2x 10x 2x 1x 2x 111x 12--=⇒-=⇒-+=+⇒-=．故选D ．6．C【解析】试题解析：A 、1×3≠2×2，故选项错误；B、1×4≠2×3，故选项错误；C、1×4=2×2，故选项正确；D、3×13≠5×9，故选项错误．故选C．7．D【解析】【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【详解】A、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合要求；B、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求，故选D．【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．8．A【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应角的平分线的比等于相似比计算即可．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为3∶5，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形性质：相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．9．D【分析】根据位似变换的性质、点A 和点A′的坐标，得到△ABC ∽△A′B′C′，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵△ABC 和△AʹBʹCʹ位似，位似中心为点O ，点A （-1，2）、点A′（2，-4）， ∴△ABC ∽△A′B′C′，∵'12OA OA =， ∴'''2'14A ABC C B S OA S OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∵△ABC 的面积为4，∴△AʹBʹCʹ的面积=16，故选：D ．【点睛】本题考查位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．10．B【分析】根据题意写出AB 、AC 、CD 的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【详解】解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，∵AC ⊥CD ，AB ⊥AC ，DE ⊥CD ，∴CD ∥AB ，AC ∥DE ， ∴∠DEC=∠ACB ，∠DCE=∠ABC ，∴△ACB ∽△DEC ，∴DE DC AC AB=，即 3.54.515DE =， 解得，DE=1.05里=315步，∴走出南门315步恰好能望见这棵树．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 11．≤1【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求出x 的范围．【详解】解：根据题意，得：1-x≥0，解得：x≤1．故答案为：≤1．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 12．13-．【解析】试题分析：设x=k ，y=2k ，∴x y x y -+=22k k k k -+=13-．故答案为13-． 考点：1．比例的性质；2．分式的值．13．<【解析】先把 的形式，再比较被开方数的大小.本题解析: ∵即故答案为<.14．4【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：由题意可知：12x x ⋅=c a =41=4， 故答案为：4．【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=ba-，x1x2=ca．15．3 【分析】根据三角形中位线定理，可得EF∥BC，且EF=12BC；易证得△EFG∽△BCG，可求得CG、FG的比例关系，由此可求出CF的长．【详解】∵E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线；∴EF=12BC，EF∥BC；∴△EFG∽△BCG；∴12FG EFCG BC==，即CG=2FG=2；所以CF=CG+FG=3．故答案为3.【点睛】此题主要考查的是三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质．16【分析】根据题意得到A（m，km），C（n，kn），则OB=m，OD=n，AB=km，CD=kn，BD=n-m，证出△OAB∽△BCD，根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：∵点A、点C横坐标分别为m、n，∴A（m，km），C（n，kn），∴OB=m，OD=n，AB=km，CD=kn，∴BD=n-m，∵AB丄x轴，CD丄x轴，∴∠ABO=∠CDO=90°，∵BC∥OA，∴∠AOB=∠CBD，∴△OAB∽△BCD，∴OB ABBD CD=，即km mkn mn=-，整理得，m2+mn-n2=0，解得m=12n-±，（负数舍去），∴m：【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，解一元二次方程等，表示出线段的长度是解题的关键．17．【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．【详解】-==【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．12x =，24x =【分析】先移项得到2(2)2(2)0x x ---=，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：2(2)2(2)0x x ---= (2)(22)0x x ---=20x -=或40x -=∴12x =，24x =；【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19．22+a ，5【分析】利用二次根式的性质和平方差公式计算，再代入求得答案即可．【详解】解：原式=222(2a a --）=2222a a -+=22+a当a = 原式=2+2=5． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，注意先化简，再进一步代入求得数值即可．20．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行线的性质得出∠A ＝∠B ，根据CE 和DF 的长分别表示两车到道路AB 的距离可得∠CEA ＝∠DFB ＝90°，利用相似三角形的判定方法即可得出答案；（2）由题意可得AC ＝BD ，利用全等三角形的判定方法AAS 即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AC ∥BD ，∴∠A ＝∠B ，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠DFB ＝90°∴△ACE ∽△BDF ；（2）证明：由(1)得: ∠A ＝∠B ，∠CEA ＝∠DFB∵两车等速同时行驶∴AC ＝BD在△ACE 和△BDF 中CEA DFB A BAC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BDF （AAS ）【点睛】本题考查全等三角形的判定以及相似三角形的判定，正确掌握基本判定方法是解题关键． 21．每千克应涨价5元【分析】设每千克应涨价x 元，根据每千克涨价1元，销售量将减少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：（10+x ）（500﹣20x ）＝6000，解得：x ＝5或x ＝10，要尽量减少库存，那么每千克应涨价5元；答：每千克应涨价5元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22．见解析【分析】根据方程的系数计算出根的判别式△=（m+1）2+3，结合（m+1）2≥0可得出△＞0，进而即可证出方程有两个不相等的实数根．【详解】证明：∵△=[]2254(32)4(2)2b ac m m m -=-+-+ =229124810m m m m ++--=224m m ++=（1m +）2+3又∵（1m +）2≥0，∴（1m +）2+3 ≥3∴24b ac ->0∴原方程有两个不相等的实数根.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．23．（1）见解析；（2）存在，过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，点P 就是符合条件的点，见解析【分析】（1）由折叠的性质得出EF 垂直平分AC ，OA=OC ，由矩形的性质得出∠B=90°，AD ∥BC ，得出∠AEO =∠CFO ，∠EAO=∠FCO ，由ASA 证明△AOE ≌△COF ，得出AE=CF ，证出四边形AFCE 是平行四边形，即可得出结论；（2）过E 作EP ⊥AD 交AC 于P ，则P 就是所求的点．则∠AEP=90°，证出△AOE ∽△AEP ，得出对应边成比例AE AO AP AE =，则AE 2=AO•AP ，再由AO ＝12AC ，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中, AD ∥BC∴ ∠AEO =∠CFO ，∠EAO ＝∠FCO.由折叠可知：OA=OC 12AC =∴ △AOE ≌△COF.∴ AE=CF ，又AE ∥CF∴ 四边形AECF 是平行四边形又由折叠可知:AF=CF ，AC EF ⊥∴ 四边形AEFC 是菱形.（2）存在，过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，点P 就是符合条件的点.理由如下：由作法得：∠AEP=90°，由(1)得：AC ⊥EF ，∴∠AOE =90°∴∠AOE =∠AEP =90°，又∵∠EAO =∠EAP,∴ △AOE ∽△AEP∴ AE AO AP AE= ∴AE 2=AO•AP ，∵AO ＝12AC ， ∴AE 2＝12AC•AP 即：22AE AC AP =⋅．【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；综合性强，有一定难度，证明四边形是菱形和证明三角形相似是解题的关键．24．（1）见解析；（2）752；（3）a+2b【分析】（1）由DE平分∠BDC知∠BDE=∠CDE，由DE∥AC知∠BDE=∠A，∠CDE=∠ACD，从而得∠A=∠ACD，即AD=CD，再由F为AC的中点知DF⊥AC，结合DE∥AC即可得证；（2）由BE：CE=2：3可得S△BDE：S△CDE=2：3，根据S△CDE=9得S△BDE=23×9＝6，证△BDE∽△BAC可得2224525BDEBACS BES BC∆∆⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可得答案；（3）证MN∥AC，结合M为BC的中点知BN=AN，由DE平分∠BDC知∠BDE=∠CDE，再证∠BNM=∠DGN得DN=DG=b，据此知BN=BD+DN=a+b=AN，AD=AN+DN=a+b+b=a+2b，结合AD=CD可得答案．【详解】（1）证明：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠CDE∵DE∥AC∴∠BDE＝∠A，∠CDE＝∠ACD∴∠A＝∠ACD∴AD＝CD∵F为AC的中点，∴DF⊥AC又∵DE∥AC，∴DF⊥DE；（2）解：∵BE：CE=2：3，∴S△BDE：S△CDE =2：3∵S△CDE＝9∴S△BDE＝296 3⨯=∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ∴2224525BDE BAC S BE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴S △ABC ＝S △BDE ÷425＝6×254＝752； （3）解：∵MN ∥DE ，DE ∥AC ，∴MN ∥AC又∵M 为BC 的中点， ∴12BM BN BC BA == ∴BN ＝AN又∵DE 平分∠BDC∴∠BDE ＝∠CDE∵DE ∥MN∴∠BDE ＝∠BNM ，∠CDE ＝∠DGN∴∠BNM ＝∠DGN ，∴DN ＝DG=b∴BN ＝BD+DN=a+b=AN∴AD ＝AN+DN=a+b+b=a+2b由（1）可知：CD=AD= a+2b.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．25．（1）83；（2）当0＜t≤2时，23S t 6t 2=-+；当2＜t ＜83 时，29t 12t 2S =-+；当83＜t≤4时，29S t 12t 2=-；（3）当t ＝85或3215或329时，△MCN 是等腰三角形 【分析】 （1）由题意列方程可求t 的值；（2）分0＜t≤2，2＜t ＜83，83＜t≤4三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解； （3）分0＜t≤2，2＜t ＜83，83＜t≤4三种情况讨论，即可求t 的值． 【详解】解：（1）由题意可得：2t+4（t ﹣2）＝8∴t ＝83∴当t ＝83时，点M 、点N 相遇；（2）∵CM ⊥OA ，BO ⊥OA ，∴CM ∥BO ，∴△CMA ∽△BOA ， ∴CM AM BO AO = 即：26382t CM t ⨯==， ①如图1所示：当0＜t≤2时， 21133S CM OM t (82t)t 6t 2222=⋅=⨯⋅-=-+， ②如图2所示：当2＜t ＜83 时，2139S t (166t)t 12t 222=⨯⨯-=-+， ③如图3所示：当83＜t≤4时，2139S t (6t 16)t 12t 222=⨯⨯-=-；（3）应分三种情况讨论：①当0＜t≤2时，点N 在BO 上．（i ）如图4，过C 作CH ⊥OB 于H ，则CH ＝OM ＝82t -又∵CM ＝32t ∴CH —CM=82t -—32t =782t - 当0＜t≤2时，782t -＞0，即CH ＞CM 又CN≥CH ，MN≥CH∴CN ＞CM ，MN ＞CM即CN ≠CM ，MN ≠MC（ii ）若NC=NM 时，则△MCN 是等腰三角形．此时点N 在CM 的垂直平分线上，∴ON=12CM , 则有：6﹣3t ＝1322t ⨯ 解得：t ＝85②当2＜t ＜83时，如图2所示：此时点N 在OA 上，且点N 在点M 左侧．∵∠CMN ＝90°∴只有当MC=MN 时，△MCN 是等腰三角形．此时()8242166MN OM ON t t t =-=---=-, 则有：31662t t -= 解得：t ＝3215 ③当83＜t≤4时，如图3所示：点N 在OA 上，且点N 在点M 右侧． 同理可得：只有当MC=MN 时，△MCN 是等腰三角形．此时()()4282616MN ON OM t t t =-=---=- 则有：36162t t -= 解得：t ＝329综上所述：当t ＝85或3215或329时，△MCN 是等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及分类讨论等知识；利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键．。
2020-2021学年初一(上)期中考试数学试卷(含答案)
2020-2021学年初一（上）期中考试数 学（考试时间90分钟 满分100分）18分）1．如图是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm ），其中不合格的是（ ）A ．Φ45.02B ．Φ44.9C ．44.98D ．Φ45.012．下列运算中正确的是（ ）A ．2(2)4-=- B ．224-= C ．3(3)27-=- D ．236= 3．若37x =是关于x 的方程70x m +=的解，则m 的值为（ ） A ．3- B ．13- C ．3 D ．134．若单项式12m a b -与212n a b 是同类项，则mn 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．95．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A ．852020x y -=B ．26x -C ．212191y y =+D ．582x x +=6．下列计算正确的是（ ）A ．8(42)8482÷+=÷+÷B ．1(1)(2)(1)(1)12-÷-⨯=-÷-= C ．3311311636624433434⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷=-⨯=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．[](2)(2)40--+÷= 7．下列方程的解法，其中正确的个数是（ ） ①14136x x ---=，去分母得2(1)46x x ---= ②24132x x ---=，去分母得2(2)3(4)1x x ---= ③2(1)3(2)5x x ---=，去括号得22635x x ---=④32x =-，系数化为1得32x =- A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）A ．821.9410⨯元B ．82.19410⨯元C ．100.219410⨯元D ．92.19410⨯元9．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题（本题共有9小题，每小题3分，共27分）10．如果数轴上A 点表示3-，那么与点A 距离2个单位的点所表示的数是 ．11．比较大小：78- 89-（填“>”“<”或“=”） 12．历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示，例如多项式2()25f x x x =+-，则(1)f -= ．13．用四舍五入法将3.694精确到0.01，所得到的近似值为 ．14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如()2222153x x x x --+=-+-，则所捂住的多项式为 ．15．“☆”是新规定的某种运算符号，设a ☆b =ab a b +-，若2 ☆8n =-，则n = ．16．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知2m n +=-，4mn =-，则2(3)3(2)mn m n mn ---的值为 ．17．某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用12 000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x 元，可列方程为 ．18．观察下列一组算式：2231881-==⨯，22531682-==⨯，22752483-==⨯，22973284-==⨯……根据你所发现的规律，猜想22201920178-=⨯ ．三、按要求解答（第19小题8分，第20小题5分，第21小题10分，共23分）19．计算题（每小题4分，共8分） ①3511114662⎛⎫---- ⎪⎝⎭ ②[]31452(3)5211⎛⎫-⨯-÷-+ ⎪⎝⎭20．（本题5分）化简并求值：222212(2)()2x xy y xy x y ⎡⎤⎛⎫---+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中x 、y 的取值如图所示．21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --= ②243146x x --=-四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．（本题4分）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为x a =的形式．下面是解方程20.30.410.50.3x x -+-=的主要过程，请在如图的矩形框中选择与方程变形对应的依据，并将它前面的序号填入相应的括号中．解：原方程可化为4153x +-=（ ） 去分母，得3(203)5(104)15x x --+=（ ）去括号，得609502015x x ---=（ ）移项，得605015920x x -=++（ ）合并同类项，得1044x =（合并同类项法则） 系数化为1，得 4.4x =（等式的基本性质2）23．（本题4分）阅读材料，回答问题．计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式的倒数为211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝2112(30)31065⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭＝203512-+-+＝10-故原式＝110- 根据材料中的方法计算113224261437⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 24．（本题5分）在某地住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）． （1）用含m ，n 的代数式表示该广场的面积S ；（2）若m ，n 满足2(6)50m n -+-=，求出该广场的面积．五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．（本题6分）列代数式或一元一次方程解应用题请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打8折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．26．（本题6分）下表中的字母都是按一定规律排列的．我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为62x y +，第2格的“特征多项式”为94x y +，回答下列问题．（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n 格的“特征多项式”为 ；（n 为正整数）（2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．27．（本题7分）在数轴上，对于不重合的三点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的13倍，我们就把点C叫做【A，B】的理想点．例如：图中，点A表示的数为-1，点B表示的数为3．表示数0的点C到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点C是【A，B】的理想点；又如，表示数2的点D到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点D 就不是【A，B】的理想点，但点D是【B，A】的理想点．（1）当点A表示的数为-1，点B表示的数为7时，①若点C表示的数为1，则点C（填“是”或“不是”）【A，B】的理想点；②若点D是【B，A】的理想点，则点D表示的数是；（2）若A，B在数轴上表示的数分别为-2和4，现有一点C从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，当点C到达点A时停止．请直接写出点C运动多少秒时，C，A，B中恰有一个点为其余两点的理想点？参考答案一、选择题（每小题2分，共18分）二、填空题（每小题3分，共27分）19．计算题（每小题4分，共8分）①原式=3511114662--+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =5131116642--++ =1224-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 =14┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 ②原式=14582211⎛⎫-⨯-÷ ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =24--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分=6-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分20．解：原式=22221242x xy y xy x y ⎛⎫---+- ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =22221242x xy y xy x y --+-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =272x xy -┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 当2x =，1y =-时┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分原式=2722(1)112-⨯⨯-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --=解：60610y y -+=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分61060y y +=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分770y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分10y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 ②243146x x --=- 解：3(2)122(43)x x -=--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分310x -=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分103x =-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．③；②；④；①┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分23．解：原式的倒数为132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 1322(42)61437⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭792812=-+-+14=-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分故原式=114-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 24．解：（1）S 7220.52m n n m mn =⋅-⋅=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 （2）由题意得6050m n -=⎧⎨-=⎩，解得65m n =⎧⎨=⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分当6m =，5n =时 S 7651052=⨯⨯=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．解：（1）设一个水瓶x 元，则一个水杯是(48)x -元┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分34(48)152x x +-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分40x =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分∴4848408x -=-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分答：一个水瓶40元，一个水杯8元．（2）甲商场需付款：80%(540208)288⨯⨯+⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 乙商场需付款：5408(2052)280⨯+⨯-⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 ∴选择乙商场更划算．26．解：（1）126x y +；158x y +；3(1)2n x ny ++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）(2112)(1810)x y x y +-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分32x y =+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分27．（1）①是┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分②5或11┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）设运动时间为t 秒，则BC t =，6AC t =-依题意，得C 是【A ，B 】的理想点时有16=3t t -，∴92t = C 是【B ，A 】的理想点时有1(6)3t t =-，∴32t = A 是【C ，B 】的理想点时有16=63t -⨯，∴4t =B 是【C ，A 】的理想点时有1=6=23t ⨯ 答：点C 运动92秒、32秒、4秒、2秒时，C ，A ，B 中恰有一个点为其余两点的理想点．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分。
2019-2020学年福建泉州南安九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列实数中，介于与之间的是（）A．B．C．D．π2．（4分）下列计算正确的是（）A．B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3D．a6÷a3＝a23．（4分）为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（）市文旅局获悉，A．1.7118×102B．0.17118×107C．1.7118×106D．171.18×104．（4分）图①是由五个完全相同的小正方体组成的立方体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是（）A．主视图B．俯视图C．左视图D．主视图、俯视图和左视图都改变5．（4分）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（）A．4个B．6个C．8个D．10个6．（4分）如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．（4分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．45°B．60°C．72°D．90°8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴正半轴上，点A与原点重合，点D的坐标是（3，4），反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值为（）A．12B．15C．20D．329．（4分）完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m10．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算：|﹣3|﹣sin30°＝．12．（4分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是．13．（4分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是．14．（4分）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为．15．（4分）等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是．16．（4分）动点A（m+2，3m+4）在直线l上，点B（b，0）在x轴上，如果以B为圆心，半径为1的圆与直线l 有交点，则b的取值范围是．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：18．（8分）如图：△ABC与△DEF中，边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且BF＝CE，求证：AC＝DF．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝1﹣．20．（8分）用列代数式或列方程（组）的方法，解决网络上流行的一个问题：法国新总统比法国第一夫人小24岁，美国新总统比美国第一夫人大24岁，法国新总统比美国新总统小32岁．求：美国第一夫人比法国第一夫人小多少岁？21．（8分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：类别家庭藏书m本学生人数A0≤m≤2520B26≤m≤50aC51≤m≤7550D m≥7666根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查的样本容量为，a＝；（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是；（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．22．（10分）阅读下列材料，关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（a≠0）与它们的关系猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）可以直接利用（1）的结论，解关于x的方程：x+＝a+．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，PC长为半径的⊙P中，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，PC＝3，求BD的长．24．（12分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，②求BC：AC：AB的值．（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．25．（14分）已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S 取得最大值时点P的坐标．2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵＜＜＜＜π＜，∴介于与之间的是．故选：A．2．【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、a+2a＝3a，正确；C、（2a）3＝8a3，故此选项错误；D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×106．故选：C．4．【解答】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；②的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；故选：A．5．【解答】解：设袋子中有红球x个，根据题意得＝0.6，解得x＝4．经检验x＝4是原方程的解．答：袋子中有红球有4个．故选：A．6．【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝55°，故选：C．7．【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，∴n＝6．则正多边形的一个外角＝，故选：B．8．【解答】解：如图，分别过点D，C作x轴的垂线，垂足为M，N，∵点D的坐标是（3，4），∴OM＝3，DM＝4，在Rt△OMD中，OD＝＝5，∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝CB＝OB＝5，DM＝CN＝4，∴Rt△ODM≌Rt△BCN（HL），∴BN＝OM＝3，∴ON＝OB+BN＝5+3＝8，又∵CN＝4，∴C（8，4），将C（8，4）代入y＝，得，k＝8×4＝32，故选：D．9．【解答】解：设小矩形的长为a，宽为b（a＞b），则a+3b＝n，阴影部分的周长为2n+2（m﹣a）+2（m﹣3b）＝2n+2m﹣2a+2m﹣6b＝4m+2n﹣2n＝4m，故选：D．10．【解答】解：设AB＝x，则AE＝EB＝由折叠，FE＝EB＝则∠AFB＝90°由tan∠DCE＝∴BC＝，EC＝∵F、B关于EC对称∴∠FBA＝∠BCE∴△AFB∽△EBC∴∴y＝故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．【解答】解：原式＝3﹣＝．故答案为：．12．【解答】解：将数据从小到大重新排列为：6、8、8、10、12、15，所以这组数据的中位数为＝9，故答案为：9．13．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，∵AC＝6，∠ACB＝120°，∴＝＝2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，故答案为：4．14．【解答】解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，∠1＝∠AOB＝×30°＝15°．故答案为15°．15．【解答】解：∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴CD＝AB＝6，∵I是△ABC的重心，∴DI＝CD＝2，故答案为：2．16．【解答】解：∵动点A（m+2，3m+4）在直线l上，∴直线l解析式为y＝3x﹣2如图，直线l与x轴交于点C（，0），交y轴于点A（0，﹣2）∴OA＝2，OC＝∴AC＝＝若以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切于点D，连接BD∴BD⊥AC∴sin∠BCD＝sin∠OCA＝∴∴BC＝∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切时，B点坐标为（﹣，0）或（+，0）∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点，则b的取值范围是故答案为：三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：由不等式①得：x＞4．由不等式②得：x＞2．不等式组的解集：x＞4．18．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF∴∠ACB＝∠EFD，∵BF＝CE∴BC＝EF，且∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，∴△ABC≌△DEF（ASA）∴AC＝DF19．【解答】解：原式＝÷＝•＝1﹣x，当x＝1﹣时，∴原式＝1﹣（1﹣）＝；20．【解答】解：设法国新总统x岁，则法国第一夫人：（x+24）岁，美国新总统：（x+32）岁，美国第一夫人：（x+32﹣24）＝（x+8）岁，故美国第一夫人比法国第一夫人小：（x+24）﹣（x+8）＝16（岁）．故美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．21．【解答】解：（1）调查的样本容量为50÷25%＝200（人），a＝200﹣20﹣50﹣66＝64（人），故答案为200，64；（2）刚好抽到A类学生的概率是20÷200＝0.1，故答案为0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：2000×＝660（人）．答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．22．【解答】解：（1）方程的解为x1＝c，x2＝，验证：当x＝c时，∵左边＝c+，右边＝c+，∴左边＝右边，∴x＝c是x+＝c+的解，同理可得：x＝是x+＝c+的解；（2）方程整理得：（x﹣3）+＝（a﹣3）+，解得：x﹣3＝a﹣3或x﹣3＝，即x＝a或x＝，经检验x＝a与x＝都为分式方程的解．23．【解答】解：如图所示：（1）作∠A的平分线交BC于点P，点P即为所求作的点．（2）作PE⊥AB于点E，则PE＝PC＝3，∴AB与圆相切，∵∠ACB＝90°，∵AC与圆相切，∴AC＝AE，设BD＝x，BE＝y，则BC＝6+x，BP＝3+x，∵∠B＝∠B，∠PEB＝∠ACB，∴△PEB∽△ACB∴＝＝∴＝＝解得x＝2，答：BD的长为2．24．【解答】解：（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，∵∠ACB＝90°，∴CF＝，即CF不是“匀称中线”．又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，在Rt△BCE中∠BCE＝90°，∴BC＝，在Rt△ABC中，AB＝，∴BC：AC：AB＝．（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，∵Rt△ACD是“匀称三角形”．由②知：AC：AD：CD＝：2：，设AC＝，则AD＝2a，CD＝a，如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴，∵＝，解得a＝2，a＝﹣2（舍去），∴，判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，∴tan，又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝，BH＝4﹣，∴tan B＝，即∠AMC≠∠B，这与∠AMC＝∠B相矛盾，∴假设不成立，∴CM不是△ACD的“匀称中线”．25．【解答】解：（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）函数的对称轴为：x＝﹣＝，设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（，0），则CM＝＝，则AB＝2CM＝，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（，0）；将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，解得：a＝，函数的表达式为：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣；（3）过点E作EF⊥PH，设：∠ACB＝α，则∠ACB＝∠HPE＝∠DEF＝α，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x﹣，设点P（h，h2﹣h﹣），则点D（h，h﹣），故tan∠ACB＝tanα＝，则sinα＝，y D﹣y E＝DE sinα＝PD sinα•sinα，S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（y D﹣y E）＝××（h﹣﹣h2+h+＝﹣h2+h﹣，∵﹣＜0，∴S有最大值，当h＝时，S的最大值为：，此时点P（，﹣）．。
2020-2021学年福建省泉州市厦门外国语学校石狮分校九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省泉州市厦门外国语学校石狮分校九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列各数中，化为最简二次根式后能与合并的是（）A．B．C．D．2．（4分）下面计算正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝3C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝3 4．（4分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（）A．2B．3C．4D．55．（4分）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．6．（4分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则由题意可列方程（）A．x（x﹣12）＝864B．x（x﹣12）＝864×2C．x（x+12）＝864D．x（x+12）＝864×27．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．58．（4分）化简+|x﹣2|结果为（）A．4﹣2x B．2x﹣4C．0D．49．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S：S△BDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）△CDEA．B．C．D．10．（4分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的为（）A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若，则＝．12．（4分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为．13．（4分）已知M是满足不等式﹣＜a＜的所有整数的和，N是满足不等式x≤的最大整数，则M+N的平方根为．14．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为．15．（4分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝．三.解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算下列各式的值：（1）；（2）．18．（8分）解方程：（1）（x+4）2＝5（x+4）；（2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2．19．（8分）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．20．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3），△ABC与△A1B1C1关于y轴对称．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；（2）求以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积．21．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．22．（10分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：＝＝＝7，＝＝＝7，不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．23．（10分）“对角线红茶馆”是一家网红茶店，但最近该店的招牌茶饮“对角线AB”的销量却不乐观．四月第一周该店只卖出30杯“对角线AB”，已知该茶饮每杯的成本为20元，卖价为40元；第二周，该店推出了一款新口味茶饮命名为”对角线CD”，“对角线CD ”每杯的成本为15元，卖价仍为40元，并且从第二周开始不再售卖“对角线AB ”．（1）若要使这两周卖这两款茶饮的总利润不低于2850元，则第二周至少应该卖出多少杯“对角线CD ”？（2）在实际制作过程中，“对角线CD ”按照（1）中杯数的最低数量进行制作，但由于材料、店面等因素的影响，每杯成本比15元多了a %（a ＞10），于是该店决定将售价也提高a %，附近的商户受到该店的启发，也纷纷推出了新品，在市场冲击下，“对角线红茶馆”有a %的“对角线CD ”变质而无法卖出，但第二周仍比第一周获利多1650元，求a 的值．24．（12分）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一根为2t ，因此ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，所以有b 2﹣ac ＝0；我们记“K ＝b 2﹣ac ”，即K ＝0时，方程ax 2+bx +c ＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是；（写出序号）①方程x 2﹣x ﹣2＝0；②x 2﹣6x +8＝0；（2）若关于的x 方程mx 2+（n ﹣2m ）x ﹣2n ＝0是倍根方程，求4m 2+5mn +n 2的值；（3）若A （m ，n ）在一次函数y ＝3x ﹣8的图象上，且关于x 的一元二次方程x 2﹣n＝0是倍根方程，求此倍根方程．25．（14分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝a ，D 是AB 边上一动点（点D 与A ，B 不重合），连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE ．（1）猜想线段DB 、BE 、DE 的数量关系，并说明理由；（2）M 、N 分别为线段AB 、DE 的中点，在D 的运动过程中，的值是否发生改变，若改变请说明理由，若不变求出的值；（3）求线段BF 的取值范围（用含a 的代数式表示）．2020-2021学年福建省泉州市厦门外国语学校石狮分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列各数中，化为最简二次根式后能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．即可解答．【解答】解：因为＝3，＝2，＝，＝，所以能与合并的是，故选：B．【点评】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是掌握同类二次根式的定义．2．（4分）下面计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的性质对A、B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝5，所以A选项错误；B、原式＝5，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项正确；D、原式＝＝，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．（4分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝3C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝3【分析】把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．【解答】解：把方程x2+2x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+2x＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+2x+1＝1+1，配方得（x+1）2＝2．故选：C．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（4分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（）A．2B．3C．4D．5【分析】把x＝4代入方程求出k，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣24+k＝0，解得：k＝8，即方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解一元一次方程的应用，主要考查学生的计算能力．5．（4分）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选：B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．6．（4分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则由题意可列方程（）A．x（x﹣12）＝864B．x（x﹣12）＝864×2C．x（x+12）＝864D．x（x+12）＝864×2【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12），再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），∴矩形的长为（x+12）（步）．依题意，得：x（x+12）＝864．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．8．（4分）化简+|x﹣2|结果为（）A．4﹣2x B．2x﹣4C．0D．4【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：由题意可得：2﹣x≥0，则x﹣2≤0，故原式＝2﹣x+2﹣x＝4﹣2x．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．9．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S：S△BDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）△CDEA．B．C．D．【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到＝，借助相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵S：S△CDE＝1：3，△BDE∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴＝，∴＝，故选：D．【点评】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．10．（4分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的为（）A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④【分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴Δ＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，解法二：构造图象法，令y1＝x2﹣2x，y2＝a，画出两个函数图象，利用图像法解决问题即可．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若，则＝．【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．【解答】解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．12．（4分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为3．【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝2，ab＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得a+b＝2，ab＝﹣1，所以a+b﹣ab＝2﹣（﹣1）＝3．故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．13．（4分）已知M是满足不等式﹣＜a＜的所有整数的和，N是满足不等式x≤的最大整数，则M+N的平方根为±2．【分析】利用无理数的估算得到M＝2，N＝2，然后根据平方根的定义求解．【解答】解：∵满足不等式﹣＜a＜的所有整数为﹣1，0，1，2，∴M＝2，∵x≤的最大整数为2，即N＝2，∴M+N＝4，∴M+N的平方根为±2．故答案为±2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了无理数的估算．14．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x ﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019，则x﹣1＝2019，解得x＝2020，所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．故答案是：x＝2020．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（4分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64cm．【分析】如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．求出CE，EF，DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．∵AB∥EF，AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE∥PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案为64．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝．【分析】先求出∠EFG＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出△AEF∽△AFC，即可得出结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF，∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°，∴∠BAD+∠ABE＝45°，∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，在Rt△EFG中，EF＝，∴FG＝EG＝1，∵AF＝4，∴AG＝AF﹣FG＝3，根据勾股定理得，AE＝＝，∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴CF是∠ACB的平分线，∴∠ACF＝45°＝∠AFE，∵∠CAF＝∠FAE，∴△AEF∽△AFC，∴，∴AC＝＝＝，故答案为．【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE 是解本题的关键．三.解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算下列各式的值：（1）；（2）．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则和平方差公式计算；（2）根据二次根式的除法法则和绝对值的意义计算．【解答】解：（1）原式＝﹣（5﹣3）＝3﹣2＝1；（2）原式＝﹣+3﹣＝﹣+3﹣＝3﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）解方程：（1）（x+4）2＝5（x+4）；（2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2．【分析】（1）方程移项后用因式分解法解方程即可；（2）方程整理后运用公式法求解即可．【解答】解：（1）（x+4）2＝5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x﹣1）＝0，x+4＝0，x﹣1＝0，解得，x1＝﹣4，x2＝1；（2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2，整理得，3x2﹣17x+20＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝49＞0，∴，∴x1＝4，．【点评】本题考查的是解一元二次方程的因式分解法和公式法，熟知解一元二次方程的基本方法是解答此题的关键．19．（8分）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．【分析】直接利用已知得出△EAB∽△ECD，再利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EAB∽△ECD，∴，∵AB＝1，∴CD＝4．答：这棵树的高度CD为4m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．20．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3），△ABC 与△A1B1C1关于y轴对称．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；（2）求以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积．【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（2）利用梯形的面积公式计算．【解答】解：（1）如图，△A2B2C2为所作；（2）以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积＝×（2+4）×3＝9．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．21．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝a2+4，则可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到Δ＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得a≠0，∵Δ＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，而a2＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．22．（10分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：＝＝＝7，＝＝＝7，不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．【分析】（1）直接选择一组数据代入计算得出答案；（2）利用3个数据之间的关系进而计算得出答案．【解答】（1）解：答案不唯一，如：＝＝＝7；（2）证明：设中间那个数为n，则：∵＝＝＝＝7，∴＝7．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．23．（10分）“对角线红茶馆”是一家网红茶店，但最近该店的招牌茶饮“对角线AB”的销量却不乐观．四月第一周该店只卖出30杯“对角线AB”，已知该茶饮每杯的成本为20元，卖价为40元；第二周，该店推出了一款新口味茶饮命名为”对角线CD”，“对角线CD”每杯的成本为15元，卖价仍为40元，并且从第二周开始不再售卖“对角线AB”．（1）若要使这两周卖这两款茶饮的总利润不低于2850元，则第二周至少应该卖出多少杯“对角线CD”？（2）在实际制作过程中，“对角线CD”按照（1）中杯数的最低数量进行制作，但由于材料、店面等因素的影响，每杯成本比15元多了a%（a＞10），于是该店决定将售价也提高a%，附近的商户受到该店的启发，也纷纷推出了新品，在市场冲击下，“对角线红茶馆”有a%的“对角线CD”变质而无法卖出，但第二周仍比第一周获利多1650元，求a的值．【分析】（1）设第二周应该卖出x杯“对角线CD”，根据总利润＝每杯的利润×销售数量结合使这两周卖这两款茶饮的总利润不低于2850元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；（2）根据总利润＝销售总价﹣总成本结合第二周比第一周获利多1650元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设第二周应该卖出x杯“对角线CD”，依题意，得：（40﹣20）×30+（40﹣15）x≥2850，解得：x≥90．答：第二周至少应该卖出90杯“对角线CD”．（2）依题意，得：40（1+a%）×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90＝（40﹣20）×30+1650，整理，得：a2﹣25a＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2﹣ac＝0；我们记“K＝b2﹣ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是②；（写出序号）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2﹣n ＝0是倍根方程，求此倍根方程．【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；(2)根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2＝﹣得到m＝﹣n或m＝﹣n，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0；(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2﹣ac＝0，据此求解可得．【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x1＝﹣1，x2＝2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x1＝2，x2＝4，∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案为②；（2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣，∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，∴2＝﹣或4＝﹣，即m＝﹣n或m＝﹣n，∴m+n＝0或4m+n＝0；∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；（3）设其中一根为t，则另一个根为2t，则ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，∴b2﹣ac＝0，∵x2﹣n＝0是倍根方程，∴（﹣）2﹣×2×n＝0，整理，得：m＝3n，∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，∴此倍根方程为x2﹣x+＝0．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D是AB边上一动点（点D 与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．（1）猜想线段DB、BE、DE的数量关系，并说明理由；（2）M、N分别为线段AB、DE的中点，在D的运动过程中，的值是否发生改变，若改变请说明理由，若不变求出的值；（3）求线段BF的取值范围（用含a的代数式表示）．【分析】（1）证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠A，进而得到∠DBE＝90°，根据勾股定理证明即可；（2）连接CM、CN，根据等腰直角三角形的性质得到＝，证明△MCN∽△ACD，根据相似三角形的性质证明；（3）分点D与点A重合、BF⊥DE两种情况，分别求出BF，得到答案．【解答】解：（1）DB2+BE2＝DE2，理由如下：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝45°，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠DBE＝∠CBA+∠CBE＝90°，由勾股定理得，DB2+BE2＝DE2；（2）的值不变，理由如下：连接CM、CN，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，M为线段AB的中点，∴CM＝AB＝AC，∴＝，同理，＝，∴＝，∵∠ACM＝∠DCN＝45°，∴∠ACD＝∠MCN，∴△MCN∽△ACD，∴＝＝，∴的值不变，＝；（3）当点D与点A重合时，BF＝0，∵点D与点A不重合，∴BF＞0，当BF⊥DE时，BF最大，此时，BM＝BE＝AD＝，∴DE＝＝a，∵∠DBE＝90°，BM＝BE，BE⊥BD，∴BF＝DE＝a，∴0＜BF≤a．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．。
2020-2021学年福建省福州市仓山区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年福建省福州市仓山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列图形中，是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.将方程(x−2)2=5化成一元二次方程的一般形式，正确的是()A. x2−4x−1=0B. x2−4x+1=0C. x2+4x−9=0D. x2+4x+9=03.若x=3是方程x2−x+2a=0的一个根，则a的值是()A. a=−3B. a=−2C. a=2D. a=34.参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是()A. 12x(x+1)=45 B. 12x(x−1)=45 C. x(x+1)=45 D. x(x−1)=455.将二次函数y=(x−3)2+1的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为()A. y=x2+1B. y=(x−6)2+1C. y=(x−3)2−2D. y=(x−3)2+46.抛物线y=a(x−1)2+k与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为()A. (72,0) B. (3,0) C. (52,0) D. (2,0)7.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(−3,2)，接OA，将线段OA绕原点O旋转180°，得到对应线段OA′，则点A′的坐标为()A. (3,−2)B. (3,2)C. (2,−3)D. (−3,−2)8.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，连接CO，AD，∠BAD=α，则∠OCD的度数()A. 2αB. 3αC. 90°−αD. 90°−2α9.如图，在△ABC中，∠ABC=α，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，若CA=CB，则∠CAA′的度数是()A. 90°−αB. 90°−12αC. 90°+12αD. 90°+α10.若二次函数y=(x−3)2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为()A. −2或2B. −2或52C. 2或52D. −2或2或52二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.抛物线y=2(x−6)2+9的顶点坐标为______．12.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=3，则BB′的长为______．13.若x1，x2是一元二次方程4x2−5x+1=0的两个根，则x1+x2+x1⋅x2的值为______．14.如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，若AE=4，OE=1，则CD的长为______．15.已知(a2+b2)(a2+b2−4)=7，则a2+b2的值为______．16.如图，在⊙O中，直径AB=2，延长AB至C，使BC=OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x(x−3)+x−3=0．四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）18.已知关于x的一元二次方程mx2+4x+2=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．19.已知抛物线y=ax2+bx+c过A(0,0)，B(1,9)，C(2,26)三点，求该抛物线的解析式．20.如图，四边形ABCD是矩形．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．21.如图，点M是等边三角形ABC内的一点，连接AM，CM．(1)尺规作图：作出△ACM绕点A顺时针旋转60°得到的△ABN；(不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若∠ACM+∠CAM=60°，求证：C，M，N三点共线．22.如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，∠A=30°，∠AEC=∠OCE+30°．(1)求证：AC=AE；(2)若AC=2√3，求CD的长．23.某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．已知商品的进价为每件30元，问如何定价才能使一星期利润最大？最大利润是多少？24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2√2，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，DE．(1)求∠ECD的度数；(2)取DE的中点F，连接CF.分别延长CF，BA，相交于点G，如备用图所示．①求证：GF=CF；②当BD=3CD时，求AG的长．25.已知二次函数y=x2+bx+b−1，其中b为常数．(1)当y=0时，求x的值；(用含b的式子表示)(2)抛物线y=x2+bx+b−1与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，过点E(4,2)作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ 分别交y轴于点M(0,m)，N(0,n)．①当b<2时，求点P的横坐标x p的值；(用含m，b的式子表示)②当b=−3时，求证：OM⋅ON是一个定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C．根据中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：(x−2)2=5，x2−4x+4−5=0，x2−4x−1=0，即将方程(x−2)2=5化成一般形式为x2−4x−1=0，故选：A．先去括号，再移项，最后合并同类项即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)．3.【答案】D【解析】解：∵x=3是方程x2−x+2a=0的一个根，∴32−3+2a=0，解得a=3．故选：D．把x=3代入已知方程，列出关于a的方程，通过解该方程可以求得a的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．此题利用代入法来求系数a的值．4.【答案】Bx(x−1)=45．【解析】解：依题意得：12故选：B．根据“每两支球队之间都要进行一场比赛，且共比赛45场”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：将二次函数y=(x−3)2+1的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y=(x−3)2+1+3，即y=(x−3)2+4．故选：D．根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减求得即可．此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6.【答案】B【解析】解：∵y=a(x−1)2+k对称轴为x=1，又∵抛物线y=a(x−1)2+k与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴两个交点关于直线x=1对称，设另一个交点是x1，则x1+(−1)=2，解得：x1=3，∴另一个交点为(3,0)．故选：B．利用待定系数法即可解决问题．本题考查抛物线与x轴的交点、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7.【答案】A【解析】解：由题意，A与A′关于原点对称，∵A(−3,2)，∴A′(3,−2)，故选：A．利用中心对称的性质解决问题即可．本题考查坐标与图形变化−旋转，中心对称等知识，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：连接OD，∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，∴BC⏜=BD⏜，∴∠BOC=∠BOD，∵∠BAD=α，∴∠BOD=2α，∴∠COD=4α，∵OC=OD，∴∠OCD=1(180°−4α)=90°−2α，2故选：D．连接OD，根据垂径定理得出BC⏜=BD⏜，根据圆周角定理得到∠BOC=∠BOD=2α，再根据三角形的内角和求解即可．此题考查了圆周角定理及圆心角、弧的关系，熟记圆周角定理是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵CA=CB，∠ABC=α，∴∠ABC=∠CAB=α，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，∴AB=A′B，∠ABC=∠A′BA=α，∴∠BAA′=180°−α，2∴∠CAA′=∠CAB+∠BAA′=90°+1α，2故选：C．由旋转的性质可得∠ABC=∠CAB=α，由旋转的性质可得AB=A′B，∠ABC=∠A′BA=α，即可求解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵二次函数y=(x−3)2+2m，∴图象开口向上，对称轴为直线x=3，①当3<m时，在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，y随x的增大而增大，∴当x=m时，y=(m−3)2+2m=m2−4m+9为最小值，∵m2−4m+9=5，解得m=2，不合题意；②当m≤3≤m+2时，∴x=3，y=(x−3)2+2m=2m为最小值，∴2m=5，解得，m=5；2③当3>m+2，即m<1，在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，y随x的增大而减小，故当x=m+2时，y=(m+2−3)2+2m=m2+1为最小值，∴m2+1=5.解得，m1=2(舍去)，m2=−2；综上，m 的值为52或−2．故选：B ．分三种情况讨论列出关于m 的方程，解方程即可．本题考查了二次函数的性质，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．11.【答案】(6,9)【解析】解：二次函数y =2(x −6)2+9的图象的顶点坐标是(6,9)．故答案为：(6,9)．根据顶点式的意义直接解答即可．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟悉顶点式的意义，并明确：y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)的顶点坐标为(ℎ,k)．12.【答案】12【解析】解：∵在Rt △ABC 中，∠B =30°，AC =3，∴AB =2AC =6，∵B 与B′关于A 中心对称，∴BB′=2AB =12．故答案为：12．在直角△ABC 中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得AB ，依据中心对称可得BB′=2AB ，据此即可求解．本题主要考查了直角三角形的性质：30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质．13.【答案】32【解析】解：根据题意得x 1+x 2=54，x 1x 2=14，故答案为：32． 利用根与系数的关系得到x 1+x 2=54，x 1x 2=14，然后利用整体代入的方法计算x 1+x 2+x 1⋅x 2的值．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ．14.【答案】4√2【解析】解：连接OC ，∵AE =4，OE =1，∴OC =OA =AE −OE =4−1=3，在Rt △OCE 中，CE =√OC 2−OE 2=√32−12=2√2，∵AB ⊥CD ，∴CD =2CE =4√2，故答案为：4√2．连接OC ，根据勾股定理求出CE ，根据垂径定理解答即可．本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．15.【答案】2+√11【解析】解：设x =a 2+b 2，且x ≥0，∵(a 2+b 2)(a 2+b 2−4)=7，∴x(x −4)=7，∴x 2−4x =7，∴x 2−4x +4=11，∴(x −2)2=11，∴x =2+√11或x =2−√11(舍去)，即a 2+b 2=2+√11．故答案为：2+√11．本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是设x=a2+b2，且x≥0，本题属于中等题型．16.【答案】2√2+1【解析】解：如图，过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF=CO，连接DF，∴∠DCE=∠OCF=90°，∴∠OCE=∠FCD，又∵CD=CE，∴△OCE≌△FCD(SAS)，∴OE=FD，连接FO，并延长FO交圆于点H，FH即为FD最大值，∵AB=2，OB=BC，∴OC=CF=2，∴OF=2√2，∴FH=OF+OH=2√2+1，∴OE最大值=DF最大值=FH=2√2+1，故答案为：2√2+1．过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF=CO，连接DF，从而可证△OCE≌△FCD，进而得到OE=FD，将求线段OE的最大值转化为求线段FD的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．本题考查了三角形全等的性质和判定，点与圆的位置关系，解题的关键是构造△OCE的全等三角形，将OE转化为其他线段进而求最大值．17.【答案】解：分解因式得：(x−3)(x+1)=0，可得x−3=0或x+1=0，解得：x1=3，x2=−1．【解析】方程利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18.【答案】解：∵关于x的一元二次方程mx2+4x+2=0有两个不相等的实数根，∴m≠0且Δ>0，即42−4m×2>0，解得m<2且m≠0．∴当m<2且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+4x+2=0有两个不相等的实数根．【解析】由关于x的一元二次方程mx2+4x+2=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ>0，即42−4m×2>0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．19.【答案】解：根据题意可得{c=0a+b+c=94a+2b+c=26，解得{a=4 b=5 c=0，即抛物线的解析式为y=4x2+5x．【解析】将A、B、C三点代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解这个方程组得a、b、c的值，得到抛物线的解析式．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．20.【答案】证明：连接AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是矩形．∴OA=OB=OC=OD，∴A、B、C、D四点在以O为圆心、以12AC为半径的同一个圆上．【解析】连接AC、BD，交于点O，根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，得到答案本题考查的是矩形的性质和圆的认识，掌握到定点的距离等于定长的点在同一个圆上是解题的关键．21.【答案】(1)解：如图，△ABN即为所求；(2)证明：如图，连接MN，由旋转可知：AM=AN，∠MAN=CAB=60°，∴△AMN是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠ACM+∠CAM=60°，∴∠AMC=120°，∴∠AMN+∠AMC=60°+120°=180°，∴C，M，N三点共线．【解析】(1)根据旋转的性质即可作出△ACM绕点A顺时针旋转60°得到的△ABN；(2)根据旋转的性质可得△AMN是等边三角形，进而可得C，M，N三点共线．本题考查作图−旋转变换，等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．22.【答案】(1)证明：连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠ACE=∠OCE+30°，∵∠AEC=∠OCE+30°，∴∠ACE=∠AEC，∴AC=AE；(2)过点O作OF⊥CD于点F，作OM⊥AC于点M，∴CF=DF=12CD，AM=CM=12AC，∵AC=2√3，∴AM=√3，∵∠A=30°，∠AMO=90°，∴OM=12OA，∴AM=√OA2−OM2=√OA2−(12OA)2=(√3)2=3，∴OA=2，由(1)知，∠ACE=∠AEC，∴∠ACE=12(180°−∠A)=12(180°−30°)=75°，∵∠ACO=∠A=30°，∴∠OCF=75°−30°=45°，∵∠OFC=90°，∴∠COF=45°，∴CF=OF，∵OC=OA=2，∴CF=OCsin45°=√22OC=√2，∴CD=2√2．【解析】(1)连接OC，根据等边对等角得到∠ACO=30°，则∠ACE=∠OCE+30°，结合题意得出∠ACE=∠AEC，根据等角对等边即可得解；(2)过点O作OF⊥CD于点F，作OM⊥AC于点M，根据垂径定理得出CF=DF=12CD，AM=CM=12AC，根据勾股定理得到OA=2，根据等腰三角形的性质及三角形内角和得出∠OCF=∠COF=45°，则CF=OF，解直角三角形得到CF=√2，据此即可得解．此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理及垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键．23.【答案】解：①设涨价x元，利润为y，则y=(50−30+x)(200−5x)=−5x2+100x+4000=−5(x−10)2+4500，∵−5<0，∴当x=10时，y有最大值4500，此时50+10=60(元)，每件定价为60元时利润最大；②设每件降价a元，总利润为w，则w=(50−30−a)(200+25a)=−25a2+300a+4000=−25(a−6)2+4900，∵−25<0，∴当a=6时，w有最大值4900，此时50−6=44(元)，每件定价为44元时利润最大．综上所述：每件定价为44元时利润最大，最大利润为4900元．【解析】设每件涨价x元，则每件的利润是(50−30+x)元，所售件数是(200−5x)件，总利润为y；设每件降价a元，则每件的利润是(50−30−a)元，所售件数是(200+25a)件，总利润为w；根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．此题考查二次函数的实际运用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．24.【答案】(1)解：如图1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=90°，∴∠ACE=∠B=45°，∴∠ECD=∠ACB=∠ACE=90°．(2)①证明：如图2中，连接AF．∵∠ECD=∠EAD=90°，EF=DF，∴AF=CF=12DF，∴∠FAC=∠FCA，∵∠ACG+∠G=90°，∠FAC+∠GAF=90°，∴∠G=∠FAG，∴FA=FG，∵AF=FC，∴FG=FC．②解：如图3中，连接DG，GE．∵DF=EF，GF=CF，∴四边形CDGE是平行四边形，∵CG=DE，∴四边形CDGE是矩形，∴∠CDG=90°，∴AB=AC=2√2，∠BAC=90°，∴BC=√2AB=4，∠B=45°∵BD=3CD，∴BD=DG=3，CD=1，∴CG=√CD2+DG2=√12+32=√10，∴AG=√CG2−AC2=√(√10)2−(2√2)2=√2．【解析】(1)证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45°，可得结论．(2)①连接AF，证明AF=CF，AF=GF，可得结论．①连接DG，GE.证明四边形CDGE是矩形，利用勾股定理求出CG，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了矩形的判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)当y=0时，x2+bx+b−1=0，∴(x+1)(x+b−1)=0，∴x+1=0或x+b−1=0，∴x1=−1，x2=1−b；(2)①当b<2时，由(1)可知：x1=−1，x2=1−b，∵b<2，∴1−b >−1，∵点A 在点B 的左侧，∴A(−1,0)，设直线AM 的解析式为y =kx +a ， ∵A(−1,0)，M(0,m)，∴{−k +a =0a =m， 解得：{k =m a =m， ∴直线AM 的解析式为y =mx +m ，联立方程组，得：{y =mx +m y =x 2+bx +b −1， 消去y ，得：x 2+(b −m)x +b −m −1=0， 由根与系数关系，得x A +x P =−(b −m)=m −b ， ∴x P =m −b +1，②证明：当b =−3时，二次函数解析式为y =x 2−3x −4， ∴A(−1,0)，B(4,0)，∵x P =m +4，∴y P =(m +4)2−3(m +4)−4=m 2+5m ， ∴P(m +4,m 2+5m)，直线AN 的解析式为：y =n 0+1(x +1)=nx +n ，联立方程组，得：{y =x 2−3x −4y =nx +n， ∴x 2−(3+n)x −4−n =0， ∴x Q =4+n ，y Q =n 2+5，即Q(n +4,n 2+5)，∵直线PQ 过点E(4,2)，∴k EP =k EQ ，∴m 2+5−2m+4−4=n 2+5−2n+4−4， 即m 2+3m =n 2+3n ，∴mn 2+3m =m 2n +3n ，mn(m −n)=3(m −n)，∵P 、Q 不重合，即m ≠n ，∴OM⋅ON=3为定值．【解析】(1)令y=0，得：x2+bx+b−1=0，运用因式分解法解一元二次方程即可；(2)①当b<2时，利用不等式性质可得：1−b>−1，根据点A在点B的左侧，可得A(−1,0)，利用待定系数法求得直线AM的解析式为y=mx+m，联立方程组，消去y，得：x2+(b−m)x+b−m−1=0，由根与系数关系，得x A+x P=−(b−m)=m−b，即可得出答案；②当b=−3时，二次函数解析式为y=x2−3x−4，根据条件可得P(m+4,m2+5m)，Q(n+4,n2+5)，再根据直线PQ过点E(4,2)，可推出mn(m−n)=3(m−n)，再由P、Q不重合，即m≠n，得出mn=3即可．本题考查二次函数的性质，待定系数法，一次函数图象和性质，一元二次方程根与系数关系等，此题综合性较强，熟练掌握二次函数的图象及性质、灵活应用根与系数的关系是解题的关键．第21页，共21页。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
福建省泉州市南安市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
福建省泉州市南安市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．2＝（）A．﹣3 B．3 C D．92．下面说法正确的是（）ABC．的式子是二次根式D．＝a，则a＞03．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣2＝0 B．x2-1x＝0 C．x2﹣2x+1 D．x2+3x﹣5＝04．一元二次方程2330x x-+=根的情况是()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．不能确定5．将方程x2﹣6x＋2=0配方后，原方程变形为（）A．(x+3)2=﹣2 B．(x﹣3)2=﹣2 C．(x﹣3)2=7 D．(x＋3)2=7 6．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HI C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL7．下列四条线段中，不能成比例的是（）A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝c d＝5C ．a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4D ．a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝48．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为位似中心，把线段 AB 放大后得到线段CD ．若点A （1，2），B （2，0），D （5，0），则点A 的对应点C 的坐标是（ ）A ．(2，5)B ．(52,5)C ．(3，5)D ．(3，6)9．如图，DE 是ABC 的中位线，已知ABC 的面积为12，则四边形BCED 的面积为（ ）．A ．3B ．6C ．9D ．1010．我们知道，一元二次方程x 2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2＝﹣1（即方程x 2＝﹣1有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1＝i ，i 2＝﹣1，i 3＝i 2•i ＝﹣1•i ＝﹣i ，i 4＝（i 2）2＝（﹣1）2＝1……，则i 2018＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．ID ．﹣i二、填空题11()230y -=，则x y +=______．12．已知5a ＝6b （a≠0），那么b a＝__________． 13．如图，AB ∥CD ∥EF ，如果AC ＝2，AE ＝5，DF ＝3.6，那么BD ＝_____________．14．一元二次方程x2=9的解是．15．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个根分别是x1，x2，则x1+x2＝____________．16．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD 与△PBC相似，则满足条件的AP长_____．三、解答题17+18．解方程：x（x-1）=2（x-1）19．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．21．当k是为何值时，关于x的方程x2+（2k﹣3）x+k2+1＝0有实数根？22．求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）23．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，CD＝，P为CD的中点．（1）在AC上找一点Q，使DQ+PQ的值最小（保留画图痕迹，不写画法，不必说理）；（2）求出（1）中DQ+PQ的长．24．某汽车销售公司11月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为19万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部.月底厂家再根据销售量返利给销售公司:销售量在5部以内(含5部)，每部返利0.1万元;销售量在5部以上，每部返利0.4万元.(1)若该公司当月售出5部汽车，则每部汽车的进价为万元;(2)若汽车的售价为19.8万元/部，该公司计划当月盈利18万元，则需售出多少部汽车? (盈利=销售利润+返利)25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点E从点A出发沿着线段AB向终点B运动，速度为每秒3个单位长度，过点E作EF⊥AB交直线AC于点F，连结CE．设点E的运动时间为t秒．（1）当点F在线段AC上（不含端点）时，①求证：△ABC∽△AFE；②当t为何值时，△CEF的面积为1.2；（2）在运动过程中，是否存在某时刻t，使△CEF为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【分析】根据二次根式的乘法法则进行运算即可．【详解】解：原式＝3．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法法则是解题关键．2．A【分析】根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义即可求出答案．【详解】A是最简二次根式，正确；B=，故，故B错误；C．a≥0）的式子是二次根式，故C错误；D．=a，则a≥0，故D错误．故选A．【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的相关概念，本题属于基础题型．3．D【分析】根据一元二次方程的定义，依次分析各个选项，选出是一元二次方程的选项即可．【详解】解：A．属于一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，A 项错误，B. 属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，B 项错误C.不是等式，不符合一元二次方程的定义，C 项错误，D．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，D 项正确，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．4．C【分析】由△=b2-4ac的情况进行分析.【详解】因为，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=-3<0,所以，方程没有实数根.故选C【点睛】本题考核知识点：根判别式.解题关键点：熟记一元二次方程根判别式.5．C【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形后，即可得到结果．【详解】方程x2−6x+2=0,变形得：x2−6x=−2，配方得：x2−6x+9=7,即(x−3)2=7，故选C.【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握解一元二次方程-配方法.6．B【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确；C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查相似多边形的性质．7．C【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、4×10=5×8，能成比例；B、2×C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4=2×2，能成比例．故选C．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．8．B【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标的关系.【详解】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2,0），D（5,0）∴2=5 OB OD∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为2 5∵A（1,2）∴点C的横坐标为15=225，纵坐标为2=525∴C55 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选B.【点睛】本题考查的是位似图形的与直角坐标系的关系，能够根据位似图形得出位似比是解题的关键.9．C【分析】根据中位线得到面积的比，即可求出答案.【详解】∵DE 是ABC 的中位线， ∴12DE BC =,DE ∥BC, ∴△ADE ∽△ABC ， ∴211()24S ADE S ABC ==∆, ∵ABC 的面积为12，∴△ADE 的面积是3，∴四边形BCED 的面积为9,故选：C.【点睛】此题考查三角形的中位线的性质，相似三角形的性质.10．A【分析】直接利用已知得出变化规律，进而得出答案．【详解】解：∵1232422,1,,()1,i i i i i i i i i ==-=•=-==，……∴每 4 个一循环，∵2018÷4＝504…2， ∴201821i i ==-，故选：A ．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确得出数字变化规律是解题关键．11．1【分析】根据二次根式和偶次方根的非负性即可求出x，y的值，进而可求答案【详解】()230y-=()20,30y=-=∴2,3x y=-=∴231x y+=-+=故答案为1.【点睛】本题考查的是二次根式偶次方根的非负性，能够据此解答出x、y的值是解题的关键. 12．56【分析】由等式可用a 表示出b，进而解答即可．【详解】解：∵5a＝6b（a≠0），∴b＝56a，可得：56ba=，故答案为：56．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a 表示出b 是解题的关键．13．2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【详解】解：∵AC＝2，AE＝5，∴CE＝3，AB∥CD∥EF，∴AC BDCE DF=，即23 3.6BD=，∴BD ＝2.4，故答案为：2.4【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．14．x=±3【解析】【分析】试题分析：利用直接开平方法即可进行求解.考点：解一元二次方程【详解】x 2=9,解得：x=±315．-4【分析】直接根据根与系数的关系求解即可．【详解】 解：根据题意知1244,1x x +=-=- 故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程 ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，1212,b c x x x x a a +=-=． 16．2.8或1或6【分析】设AP=x ，则有PB=AB-AP=7-x ，分两种情况考虑：三角形PDA 与三角形CPB 相似；三角形PDA 与三角形PCB 相似，分别求出x 的值，即可确定出P 的个数．【详解】设AP=x ，则有PB=AB −AP=7−x ，当△PDA∽△CPB时,DA PB=AP BC,即27-x=x3，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时,AD AP=BC PB,即2x=37-x，解得：x=14 5.故答案为x=1或x=6或2.8.【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定.17．2【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【详解】解：原式2=2=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．18．x1=1，x2=2【解析】试题分析：先移项得到x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，再把方程左边分解得到（x﹣1）（x﹣2）=0，则方程转化为x﹣1=0，x﹣2=0，然后解一次方程即可．试题解析：解：x（x﹣1）=2（x﹣1）．x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0．（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0，x﹣2=0，∴x1=1，x2=2．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得到一元二次方程的解．19．见解析【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可．【详解】证明：∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，A′B′＝18c m ，B′C′＝24cm ，A′ C′＝30cm ， ∴61''183AB A B ==，81''243BC B C ==，101''303AC A C == ∴''''''AB BC AC A B B C A C == ∴△ABC ∽△A′B′C′．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．20．（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时， b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8．【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的两根，再根据倍根方程的定义判断即可；（2）根据倍根方程的定义，倍根方程x 2+bx+c=0有一个根为2时，另外一个根为4或1，再利用根与系数的关系求出b 、c 的值．【详解】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2； 当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a．也考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．21．k≤512【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝﹣12k+5≥0，解之即可得出 k 的取值范围．【详解】解：∵关于 x 的方程22(23)10x k x k ---+=有实数根，∴22(23)4(1)1250,k k k ∆=--+=-+≥ 解得：k≤512， ∴当 k≤512时，方程22(23)10x k x k ---+=有实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0 时，方程有实数根”是解题的关键．22．证明见解析.【分析】先根据题意画出图形，写出已知，求证，再证明即可．【详解】已知，如图，△ABC ∽△A'B'C'，''''''A B B C A C AB BC AC ===k ， D 是AB 的中点，D'是A'B'的中点，求证：''C D k CD=.证明：∵D 是AB 的中点，D'是A'B'的中点，∴AD ＝12AB ，A'D'＝12A'B'， ∴1''''''212A B A D A B AD AB AB ==，∵△ABC ∽△A'B'C'， ∴''''A B A C ABAC =，∠A'＝∠A ， ∵A''''D A C AD AC=，∠A'＝∠A ， ∴△A'C'D'∽△ACD ， ∴''''C D A C CD AC=＝k ． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是注意文字叙述性命题的证明格式.23．（1）见解析；（2）cm【分析】（1）如图，连接 PB 交 AC 于点 Q ，点 Q 是所求作的；（2）连接 PA ．证明△PAB 是直角三角形，利用勾股定理求出 PB 即可；【详解】解：（1）如图，连接 PB 交 AC 于点 Q ，点 Q 是所求作的；（2）连结 AP ，在菱形 ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝，又∵∠ADC ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∵P 为 CD 的中点，AP ⊥CD ，DP ＝12CD ＝ cm ， 在 Rt △ADP 中，∴AP =6（cm ）， ∵AP ⊥CD ，AB ∥CD ，∴AP ⊥AB ，在 Rt △ABP 中，BP =cm ）， 在菱形 ABCD 中，AC ⊥BD ，OB ＝OD∴DQ+PQ ＝BQ+PQ ＝BP ＝cm ）．答：DQ+PQ 的长为 ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的性质，轴对称，解直角三角形等知识， 解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．24．(1) 18.6万元； (2) 需售出9部汽车【分析】（1）题干要求每部汽车的进价，根据题意列出算式即可求值.（2）首先设需售出x 部汽车，分情况对15x ≤≤时以及5x ＞时列出一元二次方程，并求出其值即可.【详解】解：(1)18.6．190.156()118.⨯=－－(万元)． (2)设需售出x 部汽车，则每部汽车的销售利润为)19.8190.117[()](0.10.x x =+－－－万元．①当15x ≤≤时，根据题意得：()0.10.70.1 1.8x x x ++=，整理得：281800x x +-=，解得： 118x =－(舍去)，210x =， 105>，210x ∴=舍去；②当5x >时，根据题意得：()0.10.70.418x x x ++=，整理得：2111800x x +=－，解得： 120x =－(舍去)，29x =．答：需售出9部汽车（2）解法二：设需售出x 部汽车，若5x ＝，当月盈利为：5(19.818.65.)501 1.⨯+⨯=－万元18<万元每部汽车的销售利润为)19.8190.117[()](0.10.x x =+－－－万元，且每部返利0.4万元．根据题意得：8()0.10.70.41x x x ++=，整理得：2111800x x +=－，0((20))9x x +=－，解得： 120x =－(舍去)，29x =．答：需售出9部汽车．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题中的经济利润问题，根据题意列出一元二次方程并运算即可.25．（1）①见解析；②15秒或1秒；（2）存在，23秒或125秒 【分析】（1）①根据相似三角形的判定解答即可；②过点 C 作 CH ⊥AB 于 H ，利用相似三角形的性质和三角形面积公式解答即可； （2）根据等腰三角形的判定分两种情况解答．【详解】解：（1）当点 F 在线段 AC 上时，①证明如下：∵EF ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°在△ABC 中，∠ACB ＝90°∴∠ACB ＝∠AEF 又∵∠A ＝∠A∴△ABC ∽△AFE②当 t 秒时，AE ＝3t ， 由①得△ABC ∽△AFE ∴AC BC AE FE =，即683t FE=， ∴FE ＝4t在 Rt △ABC 中，AB 10==，过点 C 作 CH ⊥AB 于 H ，如图 1： 由面积法可得：1122AB CH BC AC •=• ∴6824105BC AC CH AB •⨯=== ∴CEF ACE AEF S S S ∆∆∆=- ＝1241334252t t t •⨯-•• 23665t t =-． 令2366 1.25t t -=， 解得：121,15t t ==， 经检验，符合题意．答：当 t 为15秒或 1 秒时，△CEF 的面积为 1.2． （2）存在，理由如下： i ）当点 F 在线段 AC 上时（0＜t ＜65）， ∵∠CFE ＝∠AEF+∠A ＞90°，∴当△CEF 为等腰三角形时，只能是 FC ＝FE ，由②可知：FE ＝4t ，∴AF ＝5t ，FC ＝4t ，∴5t+4t ＝6，∴t ＝23． ii ）当点 F 在线段 AC 的延长线上时（65＜t 103≤），如图 2， ∵∠FCE ＝∠FCB+∠ECB ＞90°，∴当△CEF 为等腰三角形时，只能是FC＝EC，此时∠F＝∠CEF，∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°，即∠CEA+∠CEF＝90°，又∠F+∠A＝90°∴∠CEA＝∠A，∴CE＝AC＝6，∴FC＝6，∴AF＝12，即5t＝12∴12 5综上所述，t 的值为23秒或125秒时，△CEF 为等腰三角形．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定、相似三角形等相关知识，关键是根据相似三角形的判定和性质解答，综合性强，是一道难度较大的压轴题．。
2020-2021学年福建省厦门市思明区双十中学九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）函数y＝﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．3．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞﹣1C．m＞1D．m＜﹣14．（4分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小5．（4分）如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°6．（4分）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm ，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝28007．（4分）如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB 绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（）A．（，）B．（1，）C．（，）D．（，）8．（4分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②③9．（4分）已知二次函数的顶点坐标为（2，﹣1），图象与x交于P，Q两点，且PQ＝6，若图象经过（1，a），（3，b），（﹣1，c），（﹣3，d）四个点，则a，b，c，d中值一定为正数的是（）A．a B．b C．c D．d10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，则a＝．12．（4分）不等式组的解集是．13．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AD⊥DE，BD＝5，DE＝3，则BE的长是．14．（4分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是．15．（4分）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为．16．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（6分）解方程：2x2＝4x﹣118．（8分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．19．（8分）如图，在⊙O中，若＝，且AD＝3，求CB的长度．20．（8分）如图，在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，△OAB旋转得到△OA'B′，观察图形并回答问题：（1）请将作图过程补充完整；并说明△OAB是如何旋转得到△OA'B'．（2）填空：△OAA′的形状是．21．（8分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）求AB的长度和点D的坐标；（2）请你写出一种平移方法，使抛物线经过平移后与坐标轴只有两个交点．（不需证明）22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0．其中m、n是常数．（1）若m＝n+3，试判断该一元二次方程根的情况；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点（m，n）关于原点的对称点在直线y＝x+2上，求m的值．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，连接BM．（1）∠BCM＝，连接BN，则BN的长是．（2）求证：AC⊥BM；（3）连接AN，求AN的长．24．（14分）某企业生产一种新产品，每件成本50元．（1）由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y1（件）与月份x（月）满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量y2（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．①分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；②已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．（2）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时，按整月计算）．为了出售去年积压的4000件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回拢资金并确保获利，企业决定降价销售，每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50件，且要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？25．（14分）如图1，抛物线的顶点为P（1，9），与x轴的交于点A和点B（4，0）．（1）M为x轴上方抛物线上一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO ，求点M的坐标；（2）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新的抛物线为：y＝ax2+bx+h，E，F是y ＝ax2+bx+h在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．2020-2021学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；D．正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．2．（4分）函数y＝﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵二次项系数a＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b＝0，∴对称轴为y轴，∵常数项c＝1，∴图象与y轴交于（0，1），故选：B．【点评】考查二次函数的图象的性质：二次项系数a＜0，开口方向向下；一次项系数b ＝0，对称轴为y轴；常数项是抛物线与y轴的交点的纵坐标．3．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞﹣1C．m＞1D．m＜﹣1【分析】方程没有实数根，则Δ＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：由题意知，Δ＝4﹣4m＜0，∴m＞1故选：C．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4．（4分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．5．（4分）如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是弧AB的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．6．（4分）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800【分析】根据矩形的面积＝长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（整个挂图的长﹣2个边框的宽度）×（整个挂图的宽+2个边框的宽度）＝风景画的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．【解答】解：依题意，设边框的宽为xcm，（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7．（4分）如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB 绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（）A．（，）B．（1，）C．（，）D．（，）【分析】如图，作BH⊥OA于H．证明BB′∥OA，求出BH即可解决问题．【解答】解：如图，作BH⊥OA于H．∵A（1，0），△AOB，△ABB′都是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝BB′＝1，∠OAB＝∠ABB′＝60°，∴BB′∥OA，∵BH⊥OA，∴OH＝AH＝，BH＝OH＝，∴B′（，），故选：C．【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（4分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②③【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．9．（4分）已知二次函数的顶点坐标为（2，﹣1），图象与x交于P，Q两点，且PQ＝6，若图象经过（1，a），（3，b），（﹣1，c），（﹣3，d）四个点，则a，b，c，d中值一定为正数的是（）A．a B．b C．c D．d【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），此函数图象与x轴相交于P、Q 两点，且PQ＝6，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），∵此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，∴a＜0，b＜0，c＝0，d＞0，故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b＝a+1或b＝﹣（a+1），当b＝a+1时，﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a＝0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，∴，∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，则a＝1．【分析】根据方程的根的定义把x＝﹣1代入方程，计算即可．【解答】解：∵x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，∴（﹣1）2﹣a＝0，解得，a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的一般步骤、方程的根的定义是解题的关键．12．（4分）不等式组的解集是x＜﹣1．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＜2，由②得：x＜﹣1，则不等式组的解集为x＜﹣1．故答案为：x＜﹣1．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．13．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AD⊥DE，BD＝5，DE＝3，则BE的长是2．【分析】根据中心对称的性质得到：AB＝DE＝3，∠DAB＝∠ADE＝90°，在直角△ABD中利用勾股定理求得AD＝4，则CD＝AC＝2；然后在直角△DCE最后再次利用勾股定理求得CE的长度，则BE＝2CE．【解答】解：根据中心对称的性质得到：AB＝DE＝3，∠DAB＝∠ADE＝90°，DC＝AC ，EC＝BC．在直角△ABD中，BD＝5，AB＝3，根据勾股定理，得AD＝＝＝4，则CD＝AC＝2．在直角△DCE中，CE＝＝＝．所以BE＝2CE＝2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了勾股定理，中心对称．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．14．（4分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是﹣3．【分析】直接利用二次函数的性质求解．【解答】解：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k时，y有最小值h，当a＜0时，x＝k时，y有最大值h．15．（4分）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（4，2）．【分析】画出平面直角坐标系，作出线段AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）．故答案为（4，2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．16．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为或y＝﹣+﹣．【分析】设抛物线解析式后利用平行四边形的性质以及抛物线的对称轴可得出A（4，a+b+c﹣4），在利用D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）和对称轴为直线x＝4可列出方程，得到牌抛物线解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC，BD互相平分且O'为AC，BD的中点，又因为B（1，m），D（7，1），所以，所以抛物线对称轴为直线x＝4，过点A作AE⊥直线x＝1于点E，因为AE＝3，AB＝5，由勾股定理可得“，又因为B（1，m），所以A（4，m﹣4）或（4，m+4），因为B在抛物线上，所以B（1，a+b+c），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4），根据抛物线经过点D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4）且对称轴为直线x ＝4可列方程为：或，解得：或．故抛物线的解析式为：或y＝﹣+﹣．【点评】本题重点利用平行四边形的性质和二次函数的性质的一道综合应用题，能够准确画出图象是解题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（6分）解方程：2x2＝4x﹣1【分析】根据公式法即可求出答案．【解答】解：原方程化为：2x2﹣4x+1＝0，∴a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴△＝16﹣8＝8，∴x＝＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18．（8分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（8分）如图，在⊙O中，若＝，且AD＝3，求CB的长度．【分析】根据＝，得到＝，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到CB＝AD．【解答】解：∵＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴CB＝AD＝3．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．20．（8分）如图，在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，△OAB旋转得到△OA'B′，观察图形并回答问题：（1）请将作图过程补充完整；并说明△OAB是如何旋转得到△OA'B'．（2）填空：△OAA′的形状是等腰直角三角形．【分析】（1）首先判断出旋转角是90°，作出点B的对应点B′即可．（2）利用勾股定理的逆定理证明∠AOA′＝90°即可．【解答】解：（1）如图，△OA'B'即为所求．观察图象可知，△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'．（2）△AOA′是等腰直角三角形．理由：∵OA＝OA′＝5，AA′＝5，∴AO2+OA′2＝AA′2，∴∠AOA′＝90°，∴△AOA′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（8分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）求AB的长度和点D的坐标；（2）请你写出一种平移方法，使抛物线经过平移后与坐标轴只有两个交点．（不需证明）【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为两点式和顶点式，分别求得点A、B、D的坐标；（2）若要与坐标轴只有两个交点，只需抛物线与x轴相切即可，最简单的办法直接往上平移4个单位．【解答】解：（1）由y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）得到：A（﹣3，0），B（1，0），则AB＝|﹣3﹣1|＝4．由y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4得到：D（﹣1，﹣4）．（2）若要抛物线与坐标轴只有两个交点，抛物线与x轴相切即可．将抛物线向上平移4个单位即可，此时抛物线的解析式为y＝（x+1）2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变为顶点式；（2）若与对称轴只有两个交点，只能相交．22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0．其中m、n是常数．（1）若m＝n+3，试判断该一元二次方程根的情况；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点（m，n）关于原点的对称点在直线y＝x+2上，求m的值．【分析】（1）进行判别式的值得到Δ＝m2﹣4×2n，把m＝n+3代入后变形得到Δ＝（n ﹣1）2+8，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，从而根据判别式的意义得到方程根的情况；（2）利用判别式的意义得到m2﹣8n＝0，再利用关于原点对称的点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得到﹣n＝﹣m+2，即n＝m﹣2，消去n得到m2﹣8（m﹣2）＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）∵m＝n+3，∴Δ＝m2﹣4×2n＝（n+3）2﹣8n＝n2﹣2n+9＝（n﹣1）2+8，而（n﹣1）2≥0，∴（n﹣1）2+8＞0，即Δ＞0，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）根据题意得Δ＝m2﹣4×2n＝0，∵点（m，n）关于原点的对称点为（﹣m，﹣n），∴﹣n＝﹣m+2，即n＝m﹣2，把n＝m﹣2代入m2﹣8n＝0得m2﹣8（m﹣2）＝0，整理得m2﹣8m+16＝0，解得m1＝m2＝4，即m的值为4．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，连接BM．（1）∠BCM＝105°，连接BN，则BN的长是．（2）求证：AC⊥BM；（3）连接AN，求AN的长．【分析】（1）由旋转的性质可得BC＝CN，∠BCN＝60°＝∠ACM，AC＝CM，可得∠BCM＝∠BCA+∠ACM＝105°，△BCN是等边三角形，即可求解；（2）可证△ACM是等边三角形，可得AM＝CM，可证BM垂直平分AC，可得结论；（3）连接AN，并延长AN交CM于H，可证AH垂直平分CM，可求NH和AH的长，即可求解．【解答】解：（1）连接BN，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝2，∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，∴BC＝CN，∠BCN＝60°＝∠ACM，AC＝CM，∴∠BCM＝∠BCA+∠ACM＝105°，△BCN是等边三角形，∴BN＝BC＝，故答案为：105°，；（2）连接AM，∵AC＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM＝CM，又∵BC＝BA，∴BM垂直平分AC，∴BM⊥AC；（3）连接AN，并延长AN交CM于H，如图，∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，∴CA＝CM＝2，CN＝MN＝CB＝AB＝，∠ACM＝60°，∠CNM＝∠CBA＝90°，∴△ACM为等边三角形，∴AC＝AM，而NC＝NM，∴AH垂直平分CM，∴CH＝NH＝CM＝1，AH＝CH＝，∴AN＝AH﹣NH＝﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形．24．（14分）某企业生产一种新产品，每件成本50元．（1）由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y1（件）与月份x（月）满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量y2（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．①分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；②已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x （1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．（2）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时，按整月计算）．为了出售去年积压的4000件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回拢资金并确保获利，企业决定降价销售，每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50件，且要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？【分析】（1）设出一次函数与二次函数解析式，利用待定系数法求出即可；（2）利用获得的利润＝（每件产品的利润﹣额外支出的杂费）×月销售量，列出函数分段对比即可；（3）把两种方案分别计算比较结果即可．【解答】解：（1）设y1＝kx+b，把（1，600）（4，450）代入解析式得，，解得，∴y1＝﹣50x+650；把x＝6代入y1得y1＝﹣50×6+650＝350；设y2＝a（x﹣6）2+350，把（10，430）代入y2得430＝a（10﹣6）2+350，得a＝5，∴y2＝5（x﹣6）2+350．（2）设所获得的利润为W，当1≤x≤6时，W＝（60+x﹣50﹣x）（﹣50x+650）＝﹣100（x﹣4）2+8100；在4月份时，获得的最大利润为8100元；当7≤x≤12时，W＝[5（x﹣6）2+350]（60+6×﹣50﹣×6）＝110（x﹣6）2+7700，∵y随x增大而增大，∴当x＝12时，获得的利润最大，最大利润为110×（12﹣6）2+7700＝11660元；综上所知12月获得的利润最大，这个最大值为11660元．（3）设降价m元销售，所获得的利润为W，由题意得W＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×＝﹣4000m+80000﹣6000×，∵要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，∴≤5，∴9≤m＜20，4000能被350+50m整除且符合题意，m可以取9、13，当m＝9，W＝14000；当m＝13，W＝4000；答：当降价9元时，利润最大为14000元．【点评】此题综合考查了二次函数的实际应用，以及利用函数解决方案选择的问题，注意分段函数的运用．25．（14分）如图1，抛物线的顶点为P（1，9），与x轴的交于点A和点B（4，0）．（1）M为x轴上方抛物线上一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO ，求点M的坐标；（2）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新的抛物线为：y＝ax2+bx+h，E，F是y ＝ax2+bx+h在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．【分析】（1）由∠COB＝2∠CBO得到∠ACO＝∠CAO，则OC＝OA＝2，进而求解；（2）点E（m，n），则点F的坐标为（n，m），则，得到n＝3﹣m ，求出h＝m2﹣2m+n＝（m﹣）2+，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B的坐标代入上式得：0＝a（4﹣1）2+9，解得a＝﹣1，故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8①，由函数的对称性知，点A（﹣2，0），设函数对称轴交x轴于点H，连接AC，根据函数的对称性知，AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，∵∠COB＝2∠CBO＝∠CAO+∠ACO，∴∠ACO＝∠CAO，则OC＝OA＝2，而OH＝1，则Rt△COH中，CH＝＝＝，故点C的坐标为（1，），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+②，联立①②并解得，故点M的坐标为（﹣2，2﹣）；（2）∵新抛物线是将原抛物线沿对称轴平移，则新抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+h，∵△GEO≌△HOF，则OH＝EG，FH＝OG，设点E（m，n），则点F的坐标为（n，m），将点E、F的坐标代入抛物线表达式得，①﹣②并整理得：（n﹣m）（m+n﹣3）＝0，由题意得：m≠n，故m+n＝3，即n＝3﹣m，∵m≠n，故m≠n≠，∵n＞0，m＞0，故n＝3﹣m＞0，故0＜m＜3且m≠，由①得：h＝m2﹣2m+n＝m2﹣2m+3﹣m＝（m﹣）2+，∵1＞0，故该抛物线开口向上，当m＝时，y取得最小值，最小值为，即h＞，当x＝3时，y取得最大值，最大值为3，故＜h＜3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的平移、三角形全等等，综合性强，难度较大．。
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2020-2021学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．方程（x﹣1）2＝4的根是（）A．x＝3B．x＝1C．x1＝3，x2＝﹣3D．x1＝3，x2＝﹣1 4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，则（）A．m＞4B．m≥4C．m＜4D．m＝45．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝3C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5 6．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm7．下列判断正确的是（）A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的矩形都相似8．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0B．2x2﹣3x+1＝0C．2x2+3x﹣1＝0D．2x2﹣3x﹣1＝0 9．如图，AB∥CD∥EF，若BF＝3DF，则的值是（）A．B．2C．D．310．关于x的方程x2﹣（m2﹣1）x+2m＝0的两个根互为相反数，则m的值是（）A．m＝±1B．m＝﹣1C．m＝1D．m＝0二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．当x时，代数式有意义．12．若，则＝．13．化简＝．14．若x＝0是关于x的一元二次方程（k+2）x2+5x+k2﹣4＝0的一个根，则k＝．15．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为．16．如图，大街上有两盏路灯AB、CD，CD比AB高1米，晚上小张走到两盏路灯之间，且B、F、D成一直线时，他右边的影子FG为3米，左边的影子FH长2米，又知自己身高1.6米，两盏路灯之间的距离为15米，则路灯AB高米．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）．18．（8分）解方程：（x﹣3）2﹣2x+6＝0．19．（8分）如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝，这个公式叫“海伦公式”．若a＝5，b＝6，c＝7，利用以上公式求三角形的面积S．20．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2．（2）以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，若点M（a，b）在线段AC上，请直接写出点M经过（1）的位似变换后的对应点M'的坐标．21．（8分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE ＝3，求证：△ADE∽△ACB．22．（10分）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）若要围成养鸡场的面积为160m2，则养鸡场的长和宽各为多少m？（2）围成养鸡场的面积能否达到180m2？请说明理由．23．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．24．（12分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10．线段BC所在直线以每秒2个单位的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行．（1）当线段BC所在直线运动到AB的中点D时，△ADE的周长为；（2）记运动时间为x秒时，该直线在△ABC内的部分DE的长度为y，①求出y关于x的函数关系式；②过点D作DF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G，当x取何值时，四边形DFGE的面积取到最大值，并求出最大值．25．（14分）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，连接PC，过A作AQ∥PC交PD于点Q．（1）证明：PC＝2AQ；（2）已知AD2＝PD•DE，AB＝10，AD＝12，求BF的长；（3）当点F为BC的中点时，求的值．2020-2021学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用最简二次根式的定义得出答案．【解答】解：A、＝，故不是最简二次根式，不合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、＝4，故不是最简二次根式，不合题意；D、＝，故不是最简二次根式，不合题意；故选：B．2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：A、＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；B、没有意义，不可以计算，原计算错误，故此选项不符合题意；C、＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；D、＝3，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．3．方程（x﹣1）2＝4的根是（）A．x＝3B．x＝1C．x1＝3，x2＝﹣3D．x1＝3，x2＝﹣1【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：∵（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得x1＝3，x2＝﹣1，故选：D．4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，则（）A．m＞4B．m≥4C．m＜4D．m＝4【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×m＜0，∴m＞4．故选：A．5．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝3C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5【分析】常数项移到方程右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，则x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，故选：A．6．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、2×5≠3×4，故四条线段不成比例；B、4.4×1.1≠3.3×2.2，故四条线段不成比例；C、0.5×5≠2.5×3，故四条线段不成比例；D、2×2＝4×1，故四条线段成比例．故选：D．7．下列判断正确的是（）A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的矩形都相似【分析】根据对应边成比例，对应角相等的图形叫做相似图形对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、所有的直角三角形只有直角相等，所以不一定都相似，故本选项错误；B、所有的等腰直角三角形都相似正确，故本选项正确；C、所有的菱形只有对应边成比例，对应角不一定相等，所以，不一定相似，故本选项错误；D、所有的矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误．故选：B．8．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0B．2x2﹣3x+1＝0C．2x2+3x﹣1＝0D．2x2﹣3x﹣1＝0【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．【解答】解：A．此方程的解为x＝，不符合题意；B．此方程的解为x＝，不符合题意；C．此方程的解为x＝，符合题意；D．此方程的解为x＝，不符合题意；故选：C．9．如图，AB∥CD∥EF，若BF＝3DF，则的值是（）A．B．2C．D．3【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，故选：B．10．关于x的方程x2﹣（m2﹣1）x+2m＝0的两个根互为相反数，则m的值是（）A．m＝±1B．m＝﹣1C．m＝1D．m＝0【分析】设这两根是α、β，根据根与系数的关系及相反数的定义可知：α+β＝m2﹣1＝0，进而可以求出m的值．【解答】解：∵方程x2﹣（m2﹣1）x+2m＝0的两个根是互为相反数，设这两根是α、β，则α+β＝m2﹣1＝0，解得：m＝±1，但当m＝1时，原方程为：x2+2＝0，方程没有实数根，故m＝﹣1．故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．当x≥3时，代数式有意义．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出即可．【解答】解：当x﹣3≥0时，即x≥3时，代数式有意义．故答案为：≥3．12．若，则＝．【分析】根据合比性质：＝⇒＝，可得答案．【解答】解：，由合比性质，得＝＝，故答案为：．13．化简＝．【分析】分母有理化即可．【解答】解：＝＝．故答案是：．14．若x＝0是关于x的一元二次方程（k+2）x2+5x+k2﹣4＝0的一个根，则k＝2．【分析】把x＝0代入方程计算，检验即可求出k的值．【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣4＝0，（k﹣2）（k+2）＝0，可得k﹣2＝0或k+2＝0，解得：k＝2或k＝﹣2，当k＝﹣2时，k+2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；则k的值为2．故答案为：2．15．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为4．【分析】根据三角形的重心的概念得到BD＝DC＝BC＝6，AG＝2GD，证明△AGE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴BD＝DC＝BC＝6，AG＝2GD，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，∴＝，即＝，解得，GE＝4，故答案为：4．16．如图，大街上有两盏路灯AB、CD，CD比AB高1米，晚上小张走到两盏路灯之间，且B、F、D成一直线时，他右边的影子FG为3米，左边的影子FH长2米，又知自己身高1.6米，两盏路灯之间的距离为15米，则路灯AB高6米．【分析】首先根据已知条件求证出△FEG∽△BAG，△FEH∽△DCH，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯AB的高度．【解答】解：设BH＝xm，则DH＝（15﹣x）m，∵AB⊥BD，EF⊥BD，DC⊥BD，∴△FEG∽△BAG，△FEH∽△DCH，∴＝，＝，即＝，＝，解得：AB＝6．答：路灯AB高为6米，故答案为：6．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）．【分析】利用二次根式的乘除法则和二次根式的性质计算．【解答】解：原式＝﹣﹣2＝2﹣﹣2＝﹣2．18．（8分）解方程：（x﹣3）2﹣2x+6＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵（x﹣3）2﹣2x+6＝0，∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，则x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝3，x2＝5．19．（8分）如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝，这个公式叫“海伦公式”．若a＝5，b＝6，c＝7，利用以上公式求三角形的面积S．【分析】直接求出p的值，进而代入S＝，求出答案．【解答】解：当a＝5，b＝6，c＝7时，p＝＝＝9，＝＝．20．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2．（2）以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，若点M（a，b）在线段AC上，请直接写出点M经过（1）的位似变换后的对应点M'的坐标．【分析】（1）把点A、B、C点的横纵坐标分别乘以﹣2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系写出点M'的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）M'（﹣2a，﹣2b）．21．（8分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE ＝3，求证：△ADE∽△ACB．【分析】首先求出AD，AE的长，再求出出AD：AC＝AE：AB，又因为∠A＝∠A，根据相似三角形的判定可证得△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，∵，，∴又∠A＝∠A，∴ΔADE∽ΔACB．22．（10分）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）若要围成养鸡场的面积为160m2，则养鸡场的长和宽各为多少m？（2）围成养鸡场的面积能否达到180m2？请说明理由．【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；（2）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案．【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝160，整理得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8，x2＝10，当x1＝8时，34+2﹣2x＝36﹣2×8＝20＞19，不符合题意，舍去，当x2＝10时，34+2﹣2x＝36﹣2×10＝16＜19，符合题意，答：养鸡场的长为16米，宽为10米．（2）围成养鸡场的面积不能达到180m2．理由如下：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝180，整理得：x2﹣18x+90＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣18）2﹣4×1×90＜0．∴方程无解．答：围成养鸡场的面积不能达到180m2．23．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．【分析】（1）先计算判别式的值，再配方得到△＝（m﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式得到x1＝1，x2＝m﹣2，则m﹣2＞6，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣2m+1﹣4m+8＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，∴无论m取何值，方程总有实数根；（2）由求根公式得x＝＝，∴x1＝1，x2＝m﹣2，∵方程有一根大于6，∴m﹣2＞6，解得m＞8．24．（12分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10．线段BC所在直线以每秒2个单位的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行．（1）当线段BC所在直线运动到AB的中点D时，△ADE的周长为12；（2）记运动时间为x秒时，该直线在△ABC内的部分DE的长度为y，①求出y关于x的函数关系式；②过点D作DF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G，当x取何值时，四边形DFGE的面积取到最大值，并求出最大值．【分析】（1）根据三角形中位线定理分别求出AD、AE、DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）①根据题意用x表示出AD，证明ΔADE∽ΔABC，根据相似三角形的性质列出比例式，求出y关于x的函数关系式；②根据勾股定理的逆定理得到∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，根据三角形的面积公式求出AH，根据相似三角形的性质用x表示出DF，根据二次函数的性质计算，求出四边形DFGE的面积的最大值．【解答】解：（1）∵DE∥BC，D为AB的中点，∴AD＝AB＝4，AE＝AC＝3，DE＝BC＝5，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝12，故答案为：12；（2）①由题意得，BD＝2x，∵AB＝8，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2x，∵DE∥BC，∴ΔADE∽ΔABC，∴＝，即＝，解得，y＝﹣x+10（0≤x≤4）；②∵AB2+AC2＝82+62＝100，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，∵S△ABC＝×BC×AH＝×AB×AC，∴×10×AH＝×8×6，解得，AH＝4.8，∵DF∥AH，∴ΔBDF∽ΔBAH，∴＝，即＝，解得，DF＝x，∴四边形DFGE的面积＝DF×DE＝x×（﹣x+10）＝﹣3x2+12x＝﹣3（x﹣2）2+12，则当x＝2时，四边形DFGE的面积取最大值，最大值为12．25．（14分）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，连接PC，过A作AQ∥PC交PD于点Q．（1）证明：PC＝2AQ；（2）已知AD2＝PD•DE，AB＝10，AD＝12，求BF的长；（3）当点F为BC的中点时，求的值．【分析】（1）判断出∠AEQ＝∠CDP，进而得出ΔAEQ∽ΔCDP，即可得出结论；（2）先判断出ΔADP∽ΔEDA，得出∠DAP＝∠DEA，进而判断出∠DEA＝∠AFB，再判断出ΔDAE∽ΔABF，即可得出结论；（3）先判得出ΔADE≌ΔBGE（AAS），得出AD＝BG，进而判断出GC＝BG+BC＝2AD，再判断出AD＝2BF，BG＝2BF，进而判断出，判断出ΔAPD∽ΔFPG，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AQ∥PC，∴∠AQE＝∠CPD，由题意知，AE∥CD，，∴∠AEQ＝∠CDP，∴ΔAEQ∽ΔCDP，∴，∴PC＝2AQ；（2）∵AD2＝PD•DE，即，∵∠ADP＝∠EDA，∴ΔADP∽ΔEDA，∴∠DAP＝∠DEA，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠AFB，∴∠DEA＝∠AFB，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠ABF＝90°，∴ΔDAE∽ΔABF，∴，即，∴；（3）如图，延长DE交CB的延长线于点G，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BGE，∵∠AED＝∠BEG，∴ΔADE≌ΔBGE（AAS），∴AD＝BG，又AD＝BC，∴GC＝BG+BC＝2AD，又点F为BC的中点，∴BC＝2BF，∴AD＝2BF，BG＝2BF，∴GF＝BG+BF＝3BF，∴，由题意知，AD∥GC，∴ΔAPD∽ΔFPG，∴．。