高考理科数学复习学案每日一题规范练(第二周)

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高考数学二轮复习每日一题规范练(第一周)文

每日一题规范练(第一周)[题目1] (本小题满分12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，满足a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 24＝a 2a 9，a 3＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧（7＋d ）2＝（7－d ）（7＋6d ），a 1＋2d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)由(1)得b n ＝a n ·a n ＋1＝(3n －2)(3n ＋1)，所以1b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，S n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1. [题目2] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，又T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得函数f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z)．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，其单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤3π8，π2.[题目3] (本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：(1)别抽取的挑战者的人数；(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．解：(1)因为样本容量与总体个数的比是6108＝118，所以从年龄在[7，20)抽取的人数为118×18＝1，从年龄在[20，40)抽取的人数为118×54＝3，从年龄在[40，80]抽取的人数为118×36＝2，所以从年龄在[7，20)，[20，40)，[40，80]中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2. (2)设从[7，20)中抽取的1人为a ，从[20，40)中抽取的3人分别为b ，c ，d ，从[40，80]中抽取的2人为e ，f .从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个，每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件A 为“2人来自同一年龄组”，包含(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，(e ，f )，共4个基本事件，则P (A )＝415，故2人来自同一年龄组的概率为415.[题目4] (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点．又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . 所以四边形BCDE 为平行四边形，因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE .因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC .[题目5] (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0. (1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由． (1)证明：因为k 1，k 2存在，所以x 1x 2≠0，因为m ·n ＝0，所以x 1x 24＋y 1y 2＝0，所以k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)解：①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0，(*) 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1，(**)由(*)、(**)联立，得|x 1|＝2，|y 1|＝22. 所以S △POQ ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0， Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)＞0，x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.因为x 1x 24＋y 1y 2＝0，所以x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1，满足Δ＞0.所以S △POQ ＝12·|b |1＋k2·|PQ |＝12|b |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2|b |·4k 2＋1－b24k 2＋1＝2|b |·b 22b2＝1.综上可知，△POQ 的面积S 为定值．[题目6] (本小题满分12分)已知函数g (x )＝ax －a －ln x ，f (x )＝xg (x )，且g (x )≥0.(1)求实数a 的值；(2)证明：存在x 0，f ′(x 0)＝0且0＜x 0＜1时，f (x )≤f (x 0)． (1)解：g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝a －1x，x ＞0.因为g (x )≥0，且g (1)＝0，故只需g ′(1)＝0. 又g ′(1)＝a －1，则a －1＝0，所以a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x，显然当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，此时g (x )在(0，1)上单调递减；当x ＞1，g ′(x )＞0，此时g (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以x ＝1是g (x )的唯一的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0. 综上，所求a 的值为1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x .设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＞0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．又h (e －2)＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞有唯一零点1. 当x ∈(0，x 0)时，h (x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )＜0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．则x ＝x 0是f (x )在(1，1)的最大值点，所以f (x )≤f (x 0)成立．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求实数a 的值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a )＞0，即a ＞0， t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8－8（1－4a ）＝32a ＝8，所以a ＝2.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R. (1)解不等式f (x )＜|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )＜1.(1)解：因为f (x )＜|x |＋1，所以|2x －1|＜|x |＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜12，1－2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＜－x ＋1，得12≤x ＜2或0＜x ＜12或无解．故不等式f (x )＜|x |＋1的解集为{x |0＜x ＜2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1| ＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1| ＝2|x －y －1|＋|2y ＋1| ≤2×13＋16＝56＜1.所以，对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，f (x )＜1成立．。

高考理科数学复习学案每日一题规范练(第一周)

每日一题规范练(第一周)星期一 2020年3月23日[题目1] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值．解：(1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12，所以－cos 2A2＋sin 2A2＝12，则cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)S △ABC ＝12bc sin A ＝3，所以bc ＝4，又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2＋bc ，所以(b ＋c )2＝16，故b ＋c ＝4.星期二 2020年3月24日[题目2] 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列，数列{a n }的前10项和为45.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得，a 24＝a 1·a 8，(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )，所以a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d .因为d ≠0，所以a 1＝9d .由数列{a n }的前10项和为45，得S 10＝10a 1＋45d ＝45，则90d ＋45d ＝45，故d ＝13，a 1＝9×13＝3.因此数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋83.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝9（n ＋8）（n ＋9）＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋8－1n ＋9.所以T n ＝9(19－110＋110－111＋111－112＋…＋1n ＋8－1n ＋9)＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫19－1n ＋9＝1－9n ＋9＝nn ＋9. 星期三 2020年3月25日[题目3] 某市在2019年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N (120，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.997 4. 解：(1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)．(2)由于1310 000＝0.001 3，根据正态分布得P (120－3×5＜X ＜120＋3×5)＝0.997 4.故P (X ≥135)＝1－0.997 42＝0.001 3，即0.001 3×10 000＝13.所以前13名的成绩全部在135分以上．根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10(人)．所以X 的取值为0，1，2，3.所以P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130.所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 P1612310130所以E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.星期四 2020年3月26日[题目4] 如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若二面角P-AC-E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC .因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝ 2. 所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .(2)解：如图，以C 为原点，取AB 的中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)．设P (0，0，a )，(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2. 所以CA →＝(1，1，0)，CP →＝(0，0，a )，CE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2.取m ＝(1，－1，0)，则m ·CA →＝m ·CP →＝0，所以m ＝(1，－1，0)为平面PAC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面EAC 的法向量，则n ·CA →＝n ·CE →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－az 2，y ＝az 2.取z ＝－2，得一个法向量n ＝(a ，－a ，－2)．依题意|cos 〈m ，n 〉|＝2a 2·2a 2＋4＝aa 2＋2＝63，则a ＝2.于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1，1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →·n 〉|＝PA →·n |PA →|·|n |＝23，故直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23. 星期五 2020年3月27日[题目5] 设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线．(1)解：由题意知，4a ＝46，a ＝ 6. 又e ＝22，所以c ＝3，b ＝3，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明：当直线AB ，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减，得x 216＋y 213－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 226＋y 223＝0.所以x 21－x 226＝－y 21－y 223，（x 1－x 2）（x 1＋x 2）6＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）3，所以y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－36，y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－36.则k ·k OM ＝－12，所以k OM ＝－12k .同理可得k ON ＝－12k. 所以k OM ＝k ON ，从而点O ，M ，N 三点共线．星期六 2020年3月28日[题目6] 已知函数f (x )＝(a －x )e x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调区间及极值；(2)设g (x )＝(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －m t 2，当a ＝1时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使方程f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的最小值．解：(1)由f (x )＝(a －x )e x －1，得f ′(x )＝(a －1－x )e x . 令f ′(x )＝0，则(a －1－x )e x ＝0，所以x ＝a －1. 当x ∈(－∞，a －1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(a －1，＋∞)时，f ′(x )＜0， f (x )的单调递增区间为(－∞，a －1)，单调递减区间为(a －1，＋∞)．所以当x ＝a －1时，函数f (x )有极大值且为f (a －1)＝e a －1－1，f (x )没有极小值．(2)当a ＝1时，由(1)知，函数f (x )在x ＝a －1＝0处有最大值f (0)＝e 0－1＝0.又因为g (x )＝(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －m t 2≥0，所以方程f (x 1)＝g (x 2)有解，必然存在x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)＝0，所以x ＝t ，ln x ＝mt，等价于方程ln x ＝mx 有解，即m ＝x ln x 在(0，＋∞)上有解．记h (x )＝x ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝ln x ＋1，令h ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以当x ＝1e 时，h (x )min ＝－1e ，所以实数m 的最小值为－1e.星期日 2020年3月29日[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1－2sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－2cos θ＝1ρ，求曲线C 上的点到直线l的最大距离．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos αy ＝1－2sin α，消去α，得(x －3)2＋(y －1)2＝4，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4，化简得ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.(2)由sin θ－2cos θ＝1ρ，得ρsin θ－2ρcos θ＝1，即2x －y ＋1＝0.圆心C (3，1)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|2×3－1＋1|5＝655，所以C 上点到直线的最大距离为d ＋r ＝655＋2. 2．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |，m ，n ∈(0，＋∞)．(1)若m ＝2，n ＝3，求不等式f (x )＞5的解集； (2)若f (x )≥1恒成立，求2m ＋n 的最小值．解：(1)若m ＝2，n ＝3，则f (x )＝|x ＋2|＋|2x －3|.①当x ≤－2时，－x －2－2x ＋3＞5，得x ＜－43，所以x ≤－2.②当－2＜x ＜32时，x ＋2－2x ＋3＞5，得x ＜0，所以－2＜x ＜0.③当x ≥32时，x ＋2＋2x －3＞5，得x ＞2，所以x ＞2.综上，不等式解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)|x ＋m |＋|2x －n |＝|x ＋m |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2≥|x ＋m |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －n 2≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋n 2＝m ＋n2.依题意，有m ＋n2≥1，即2m ＋n ≥2.故2m ＋n 的最小值为2.。

近年高考数学二轮复习每日一题规范练(第一周)文(2021学年)

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每日一题规范练（第一周)[题目1] （本小题满分1２分)(201７·北京卷）在△ABC 中，∠Ａ＝60°,c =错误!a .(1)求sin C 的值；（2)若a ＝７,求△ABC 的面积．解：(1)根据正弦定理得错误!＝错误!,所以si ｎ C ＝c ·sin A a＝错误!s ｉn 60°=错误!． (2)当a =7时,c =错误!a ＝3。

因为s ｉn C =错误!错误!,c <a ,所以c ｏs Ｃ=＼r (1－ｓin ２C )=错误!.在△ABC 中,sin Ｂ＝sin [π-(A +Ｃ）]=sin(A +C )＝si ｎ A ·cos C +cos A ·sin C =错误!×＼f (1３,１4)＋错误!×错误!＝错误!，所以Ｓ△ABC ＝＼f (１，２)ａc ｓin Ｂ＝12×7×3×错误!错误!=6错误!. ［题目２］ (本小题满分12分)已知{a n }是等差数列,｛ｂn ｝是各项均为正数的等比数列，且b １＝ａ1＝1，b 3＝a 4,b 1+b 2+b 3＝a 3+ａ４。

(导学号５5410152)(1)求数列｛a n },{ｂn }的通项公式；(2)设c ｎ＝a n b n ,求数列｛c ｎ}的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为ｄ，{b ｎ｝的公比为q ，依题意得错误!解得d =１,q =2。

2020年高考数学(理)一轮刷题练习：第2章函数、导数及其应用2-6a

E 课后作业夯关［基础送分提速狂刷练］、选择题1. (2018安阳检测)若点(a , b)在y = lg x 图象上，a ^ 1，则下列点也在此图象上的是( )2 .已知函数 f(x)= 2+ log 2x , x € [1,2]，则函数 y =f(x) + f(x 2)的值域为( )"11A . [4,5] B. 4,㊁答案 B解析 y = f(x) + f(x 2)= 2+ log 2x + 2 + log 2x 2=4+ 3log 2x ,注意到为 11 使得 y = f(x) + f(x 2)有意义，必有 Kx 2< 2,得 1 <x < 2,从而 4W yW^. 故选B.3. (2018太原调研)已知函数f(x) = -log 2x ,若实数x o 是方程f(x)= 0 的解，且 0<X 1<x o ，则 f(X 1)( )A .恒为负值B .等于0C .恒为正值D .不大于0答案 CAbia )10 ,J Cb + 1 i<) 答案 D解析当x = a 2时,lg x 图象上.故选D.B . (10a,1- b) D . (a 2,2b)y = lg a 2=2lg a = 2b ,所以点(a 2,2b)在函数 yC. 4,号D . [4,7](1解析作出jy= ( y )和y—log 2ji'的图象，如图* 由图可知有00]0o 时.化八文1 )>0_故选C.2x答案 B2x解析函数y =亦两的定义域为｛X |X M 0且x ^±｝，故排除A ; v—2X 2X 「f(—X )=In |X |= —「In |X|= — f(x)，二排除C；4当X = 2时，y 「n2>0,故排除D.故选B.5. (2015 湖南高考)设函数 f(x) = In (1 + x) — In (1 -x),则 f(x)是 () A .奇函数，且在(0,1)上是增函数 B .奇函数，且在(0,1)上是减函数 C .偶函数，且在(0,1)上是增函数 D .偶函数，且在(0,1)上是减函数4. (2017河南二模)函数y = 胡的图象大致为()答案A解析解法一：函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x € (- 1,1), f(—x)= In (1 — x) — In (1 + x) = — f(x)，则 f(x)是奇函数.当 x € (0,1)时，f ‘ (x)112 、 =' + = 2>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.综上，故选 I + x I — x I — x A.解法二：同解法一知f(x)是奇函数. 1+ x 2 — 1 — x 当 x € (0,1)时，f(x)= In =In 1 x = In 1 — x1 — x2T y = (x € (0,1))是增函数，y = In x 也是增函数，二 f(x)在(0,1)1 — x 上是增函数.综上，故选A.6 . (2018包头模拟)已知函数f(x) = Iog 1 2 — -,—1上是增函数，则实数a 的取值范围是( A . [ — 1 ,+x ) C. — 1, 1 答案 B解析f(x)= Iog 1 (x 2— ax — a)在—^,—1上是增函数，说明内 2 -B.7. (2017安徽安庆二模)已知函数y = f(x)是定义在R 上的偶函数，当 x € (— ^,0］时,f(x)为减函数，若 a =f(20.3),b = f(log 1 4),c = f(log 25), 2 则a , b , c 的大小关系是()A . a>b>cB . c>b>aC . c>a>bD . a>c>b(x 2 — ax — a)在B. _- 1, 21]层函数K x) = x 2— ax — a 在— 1=,—2上是减函数且K x )>o 成立，只 a 1需对称轴x = 2》—2且K x)min =- 们解得a € — 1, 2，故选答案B解析函数y= f(x)是定义在R上的偶函数，当x€ (―乂，0]时，f(x)为减函数，二f(x)在[0 ,+乂)上为增函数，T b= f(log1 4) = f( —2)2=f(2), 1<20.3<2<log25,A c>b>a,故选B.8. (2017 广东模拟)已知函数f(x) = (e x—e—x)x, f(log s x) + f(log l5x)< 2f(1)，则x的取值范围是()A. 5, 1B. [1,5]C. 5 5D.；-汽5 'u [5,+x )答案C解析丁f(x) = (e x—e x)x,••• f( —x) = —x(e—x—e x) = (e x—e—x)x= f(x)(x€ R)，二函数f(x)是偶函数.T f (x) = (e x—e x) + x(e x+ e x)>0 在(0,+ g)上恒成立.•••函数f(x)在(0,+工)上单调递增.T f(log5x) + f(log1 x)< 2f(1),5••• 2f(log5x)< 2f(1)，即f(log5x) < f(1),1「jlog5x|w 1，二5<x< 5.故选C.9. (2017 河北五校质监)函数y = log a(x + 3)—1(a>0，且a^ 1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2 = 0上，其中m>0, n>0,2 1则m的最小值为()厂 5 9A. 2 2B. 4C.2D.2答案D解析由函数y= log a(x + 3)—1(a>0，且a^ 1)的解析式知：当x =—2时，y=—1,所以点A的坐标为(一2,—1),又因为点A在直线 mx +ny + 2= 0上，所以一2m — n + 2= 0, 即卩 2m +n =2,又 m>0, 2 1 2m + n 2m + n n m 1 o 9n>0，所以一+—= + = 2 + — + — + + 2=,当且仅' m n m 2n m n 2 2 2 2 2 1 9 当m = n = §时等号成立，所以帝+石的最小值为㊁，故选D.ex10. (2017江西红色七校二模)已知函数f(x) = In =,若f e x f 2e \20163+ f 蔬丿+…+ f 歸3 = 504(a + b)，则a 2 + b 2的最小值为()A . 6B . 8C . 9D . 12 答案 B X (2X 2016)= 2016,等号.••• a 2 + b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11. (2018禅城区月考)已知函数f(x)= |lg x|,若0<a<b ,且f(a) =f(b),则2a + b 的取值范围是 ___________ .答案［2 2，+乂)解析画出y =|lg x|的图象如图：T 0<a<b ，且 f(a) = f(b),|lg a|= |lg b|且 0<a<1, b>1,「• — lg a = lg b ,「. ab = 1,二 2a + b >2 2ab = 2 2.解析 + b)=J2017 '+ f ex de — x) 2T f(x) + f(e —x) = In e —x + In x = In e 2= 2,二 504(a £ e £ 2ef而+ f 而2016e . 2e .2015e r2017 + f 2017 + f 2017 +…+ f 2016e 2017••• a + b = 4」a 2+ b 2,铲至2 = 8,当且仅当a = b = 2时取2016e + <2017+当2a = b时等号成立，••• 2a + b > 2 2.12 .函数 f(x) = log^/x \og\[2(2x)的最小值为 __________1答案—I1i解析显然 x>0,「. f(x) = log 2 x log 2(2X ) = 2log 2x log 2(4x 2) =|2x + 1|, x<1, log 2 x -m , x>1,若 f(xd = f(X 2)= f(x 3)(X 1 , X 2 , X 3 互不相等),且X 1 + X 2+ X 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为 _________ , 答案12gx (log 24 + 2log 2X )= Iog 2x + (gx)=Jog z x +1 [2--寸，当且仅V *54-113. (2017山西质检)已知函数f(x)= 解析1则由图知点(X i,O),(X2,O)关于直线x=—2对称，所以X i + X2=—1. 又1<X i + X2 + X3<8，所以2<X3<9.由f(x i) = f(X2)= f(x3)(x i, X2, X3 互不相等)，结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3 = log2(9-m),解得m= 1.14. (2017辽宁沈阳一模)已知函数f(X) = |log3X|,实数m, n满足0<m<n,且f(m) = f(n)，若f(x)在［m2,n］上的最大值为2,则m= ____ .答案9解析T f(x) = |log3x|，实数m, n 满足0<m<n,且f(m) = f(n)，二m<1<n,—log3m= log3n,「. mn= 1.T f(x)在区间［m2, n］上的最大值为2,函数f(x)在［m2,1)上是减函数，在(1, n］上是增函数，二—log3m2= 2 或log3n= 2.1若—log3m2= 2,则m=3,从而n= 3,此时log?n= 1,符合题意，n 1则m=3亍9.1若log3n= 2,则n = 9,从而m= 9,此时—log3m2=4,不符合题意.三、解答题15. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0) = 0,当x>0 时，f(x)= log1 x.2(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 解不等式f(x2—1)>—2.解（1）当x<zo时■—乂〉0,则y（—J?） = log*（—龙）.因为函数于（卫）是偶函数，所以f（—文）= /（』）= log 穆（一工）,所以函数/（工）的解析式为log*ur〉0, f（x）=<Q,x=Q.Llog| （―工），工<0.U⑵因为/（4） = log±4--2,/a）是偶函数，所以不等式/（^2-1）>-2转化为/（|r3-l|）> /（4）.又因为函数产（文）在（0,+乂）上是减函数，所以|F —1|<4,解得一75<^<^5,即不等式的解集为（一忌E116. 设x€ [2,8]时，函数f（x）= 2log a（ax） log a（a2x）（a>0 且1）1的最大值是1,最小值是一8，求a的值.解=1由题意知 /（工〉=*（1。

高三数学下学期周练试题(复习班)(2021年整理)

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河北省定州市2017届高三数学下学期周练试题(复习班）一、选择题1．函数的值域为（ )A． B． C． D．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A。

2 B。

4 C. 6 D。

123．已知圆截直线所得弦的长度为4,则实数的值为( ) A。

B。

C。

D。

4．设，则的大小关系为( ）A。

B. C. D.5．已知集合，,，则( ）A． B．C． D．6．已知等差数列中, ,，则的值是（ )．A. 30 B。

15 C. 64 D。

317．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A。

B.C。

D。

8．若命题：是第一象限角；命题：是锐角，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件9．已知函数，若存在实数使得不等式成立,求实数的取值范围为（）A。

B.C。

D。

10．已知函数，若，则（ )A。

B。

C. D.11．已知全集，集合，,则（ )A。

B. C。

D。

12．已知,则的最小值为（ )A。

B。

C. D.二、填空题13．已知是虚数单位，若，则 __________．14．已知函数，若，则实数的取值范围是__________．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？"其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．16．已知函数，若在区间上单调递减，则的取值范围是_________．三、解答题17．若数列的前n项和满足.（1)求证:数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和。

高三数学下学期周练二理word版本

河南省正阳县第二高级中学2017-2018 学年下期高三理科周练（二）一 . 选择题：1. 设会集 A={x|x>1},B={a+2}.若，则实数 a 的取值范围是（）A.B.C.D.2. 复数满足，若复数对应的点为，则点到直线的距离为（ A ）（B ）（C ）（D ）3. 身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5 人排成高矮相间的一个队形，则不一样样的排法共有（）种 A ．12B． 16C．24D．324. 平面直角坐标系中，在直线 x=1，y=1 与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线下方地域的概率为（）．A ．B ．C ．D ．5. 若中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A ．y=±xB ．C ．D ．3sin 2x ＋ cos 2x － m 在 0， πx1＋ x26. 已知函数 f(x) ＝ 2上有两个零点x 1， x 2，则 tan2的值为 ()．A ． 3B3 C 3 D2 ．3 ． 2． 27. 已知实数 x ， y 满足，则的的最小值为（）．A ．1B ．C ．D ．48. 在中，为的中点，则A．6B．12C． D ．9. 某几何体三视图以以下列图，则该几何体的外接球2的表面积为 ()2A.B． C. D.主视图11俯视图10.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大合约数是一个伟大创举 . 这个伟大创举与我国古老的算法—“展转相除法”本质相同. 如图的程序框图即源于“展转相除法”，当输入时，输出的（）A．54B．9C．12D．1811.已知,若称使乘积为整数的数为劣数,则在区间内全部的劣数的和为（）A.2026B. 2046C. 1024D. 102212.若过点 P(a,a) 与曲线 f(x)=xlnx 相切的直线有两条 , 则实数a的取值范围是A、B、C、D、二 . 填空题：13.已知曲线C：，直线 l:x=6。

高考理科数学二轮复习练习：大题规范练1“17题～19题+二选一”46分练

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

最新高考数学一轮复习-第二周-每日一练【含答案】

第二周[周一]1．已知常数a∈R，直线l1：x＋ay－2＝0，l2：ax＋y＋1＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为直线l1：x＋ay－2＝0，l2：ax＋y＋1＝0，当l1∥l2×1＝a2，×1≠－2a，解得a＝±1，所以“a＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．2．(2023·长春模拟)已知点P为平面直角坐标系内的圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3,2)，现将坐标平面沿y轴折成2π3的二面角，使点A翻折至A′，则A′，P两点间距离的取值范围是()A.[13，35]B.[4－13，7]C.[4－13，35]D.[13，7]答案B解析由圆的方程知，圆的半径为4.当P与A′位于同一半圆时，作出该半圆所在的平面图如图所示，∵|PA′|≥|OP|－|OA′|＝4－(－3)2＋22＝4－13(当且仅当O，A′，P三点共线且A′在O，P′之间时取等号)，∴当P位于图中P′处时，|PA′|取得最小值4－13；又当P位于图中M(0，－4)处时，|PA′|取得最大值|A′M|＝(－3)2＋(2＋4)2＝35；当P与A′分别在两个半平面中时，作A ′C ⊥平面xOy ，垂足为C ，作A ′E ⊥y 轴，垂足为E ，连接CE ，则A ，C ，E 三点共线，设F 为CE 延长线上的点，则∠A ′EF 即为翻折后的二面角的平面角，∵∠A ′EF ＝2π3，∴∠A ′EA ＝π3，∵|A ′E |＝3，∴|A ′C |＝|A ′E |sin ∠A ′EA ＝332，|CE |＝|A ′E |cos ∠A ′EA ＝32，∴－32，∵P 为圆x 2＋y 2＝16右半圆上的点，∴可设P (4cos θ，4sin θ)，θ∈－π2，π2，∴|PC |2θ＋(4sin θ－2)2＝894－16sin θ＋12cos θ，∴|PA ′|2＝|PC |2＋|A ′C |2＝29－4(4sin θ－3cos θ)＝29－20sin(θ＋φ)tan φ＝－34，φ－π2，∵θ＋φπ∴当θ＋φ＝－π2，即sin(θ＋φ)＝－1时，|PA ′|2max ＝49，则|PA ′|max ＝7.又sin(θ＋φ)<1，∴|PA ′|2>29－20＝9，即|PA ′|>3；综上所述，A ′，P 两点间距离的取值范围为[4－13，7]．3．(多选)(2023·深圳模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 处有一只青蛙，假设青蛙会随机地沿一条棱跳到相邻的某个顶点，且跳向每个顶点的概率相同，记青蛙跳动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n ，则下列结论正确的是()A ．P 1＝23B ．青蛙跳动奇数次后只能位于点B ，C ，D ，A 1四个点中某一个点处C nD ．青蛙跳动4次后恰好回到点A 的概率为727答案ACD解析跳动1次后等可能地在顶点B ，D ，A 1处，P 1＝23，故A 正确；跳动奇数次后只能位于点B ，D ，A 1，C 1，跳动偶数次后只能位于点A ，C ，B 1，D 1，故B 错误；P n ＋1＝23P n ＋13(1－P n )＝13P n ＋13，故P n ＋1－12＝nn且P n －12＝16×－1＝12×，即P n ＝12×C 正确；由点A 出发，经过偶数次移动只能到达点A ，C ，B 1，D 1(奇数次后只能位于点B ，D ，A 1，C 1)，考虑移动n 次(n 是偶数)返回到A 的路径数为A n ，显然A 0＝1.由于移动n －1次后只能位于点B ，D ，A 1，C 1，其中位于B ，D ，A 1再移动1次就可能返回到A ，所以考虑移动n －2次后所在点A ，C ，B 1，D 1，把这四个点分成两类：点A 和点C ，B 1，D 1.若在点A (路径数为A n －2)，再移动2次返回到A 只有3种折返路径(即ABA ，ADA ，AA 1A )；若在点C ，B 1，D 1(路径数为3n －2－A n －2)中的一个，再移动2次返回到A 的路径数每个点处都有2条路径(即CBA ，CDA ，B 1BA ，B 1A 1A ，D 1DA ，D 1A 1A )．综上，移动n 次(n 是偶数)返回到A 的路径数A n ＝3A n －2＋2(3n －2－A n －2)，即A n －A n －2＝2·3n －2，累加可得A n ＝3n ＋34，总路径数为3n ，故青蛙跳动n (n 为偶数)次后恰好回到A 的概率为p n ＝A n 3n ＝当n ＝4时，p 4＝727，故D 正确．4．(2023·永州模拟)现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%,20%,30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________．答案0.0315解析由题意，得抽到不合格品的概率为P ＝15%×0.05＋20%×0.04＋30%×0.03＋35%×0.02＝0.0315.5．(2023·广东名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝52，C ＝45°.(1)求c ；(2)求sin 2A .解(1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，且a ＝4，b ＝52，C ＝45°，所以c 2＝16＋50－2×4×52×22＝26，所以c ＝26.(2)由(1)知，c ＝26，因为a sin A ＝csin C，且a ＝4，c ＝26，所以sin A ＝a sin C c ＝21313.因为a <b ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝31313，故sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213.[周二]1．(2023·永州模拟)已知cos θ－cos 2θ－1＝0，θcos θ等于()A ．－12 B.12C ．0D ．1答案B解析由cos θ－cos 2θ－1＝0，可得cos θ－2cos 2θ＝0，因为θ所以cos θ≠0，解得cos θ＝12.2.(2023·鄂东南教改联盟联考)用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为42°.如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO 是眼睛与彩虹中心的连线，AP 是眼睛与彩虹最高点的连线，则称∠OAP 为彩虹角．若平面ABC 为水平面，BC 为彩虹面与水平面的交线，M 为BC 的中点，BC ＝1200米，AM ＝800米，则彩虹(BPC )的长度约为(参考数据：sin 42°≈0.67，sin 1.1≈6067)()A ．(1340π－1474)米B ．(1340π－670)米C ．(2000π－1474)米D ．(2000π－670)米答案A解析在△AMB 中，由勾股定理，可得AB ＝AM 2＋BM 2＝8002＋6002＝1000(米)，连接PO ，则在△APO 中，PO ＝AP ·sin 42°≈670(米)，连接OB ，OC ，OM ，则在△OBM 中，sin ∠BOM ＝BM BO ＝600670＝6067故∠BOM ≈1.1，∠BOC ≈2.2，则彩虹(BPC )的长度约为(2π－2.2)×670＝(1340π－1474)米．3．(多选)(2023·沧州调研)下列关于三棱柱ABC －A 1B 1C 1的命题，正确的是()A ．任意直三棱柱ABC －A 1B 1C 1均有外接球B ．任意直三棱柱ABC －A 1B 1C 1均有内切球C ．若正三棱柱ABC －A 1B 1C 1有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为63D ．若直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形答案ACD解析对于A ，取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点O ，则点O 到直三棱柱r 为底面三角形外接圆半径，h 为直三棱柱的高，∴点O 即为直三棱柱的外接球球心，A 正确；对于B ，若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径，即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B 错误；对于C ，若正三棱柱的内切球半径为1，则正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为3，设正三棱柱底面正三角形的边长为a ，则a 2－a 24＝3，解得a ＝23，∴该正三棱柱的体积V ＝12×(23)2×32×2＝63，C 正确；对于D ，若外接球球心在直三棱柱的侧面上，则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等，∴球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等，又侧面中心在底面的射影在底面三角形的一条边上，∴该射影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半，∴该底面三角形为直角三角形，D 正确．4．(2023·青岛模拟)已知O (0,0)，A (1,2)，B (3，－1)，若向量m ∥OA →，且m 与OB →的夹角为钝角，写出一个满足条件的m 的坐标为________．答案(－1，－2)(答案不唯一)解析根据题意可得OA →＝(1,2)，OB →＝(3，－1)，设m ＝(x ，y )，因为向量m ∥OA →，且m 与OB →的夹角为钝角，y ＝2·x ，x ＋(－1)·y <0，y ≠(－1)·x ，所以x <0，不妨令x ＝－1，所以y ＝－2，m ＝(－1，－2)．5．(2023·广州模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 3＝0，a n ＋1＋(－1)n S n ＝2n .(1)求a 1，a 2；(2)令b n ＝a n ＋1＋2a n ，求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n .解(1)由a n ＋1＋(－1)n S n ＝2n 得a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2，a 3＋S 2＝22＝4，即a 3＋a 2＋a 1＝4，又a 3＝0，所以a 1＝1，a 2＝3，(2)当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋S 2k ＝22k ，当n ＝2k －1时，a 2k －S 2k －1＝22k －1，两式相加可得a 2k ＋1＋S 2k ＋a 2k －S 2k －1＝22k ＋22k －1，得a 2k ＋1＋2a 2k ＝22k ＋22k －1，由于b n ＝a n ＋1＋2a n ，所以b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n＝(a 3＋2a 2)＋(a 5＋2a 4)＋(a 7＋2a 6)＋…＋(a 2n ＋1＋2a 2n )＝(22＋21)＋(24＋23)＋(26＋25)＋…＋(22n ＋22n －1)＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2.[周三]1．(2023·南通模拟)若“∃x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x <0”为假命题，则k 的取值范围为()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)答案A解析依题意知命题“∃x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x <0”为假命题，则“∀x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x ≥0”为真命题，所以2sin x cos x ≥k sin x ，又当x ∈(0，π)时，sin x >0，－1<cos x <1，则k ≤2cos x ，解得k ≤－2，所以k 的取值范围为(－∞，－2]．2．(2023·大庆模拟)已知a ＝e －3，b ＝ln 1.02，c ＝sin 0.04，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．b <a <c答案B解析如图，在单位圆A 中，∠BAC ＝θBD ⊥AC 于D ，则弧BC 的长度l ＝θ，|BD |＝sin θ，由图易得，l >|BC |>|BD |，即θ>sin θ，所以a ＝e －3＝1e 3>125＝0.04>sin 0.04＝c .设f (x )＝sin 2x －ln(1＋x )，x 则f ′(x )＝2cos 2x －11＋x >1－11＋x>0，所以f (x )f (0)＝0，则f (0.02)>0，即sin 0.04>ln 1.02，即b <c .综上，b <c <a .3．(多选)(2023·大庆模拟)在平面直角坐标系中，双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，渐近线方程为2x ±y ＝0，M 为双曲线E 上任意一点，MN 平分∠F 1MF 2，且F 1N —→·MN →＝0，|ON |＝2，则()A ．双曲线的离心率为5B ．双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1C ．点M 到两条渐近线的距离之积为165D ．若直线MF 1与双曲线E 的另一个交点为P ，Q 为MP 的中点，则k OQ ·k PM ＝4答案ACD解析不妨设M 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上一点，延长MF 2，F 1N 交于点G ，如图，因为F 1N →·MN →＝0，所以F 1N →⊥MN →，即F 1N ⊥MN ，因为MN 平分∠F 1MF 2，所以△F 1MG 为等腰三角形，则N 为F 1G 的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|F 2G |，根据双曲线的定义得，|MF 1|－|MF 2|＝|MG |－|MF 2|＝|GF 2|＝2a ，所以|ON |＝a ＝2，因为双曲线E 的渐近线方程为2x ±y ＝0，所以ba ＝2，得b ＝4，c 2＝b 2＋a 2＝20，c ＝25，所以双曲线E 的标准方程为x 24－y 216＝1，离心率e ＝ca ＝5，所以A 正确，B 不正确；设M (x 1，y 1)，代入x 24－y 216＝1，即x 214－y 2116＝1，所以点M 到两条渐近线的距离之积为|2x 1＋y 1|5×|2x 1－y 1|5＝|4x 21－y 21|5＝165，所以C 正确；设P (x 2，y 2)，Q (x ，y )，因为P ，M 在双曲线E 上，－y 2116＝1，①－y 2216＝1，②①－②并整理得，y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝4，因为k PM ＝y 1－y 2x 1－x 2，k OQ ＝y x ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，所以k OQ ·k PM ＝4，所以D 正确．4．(2023·邵阳模拟)在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e ≈2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有________个．答案36解析如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，两个2捆绑看作一个元素与7,1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有A 33·C 24＝36(个)．5．(2023·兰州模拟)如图所示的五边形SBADC 中四边形ABCD 是矩形，BC ＝2AB ，SB ＝SC ，沿BC 折叠成四棱锥S －ABCD ，点M 是BC 的中点，SM ＝2.(1)从条件①SA ＝6；②cos ∠SBM ＝55；③sin ∠SAM ＝63中任选两个作为补充条件，证明：在四棱锥S －ABCD 中，平面SBC ⊥平面ABCD ；(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分)(2)在(1)的条件下求直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值．(1)证明方案一：选条件①②.因为在四棱锥S－ABCD中，SB＝SC，点M是BC的中点，SM＝2，所以SM⊥BC，又因为在Rt△SBM中，cos∠SBM＝5 5，所以BM＝1，又因为四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，所以BM＝AB＝1，AM＝2，由SA＝6，AM＝2，SM＝2，可得SA2＝AM2＋SM2，所以SM⊥AM，则由SM⊥BC，SM⊥AM，AM∩BC＝M，AM，BC⊂平面ABCD，得SM⊥平面ABCD，又因为SM⊂平面SBC，所以平面SBC⊥平面ABCD.方案二：选条件①③.因为在四棱锥S－ABCD中，SB＝SC，点M是BC的中点，SM＝2，所以SM⊥BC，又因为在△SAM中，SA＝6，sin∠SAM＝63，SM＝2，所以由正弦定理得SAsin∠SMA＝SMsin∠SAM，即6sin∠SMA＝263，所以sin∠SMA＝1，即∠SMA＝π2，所以SM⊥AM，则由SM⊥BC，SM⊥AM，AM∩BC＝M，AM，BC⊂平面ABCD，所以SM⊥平面ABCD，又因为SM⊂平面SBC，所以平面SBC⊥平面ABCD.方案三：选条件②③.因为在四棱锥S－ABCD中，SB＝SC，点M是BC的中点，SM＝2，所以SM⊥BC，又因为在Rt△SBM中，cos∠SBM＝55，所以BM＝1，又因为四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，所以BM＝AB＝1，AM＝2，又因为在△SAM中，sin∠SAM＝6 3，则cos ∠SAM ＝33，设SA ＝x ，SM 2＝SA 2＋AM 2－2SA ·AM ·cos ∠SAM ，所以3x 2－26x －6＝0，解得x 1＝6或x 2＝－63(舍去)，所以SA ＝6，由SA ＝6，AM ＝2，SM ＝2，可得SA 2＝AM 2＋SM 2，所以SM ⊥AM ，则由SM ⊥BC ，SM ⊥AM ，AM ∩BC ＝M ，AM ，BC ⊂平面ABCD ，得SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂平面SBC ，所以平面SBC ⊥平面ABCD .(2)解由(1)知SM ⊥平面ABCD ，且MD ⊥AM ，如图所示，以M 为坐标原点，MA 所在直线为x 轴，MD 所在直线为y 轴，MS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则S (0，0，2)，A (2，0，0)，D (0，2，0)，－22，22，则SD →＝(0，2，－2)，SA →＝(2，0，－2)，设平面SAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·SD →＝2y －2z ＝0，·SA →＝2x －2z ＝0，取z ＝1，可得平面SAD 的一个法向量n ＝(2，2，1)，SC →－22，22，－设直线SC 与平面SAD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，SC →〉|＝|n ·SC→||n ||SC →|＝25，所以直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值为25.[周四]1．(2023·鄂东南教改联盟联考)已知向量|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝10，则b在a上的投影向量为()A.1 4a B．－14aC.1 8a D．－18a答案D解析∵|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝10，∴|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝10，∴4－4a·b＋4＝10，则a·b＝－1 2，∴b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉a|a|＝|b|a·b|a||b|·a |a|＝a·b|a|2a＝－18a.2．(2023·湛江模拟)已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，过F的直线l与抛物线C交于A，B 两点，与圆x2＋(y－2)2＝4交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则|AD||BE|等于() A．1B．4C．8D．16答案B解析由题可知F(0,2)，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．＝kx＋2，2＝8y，得x2－8kx－16＝0，故x1x2＝－16.又y1＝x218，y2＝x228，所以y1y2＝(x1x2)264＝4.圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为F(0,2)，半径r＝2，所以|AD|＝|AF|－r＝|AF|－2，|BE|＝|BF|－r＝|BF|－2.又|AF|＝y1＋2，|BF|＝y2＋2，所以|AD|＝y1＋2－2＝y1，|BE|＝y2＋2－2＝y2，所以|AD||BE|＝y1y2＝4.3．(多选)若长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是棱DD1的中点，则()A ．B 1E ⊥A 1BB.B 1E —→＝－AB →＋AD →－12AA 1—→C ．三棱锥C 1－B 1CE 的体积为83D ．直线CC 1与平面B 1CE 所成角的正弦值为306答案BC解析结合几何体可得B 1E —→＝B 1D 1—→＋D 1E—→＝B 1A 1—→＋B 1C 1—→＋D 1E —→＝BA →＋BC →－12DD 1—→＝－AB →＋AD →－12AA 1—→，故B 选项正确；A 1B —→＝AB →－AA 1—→，结合长方体中的位置关系可知，AB →·AA 1—→＝0，AB →·AD →＝0，AA 1—→·AD →＝0，于是B 1E —→·A 1B —→AB →＋AD →－12AA —(AB →－AA 1—→)＝－AB →2＋12AA 1—→2＝－4＋12×16＝4≠0，即B 1E ⊥A 1B 不成立，A 选项错误；根据长方体中的线面关系知，B 1C 1⊥平面CEC 1，于是11C B CE V －三棱锥＝11B CEC V －三棱锥＝13×B 1C 1×1CEC S △＝13×2×12×4×2＝83，C 选项正确；B 1C ＝25，CE ＝22，B 1E ＝B 1D 21＋ED 21＝23，注意到20＝B 1C 2＝CE 2＋B 1E 2＝8＋12，故△CEB 1为直角三角形，1CEB S △＝12×22×23＝26，设C 1到平面B 1CE 的距离为h ，由11C B CE V －三棱锥＝83＝13×1CEB S △×h ＝26h3，解得h ＝263，故直线CC 1与平面B 1CE 所成角的正弦值为h CC 1＝66，D 选项错误．4．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体(如图乙)，若勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的表面积为25π，则正四面体ABCD 的棱长为______．答案4＋6解析设正四面体ABCD 的棱长为a ，根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球球心，由正四面体的性质可知，该球球心O 为正四面体ABCD 的中心，即O 为正四面体ABCD 外接球的球心(内切球的球心)，则BO 为正四面体ABCD 的外接球的半径，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为OE ，连接BE ，则B ，O ，E 三点共线，此时BE ＝a ，由题意4π×OE 2＝25π，所以OE ＝52，所以BO ＝a －OE ＝a －52，如图，记M 为△BCD 的中心，连接BM ，AM ，由正四面体的性质可知点O 在AM 上．因为AB ＝a ，BM ＝23×＝33a ，则AM ＝63a ，因为BO 2＝BM 2＋OM 2＝(AM －OM )2，所以BO 2＋OM 2－，解得BO ＝64a ，所以64a ＝a －52，解得a ＝4＋6，即正四面体ABCD 的棱长为4＋ 6.5．(2023·南通模拟)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p (0<p <1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a (a >0)元．(1)①写出X 的分布列；②证明：E (X )<1p；(2)某公司意向投资该产品．若p ＝0.25，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由．解(1)①由题意，X ＝1,2,3， (10)故P (X ＝k )＝p (1－p )k －1，k ＝1,2，…，9，P (X ＝10)＝(1－p )9，X 的分布列如表所示．X 12345P p p (1－p )p (1－p )2p (1－p )3p (1－p )4X 678910Pp (1－p )5p (1－p )6p (1－p )7p (1－p )8(1－p )9②E (X )＝p (1－p )0＋2p (1－p )1＋3p (1－p )2＋…＋9p (1－p )8＋10(1－p )9，记S ＝(1－p )0＋2(1－p )1＋3(1－p )2＋…＋9(1－p )8，(1－p )S ＝(1－p )1＋2(1－p )2＋3(1－p )3＋…＋9(1－p )9，作差可得pS ＝(1－p )0＋(1－p )1＋(1－p )2＋…＋(1－p )8－9(1－p )9＝1－(1－p)9p－9(1－p)9，则E(X)＝pS＋10(1－p)9＝1－(1－p)9p＋(1－p)9＝1－(1－p)10p<1p，得证．(2)由(1)可知E(X)<1p＝4，则试验成本的期望小于4a，又获利5a大于成本的期望，则应该投资．[周五]1．(2023·永州模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝2x}，B＝{(x，y)|y＝x3}，则A∩B的元素个数是() A．1B．2C．3D．4答案C解析由于A＝{(x，y)|y＝2x}，B＝{(x，y)|y＝x3}为点集，故求A∩B ＝2x，＝x3＝2x，＝x3，＝0，＝0＝2，＝22＝－2，＝－22，故A∩B的元素个数是3.2．生物的性状是由遗传因子决定的．每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母(如D)来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母(如d)来表示．如图，在孟德尔豌豆试验中，F1的基因型为Dd，子二代F2的基因型为DD，Dd，dd，且这三种基因型的比为1∶2∶1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆进行杂交试验，则子三代F3中高茎的概率为()A.14B.12C.34D.56答案C解析子二代基因配型有6种情况，分别记为事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，“子三代基因型为高茎”记为事件B ，则事件A 1A 2A 3A 4A 5A 6配型DD ×DD DD ×DdDD ×dd Dd ×Dd Dd ×dd dd ×dd P (A i )11614181414116P (B |A i )1113412P (B )＝错误!(A i )P (B |A i )＝1×116＋1×14＋1×18＋34×14＋12×14＋0×116＝34.3．(多选)(2023·福州模拟)已知函数f (x )＝x ()A ．f (x )在区间－π2，0上单调递增B ．f (x )在区间[0，π]上有两个零点C ．直线x ＝π12是曲线y ＝f (x )的对称轴D ．直线y ＝4x ＋2π3是曲线y ＝f (x )的切线答案BCD解析对于A ，当x ∈－π2，0时，2x ＋π3∈－2π3，π3，因为y ＝sin x 在－2π3，π3上先单调递减，再单调递增，所以－π2，0不是f (x )的单调递增区间，故A 错误；对于B ，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的零点为x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝－π6∉[0，π]；当k ＝1时，x ＝π3∈[0，π]；当k ＝2时，x ＝5π6∈[0，π]；当k ＝3时，x ＝4π3∉[0，π]，所以f (x )在区间[0，π]上有两个零点，故B 正确；对于C ，令x ＝π12，则x sin π2＝1，所以直线x ＝π12是曲线y ＝f (x )的对称轴，故C正确；对于D ，由f (x )＝2sin xf ′(x )＝x令f ′(x )＝x 4，即2x ＋π3＝2k 1π，k 1∈Z ，解得x ＝－π6＋k 1π，k 1∈Z ，当k 1＝0时，x ＝－π6，代入f (x )可得f 0，所以f (x )－π6，y ＝y ＝4x ＋2π3，故D 正确．4．(2023·云南联考)f (x )＝e x －1e x ＋1＋ln e －xe ＋x (－2≤x ≤2)，其最大值和最小值的和为________．答案0解析由题意得函数的定义域为[－2,2]，关于原点对称．f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＋ln e ＋x e －x ＝－e x －1e x ＋1－ln e －xe ＋x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故其最大值和最小值的和为0.5．(2023·杭州、宁波联考)在平面直角坐标系中，P (3,1)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，经过O 的直线(不过P 点)与C 交于A ，B 两点，直线PA 与PB 的斜率乘积为－13(1)求C 的方程；(2)直线l 与C 交于点M ，N ，且PM ⊥PN .当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解(1)由题意，设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，且x 20a 2＋y 2b 2＝1，∵P (3,1)在C 上，∴9a 2＋1b2＝1，两式相减得y 20－1x 20－9＝－b 2a 2，∵k P A ·k PB ＝y 0－1x 0－3·－y 0－1－x 0－3＝y 20－1x 20－9＝－13，∴－b 2a 2＝－13，即a 2＝3b 2，代入9a 2＋1b 2＝1中，解得b 2＝4，a 2＝12，∴椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)由题意及(1)得当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 与椭圆C 的方程，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，当Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－12)>0，即4＋12k 2－m 2>0时，有x 1＋x 2＝－6km1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－121＋3k 2，∵PM ⊥PN ，∴PM →·PN →＝0，∵PM →·PN →＝(x 1－3，y 1－1)·(x 2－3，y 2－1)＝(x 1－3)(x 2－3)＋(y 1－1)(y 2－1)＝(x 1－3)(x 2－3)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(km －k －3)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋10＝0，∴(1＋k 2)·3m 2－121＋3k 2＋(km －k －3)·－6km1＋3k2＋m 2－2m ＋10＝0，整理得9k 2＋9km ＋2m 2－m －1＝0，2＋km －14(m 2＋4m ＋4)＝0，即(6k ＋3m )2－(m ＋2)2＝0，即(3k ＋2m ＋1)(3k ＋m －1)＝0，∵直线l 不过点P ，∴3k ＋m －1≠0，∴3k ＋2m ＋1＝0，∴直线l ：y ＝－12经过定点当直线l 垂直于x 轴时，设方程为x ＝n ，则M (n ，y 1)，N (n ，－y 1)，且n 2＋3y 21＝12，①由PM →·PN →＝0得(n －3，y 1－1)·(n －3，－y 1－1)＝n 2－6n ＋10－y 21＝0，②由①②解得n ＝32或n ＝3(舍)，∴此时直线l 也经过定点综上，直线l 经过定点当PQ 垂直于直线l 时，点P 到直线l 的距离最大，此时k PQ ＝1，∴直线l 的斜率为－1，直线l 的方程为y ＋12＝－故所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.[周六]1．(2023·淄博模拟)已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝|1＋i|，则z 等于()A.22＋22i B.22－22i C ．－22＋22i D ．－22－22i 答案B解析因为z (1＋i)＝|1＋i|，所以z＝|1＋i|1＋i＝21＋i＝22(1－i)＝22－22i.2．(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝3x－13x＋1，数列{a n}满足a1＝1，a n＋3＝a n(n∈N*)，f(a1)＋f(a2＋a3)＝0，则错误!i等于()A．0B．1C．675D．2023答案B解析f(x)的定义域为R，且f(－x)＝3－x－13－x＋1＝－3x－13x＋1＝－f(x)，故f(x)为R上的奇函数．而f(x)＝1－23x＋1，因为t＝3x＋1在R上为增函数，y＝1－2t在(1，＋∞)单调递增，故f(x)为R上的增函数．又f(a1)＋f(a2＋a3)＝0即为f(a1)＝f(－a2－a3)，故a1＋a2＋a3＝0，因为a n＋3＝a n(n∈N*)，故{a n}为周期数列且周期为3.因为2023＝2022＋1＝3×674＋1，所以错误!i＝674(a1＋a2＋a3)＋a2023＝0＋a1＝1.3．(多选)(2023·漳州质检)已知某地区甲、乙两所高中学校的六次联合模拟考试的数学平均分(满分150分)的统计结果如图所示，则()A．甲校每次考试的平均分均高于乙校的平均分B．甲校六次平均分的方差小于乙校六次平均分的方差C．甲校六次平均分的第25百分位数小于乙校六次平均分的第75百分位数D．甲校的平均分极差小于乙校的平均分极差答案BCD解析对于A，甲校第2次考试的平均分低于乙校第2次考试的平均分，A错误；对于B，由图可知，甲校六次考试的平均分相对于乙校六次考试的平均分更加集中，说明数据更加稳定，则甲校六次平均分的方差小于乙校六次平均分的方差，B 正确；对于C ，∵6×25%＝1.5，∴甲校平均分按从小到大顺序排列，第2个成绩为第25百分位数，由图可知，为第5次考试的平均分，约为90分；∵6×75%＝4.5，∴乙校平均分按从小到大顺序排列，第5个成绩为第75百分位数，由图可知，为第3次考试的平均分，高于90，∴甲校六次平均分的第25百分位数小于乙校六次平均分的第75百分位数，C 正确；对于D ，由图可知，甲校平均分的最大值和最小值的分差明显小于乙校平均分的最大值和最小值的分差，即甲校的平均分极差小于乙校的平均分极差，D 正确．4．(2023·沈阳模拟)若＝13，则2________.答案－79解析因为＝13，所以2cos＝1－2sin ＝79，所以2cos π2＝－2＝－79.5．(2023·湖北八市联考)已知函数f (x )＝ln x ＋1x，g (x )＝f (x )－ax ，其中a ≥0.(1)讨论函数g (x )的单调性；(2)数列{a n }(n ∈N *)满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝f (a n )，证明：当a ＝1时，(1)解函数g (x )＝ln x ＋1x －ax (a ≥0)的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝－ax 2＋x －1x 2(x >0)，当a ＝0时，由g ′(x )<0可得x ∈(0,1)，由g ′(x )>0可得x ∈(1，＋∞)，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a >0时，由g ′(x )＝－ax 2＋x －1x 2＝0，可得－ax 2＋x －1＝0，Δ＝1－4a ，①当Δ＝1－4a ≤0，即a ≥14时，g ′(x )≤0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当Δ＝1－4a >0，即0<a <14时，令g ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ，x 2＝1＋1－4a 2a，0<x 1<x 2，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表，综上，当a ＝0时，g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a ≥14时，g (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <14时，g (x )(2)证明由题意知当a ＝1时，g (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋1x－x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1)＝0，又∵f ′(x )＝x －1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为a 1∈(0,1)，所以a 2＝f (a 1)>f (1)＝1，a 3＝f (a 2)>1，…，a n ＋1＝f (a n )>1，又当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝f (x )－x <g (1)＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝f (a n ＋1)－a n ＋1<0，即a n ＋2<a n ＋1，又因为函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (a n ＋2)>g (a n ＋1)，即1a n ＋2＋ln a n ＋2－a n ＋2>1a n ＋1＋ln a n ＋1－a n ＋1，即0>a n ＋3－a n ＋2>a n ＋2－a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＋2>a n ＋2－a n ＋3>0，即a n ＋1－a n ＋2a n ＋2－a n ＋3>1，所以。

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每日一题规范练(第二周)星期一 2020年3月30日[题目1] 已知{a n }是公差不为0的等差数列，且满足a 1＝2，a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 1a 7.所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，则4d 2－2a 1d ＝0. 由d ≠0，a 1＝2，得d ＝1，所以a n ＝n ＋1.(2)由(1)知，b n ＝a n ＋2a n ＝n ＋1＋2n ＋1，所以S n ＝[2＋3＋4＋…＋(n ＋1)]＋(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＝n （n ＋3）2＋4（1－2n ）1－2＝2n ＋2＋n 2＋3n －82.星期二 2020年3月31日[题目2] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，且图象上最高点与相邻最低点的距离为 π24＋12. (1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π12＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为π24＋12，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π|ω|2＋12＝12＋π24，所以ω＝2.因为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，所以2×π12＋φ＝k π，k ∈Z.又－π2＜φ＜π2，所以取φ＝－π6.(2)由(1)知，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π12－π6＝3sin α.则3sin α＝34，所以sin α＝14.由于0＜α＜π2，得cos α＝1－sin 2α＝154，因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22×15－14＝30－28. 星期三 2020年4月1日[题目3] (2019·英才大联考)如图，在棱长为1的正方体PB 1N 1D 1-ABND 中，动点C 在线段BN 上运动，且有BC →＝λAD →(0＜λ≤1)．(1)若λ＝1，求证：PC ⊥BD ；(2)若二面角B-PC-D 的平面角的余弦值为－51122，求实数λ的值．(1)证明：当λ＝1时，C 与N 重合，连接AN . 则在正方形ABND 中，BD ⊥AN .又在正方体中，PA ⊥底面ABND ，而BD ⊂平面ABND ，所以PA ⊥BD . 又PA ∩AN ＝A ，所以BD ⊥平面PANN 1. 由于PN ⊂平面PANN 1，所以PN ⊥BD . 因此PC ⊥BD .(2)解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则C (1，λ，0)，P (0，0，1)，B (1，0，0)，D (0，1，0)． PC →＝(1，λ，－1)，PB →＝(1，0，－1)，PD →＝(0，1，－1)．设平面PBC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PB →＝0，n 1·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－z 1＝0，x 1＋λy 1－z 1＝0.取z 1＝1得n 1＝(1，0，1)．设平面PCD 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋λy 2－z 2＝0，y 2－z 2＝0.取z 2＝1得n 2＝(1－λ，1，1)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝|2－λ|2×2＋（1－λ）2＝51122.解得λ＝13或λ＝－13.因为0＜λ≤1，所以λ＝13.星期四2020年4月2日[题目4] 资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值．(2)下表是2019年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．组数分组天数第一组[50，80) 3第二组[80，110) 4第三组[110，140) 4第四组[140，170) 6第五组[170，200) 5第六组[200，230) 4第七组[230，260) 3第八组[260，290) 1AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．解：(1)设重度污染区AQI 的平均值为x ，则74×2＋114×5＋2x ＝118×9，解得x ＝172. 即重度污染区AQI 的平均值为172.(2)①由题意知，AQI 在[170，180)内的天数为1，由题表可知，AQI 在[50，170)内的天数为17，故11月份AQI 小于180的天数为1＋17＝18.又1830＝35，则该校周日去进行社会实践活动的概率为35. ②由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且P (X ＝0)＝C 318C 012C 330＝2041 015，P (X ＝1)＝C 218C 112C 330＝4591015，P (X ＝2)＝C 118C 212C 330＝2971 015，P (X ＝3)＝C 018C 312C 330＝11203.则X 的分布列为：X 0 1 2 3 P2041 0154591 0152971 01511203所以E (X )＝0×2041 015＋1×4591 015＋2×2971 015＋3×11203＝65.星期五 2020年4月3日[题目5] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为42，离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右顶点分别为A 、B ，点M 、N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM 、BN 的斜率分别为k 1、k 2，求3k 1＋2k 2的值．解：(1)由题意，得2b ＝42，所以b ＝2 2. 又c a ＝13，且a 2－c 2＝b 2＝8. 所以a ＝3，c ＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可知，A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)．根据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆的另一交点为M ′. 设M (x 1，y 1)(y 1＞0)，M ′(x 2，y 2)．因为F 1M ∥F 2N ，根据对称性，得N (－x 2，－y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧8x 2＋9y 2＝72，y ＝26（x ＋1），消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.由题设知x 1＞x 2，所以x 1＝－37，x 2＝－32.又k 1＝y 1x 1＋3＝26（x 1＋1）x 1＋3＝469，k 2＝－y 2－x 2－3＝26（x 2＋1）x 2＋3＝－263，所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝⎛⎭⎪⎫－263＝0，则3k 1＋2k 2＝0. 星期六 2020年4月4日[题目6] 已知函数f (x )＝e x －x 2－x .(1)判断函数f (x )在区间(－∞，ln 2)上的单调性；(2)若x 1＜ln 2，x 2＞ln 2，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)，证明：e x 1＋x 2＜4. (1)解：f ′(x )＝e x －2x －1，f ″(x )＝e x －2，当x ＜ln 2时，f ″(x )＜0，所以f ′(x )在(－∞，ln 2)单调递减．又f ′(ln 2)＝e ln 2－2ln 2－1＝1－2ln 2＜0，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝x 0(x 0∈(ln 2，＋∞))，所以f (x )在(－∞，0)单调递增，在(0，ln 2)单调递减． (2)证明：要证e x 1＋x 2＜4，即证x 1＋x 2＜2ln 2成立．当x ＞ln 2时，2ln 2－x ＜ln 2.因为f ′(2ln 2－x )＝e 2ln 2－x －2(2ln 2－x )－1＝4e x ＋2x －4ln 2－1，令g (x )＝f ′(x )－f ′(2ln 2－x )＝e x－4ex －4x ＋4ln 2(x ＞ln 2)，所以g ′(x )＝e x ＋4e －x －4≥0，当且仅当x ＝ln 2时取“＝”．所以g (x )＝f ′(x )－f ′(2ln 2－x )在(ln 2，＋∞)单调递增．又因为g (ln 2)＝0.所以当x ＞ln 2时，g (x )＞g (ln 2)＝0. 因此f ′(x )＞f ′(2ln 2－x )．因为x 2＞ln 2，所以f ′(x 2)＞f ′(2ln 2－x 2)．由于f ′(x 1)＝f ′(x 2)，所以f ′(x 1)＞f ′(2ln 2－x 2)．由于x 2＞ln 2，知2ln 2－x 2＜ln 2.又x 1＜ln 2，由(1)知f ′(x )在(－∞，ln 2)单调递减，所以x 1＜2ln 2－x 2.则x 1＋x 2＜2ln 2，故e x 1＋x 2＜4.星期日 2020年4月5日[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，l 与x 轴交于点M .(1)求l 的直角坐标方程和点M 的极坐标；(2)设l 与C 相交于A ，B 两点，若|MA |，|AB |，|MB |成等比数列，求p 的值．解：(1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3得，ρsin θ－3ρcos θ＝3，即y ＝3x ＋3，所以l 的直角坐标方程y ＝3x ＋ 3.令y ＝0得点M 的直角坐标为(－1，0)，所以点M 的极坐标为(1，π)． (2)由(1)知，l 的倾斜角为π3，参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t2，y ＝32t(t 为参数)．代入方程y 2＝2px ，得3t 2－4pt ＋8p ＝0. 所以t 1＋t 2＝4p 3，t 1t 2＝8p3.依题设，|MA |，|AB |，|MB |成等比数列，则|AB |2＝|MA |·|MB |，所以(t 1－t 2)2＝t 1t 2，即(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 32＝5×8p 3，故p ＝152.2．[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x －a |.(1)若关于x 的不等式f (x )＋b ＜0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值； (2)若g (x )＝2f (x )＋2f (x ＋1)，求g (x )的最小值．解：(1)由f (x )＋b ＜0得，|x －a |＜－b ，当b ≥0时，不合题意；当b ＜0时，a ＋b ＜x ＜a －b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－1，a －b ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.综上，a ＝1，b ＝－2. (2)g (x )＝2|x－a |＋2|x＋1－a |≥22|x －a |×2|x ＋1－a |＝22|x －a |＋|x ＋1－a |≥22|（x －a ）－（x ＋1－a ）|＝22，所以当⎩⎪⎨⎪⎧|x －a |＝|x ＋1－a |，（x －a ）（x ＋1－a ）≤0，即x ＝a －12时，g (x )有最小值2 2.。