计算机数学基础一求导方法
高二数学知识点求导公式
高二数学知识点求导公式在高二数学学习中，求导公式是一个非常重要的知识点。
它是求解函数导数的基础，掌握了求导公式，能够更加灵活地处理数学问题。
下面我们来系统整理一下高二数学常用的求导公式。
1. 基本函数的求导公式(1) 常数函数的导数为0：$y=C$，其中C为常数。
(2) 幂函数的导数：$y=x^n$，其中n为整数，导数为$y'=nx^{n-1}$。
(3) 指数函数的导数：$y=a^x$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=a^x\cdot ln(a)$。
(4) 对数函数的导数：$y=log_a(x)$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=\dfrac{1}{x\cdot ln(a)}$。
(5) 三角函数的导数：正弦函数的导数：$y=sin(x)$，导数为$y'=cos(x)$。
余弦函数的导数：$y=cos(x)$，导数为$y'=-sin(x)$。
正切函数的导数：$y=tan(x)$，导数为$y'=sec^2(x)$。
2. 基本运算法则(1) 基本规律：$[f(x)\pm g(x)]' = f'(x)\pm g'(x)$，即两个函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差)。
(2) 乘法法则：$[f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
(3) 除法法则：$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)\cdotg(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$，即两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再减去第一个函数乘以第二个函数的导数，然后除以第二个函数的平方。
对数求导法则
对数求导法则对数求导是微积分中的一种基础求导方法，它是基于对数函数的导数公式推导出来的。
对于许多复杂的函数，利用对数函数的导数公式进行简化计算可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
本文将重点介绍对数求导法则，并附上相关的数学公式和推导过程，希望能够帮助读者更好地掌握此方法的使用和运用。
一、对数函数的导数对数函数指的是自然对数（即以自然常数e为底的对数）和常用对数（以10为底的对数）函数。
对于自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)，它们的导数公式如下：1. 自然对数函数ln(x)ln'(x)=1/x其中，x>0。
可以看出，对数函数的导数与其自身的值相关，当自变量x越大时，对数函数的导数越小，反之亦然。
同时，根据导数的定义，对数函数在自变量为1的时候导数的值为1，即：ln'(1)=1/1=1log'(1)=1/(1ln10)=1/ln10对数求导法则指的是对数函数在复合函数中求导的一种方法。
这种方法是利用对数函数的导数公式推导而来的，它有以下两种形式：当y=f(u)是一个由变量u所表示的函数，其中u=g(x)是一个可导函数时，我们可以利用如下公式对y对x求导：dy/dx=dy/du*du/dx当u=g(x)时，有：其中，dy/du表示f(u)对于u的导数，g'(x)表示u=g(x)对于x的导数。
因此，在求导的时候，我们需要先求出f(u)对于u的导数，再乘以u=g(x)对于x的导数即可。
dy/dx=f'(u)/g'(x)对数求导法则的主要应用有以下几个方面：1. 简化求导过程2. 解决复合函数的求导问题对于某些由复合函数组成的函数，可以通过对数求导法则将这个函数求导的问题转化为基本的对数函数求导问题，从而得到更简单的结果。
3. 模型求解在一些数学模型中，对数函数经常被用来模拟某些现象，如爆炸威力、人口增长、信号强度等。
在这些模型中，对数求导法则可以用来求导模型函数，从而求解出一些关键参数。
函数相乘求导
函数相乘求导
求导是数学中极其重要的一个概念，也是学习数学和物理的基础。
它能够查看函数在某一点的斜率和方向，从而推出函数的变化趋势和解决相关实际问题。
求导运算对于求解函数最值和确定其图像形状也很重要。
因此，求导已经成为数学中必不可少的一部分。
函数相乘求导是一种特殊的函数求导，也是求导的一种。
当乘积的两个函数的变量是相同的时候，求它们的偏导就是函数相乘求导。
从数学角度讲，函数相乘求导就是求出乘积函数关于某一变量的导数。
和普通函数求导一样，凡是需要求导的函数都可以利用函数相乘求导的方法求出来。
函数相乘求导的基本原理是运用二阶偏导数，它是指某个函数中两个变量之间的关系，也就是指函数中某两变量的二阶偏导数，这个关系可以通过被称为梯度的量来表示，通俗的讲就是求导就是检查函数的变化趋势和方向。
函数相乘求导的具体实现，可以利用微积分中的“链式法则”，这是一种求解多变量函数求导的有效方法。
例如，假设有这样一个乘积函数f(x,y)=x*y，我们需要求它关于x的偏导，就可以先求出部分偏导数，即先求出f(x,y)关于x的偏导数，再求f(x,y)关于y的偏导数，最后将这两个偏导数相乘，得到f(x,y)关于x的偏导数。
函数相乘求导在工程中也有很多应用，例如机器学习方面的优化算法，可以利用函数相乘求导的方法，快速精准地求出损失函数
关于参数的导数，从而求出参数的最优解，进而达到优化计算的目的。
从以上可以看出，函数相乘求导是求导运算中极其重要的一个部分，它不仅可以用来求解多变量函数，而且在机器学习和工程中也有广泛的应用，因此，人们应当理解函数相乘求导的概念，并熟练掌握它的运用。
指数函数如何求导
指数函数如何求导
指数函数是常见的数学函数，它以自然数e（或称自然对数）为指数，用它来表示某种变化。
求指数函数的导数是初高中学习求导的一个基础问题，它也是大学金融数理统计等课程中重要的内容。
下面我们将介绍求指数函数的导数的方法和步骤。
首先，我们可以从方程式出发，把所有指数函数都写成常用的基本形式，即
y=ae^(bx)的形式，其中a和b是实数常数。
求这一总形式函数的导数时，可以分两步来进行：在第一步，我们可以把函数拆分为两部分，分别为 ay和bx；在第二步，我们可以利用指数函数的求导公式，求ay和bx的导数，最后把它们的导数相乘得到y的导数。
按照上面的方法，ay的导数可以写成ay'=a，bx的导数可以写成bx'=bx.因此，y的导数可以写成y′= ay'·bx'=abx。
此外，求指数函数的导数的公式也可以利用基本的微积分原理来确定：根据极限原理，y=f(x)函数的导数可写成f′(x)=limΔx→0（f(x+Δx)-f(x)）/Δx，将y=ae^(bx)带入上式，我们就可以得到导数公式：y′=ae^(bx)·b=abx，与第一种方法得出的结果完全一致。
总结起来，求指数函数的导数的常用方法有两种：一是从方程出发，利用拆分函数的原则和指数函数的求导公式，得出y′=abx的求导公式；二是以极限原理来做，把指数函数带入极限求导公式，也可以得出y′=abx的导数公式结果。
以上就是求指数函数的导数的方法和步骤，希望这些内容对您有所帮助。
求导是数学分析研究中不可或缺的技能，我们应该更加发奋逐步熟练这些内容，让我们的数学水平变得更好！。
5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则课件高二数学人教A版选择性
=-2ex(sin x+cos x).故选D.
重难探究·能力素养全提升
重难探究·能力素养全提升
探究点一
导数公式与运算法则的简单应用
【例1】 [北师大版教材习题]求下列函数的导数:
x.
(4)y=(x-1)(x-2)(x-3);
解 因为y=x3-6x2+11x-6,所以y'=3x2-12x+11.
-1
(5)y= ;
解 因为 y= −
1
,所以
2
(6)y=+1.
2(+1)- 2
解 y'=
2
(+1)
=
2 +2
2
(+1)
.
y'=
1
2
+
1
2
3
=
+1
角度1.解析式中含f'(a)的导数问题
【例3】 已知函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)=2xf'(1)+ln
A.-e
B.2
C.-2
D.e
解析 因为
1
f(x)=2xf'(1)+ln =2xf'(1)-ln
解得 f'(1)=1.所以
x,所以
1
f(x)=2x+ln ,f(1)=2+ln
1
,则f(1)=( B )
……因为2 021=505×4+1,所以f2 021(x)=f1(x)=sin x+cos x,故选A.
数学中求导的公式
数学中求导的公式求导是微积分中的一个重要概念，用于描述一个函数在某一点的变化率。
在数学中，求导的公式是通过对函数进行微分来计算它的导数。
导数表示了函数在某一点的切线斜率，也可以用来求函数的最值、高阶导数等。
在求导的过程中，我们常用的求导公式有以下几个：1. 常数函数的导数公式：对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。
2. 幂函数的导数公式：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为y' = n * x^(n-1)。
这个公式可以通过使用定义来推导，也可以使用幂函数的特殊性质来求导。
3. 指数函数的导数公式：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且不等于1，其导数为y' = ln(a) * a^x。
指数函数的导数与函数自身成正比，且比例常数是ln(a)。
4. 对数函数的导数公式：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为y' = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数可以通过换底公式和指数函数的导数公式推导得到。
5. 三角函数的导数公式：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等，它们的导数公式分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)等。
这些公式可以通过使用极限定义来推导。
6. 反三角函数的导数公式：对于反三角函数arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等，它们的导数公式分别为 1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 + x^2)等。
这些公式可以通过使用反函数的导数与原函数导数互为倒数的性质来推导。
7. 复合函数的导数公式：对于复合函数y = f(g(x))，其中f和g 分别为函数，其导数可以通过链式法则来计算。
链式法则表示，复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数上乘以内层函数的导数。
函数相除求导法则
函数相除求导法则函数相除求导法则是解决函数极限问题的一种有效的数学方法，它利用了相除的思想，通过求函数的极限来求导函数。
在计算极限的情况下，函数相除求导法则非常有用，因为它比其他方法更简单，更加直观。
函数相除求导法则的基本原理是，当两个函数（或者多个函数）极限相等时，其导数也必定相等。
这里，求解极限是基础，而函数极限的求解是函数相除求导法则的核心，因此可以理解为函数相除求导法则就是对极限求解的一种分类。
另外，函数相除求导法则也可以用来求函数的导函数，即将函数的极限用函数相除求解，从而以极限为基础求解函数的导数。
在一般形式上，函数相除求导法则可以表述为：设F（x）、G（x）和H（x）为x的连续函数，其中F（x）和G（x）的导数分别为f（x）和g（x）。
当F（x），G（x）在X0点处极限相等，且H（X0）≠0时，H（x）的导数H（x）可以表示为：H′(x)=lim[H(x),x→X0]=lim[F(x)G(x),x→X0]=lim[F(x),x→X0]lim[G(x),x→X0]=f(x)g(x)因此，可以用函数相除求导法则来求函数导数，从而解决函数极限问题。
应用函数相除求导法则的实际应用有很多，它可以帮助我们求解函数极限问题，也可以计算函数的导数，从而开展函数分析研究。
其中，最常见的应用就是函数极限问题求解时，可以把函数分解成两个函数相除而求出结果，而不需要考虑复杂的函数运算，从而提高效率；此外，函数相除求导法则还可以用来求函数导数，从而求出函数的变化趋势，为函数分析提供坚实的数学基础。
总结函数相除求导法则是一种非常有用的数学方法，它可以用于解决函数极限问题，也可以用来求导数，为进一步的函数分析提供有力的数学基础。
它可以帮助我们快速准确地求解函数极限问题，从而提高效率，节约计算时间，更加有效地完成数学研究。
行列式求导公式
行列式求导公式行列式求导公式是数学中重要的一类计算机求解方法。
它可以用来快速精确地求解复杂的数学问题，它可以用来求解函数的极限值、求解微分方程和解析一元多次方程，这是传统求解方法难以实现的。
本文将介绍行列式求导公式的概念和应用。
行列式求导公式是一种计算机技术，可以用来求解矩阵中多项式的求导公式，它可用来求解函数的极限值、求解微分方程以及解析一元多次方程。
它可以帮助数学家们快速地求解多个复杂问题，更省时、更准确。
此外，行列式求导公式还可以用来帮助数学家在多项式的低阶求导和高阶求导问题上避免错误。
它可以用来求解函数的极限值、求解微分方程以及解析一元多次方程。
行列式求导公式的推导具有极高的复杂度，需要具有深厚数学基础的人才能够推导出来。
它将极其复杂的多项式简化成一个容易理解和抽象的表示，从而大大减少了数学计算的难度。
行列式求导公式也可以用来解决实际中的数学问题。
它可以用来求解多个复杂问题，如统计推断、机器学习以及物理建模等，这种方法可以避免常规方法的结果出错。
行列式求导公式的应用非常广泛，其本质是求解多项式的极限值、求解微分方程以及解析一元多次方程，它的精确度和准确性是传统方法所难以达到的。
因此，行列式求导公式在数学中有着重要的应用价值，它拥有很强的实用性，帮助数学家们解决多项式的极限值、求解微分方程以及解析一元多次方程等问题。
此外，行列式求导公式还可以应用于统计推断、机器学习以及物理建模等实际问题中，这也是它的强大之处。
总之，行列式求导公式是一种重要的数学计算机求解方法，它在多个领域都有着重要的应用价值，是数学家们求解多项式的极限值、求解微分方程以及解析一元多次方程等问题的重要途径。
因此，行列式求导公式应该受到人们越来越多的关注，然后不断地进行改进，从而发挥它的最大价值，有助于促进人类社会的发展。
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练习
➢求下列各函数的导数
(1) y (3x 5)3(5x 4)5
(2) y ln x ln x
(3) y ( x 4)2 x3
(4) y 1 tan2 x lncos x 2
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计算机 数学
1.4.5 隐函数求导法
凡是因变量y用自变量x的表达式表示的 函数y＝f(x)称为显函数。前面介绍的求 导法适用于显函数。但有时两个变量之 间的函数关系由一个方程F(x,y)＝0确定 ，这种由方程所确定的函数称为隐函数 。有些隐函数可以变换为显函数，但也 有不能变换为显函数的。对隐函数求导 就是把其中的一个变量看成另一个变量 的函数（虽然并没有用显式表示）。
计算机 数学
1.4 求导方法
➢ 本节内容
1.4.1 按定义求导数
1.4.2 导数的四则运算法则
1.4.3 复合函数的求导法则
1.4.4求导例题
1.4.5 隐函数求导法
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1
计算机 数学
1.4.1 按定义求导数
例1-23 求函数f(x)＝sin x的导数。
解
f ( x) lim sin(x x) sin(x)
对括号的若干次方这一类函数求导用复 合函数求导法则最简便，一般不要把括 号展开。
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计算机 数学
1.4.4
求导例题（续三）
（3）y at at
解
dy at ln a at ln a (t ) (at at ) ln a dt
（4） y ln(x x2 a2 )
13
计算机 数学
1.4.3 （续一）
显然，复合函数求导法则（1-26）或 （1-27）可以推广到多个函数复合的情形。 例如，如果y＝f(u)，u＝g(v) ， v＝h(x)， 满足定理1-8的条件，则有 dy dy du dv dx du dv dx 上式右端按y →u →v →x的顺序求导，通 常称为链式法则。
1 x2
1 x2
(13)
(arctan x)
1 1 x2
(14)
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
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计算机 数学
1.4.4 求导例题
例1 求下列函数的导数（其中只有x、t
是自变量）：
（1）y
x3
5x2 x2
x3
（2） f ( x) (3x2 2x 3)3
（3） y a t a t
2
4
整理后得
3x 4 y 12 2 0
30
计算机 数学
1.4.4
隐函数求导法（续四）
续解
将 x2
2, y 3 2 2
代入上式得
y
3
x2 2,y3 2
4
2
将有关数据代入切线方程（1-20）得
y 3 2 3 ( x 2 2)
2
4
整理后得
3x 4 y 12 2 0
31
计算机 数学
16
计算机 数学
练习
➢求下列函数的导数：
(1) y ( x2 4x 7)6
(2) y etan x
(3) y ln x2 1
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计算机 数学
基本初等函数的导数公式
(1) c 0 (c为常数) (2) ( x ) x 1
(3) (a x ) a x ln a (5) (ln x) 1
y 5x 1 x2
y 2x sin x
➢例4: y cosx ln x
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计算机 数学
例5 求 f (x) tan x 的导数。
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计算机 数学
课堂练习
➢求下列函数的导数
(1) y 3x2 x 5
(2) y 2 x 1 4 3 x
(3)
y
sin 2
-
+
f(x)
38
计算机 数学
作业
➢P39页
➢1-12 （3）（4）（5）（6）
➢1-13
➢P39-1-15
➢补充：1、讨论下列函数的单调性
f (x) 2x3 9x2 12 x
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39
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计算机 数学
1.4.4
隐函数求导法（续一）
例1 求由方程xy＋y－x－8＝0所确定的函
数的导数。
解 方法1 变换为显函数 y 1 7 ，
因此
y
(
x
7 1)2
x1
（a）
方法2 原方程两边分别对求导（注意： y是x的函数），得
( xy) y x y xy y 1 0
因此
y y 1 x1
（b）
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计算机 数学
1.4.4
隐函数求导法（续二）
例1-32 用隐函数求导法求函数y＝arcsinx的 导数。
解 将y＝arcsinx改写成x＝siny ，两边对x求 导，得
1 cos y y
因为函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域
5
计算机 数学
1.4.2
导数的四则运算法则
定理1- 7 设函数u＝u(x)和v＝v(x)在点x 处都可导，则
(u v) u v
（1-21）
(uv) uv uv
（1-22）
( u)
注意v：
uv uv v2
(v( x) 0) （1-23）
(uv) uv
( u ) u v v
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解
y ( x x2 a2 ) x x2 a2 x
1 x2 a2
1
(1
x2 a2
2
2x )
x2 a2
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计算机 数学
1.4.4
求导例题（续四）
例2 （1） y ln x 1 1，求 y(1。)
解 y [ln(
x11
x 1 1)] [ln( x 1 1)]
x
(4) (ex ) ex
(6)
(loga
x)
1 x lna
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计算机 数学
（续）
(7) (sinx) cos x
(8) (cos x) sin x
(9) (tan x) sec2 x
(10) (cot x) csc2 x
(11) (arcsin x) 1 (12) (arccos x) 1
1.4.3
复合函数的求导法则
定理1-8 设y＝f(u)，u＝g(x) ，且u＝g(x) 在点x处可导， f(u)在相应的点u处可导， 则复合函数y＝f[g(x)]在点x处可导，且
( f [g( x)]) f (u)g( x（) 1-26）
或写成
dy dy du （1-27）
dx du dx
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2
即
f ( x) 0
函数单调递减。
x
34
计算机 数学
例 1 判断函数
y sin x在
[
2
,
2
]上的单调性。
解 在 ( , )内， y cos x 0
22
所以由定理可知，函数
y
sin
x在
[
,
]
上单调增加。
22
例2
f (x)
1
，
x
f
(
x
)
1 x2
0，
在(,0) 和(0,)内函数单调减少。
6
计算机 数学
1.4.2 （续四）
特别地，如果法则（1-22）中v(x)＝c
（c是常数），因 (c) 0，有
(cu) cu
（1-24）
如果法则（1-23）中u(x)=1，有
(
1 v
)
v v2
（1-25）
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计算机 数学
➢例1:
➢例2:
➢例3
求下列函数的导数.
y x5 1 56 x
补充：导数的应用
➢一、函数单调性的应用
➢ 由导数的几何意义知 f ( x0 ) tan a（其中
a为曲线f(x)在点x0处的切线与x轴正向的夹角）
。
➢由图可知，若f’(x0)>0，则曲线切线的倾角a都
是锐角，函数f(x)单调递增； 若f’(x0)<0,则曲线
切线的倾角a都是钝角，函数f(x)单调递减。
➢因此，可以利用导数的正负来判断函数的单调 性。
32
计算机 数学
y y f (x) B
A
oa
bx
在 (a,b)内，切线与x 轴正方向
的夹角0 a ，斜率为正，
2
即
f ( x) 0
函数单调递增。
33
计算机 数学
y
A
y f (x)
B
o
a
b
在 (a,b)内，切线与x 轴正方向
的夹角
a
，斜率为负，
x ln a x0 x
x
x
1 lim ln1 x x 1 • ln e 1
x ln a x0 x x ln a
x ln a
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4
计算机 数学
1.4.1
按定义求导数（续三）
续解 即对任意x＞0，
(loga
x)
1 x lna
特别地，对任意x＞0，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(ln x) 1 x
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