求导公式 方法
求导法则及基本求导公式
求导法则及基本求导公式求导法则是微积分中的重要内容，用于求解函数的导数。
通过求导法则，我们可以将复杂的函数求导问题转化为简单的计算问题。
本文将介绍常见的求导法则及基本求导公式。
1.基本求导公式：（1）常数函数求导公式：如果f(x)=C（C是常数），那么f'(x)=0。
（2）幂函数求导公式：如果f(x) = x^n （n是实数），那么f'(x) = nx^(n-1)。
其中，对于n不等于1的情况，需要注意一点：如果n是一个整数，那么求导过程中，指数函数仍然满足乘法法则，即令n作为常数处理；如果n是一个实数但不是整数，那么求导过程中，必须使用指数函数的导数公式。
（3）指数函数和对数函数求导公式：（a）指数函数求导公式：如果f(x) = a^x （a>0，且不等于1），那么f'(x) = ln(a) * a^x。
（b）自然对数函数求导公式：如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
（4）三角函数求导公式：（a）正弦函数求导公式：如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) =cos(x)。
（b）余弦函数求导公式：如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
（c）正切函数求导公式：如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) =sec^2(x)。
2.求导法则：（1）和差法则：如果f(x)=g(x)+h(x)，那么f'(x)=g'(x)+h'(x)。
同样地，对于减法来说，如果f(x)=g(x)-h(x)，那么f'(x)=g'(x)-h'(x)。
（2）乘法法则：如果f(x)=g(x)*h(x)，那么f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
（3）除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/(h(x))^2（4）复合函数求导法则（链式法则）：如果f(x)=g(h(x))，那么f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点的变化率。
求导是求函数的导数的过程，求导的基本法则和公式有很多，下面详细介绍一些常用的基本法则和公式。
1. 常数法则：对于任意常数c，其导数为0。
即 d(c)/dx = 0。
2. 幂函数法则：对于任意实数n，以及常数a大于0，其导数公式为d(ax^n)/dx = nax^(n-1)。
3. 和差法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为两个函数的导数的和或差。
即d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再加上第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积。
即 d(f(x)g(x))/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再减去第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积，然后除以第二个函数在x点的平方。
即 d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^26.反函数法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
7. 求导乘积法：对于一组函数的乘积f(x) = f1(x)f2(x)...fn(x)，其导数可以表示为 f'(x) = f1'(x)f2(x)...fn(x) +f1(x)f2'(x)...fn(x) + ... + f1(x)f2(x)...fn'(x)。
8.反函数求导法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
常用的基本求导法则与导数公式
常用的基本求导法则与导数公式求导是微积分中的重要概念，它是计算函数变化率的一种方法。
在求导过程中，我们需要掌握一些基本的求导法则与导数公式。
在本文中，我将介绍一些常用的基本求导法则与导数公式，并给出一些示例来帮助读者更好地理解。
在微积分中，函数的导数表示函数在给定点处的变化率。
函数的导数可以通过各种求导法则与导数公式来确定。
接下来，让我们来看一些常用的求导法则与导数公式。
1.常数规则：如果函数是一个常数，那么它的导数等于零。
例如，如果f(x)=5，那么f'(x)=0。
2.幂规则：如果函数是幂函数，那么它的导数可以通过以下公式来计算：a.若f(x)=x^n，其中n是一个正常数，那么f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，如果f(x)=x^2，那么f'(x)=2x。
b.若f(x)=a^n，其中a是一个常数，那么f'(x)=0。
因为常数的导数等于零。
3.乘积法则：如果函数是两个函数的乘积，那么它的导数可以通过以下公式来计算：若f(x)=g(x)*h(x)，那么f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
例如，如果 f(x) = x^2 * sin(x)，那么 f'(x) = 2x * sin(x) +x^2 * cos(x)。
4.商规则：如果函数是两个函数的商，那么它的导数可以通过以下公式来计算：若f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h^2(x)。
例如，如果f(x)=(3x^2+1)/(2x)，那么f'(x)=(6x-3)/(2x^2)。
5.反函数法则：如果函数是另一个函数的反函数，那么它的导数可以通过以下公式来计算：若f(g(x))=x，那么f'(g(x))*g'(x)=1，因此f'(g(x))=1/g'(x)。
常用的基本求导公式
常用的基本求导公式1. 乘法法则（Product Rule）：如果y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = u'v + uv'。
2. 商法则（Quotient Rule）：如果y = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = (u'v - uv')/v²。
3. 链式法则（Chain Rule）：如果y=f(g(x))，其中g(x)是关于x的函数，f(u)是关于u的函数，则y'=f'(g(x))*g'(x)。
4.幂函数法则：如果y=xⁿ，其中n为常数，则y'=n*xⁿ⁻¹。
5.指数函数法则：如果y = aˣ，其中a为常数，x为变量，则y' = ln(a) * aˣ。
6.对数函数法则：如果y = logₐ(x)，其中a为常数，x为变量，则y' = (1/ln(a)) * (1/x)。
7.反三角函数法则：(1) 如果y = sin⁻¹(x)，则y' = 1/√(1-x²)。
(2) 如果y = cos⁻¹(x)，则y' = -1/√(1-x²)。
(3) 如果y = tan⁻¹(x)，则y' = 1/(1+x²)。
8.双曲函数法则：(1) 如果y = sinh(x)，则y' = cosh(x)。
(2) 如果y = cosh(x)，则y' = sinh(x)。
(3) 如果y = tanh(x)，则y' = sech²(x)。
9.导数的性质：(1) 常数的导数为0，即d/dx(c) = 0。
(2) 变量的导数为1，即d/dx(x) = 1(3) 导数的线性性质，即d/dx(c₁f(x) + c₂g(x)) = c₁f'(x) +c₂g'(x)，其中c₁和c₂为常数，f(x)和g(x)是关于x的函数。
导数的基本公式和运算法则
导数的基本公式和运算法则在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的基本公式和运算法则是求解导数的基础，掌握这些公式和法则对于解决微积分中的各类问题至关重要。
本文将介绍导数的基本公式和运算法则，并通过具体的例子帮助读者更好地理解和应用。
导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。
对于函数f(f)，其在点f处的导数可以表示为f′(f)或 $\\frac{df}{dx}$。
导数的定义公式如下：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$这个公式表示函数f(f)在点f处的导数是函数在f点微小变化量f趋近于 0 时的极限值。
导数的基本公式常数函数对于一个常数函数f(f)=f，其中f为常数，则导数f′(f)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平的直线，斜率恒为 0。
幂函数对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，则导数f′(f)=ff f−1。
这是幂函数求导公式的基本形式。
指数函数指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则导数$f'(x) = a^x \\cdot \\ln(a)$。
这是指数函数求导的基本公式。
对数函数对于自然对数函数 $f(x) = \\ln(x)$，则导数 $f'(x) =\\frac{1}{x}$。
自然对数的求导结果可以简单表达。
导数的运算法则导数具有一些运算法则，使得我们可以利用已知函数的导数求其它函数的导数。
以下是导数运算法则的一些常见规则：常数因子法则若f为常数，f(f)是可导函数，则 $(c \\cdot u(x))' = c\\cdot u'(x)$。
加法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则(f(f)+f(f))′=f′(f)+f′(f)。
乘法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则 $(u(x) \\cdot v(x))' =u'(x) \\cdot v(x) + u(x) \\cdot v'(x)$。
高等数学求导公式
高等数学求导公式高等数学中的求导公式主要包括常数函数的求导、幂函数的求导、指数函数的求导、对数函数的求导、三角函数的求导、反三角函数的求导、双曲函数的求导、双曲函数的求导、复合函数的求导、隐函数的求导以及参数方程的求导等。
1.常数函数的求导：若f(x)=C，其中C是常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的求导：若f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=n*x^(n-1)。
3.指数函数的求导：若 f(x) = a^x ，其中 a 是正实数(a ≠ 1)，则 f'(x) = a^x * ln(a)。
4.对数函数的求导：若 f(x) = loga(x) ，其中 a 是正实数(a ≠ 1)，则 f'(x) =1/(x*ln(a))。
5.三角函数的求导：若 f(x) = sin(x) ，则 f'(x) = cos(x)。
若 f(x) = cos(x) ，则 f'(x) = -sin(x)。
若 f(x) = tan(x) ，则 f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的求导：若 f(x) = arcsin(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(1-x^2)。
若 f(x) = arccos(x) ，则 f'(x) = -1/sqrt(1-x^2)。
若 f(x) = arctan(x) ，则 f'(x) = 1/(1+x^2)。
7.双曲函数的求导：若 f(x) = sinh(x) ，则 f'(x) = cosh(x)。
若 f(x) = cosh(x) ，则 f'(x) = sinh(x)。
若 f(x) = tanh(x) ，则 f'(x) = sech^2(x)。
8.反双曲函数的求导：若 f(x) = arcsinh(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(x^2+1)。
若 f(x) = arccosh(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(x^2-1) (x > 1)。
高数求导法则公式
高数求导法则公式
《高数求导法则公式》
在微积分中，求导是一项重要的运算。
对于一些基本的函数，可以通过一些法则和公式来简化求导的过程。
下面列举了一些常见的求导法则和公式。
1. 常数法则
如果f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
这是因为常数的导数为0。
2. 幂函数法则
如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
这条法则表明x的幂函数求导后，指数减1，并乘上原始指数。
3. 指数函数法则
如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
这条法则表示指数函数的导数仍然是它自己。
4. 对数函数法则
如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
对数函数ln(x)的导数是1/x。
5. 三角函数法则
sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = 1 + tan^2(x)。
这些法则表示了三角函数的导数和原函数之间的关系。
这些是基本的求导法则和公式，通过它们可以对各种函数进行求导。
当然，还有更多的求导法则和公式，如乘积法则、商法则、链式法则等，它们可以帮助我们更快捷地求出复杂函数的导数。
通过熟练掌握这些法则和公式，可以更好地理解微积分的运算，也可以更轻松地解决相关的数学问题。
基本求导法则与导数公式
基本求导法则与导数公式基本求导法则是微积分中的基本技巧之一，用于计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的概念，它可以在一点上表示函数的斜率，也可以通过函数在不同点上的导数值描绘函数曲线的特性。
掌握基本求导法则对于理解和应用微积分非常重要。
以下是一些常用的基本求导法则：1.常数规则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数为0。
2.乘法规则：如果f(x)=u(x)v(x)，那么它的导数为f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
这个规则是求两个乘积函数的导数。
3.除法规则：如果f(x)=u(x)/v(x)，那么它的导数为f'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v(x)²。
这个规则是求两个商函数的导数。
4. 指数函数规则：如果f(x)=aˣ，那么它的导数为f'(x)=aˣ·ln(a)，其中a是一个常数。
5. 对数函数规则：如果f(x)=logₐ(x)，那么它的导数为f'(x)=1/(x·ln(a))，其中a是一个常数。
6.幂函数规则：如果f(x)=xʳ，那么它的导数为f'(x)=r·xʳ⁻¹，其中r是一个常数。
7. 正弦函数规则：如果f(x)=sin(x)，那么它的导数为f'(x)=cos(x)。
8. 余弦函数规则：如果f(x)=cos(x)，那么它的导数为f'(x)=-sin(x)。
9. 正切函数规则：如果f(x)=tan(x)，那么它的导数为f'(x)=sec²(x)。
10.反函数规则：如果f和g是互为反函数的函数，那么f'(x)=1/g'(f(x))。
除了上述的基本求导法则外，还有一些常用的导数公式，便于计算特定类型的函数的导数：1. 复合函数法则：如果y=f(g(x))，那么y对x的导数可以写为dy/dx=df/dg·dg/dx。
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例1 求 函 数y a x在x x0处 的 导 数 。
解
函数y=ax的反函数为x=logay，又(log a
1
y)
1 y ln a
。
则dy dx
1 dx
1 a x ln a y ln a
dy
1
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例2 求函数 y arcsinx 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
π 2
,π 2
f (ex )exe f (x) f (ex )e f (x) f (x) e f (x)[ex f (ex ) f (ex ) f (x)]
练习 设f(u)可导，求y=f{f[f(x)]}的导数。 答案 y f { f [ f (x)]} f [ f (x)] f (x) 注意 f [(x)]与{ f [(x)]} d f [(x)]的区别。
2020年5月3日星期日
§3.3 求导公式与求导方法
一、反函数的导数
定理 若 函 数f (x)在 区 间I单 调 ， 在x0 I处 可 导 ，f (x0 ) 0，
则 其 反 函 数x f 1 ( y)在y0 f (x0 )处 可 导 ， 且
dx
1
dy y y0
f (x0 )
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
dx
先求导后 代入
先代入后 求导
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1y (x 2)(x 3)
2y 3x 1
2x 3
求 3y 1 ln x
1 ln x
导
4 y esin x 2tan x
数
5y 1 1 x
6y arctan 3x 1
7y ln(sec x tan x)
1y 2x 5
dy dx
x x0
f (u0 )g(x0 )
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
4
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当所针对的函数由三个以上的函数复合而成时也有类似
结果，例如对三个函数y=f(u)、u=g(v)、v=h(x)复合而成的函
数y=f{g[h(x)]}，有
(cotx) csc2 x
(cscx) cscx cot x
(ex ) ex
(ln x) 1 x
(arccosx)
1 1 x2
(arc c ot
x)
1
1 x
2
3
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三、复合函数求导
定理(链式法则) 若函数u=g(x)在x=x0可导，y=f(u)在u0=g(x0)可导，则复合 函数y=f[g(x)]在x=x0可导，且
)内单调、可导
,
且 (siny) cos y 0, 在Ix (1,1)内有
(arcsinx) 1 (sin y)
1 cos y
1
1 sin2 y
1. 1 x2
同理可得
(arccos x) 1 . 1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
;(arc cot
x)
1
1 x2
.
2
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2
2
a
1 a2 x2 1
2
2
x2 a2 x2
2
a2 a2 x2
a2 x2 .
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例5
求函数y
e
sin
1 x
的导数。
解 题中函数由y=eu、u=sinv、v=1/x复合而成，又 dy eu
du
du cosv dv
dv 1 dx x2
则
dy dx
dy du
du dv
例3 求函数 y (x2 1)10 的导数 . 解 dy 10(x2 1)9 (x2 1)
dx 10(x2 1)9 2x 20x(x2 1)9.
例4 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 . (a 0)
2
2
a
解 y (x a2 x2 ) (a2 arcsin x)
注意最后要把u、v换回x
dy dy du dv f (u)g(v)h(x) 。 dx du dv dx
应用时，首先把函数进行“分解”，由外到里写成几个 基
本初等函数复合而成的形式(注意一定要“分解”得彻底，保 证 最后写出的函数都是基本初等函数)，然后按照链式法则逐个 求导。
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2y
(2
11 x
3)2
3y
2 x(1 ln
x)2
4y esin x cos x sec2 x 2tanx ln 2
5y
1
4 1 x 1 1 x
6y 1
7y sec x
2x 3x 1
8y ln(1 x 2x x2 )
8y (1 x)ln(1 x 2x x2 ) 2x x2 log2 3
二、基本导数公式 (C) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x (secx) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
(arcsinx) 1 1 x2
(arc
tanx)
1
1 x
2
(x ) x 1
(cosx) sin x
c ose x0
因此有
例2 求函数 y lnsinx 的导数.
解 y lnu, u sin x.
dy dy du dx du dx
1 cos x cos x cot x
u
sin x
练习 求函数y e x 在x x0处的导数。 答案
e x0 。 2 x0
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例1 求函数y=sinex在x=x0处的导数。 解 函数y=sinex由基本函数y=sinu和u=ex复合而成， 又
dy du
u u0
(sinu) u u0
cosu0
du (ex ) ex0
dx xx0
x x0
dy dx
x x0
dy du
uu0
du dx
x x0
cosu0 ex0
ex0
dv dx
eu
cosv
Байду номын сангаас
(
1 x2
)
1 x2
sin 1
ex
cos 1 。 x
练习 求函数y ex sin 2x的导数。
答案
e
x
c
os
2x sin
2x
2x
熟练以后，可以不写出中间变量，直接求导。
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例 设f(u)可导，求y=f(ex)ef(x)的导数。 解 y [ f (ex )]e f (x) f (ex )[e f (x) ]
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2020年5月3日星期日
§3.4高阶导数与隐函数求导
一、高阶导数
我们知道，速度v是位移函数s(t)的导数：v=s′(t)。设初始时
刻t0的速度为v0，末时刻t的速度为v，则从t0到t的(平均)加速度