导数的求法
求导数的方法
求导数的方法（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均变化率③取极限，得导数。
（2）几种常见函数的导数公式：①C'=0(C为常数)；②(x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=-sinx；⑤(e^x)'=e^x；⑥(a^x)'=a^xIna （ln为自然对数）⑦(Inx)'=1/x（ln为自然对数）（3）导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2（4）复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的一个重要的支柱！导数公式及证明[编辑本段] 这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)y=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
导数的求法
导数的求法【知识要点】一、求导的方法1、利用常见八种函数的导数公式① （C 为常数） ② ③0='C 1()()n n x nx n Q -'=∈x x cos )(sin ='④ ⑤ ⑥ x x sin )(cos -='1(log )log x a a e x '=x x 1)(ln ='⑦ ⑧a a a x x ln )(='x x e e =')(2、利用导数的运算法则① ② ③ '''()u v u v ±=±'''()uv u v uv =+'''2()(0)u u v uv v v v -=≠3、利用复合函数的求导法则设函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数，()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u ()u y f u ''=则复合函数在点处有导数，且，或写作(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=二、导数的求法一般有四种：（1）利用导数的概念解答；（2）利用八种初等函数的导数公式解答；（3）利用导数的四则运算法则解答；（4）利用复合函数的求导法则求导.【方法讲评】方法一 利用导数的概念解答解题方法 求函数的导数的一般步骤是：①求函数的改变量)(x f y =)(/x f ；②求平均变化率；③取极限，得导)()(x f x x f y -∆+=∆xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(数＝. /y xy x ∆∆→∆0lim【例1】 求函数在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 2()f x x x =-+1x =-【点评】求函数的导数的一般步骤是：①求函数的改变量；②)(x f y =)(/x f )()(x f x x f y -∆+=∆求平均变化率；③取极限，得导数＝. x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(/y xy x ∆∆→∆0lim 【反馈检测1】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬C 2()715(08)f x x x x =-+≤≤2h 6h 时变化率，并说明它们的意义．方法二利用八种初等函数的导数公式解答 解题方法直接利用八种初等函数的导数公式解答. 【例2】求函数的导数. ()f x=【解析】 113122211()()22f x x x x ----'''===-=-由题得【点评】在使用时，要注意函数的形式，如果是就不能利用该公式了，因为1()()n n x nx n Q -'=∈(3)n x 它的底数是，不是，是复合函数，不是初等函数. 学科#网3x x 【反馈检测2】求函数的导数. 44()cos sin 22x x f x =-方法三利用导数的四种运算法则解答 解题方法直接套导数的四种运算法则. 【例3】已知函数，则＝________．))(ln 2()(2x x f x x f -'+=)4(f ' A ． B ．6 C ．8 D ．6-2【点评】本题中的处理是一个难点，有许多同学不知道把它怎么办.其实是一个常数，求导(2)f '(2)f '时，把它看作常数，利用就可以了.再给x 赋值得到的方程，即可求出的值.[()]()Cf x Cf x ''=(2)f '(2)f '【反馈检测3】设，求.x xe x f x ln )(=)(x f '方法四 利用复合函数的求导公式解答解题方法 函数在点处有导数，函数在点处的对应点处()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u 有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作()u y f u ''=(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=【例4】已知，求. 21x y -=y '【解析】1211211,22u x v u x v u -=-=∴=-===设1112y u v x ∴==-= 【点评】函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u ，则复合函数在点处有导数，且，或写作()u y f u ''=(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=【反馈检测4】已知，求. sin 2()x f x x=()f x '高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第17讲：导数的求法参考答案【反馈检测1答案】在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和，说明在附近，原油温2h 6h 3-52h 度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升． 3/C h 6h 5/C h【反馈检测2答案】sin x -【反馈检测2详细解析】 442222()cos sin (cos sin )(cos sin )222222x x x x x x f x =-=+- 22(cos sin )cos 22x x x =-=()(cos )sin f x x x ''∴==-【反馈检测3答案】(1ln ln )x e x x x ++【反馈检测3详细解析】 )(ln ln )(ln )()ln ()('+'+'='='x xe x e x x e x x xe x f xx x x . xxe x xe x e x x x 1ln ln ⋅++=)ln ln 1(x x x e x ++=【反馈检测4】 2sin 22cos 2x x x x-【反馈检测4详细解析】 22(sin 2)(sin 2)(sin 2)(sin 2)()x x x x x x x f x x x '''--'==2sin 2cos cos 2u x v u u v u x ''==∴===设(sin 2)2cos 2x x '∴= 22(sin 2)2cos 2(sin 2)2cos 2()x x x x x x f x x x --'∴== 2sin 22cos 2x x x x-=。
求导数的简单方法
求导数的简单方法导数是微积分中的一个重要概念，它表示函数在其中一点处的变化率。
求导数的方法有很多，其中有一些比较简单且常用的方法，下面我将详细介绍。
1.用基本的求导法则求导数：(1)常数法则：如果f(x)是常数c，那么f'(x)=0。
(2)幂法则：对于f(x)=x^n，其中n是一个实数，那么f'(x)=n*x^(n-1)。
(3) 指数函数法则：对于f(x) = a^x，其中a是常数，那么f'(x) = ln(a) * a^x。
(4) 对数函数法则：对于f(x) = log_a(x)，其中a是常数且不等于1，那么f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
(5) 三角函数法则：对于f(x) = sin(x)、cos(x)、tan(x)等三角函数，那么f'(x) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)等。
(6)反函数法则：如果f(x)是可逆的，并且f'(x)≠0，则其反函数f^(-1)(x)的导数为1/f'(f^(-1)(x))。
2.使用导数的性质简化求导过程：(1)加减法则：如果f(x)和g(x)都可导，则(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
(2)乘法法则：如果f(x)和g(x)都可导，则(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
(3)除法法则：如果f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2(4)复合函数法则：如果f(x)和g(x)都可导，则(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.使用隐式求导法求导数：当一个函数y以x为自变量，且无法显式地表示y为x的函数时，可以使用隐式求导法。
导数的运算法则
100 x
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨
( 2)因为c' (98)
5284
1321
2
(100 98)
所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨
2 ;
2
cos x
cos x
cos x
巩固练习
求下列函数的导数:
(4) y (2 x 3)(3x 2)； (5) y x tan x;
2
ln x
(6) y
x
2
2
(
4
)
法一：
y
(
2
x
3
)'
(
3
x
2
)
(
2
x
3)(3x 2)'
解：
4 x(3x 2) (2 x 2 3) 3 18x 2 8x 9
公 式5.若f ( x ) a x， 则f ' ( x ) a x ln a (a 0);
公 式6.若f ( x ) e x， 则f ' ( x ) e x ;
1
公 式7.若f ( x ) log a x， 则f ' ( x )
(a 0, 且a 1);
x ln a
100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1)90％
高中数学导数的计算
高中数学导数的计算导数是微积分中的一项重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。
在高中数学中，我们主要学习了常见函数的导数计算方法，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面我们将通过一些例子详细介绍这些函数的导数计算方法。
一、多项式函数的导数计算多项式函数的一般形式为f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，其中aₙ、aₙ₋₁、..、a₁、a₀为常数，n为正整数。
多项式函数的导数计算可通过幂次降低的方法来进行。
具体来说，对于f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，如果n≥1，则有f’(x)=naₙxⁿ⁻¹+(n-1)aₙ₋₁xⁿ⁻²+...+a₁。
如果n=0，则f’(x)=0。
例题1：求函数f(x)=4x⁴+2x³-3x²+5的导数。
解：f’(x)=4*4x³+3*2x²-2*3x¹+0=16x³+6x²-6x二、指数函数的导数计算指数函数的一般形式为f(x)=aᵏx，其中a为常数，k为指数。
指数函数的导数计算可以通过应用导数的基本性质和指数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=aᵏx，根据导数的基本性质，有f’(x)=k*aᵏ⁻¹x。
同样地，对于指数函数f(x)=a，它的导数为f’(x)=0。
例题2：求函数f(x)=3e²ˣ的导数。
解：f’(x)=3*2e²ˣ=6e²ˣ三、对数函数的导数计算对数函数的一般形式为f(x)=logₐx，其中a为底数。
对数函数的导数计算同样可以通过应用导数的基本性质和对数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=logₐx，根据导数的基本性质，有f’(x)=1/(xlna)。
例题3：求函数f(x)=ln(4x)的导数。
解：f’(x)=1/(4x)四、三角函数的导数计算三角函数是高中数学中常见的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
求函数导数的各种方法
求函数导数的各种方法
求函数导数的计算方法一般分为8种方法：
1.公式法
这个方法需要熟练掌握导数的基本公式。
2.导数四则运算公式
导数的乘法和除法公式要能熟练运用。
3.复合函数的链式法则—非常重要的求导方法
链式法则在应用时一般分成4步：分解—各自求导—相乘—回代
如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的导数.
4.反函数求导法
利用这种方法求导时，要注意：先取反函数，然后对反函数siny 求导，特别注意此时y是自变量，所以siny 的导数是cosy。
5.对数求导法
一般两种情况会使用对数求导法，这两种情况都是对等式两端同时取自然对数，利用对数的运算性质对函数进行变形。
（1）求幂指函数的导数
（2）求复杂根式的导数
6.隐函数求导法
隐函数是隐藏在一个方程中的函数，要用到链式法则。
7.参数方程求导法
注意参数方程求导公式
8.高阶导数
下面这个例子是一个求高阶导数的经典例题。
一般求二阶导数要多练习求隐函数和参数方程的二阶导数。
导数的四则运算法则
cos 2 x sin2 cos 2 x
x
1 cos 2
x
sec2
x.
即 同理可得
(tan x) = sec2x . (cot x) = - csc2x .
例 5 设 y = sec x，求 y .
解 根据推论 2，有
y
(se
cx)
1 cos
x
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
tan .
y x x0
y y0
)
(1)](
x
1)
(x2
1) 2x( x ( x 2 1)2
1)
2x (x2
x2 1 1)2
.
例 4 设 f (x) = tan x， 求 f (x). 解 f ( x) (tan x) sin x
cos x
cos x(sin x) (cos x)sin x
cos2 x
一、偏导数的求法
例 6 求函数 z x2 3xy 2 y3 在点 (2 , 1) 处 的两个偏导数.
解 因为
z 2x 3 y, z 3x 6 y2 ,
x
y
所以
z 22 31 1 , x x2
y1
z 3 2 6 1 0 . y x2
y1
例 7 设 z x y ( x 0) , 求证：
x0 x
x0 x
lim
x0
y x
lim
x0
u(
x
)
v x
v(x)
u x
u x
v
u( x) lim v v( x) lim u lim u lim v
x0 x
x0 x x0 x x0
求导数的方法
求导数是数学分析中的一个重要概念，它的基本概念是函数的变化率，即函数在某一点处的斜率。
求导数是对函数进行微积分的一种操作，可以用来求出函数图形的切线斜率和函数的变化率。
求导数的基本方法有两种，一是极限法，二是微积分法。
极限法是一种比较常见的求导数方法，它的基本思想是把函数在某一点处的变化率抽象成函数在此点附近距离不断减小时的变化率，从而得到函数在此点处的导数。
而微积分法更复杂，是在研究函数的性质时，可以利用积分的概念以及初等函数的性质，来求出函数的导数。
求导数的方法可以分为几种：
(1) 求一元函数导数的常用方法：
a. 利用导数的定义求导数；
b. 利用导数的性质求导数；
c. 利用微积分求导数；
d. 利用极限法求导数；
e. 利用初等函数的性质求导数；
f. 利用泰勒公式求导数。
(2) 求多元函数导数的常用方法：
a. 利用偏导数的定义求偏导数；
b. 利用偏导数的性质求偏导数；
c. 利用多元函数的性质求偏导。
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函数求导1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。
（3）取极限求导数=)(0'x f xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0002．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。
3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nxx⑤a a a x x ln )('=⑥xx e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '=⑧x x 1)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -= （2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f += )()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 例： （1）()324y x x =- （2）sin xy x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+复合函数的导数如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且(f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ'或记作 x y '=u y '•x u '熟记链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ'''（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例1函数4)31(1x y -=的导数.解：4)31(1x y -=4)31(--=x ． 设4-=u y ，x u 31-=，则x u x u y y '''⋅=x u x u )'31()'(4-⋅=-)3(45-⋅-=-u 55)31(1212---==x u 5)31(12x -=．例2求51xxy -=的导数． 解：511⎪⎭⎫⎝⎛-=x x y ， '541151'⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x y 254)1()1(1151x x x x x ----⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-254)1(1151x x x -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-5654)1(51---=x x ． 例3 求下列函数的导数x y 23-=解：（1）x y23-=令 u=3 -2x ，则有 y=u ，u=3 -2x由复合函数求导法则x u x u y y '∙'='有y ′=()x u x u )23('-'=xu231)2(21--=-∙在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u ，于是前面可以直接写出如下结果：y ˊ=xx x231)23(2321--='-∙-在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程： y ˊ=xx231)2(2321--=-∙-例4求下列函数的导数 （1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +21x +)解：（1）y=x 21-cos x由于y=x 21-cos x 是两个函数x 21-与cos x 的乘积，而其中x21-又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求x 21-导数时再用复合函数求导法则，于是y ˊ=(x 21-)ˊcos x -x 21-sin x=x xcos 212)2(---x 21-sin x=xx 21cos ---x 21-sin x（2）y=ln (x +21x +) 由于y=ln (x +21x +)是u= x +21x +与y=ln u 复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求x u '时用函数和的求导法则，而求(21x +)′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以y ˊ=211x x ++• [1+(21x +)ˊ]=211x x ++•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++21221x x=211x x ++•2211x x x +++=211x+例 5 设)1ln(++=x x y 求 y '. 解 利用复合函数求导法求导，得)1(11])1[ln(222'++++='++='x x x x x x y ])1(1[1122'++++=x x x])1(1211[11222'+++++=x x x x 11]11[11222+=++++=x x x x x .1．求下函数的导数.（1）cos 3xy = （2）y =(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2(1)y =32)12(1-x (2)y =4131+x (3)y =sin(3x －6π) (4)y =cos(1+x 2)⑪32)2(x y -=； ⑫2sin x y =；⑬)4c o s (x y -=π；⑭)13sin(ln -=x y ．1．求下列函数的导数(1) y =sin x 3+sin 33x ； （2）122sin -=x x y (3))2(log 2-x a2.求)132ln(2++x x 的导数一、选择题（本题共5小题，每题6分，共30分） 1. 函数y =2)13(1-x 的导数是（ ） A. 3)13(6-x B. 2)13(6-x C. －3)13(6-xD. －2)13(6-x3. 函数y =sin （3x +4π）的导数为（ ）A. 3sin （3x +4π） B. 3cos （3x +4π） C. 3sin 2（3x +4π）D. 3cos 2（3x +4π）4. 曲线nx y =在x=2处的导数是12，则n=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 函数y =cos2x +sin x 的导数为（ ） A. －2sin2x +x x2cos B. 2sin2x +x x 2cos C. －2sin2x +xx 2sinD. 2sin2x －xx2cos6. 过点P （1，2）与曲线y=2x 2相切的切线方程是（ ） A. 4x －y －2=0 B. 4x+y －2=0 C. 4x+y=0D. 4x －y+2=0二、填空题（本题共5小题，每题6分，共30分）8. 曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的斜率为___________。
9. 函数y =x sin （2x －2π）cos （2x +2π）的导数是 。
10. 函数y =)32cos(π-x 的导数为 。
11. ___________,2)(,ln )(00'===x x f x x x f 则。
例2．计算下列定积分（1）2(1)x x dx +⎰； （2）2211()xe dx x+⎰（3）20sin xdx π⎰5．42xe dx -⎰的值等于 （ ）42()A e e -- (B) 42e e + (C) 422e e +- (D) 422e e -+-9.计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.复合函数的导数1.C2.B3.B4.A5.A6.A7.y =u 3,u =1+sin3x8.－39.y ′=21sin4x +2x cos4x 10.)32cos()32sin(ππ---x x 11.x x x 1sin 1cos 122⋅。