特勒根定理
特勒根定理和互易定理
特勒根定理和互易定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：特勒根定理和互易定理1、特勒根定理1特勒根定理1内容为：对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令、分别为b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，它实质上是电路功率守恒的数学表达式。
2、特勒根定理2特勒根定理2内容为：如果两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，但由不同的支路构成。
假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并分别用、和、表示两电路中b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理同样对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，但它不再是电路功率守恒的数学表达式。
有时称它为“拟功率定理”。
它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流之间所遵循的数学关系。
<?xml:namespace prefix = o />3、互易定理的使用条件1）电路只含有一个独立电源；2）电路中没有受控源；3）电路中的所有无源元件全部为线性电阻。
4、互易定理1互易定理1内容为：对于一个线性无源网络NS，外加激励电压与网络响应电流互换位置时，响应电流相同，如图1所示，即=，则有。
图1互易定理15、互易定理2互易定理2内容为：对于一个线性无源网络N，外加激励电流与网络响应电压互换位置时，响应电压相同，如图2所示，即=，则有。
图2互易定理26、互易定理3互易定理3内容为：对于一个线性无源网络N，若激励在数值上相等，即=，则有，如图3所示。
图3互易定理3。
4.5特勒根定理
特勒根定理、KCL、KVL是电路的基本定律，三者之 间，用任何两个可推出另一个。
第四章 常用的电路定理 应用特勒根定理要注意的问题： 1)定理的正确性与元件的特征全然无关，因此特勒根定 理对任何线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适 用。定理实质上是功率守恒的数学表达。 2)电路中的支路电压必须满足KVL，支路电流必须满足 KCL，支路电压和支路电流必须满足关联参考方向（否则公 式中加负号）。
对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路n当它们具有相同的拓扑图但对应的支路的组成和参数不同任何时刻在两个电路的支路电流和电之间分别取关联参考方向下两电路中相对应的支路电压与支路电流的乘积的代数和恒等于零
第四章 常用的电路定理
4.5 特勒根定理 （Tellegen’s theorem）
1. 特勒根定理1－功率守恒
特勒根定理1表述为：对于一个具有n个结点和b条 支路的集总电路，任何时刻，在各支路电流ik和电压uk 取关联参考方向下，各支路电压与支路电流的乘积的代 数和恒等于零。此定理可用下式表示为：
∑u i
k =1
b
k k
=0
(4.5-1)
第四章 常用的电路定理
2. 特勒根定理2－拟功率守恒
特勒根定理2表述为：对于两具有相同的拓扑图，但对应的支路 的组成和参数不同，任何时刻，在两个电路的支路电流和电 ˆ ˆ u 压uk与ik之间、 k 与 ik 之间分别取关联参考方向下，两电路中 相对应的支路电压与支路电流的乘积的代数和恒等于零。可 用下式表示为， ⎧b ˆ ⎪∑ uk ik = 0 (4.5-2a) ⎪ k =1 ⎨b ⎪ u i =0 (4.5-2b) ∑ ˆk k ⎪ k =1 ⎩ 此定理中所谓相同的拓扑图是指两电路具有相同的结构。
特勒根定理
b
ukik ' 0
k 1
b
同理 uk 'ik 0 k 1
例11 NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A， i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω， i1'＝ -1.8A， 试求i2'?。
+ +i1
i2 + +
i1' +
i2' +
3v -
u-1
NR 4Ω u-2
3v -
u' 1 NR 8Ω u' 2
-
ik '
支路电压和电流取关联参考方向且相同，
则有 b ukik ' 0 和 k 1
b
uk 'ik 0
k 1
i6
5A
i6’ 2A
i1 2 - 2V + i5
22
4
i2 i3
i4
验证：
i1’ 2 - 4V + i5’
+
2 4V
4
i2’ -i3’
i4’
6
15
有相同的有向图如右 2 3 4
N: u1＝6V，u2＝－4V，u3＝2V， u4＝4V， u5＝2V， u6＝－8V；
这就验证了特勒根第二定理。
特勒根定理适用于任意集总参数电路
特勒根第二定理的证明：
设 N和N’两网络均有n个节点b条 支；。各支路电压、电流的参考方向 关联且相同。则N网络的KCL方程为
i12 i13 i1n 0 i21 i23 i2n 0 in1 in2 inn1 0 将上式分别乘以N’网络的相应电压，
6
uk 'ik ' 4×2＋0×0＋4×(-2)＋
特勒根定理的验证
公务员工伤工龄认定公务员工伤工龄认定是指公务员因工作原因导致工伤，根据相关法律法规和规定，享受工伤待遇的时限。
在中国，公务员工伤待遇是由国家提供的一项保障措施，旨在保护公务员在工作中所遭受的伤害。
公务员工伤工龄认定的过程需要经过一系列的程序和条件，以下是一般流程：第一步，公务员需要及时报告工伤：公务员在遭受工伤后，应该及时向单位报告，报告内容包括伤残程度、伤情发生时间和地点等相关信息。
第二步，公务员需进行职业病鉴定：工伤认定需要通过职业病鉴定来确定是否属于工作岗位所致。
职业病鉴定是由具备相应资质的鉴定机构来进行。
第三步，公务员需通过工伤鉴定：工伤鉴定是对工伤事件的原因、性质、伤残程度等方面进行鉴定。
鉴定结果会对公务员是否享受工伤待遇产生重要影响。
第四步，公务员需通过工伤认定：工伤认定是指根据公务员工作中所遭受的伤害程度和相关证据，判定是否属于工伤，并确定工伤赔偿标准。
第五步，公务员需通过工伤赔偿：工伤认定后，公务员可以享受由国家提供的工伤赔偿金和相应的待遇。
工伤赔偿金多为一次性支付，根据伤残等级和工龄等因素来确定。
在公务员工伤工龄认定中，工龄是一个重要的因素。
工龄是指公务员在工作岗位上的实际从业时间，工龄越长，享受工伤待遇的时间也将越长。
工伤待遇在不同省份和地区存在差异，但一般来说，公务员工伤工龄认定时间在1年以上，具体时间以相关法律法规和规定为准。
总之，公务员工伤工龄认定是一个涉及多个程序和条件的复杂过程，公务员需要按照相关规定及时报告工伤，并通过职业病鉴定、工伤鉴定、工伤认定等步骤来确保自身的权益得到保障。
同时，公务员也应加强安全意识，注意工作环境的安全，以减少工作中的伤害风险。
特勒根定理
ˆ ˆ ˆ I1U1 I 2U 2 I kU k 0
k 3
b 2
ˆ ˆ ˆ I1U 1 I 2U 2 I kU k 0
k 3
b 2
Is 5A, U1 2V, R 2
由于网络N由线性电阻元件组成，故
ˆ ˆ ˆ I kU k I k Rk I k U k I k
电阻吸收的功率为
P I R (1 2)W 2W
2 2 2
ˆ ˆ U1 3V, U2 5V
k 3 k 3 k 3
b2
b2
b2
ˆ ˆ U1 3V, U2 5V
因此，有
ˆ ˆ ˆ ˆ I1U1 I2U2 I1U1 I2U2
代入数据有
Is 5A, U1 2V, R 2
5 3 I 2 5 5 2 0
10 15 I2 1A 5
例
网络N由线性电阻元件组成，在图（a）所示电路中，已知
Is 5A, U1 2V, R 2 ； 在图（b）中已知电流
ˆ 源的端电压 U 1 3V,
阻R吸收的功率P。
ˆ 开路电压 U 2 5V, 求图(a)中电
(a)
(b)
解： 设网络N中有b条支路，图(a)和(b)是同一电路的两种不同的 工作状态，根据特勒根似功率定理，对图(a)和(b)分别有
k 1
6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (v4 - v1 )i1 (v4 -v2 )i2 (v4 -v3 )i3 (v1-v2 )i4 (v2 -v3 )i5 (v3 -v1 )i6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v1 (i1 i4 i6 ) v2 (i2 i4 i5 ) 3 (i3 i5 i6 ) v4 (i1 i2 i3 ) 0
2-7特勒根定理
有
∑u i
k =1
k k
=0
(2) 证明: 证明:
§27 特勒根定理
b
∑u i
k =1
k k
=0
令v4=0 支路电压用节 点电压表示 u1= - v1 u2= - v2
k =1
∑ uk ik = u1i1 + u2i2 + u3i3 + u4i4 + u5i5 + u6i6
=-v1i1 +(-v )i2 +(-v )i3 +(v-v2 )i4 +(v2-v )i5 +(v3-v )i6 2 3 1 3 1
6
=v1(i1 +i4 i6) +v2(i2 i4 +i5) +v3(i3 i5 +i6 =0 )
§27 特勒根定理
将这一结论推广到任一具有n个节点, 条支路的 将这一结论推广到任一具有 个节点,b条支路的 个节点 b 电路, 电路,则有 这就是特勒根功率定理(Tellegen′s power theorem) ′ 这就是特勒根功率定理 的数学表达式.该定理表明, 的数学表达式.该定理表明,在任意集中参数电 路中, 在任何瞬时t, 路中 , 在任何瞬时 t , 各支路吸收功率之和恒等 于零.也就是说, 于零.也就是说,电路中各独立源供给功率的总 等于其余各支路吸收功率的总和. 和,等于其余各支路吸收功率的总和 条支路在t时刻吸收的功率 (3)物理意义 uk (t)ik (t) = 第k条支路在 时刻吸收的功率 )物理意义: 条支路在 表整个电路在t时刻各支路吸收功率之和守恒( 表整个电路在 时刻各支路吸收功率之和守恒(为 时刻各支路吸收功率之和守恒 又叫瞬时功率守恒定理. 瞬时功率守恒定理 零), 所以 又叫瞬时功率守恒定理.
特勒根定理的证明
特勒根定理（Tolerance Theorem）是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。
下面是特勒根定理的证明：假设有一个电路，其中包含元件A、B、C，它们的电阻值分别为R1、R2、R3，并且它们的容差分别为δR1、δR2、δR3。
根据容差的定义，我们知道δR1+δR2+δR3=0。
现在，我们考虑将元件A、B、C的电阻值分别调整为R1+ΔR1、R2+ΔR2、R3+ΔR3，其中ΔR1、ΔR2、ΔR3都是非零实数，并且它们的大小小于元件的额定容差。
根据容差的定义，我们有δR1+δR2+δR3=0，因此我们可以将上式改写为：δR1+δR2+δR3 = -(δR1+δR2+δR3)将ΔR1、ΔR2、ΔR3代入上式，我们得到：ΔR1+ΔR2+ΔR3 = -(ΔR1+ΔR2+ΔR3)这意味着元件的容差对电路中各个元件之间的相互关系产生了影响。
如果我们将元件的电阻值调整为比额定容差小的值，那么电路中各个元件之间的相互关系将发生变化。
为了描述这种变化，特勒根定理提供了一个简单的公式。
具体来说，特勒根定理指出：对于电路中的任何元件，如果它的电阻值的变化量ΔR小于元件的额定容差，那么电路中的总电压变化量ΔV将满足：ΔV/V < (R1+R2+R3) / 3其中，V是电路中的总电压。
这个公式告诉我们，当电路中的某个元件的电阻值发生变化时，电路中的总电压变化量将非常小，通常小于额定容差的三分之一。
这意味着我们可以在电路设计中考虑元件的容差，而不必担心它们对电路性能的影响。
总之，特勒根定理是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。
特勒根定理的证明基于电路中各个元件之间的相互关系，并且提供了一个简单的公式，用于描述元件的容差对电路中总电压变化量的影响。
第9讲 特勒根定理和互易定理
支路吸收的功率
特勒根定理一: 特勒根定理一: 是功率守恒的具体体现 功率守恒的具体体现
证明: 证明:
+ u1 _ i1 i3
u2 + i2 + u6 _
i4 i6
u + 4_ i5 i7 + u5 _
p1 = u1i1 … p7 = u7i7
p2 = u2i2
∴ p1 + p2 + p3 + ... + p7 = u1i1 + u2i2 + ... + u7i7
如果电路中某一定理, 公式或方程的表述是成立的,则将 其中的元素用其相应对偶元素置换所得到的对偶表述也成立.
电路的对偶特性是电路的一个普遍性质, 电路中存在大量 对偶元素. 以下是一些常用的互为对偶的元素:
电压 磁链 电阻 电感 电压源 开路
电流 电荷 电导 电容 电流源 短路
CCVS VCVS 串联 网孔 回路 树支 KVL
k =3 ^ ^ b ^
(k=3, 4, …, b), 则
^ ^ + u2 i^2 = u1 i + u2 i u i 1 2 ^ 1 1
u i +u
1 1
^
^
2 2
i + ∑ Rk ik i k = 0
k =3
b
^
us1 i1 = us 2 i2
∧
若 uS1= uS2 , ^ 则有 i2= i1
互易定理形式二:若iS1= iS2, 则 u2=
∴u1i1 +u2i2 +u3i3 +u4i4 +u5i5 +u6i6 +u7i7 = (u1 +u2 +u3)i2 +(u4 +u5 u7)i4 +u6i6
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作业9：p104
4-14(b) 4-17 4-20 4-21
特勒根定理
特勒根第一定理(功率守恒)： 任意一个具有b条支路、n个节点的集总参数网络，设它的各支路电压和电流
分别为 和 (k＝1、2、3、…b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则有
uk ik
b
ukik 0
k 1
特勒根第二定理(似功率守恒)：
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同，则有
因此有，
6
u 'i ' 4×2＋0×0＋4×(-2)＋8×2＋4×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
这就验证了特勒根第一定理。
6
u i ' = 6×2＋(-4)×0＋2×(-2)＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
6
u ' i = 4×3＋0×(-2)＋4×1＋8×1＋4×4＋(-8)×5＝0 kk k 1
b
ukik ' 0
同理
b
uk 'ik 0
k 1
k 1
例11 NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A， i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω， i1'＝
-1.8A， 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR
4Ω
u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
b
b
解：
ukik ' uk 'ik 0
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u1 -
NR
4Ω
u-2
3v -
u-1'
NR 8ΩLeabharlann u-2'3i1'4i2 i2' 3i1 8i2'i2
i1＝-2A， i2＝1A， i1‘＝-1.8A代入
3(1.8) 41 i2' 3(2) 8i2'1 i2' 0.15A
作业8：p102
4-5 4-6 4-9(b) 4-10(b)
k 1
k 1
b
b
u1i1'u2i2 ' ukik ' u1'ik u2 'i2 uk 'ik
k 3
k 3
NR仅由电阻组成(k=3,…,b)
ukik ' Rkik ik ' (Rkik ')ik uk 'ik
b
b
得：
ukik ' uk 'ik
k 3
k 3
故：
u1i1'u2i2 ' u1'i1 u2 'i2
这就验证了特勒根第二定理。
特勒根定理适用于任意集总参数电路
特勒根第二定理的证明：
设 N和N’两网络均有n个节点b条支；。各支路电压、电流的参考方向关联 且相同。则N网络的KCL方程为
i12 i13 i1n 0 i21 i23 i2n 0 in1 in2 inn1 0
将上式分别乘以N’网络的相应电压，有
i12u1 i13u1 i1nu1 0 i21u2 i23u2 i2nu2 0 in1un in2un inn1un 0
将上式右端全部加起来，得
(i12u1 i21u2 ) (i13u1 i31u3 ) 0
由 i12 i21 , i13 i31 ,
故得
b
ukik ' 0 和
k 1
uk ' ik '
b
uk 'ik 0
k 1
i6
5A
2 i1 - 2V + i5
22
4
i2
i3
i4
验证： 有相同的有向图如右
i6’
2A
2 i1’
- 4V + i5’
+
2 4V
4
i2’
-i3’
i4’
6 15
23 4
N: u1＝6V，u2＝－4V，u3＝2V，u4＝4V， u5＝2V， u6＝－8V； i1＝3A， i2＝－2A， i3＝1A， i4＝1A， i5＝4A， i6＝5A。
因此有，
6
u i 6×3＋(-4)×(-2)＋2×1＋4×1＋2×4＋(-8)×5＝0 kk k 1
N’: u1'＝4V， u2'＝0V， u3'＝4V， u4'＝8V， u5'＝4V， u6'＝－8V； i1'＝2A， i2'＝0A， i3'＝－2A， i4'＝2A， i5'＝0A， i6'＝2A。