第5章 特勒根定理
电路(特勒根互易定理)
(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:
u2 u1 = iS1 iS 2
当
或 u1 i S 1 = u2 i S 2
时,u2 = u1
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iS1 = iS2
情况3 情况3
激励
图a 图b
电流源 电压源 响应 线性 电阻 网络 NR
图a 图b
电流 电压
a iS1 b
线性 电阻 网络 NR
c i2 d
a + u1 – b
c + – d uS2
(a)
(b)
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系: 则两个支路中电压电流在数值上有如下关系:
i2 u1 = i S 1 uS 2
当
或 u1 i S 1 = uS 2 i2
时,i2 = u1
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1. 互易定理
对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路, 对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路,在保持 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下, 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下,当激励与 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变. 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变.
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情况1 情况1 a uS1 + – b
激励 线性 电阻 网络 NR
电压源
响应 线性 电阻 网络 NR
电流
c i2 d i1
a
c + – d uS2
(a)
b
(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:
当
uS1 = uS2
时,i2 = i1
特勒根定理的验证
公务员工伤工龄认定公务员工伤工龄认定是指公务员因工作原因导致工伤，根据相关法律法规和规定，享受工伤待遇的时限。
在中国，公务员工伤待遇是由国家提供的一项保障措施，旨在保护公务员在工作中所遭受的伤害。
公务员工伤工龄认定的过程需要经过一系列的程序和条件，以下是一般流程：第一步，公务员需要及时报告工伤：公务员在遭受工伤后，应该及时向单位报告，报告内容包括伤残程度、伤情发生时间和地点等相关信息。
第二步，公务员需进行职业病鉴定：工伤认定需要通过职业病鉴定来确定是否属于工作岗位所致。
职业病鉴定是由具备相应资质的鉴定机构来进行。
第三步，公务员需通过工伤鉴定：工伤鉴定是对工伤事件的原因、性质、伤残程度等方面进行鉴定。
鉴定结果会对公务员是否享受工伤待遇产生重要影响。
第四步，公务员需通过工伤认定：工伤认定是指根据公务员工作中所遭受的伤害程度和相关证据，判定是否属于工伤，并确定工伤赔偿标准。
第五步，公务员需通过工伤赔偿：工伤认定后，公务员可以享受由国家提供的工伤赔偿金和相应的待遇。
工伤赔偿金多为一次性支付，根据伤残等级和工龄等因素来确定。
在公务员工伤工龄认定中，工龄是一个重要的因素。
工龄是指公务员在工作岗位上的实际从业时间，工龄越长，享受工伤待遇的时间也将越长。
工伤待遇在不同省份和地区存在差异，但一般来说，公务员工伤工龄认定时间在1年以上，具体时间以相关法律法规和规定为准。
总之，公务员工伤工龄认定是一个涉及多个程序和条件的复杂过程，公务员需要按照相关规定及时报告工伤，并通过职业病鉴定、工伤鉴定、工伤认定等步骤来确保自身的权益得到保障。
同时，公务员也应加强安全意识，注意工作环境的安全，以减少工作中的伤害风险。
特勒根定理的证明
特勒根定理（Tolerance Theorem）是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。
下面是特勒根定理的证明：假设有一个电路，其中包含元件A、B、C，它们的电阻值分别为R1、R2、R3，并且它们的容差分别为δR1、δR2、δR3。
根据容差的定义，我们知道δR1+δR2+δR3=0。
现在，我们考虑将元件A、B、C的电阻值分别调整为R1+ΔR1、R2+ΔR2、R3+ΔR3，其中ΔR1、ΔR2、ΔR3都是非零实数，并且它们的大小小于元件的额定容差。
根据容差的定义，我们有δR1+δR2+δR3=0，因此我们可以将上式改写为：δR1+δR2+δR3 = -(δR1+δR2+δR3)将ΔR1、ΔR2、ΔR3代入上式，我们得到：ΔR1+ΔR2+ΔR3 = -(ΔR1+ΔR2+ΔR3)这意味着元件的容差对电路中各个元件之间的相互关系产生了影响。
如果我们将元件的电阻值调整为比额定容差小的值，那么电路中各个元件之间的相互关系将发生变化。
为了描述这种变化，特勒根定理提供了一个简单的公式。
具体来说，特勒根定理指出：对于电路中的任何元件，如果它的电阻值的变化量ΔR小于元件的额定容差，那么电路中的总电压变化量ΔV将满足：ΔV/V < (R1+R2+R3) / 3其中，V是电路中的总电压。
这个公式告诉我们，当电路中的某个元件的电阻值发生变化时，电路中的总电压变化量将非常小，通常小于额定容差的三分之一。
这意味着我们可以在电路设计中考虑元件的容差，而不必担心它们对电路性能的影响。
总之，特勒根定理是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。
特勒根定理的证明基于电路中各个元件之间的相互关系，并且提供了一个简单的公式，用于描述元件的容差对电路中总电压变化量的影响。
特勒根定理
特勒根第二定理(似功率守恒)：
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同，则有
b
ukik ' 0 和
k 1
uk ' ik '
b
uk 'ik 0
k 1
i6
5A
2 i1 - 2V + i5
22
4
i2
i3
i4
验证： 有相同的有向图如右
i6’
2A
2 i1’
- 4V + i5’
ukik ' Rkik ik ' (Rkik ')ik uk 'ik
b
b
得：
ukik ' uk 'ik
k 3
k 3
故：
u1i1'u2i2 ' u1'i1 u2 'i2
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++Biblioteka ++
3v -
u1 -
NR
4Ω
u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
3i1'4i2 i2' 3i1 8i2'i2
-1.8A， 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR
特勒根定理
作业9：p104
4-14(b) 4-17 4-20 4-21
特勒根定理
特勒根第一定理(功率守恒)： 任意一个具有b条支路、n个节点的集总参数网络，设它的各支路电压和电流
分别为 和 (k＝1、2、3、…b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则有
uk ik
b
ukik 0
k 1
特勒根第二定理(似功率守恒)：
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同，则有
因此有，
6
u 'i ' 4×2＋0×0＋4×(-2)＋8×2＋4×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
这就验证了特勒根第一定理。
6
u i ' = 6×2＋(-4)×0＋2×(-2)＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
6
u ' i = 4×3＋0×(-2)＋4×1＋8×1＋4×4＋(-8)×5＝0 kk k 1
b
ukik ' 0
同理
b
uk 'ik 0
k 1
k 1
例11 NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A， i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω， i1'＝
-1.8A， 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR
4Ω
u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
b
b
解：
特勒根定理ppt课件
uk iˆk Rk ik iˆk ( Rk iˆk )ik uˆ k ik 5
k3
证明： 设共有b条支路， u1 uS , u2 0;uˆ1 0, uˆ 2 uˆ S
b
u1iˆ1 u2iˆ2 uk iˆk 0
uk Rkik uˆ k Rk iˆk
( un3 un1 )i4 un2i5 un3i6
un1( i1 i2 i4 ) un2 ( i2 i3 i5 ) un3 ( i3 i4 i6 )
0
KCL：
能量守恒是特勒根定理1的特例
i1 i2 i4 0
二、特勒根定理2：
i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1：
对于一个n个结点，b条支路的网络，令向量i=(i1，i2…..，ib) 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定
支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
证明： 4
b
ukik 0
k 1
KCL：
①
②
③
2
3
15
6
0
i1 i2 i4 0 i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
u ( u1 ,u2 ,...........,ub )
iˆ ( iˆ1 ,iˆ2 ,...........,iˆb ) uˆ ( uˆ1 ,uˆ 2 ,...........,uˆ b ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有：
b
ukiˆk 0
k 1
b
uˆ kik 0
即
uS i2
uˆ S iˆ1
特殊 uS uˆ S , 则 i2 iˆ1
第五章 电路基本定理
us1
us2
us3
i12 R1 R2 ia2 + ib2 – R3 i13 R1 ia3 R2 R3 ib3 + –
us1
us2
us3
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i11 R1 i + a1 – R2 ib1 R3
i12 R1 ia2 R2 + ib2 – R3
i13 R1 ia3 R2 R3 ib3 + –
例如图(a)所示电路，已知电路N的电压-电流关系为
u=i+5.8V，试用置换定理求解电路中支路电流i1、i2。
i1 i
i u
i2
u
(b) (a) 解: 先求出图(a)所示电路N左侧一端口电路的电压-电流 关系，如图(b)所示，端口的节点方程为
1 1 1 ( + )u = × 4 − i 4 6 4
1Ω u（1） ＋ (1) 2i － － ＋
＋
i (2)
2Ω
5A 1Ω ＋ (2) 2i －
上页
＋ u(2) －
下页
例3
封装好的线性电阻电路如 图，已知下列实验数据： 当 uS = 1V , i S = 1 A 时，
＋
uS
－
响应 i = 2 A 当 uS = −1V , i S = 2 A 时， 响应 i = 1 A
iS
NO
i
研究 激励 和响 应关 系的 实验 方法
求 uS =－ V , i S = 5 A 时， 3 响应 i = ？
解
根据叠加定理，有： 代入实验数据，得：
k1 + k 2 = 2 2 k1 − k 2 = 1
特勒根定理和互易定理
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
在使用定理的过程中，一定要注意对应支路的电压、电流的参 考方向要关联 例3、图中N由纯电阻组成，根据已知，求图（c）中的 I1和I2 。 3A 4 20V
+
(a)
1A
5
4
-
N
(a) I1 20V
+
(a)
2A
-
20V
N
(b)
4
+
(a)
又根据KCL，得： 6
k 1
u i
k k
0
un1 i1 u1 is1 i2
i4
R1 u4 i5 u5 is2 i 3 un3 u3
推广到任何具有n个结点 和b条支路的电路，有：
R2 un2 u2 R3
u i
k 1
b
k k
0
R4
i6 u6
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理
i1= -3A u2 = 5V i'1=？ u'2 = 0
i2=1A i'2=2A
利用例2结
论计算： i'1=-3.5A
i''2=I2 i''1=-I1 u''2=20+5i''2 联立(a)、(c) ： -8I1+5I2 =-3·(20-4I1) +(20+5I2)
联立(b)、(c) ： -6I1+0 =-3.5·(20-4I1) + 2·(20+5I2) i''2 I2 5 I1 4 i''1 (a) + I1= 2A I2= -1A + + + u''1 N u''2 20V 20V (c)
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第五章 特勒根定理5-1 引言特勒根定理是关于电网络拓扑结构的定理，它脱离了元件具体的物理性态，因而具有更普遍的意义。
特勒根定理是B.D.H. Tellegen 在本世纪五十年代初提出的[1、2]。
实际上，在此之前，已出现了许多关于特勒根定理的推导和讨论的文章[3-5]。
最早的工作应追溯到 1883年 O. Heaviside 的论文[6]。
尽管如此，先于Tellegen 的作者们没有指出定理的普遍性及其应用上的灵活性，只是将它用于一个特定的目的，或者只作出说明而没有探讨它的应用。
定理以 Tellegen 的名字命名是因为他是指出定理有普遍意义的第一人。
特勒根定理不仅具有电网络意义，它还具有更一般的应用价值，文[7]在一般数学方程组的基础上提出了广义特勒根定理，并给出了矩阵互易定理，进一步发展了这一理论。
本章介绍特勒根定理。
首先讨论特勒根定理在电网络中的表述，然后给出广义特勒根定理，并进行流图解析，最后是广义特勒根定理的应用举例。
5-2 特勒根定理定理5-1（特勒根定理1）：对n 个节点b 条支路的电网络，在标定支路的参考方向后，必有0),,,(02121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b T b I I I V V V I V （5.1）其中，b V 和b I 分别是支路电压和支路电流向量。
证明：由第一章网络的关联性可知m Tb b nTa b I K I V K V == （5.2）各符号意义同第一章，于是有b a Tn b T b I K V I V ⋅= (5.3)由基尔霍夫电流定律0=b a I K （5.4）故必有0=b T b I V （5.5）证毕。
定理5-2（特勒根定理2）：对于两个网络，若拓扑结构完全相同，且支路标定方向完全一致，必有b b 和0~=b T b I V （5.7）成立。
其中b b I V ,和b b I V ~,~分别属于两个不同网络。
证明：由于两个网络拓扑结构完全相同，并且支路标定方向一致，故在节点、支路及回路编号一致时，两者必然具有相同的关联矩阵a K 和b K ，这样有b a T n b T b I K V I V ~~= （5.8）上式显然为零。
这就证明了式（5.6）。
同理可证式（5.7）。
式（5.1）和式（5.8）也可以用基尔霍夫电压定律加以证明。
以式（5.8）的证为例m T b b m T b T b b T b I V K I K V I V )~(~~== （5.9）而由基尔霍夫电压定律0~=b b V K从而式（5.9）等于零。
所以，特勒根定理并不同时依赖于基尔霍夫两个定律，而仅由其一即能推导出定理的结论。
这种认识很重要，由此可以将特勒根定理作更广泛意义上的拓广。
定理5-1反映了网络能量守恒关系，称之为功率定理。
定理5-2是两个不同网络支路电压和电流的乘积，具有功率量纲，没有实际意义，称之为拟（似）功率定律（Quasi-power theorem)5-3 互易定理互易定理（Reciprocity theorem ）可以用特勒根定理简捷地证明，是特勒根定理应用的一个范例。
互易性有两种等效的但是不同的定义。
在一种定义中，设有一个有源二端口网络，观察它的响应，如果将源与负载交换后响应一样，则网络是互易的，如图5-1所示。
图中，若网络互易，必有12~V V =。
Maxwell , Rayleigh 和Lorentz 等人应用另一种更广泛的定义来定义n 端口网络的互易性。
这就是，一个p 端时不变网络，或者一个1+p 端元件，如果存在2 2 S I 图5-1 互易定理 (a)(b)1=k k k k k 其中k 对应于端口则称它是互易的。
显然这是第一种定义的拓广。
网络元件可以看作是最简单的网络。
因此若一个元件满足式（5.10），则称为互易元件。
对于一个两端元件e ，如图5-2，考察e V s e V ~ s ~图5-2 元件的互易性0~~=-e e e e I V I V （5.11） 是否成立以确定是否是互易元件。
对于线性电阻、电容及电感，有0~~~~=-=-e e e e e e e e e e I I Z I I Z I V I V （5.12）因此它们是互易元件。
理想变压器是两端口元件，容易证明它是互易元件。
可以举出许多非互易元件的例子，如晶体管，回转器等等。
定理5-3（互易定理）：由互易元件组成的网络一定是互易网络。
证明：组成网络N 的元件可以用支路表示，设端口支路用k 表示，内部支路用j 表示，则由特勒根定理2，有0~=∑b T b I V （5.13）0~~=∑+∑k k pkj j b jI V I V （5.14） 0~~=∑+∑k k pkj j b jI V I V （5.15） 两式相减，有0)~~()~~(=-∑+-∑k k k k pkj j j j b jI V I V I V I V （5.16）由于网络有互易元件组成，故0)~~(=-∑j j j j b jI V I V （5.17）得到0)~~(=-∑k k k k p kI V I V这正是式（5.10）.证毕。
注意，独立电源不是互易元件，所以对于独立源应放在端口。
受控源不一定不是互易元件，如线性负电阻就是互易元件。
故互易性和无源性不完全等同。
5-4 交互互易定理对于网络N 和N ~，若满足 1）N 和N ~具有相同的拓扑结构。
2）如果内部支路（独立电源以外的支路 ）具有阻抗表达形式，并满足b Tb Z Z ~= （5.19a ）或b T b Y Y ~= （5.19b ）其中b Z 和b Y 分别是支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵；3）N 和N ~端口以外的支路，即独立电源支路具有相同的性质（电压源或电流源）； 则称N 和N ~互为伴随网络（Adjoint network ）。
定理5-3（交互互易定理）：若网络N 和N ~相互伴随，则对于非独立电源支路集合b ，必有0)~~(1=-∑=l l l l bl I V I V (5.20a)或写作0~~=-b T b b T b I V I V （5.20b ）并称之为交互互易定理（Interreciprocity ）。
证明~~~~~)~~(~~~=-=-=-=-b T b b T b b T b T b b T b bT b b b T b b T b b T b V I I V I Z I I V I I Z I V I V I V由于N 和N ~具有相同的拓扑，故Ta b a n K Y K Y = （5.21a ）Tab a n K Y K Y ~~= (5.21b) 考虑到b Y 及b Y ~互为转置，有TaT b a n K Y K Y ~= （5.22） 由式（5.21b ），得TaT b a T T a b a T n K Y K K Y K Y ~)~(~== （5.23）从而T n n Y Y ~= （5.24）同理可得Tnm Z Z ~= （5.25） 因此伴随网络的性质1和2等价为节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵互为转置。
由式（5.16），设独立电源端口电压和电流参考方向相反，有)~~()~~(11k k k k bk j j j j b j I V I V I V I V -∑=-∑== （5.26） 即p T p p T p b T b b T b I V I V I V I V ~~~~-=- （5.27）若b b p p I V I V ,,,及b b p p I V I V ~,~,~,~从属于两个相互伴随的网络N 和N ~，由本节定理，有0)~~(1=-∑=k k k k pk I V I V （5.28）或0~~=-p T p p T p I V I V （5.29）这与互易定理的形式（5-10）完全一致。
但有一些不同。
互易定理成立的前提是组成网络的元件必须是互易元件，它是对同一个网络而言。
交互互易定理的条件是两个相互伴随的网络，并不要求元件具有互易性。
事实上互易性是交互互易性的特例，分析如下。
若网络N 由互易元件构成，必然满足式（5.17）， 即0~~=-b T b b T b I V I V （5.30）而bb Tb T b b b Tb b T b T b bT b b T b b T b b T b I Z Z I I Z I I Z I V I I V I V I V ~)(~~~~~~-=-=-=- （5.31）上式恒为零，只有Tb b Z Z = （5.32）这说明，互易性也存在着伴随网络，只不过伴随网络就是网络N 本身。
由上式可以知道，由互易元件构成的节点导纳矩阵和回路阻抗矩阵必为对称矩阵。
所以交互互易性意义更广泛，它可以应用于任意网络，只需构造出伴随网络。
（由节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵看，若是互易元件组成的，由于是对称矩阵，伴随网络的矩阵就是原网络相应矩阵本身），（若含非互易元件，伴随网络的矩阵取相应矩阵的转置即可）。
因此伴随网络的选择非常容易。
若网络N 的参考数发生了变化b Z ∆，由此b V 和b I 都将变化，假定网络N ~不变，则b b b b b b b I Z I Z I Z V ∆+⋅∆=∆=∆)( （5.33）考虑式（5.20），有bT b T b b T b b T b b T b T b bT b b T b T b b T b T b bT b b T b b b T b b T b b I Z I I V V I I Z I I V I Z I I Z I I V I V I I V I V V ~)~~(~~~~~~)(~~)(∆=∆-∆+∆=∆-∆+∆=∆-∆=∆+-∆+ 即又∵b Tb b T b V I V I ~~∆=∆有∴b b T b b T b b T b I Z I I V V I ∆=∆-∆~~~ （5.34） 上式说明了不含独立源的支路电压电流与网络参数变化量的近似关系（式（5.33）是近似表达），它在灵敏度分析中起着重要作用。
5-5 广义特勒根定理本节介绍适合一切可以用线性方程表述的物理系统的广义特勒根定理。
由第三章可知，任意矩阵A 都可表达为LDR A = （5.35） 的分解形式。
其中A 是m n ⨯阶矩阵，L 和R 分别为0，-1，1组成的q n ⨯和m q ⨯阶矩阵，D 是由A 的非零元素组成的对角线矩阵。
由此有下面的一．广义特勒根定理定义：称A ~与A 互为结构伴随矩阵，若满足T T L D R A ~~= （5.36）于是，有下面的定理5-4（广义特勒根定理）：对于结构相互伴随的n n ⨯阶矩阵A 和A ~形成的方程组B AX = （5.37a ） 和B X A ~~~= （5.37b ）必有B X W Y T T ~~= （5.38a ）和X B Y W T T ~~= （5.38b ）成立。