由互易定理
4. 5 互易定理
–
网孔方程：
(1)
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1 - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 i1 = il1
节点方程： (G1+G2)un1- G2 un2 = is1 (2) -G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1 u1 =un1
R I 0 U k2 U 2
例2
i1
图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接, 测得电流i1=I1, i2＝I2, 求b图中的i’1 a i2 i’1 a
+
US
+ N N
b (a) 对图(c)应用叠加和互易定理 US
N
-
(b)
b
解 +
US
i”1
a
+
N N
b
(c) US
–
d
2A
(c)
a Req
b
线性 电阻 网络 NR
c
a I 5 5 + 5V – 戴维宁等 效电路
(d)
d
b
(2) 结合a图，知c 图的等效电阻：
u1 10 Req 5 2 2
5 I 0.5A 55
解2
应用特勒根定理：
ˆ ˆ u1i1 u2 i2 u1 i1 u2 i2
B + U –
线性 有源 网络
a A RA b
R
解
B
（1）应用戴维宁定理： （2）应用替代定理：
a + U –
A
RA R RA + Uoc – I
互易定理证明范文
互易定理证明范文互易定理是数学中的一个重要定理，旨在说明在不同的域上进行变换时，求导和求积分可以互相转换。
在本文中，我将从定理的定义、证明过程以及实际应用等角度来解释互易定理。
首先，我们来定义互易定理。
在数学中，互易定理又称为傅里叶变换的互易性质。
设函数f(x)和F(k)分别表示实数轴上的两个函数，其傅里叶变换定义为：F(k) = ∫[负无穷，正无穷] f(x)·e^(-ikx) dx其中，e^(-ikx)是一个复指数函数，被称为傅里叶系数，表示一个特定频率的振幅。
互易定理指出，当函数f(x)和F(k)都在积分区间[-∞,∞]上绝对可积时，f(x)的傅里叶变换F(k)的逆变换等于f(x)自身。
也就是说，有如下关系成立：f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ikx) dk接下来，我将展示互易定理的证明过程。
证明过程如下：我们首先考虑定义的傅里叶变换公式：F(k) = ∫[负无穷，正无穷] f(x)·e^(-ikx) dx现在，我们将定义傅里叶变换的逆变换：f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ik x) dk为了证明互易定理，我们需要证明f(x)等于其逆傅里叶变换。
换句话说，我们需要证明：(1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ikx) dk = f(x)我们可以通过以下步骤证明上述等式：步骤1：我们将f(x)表示为其傅里叶变换F(k)的逆变换。
f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ikx) dk步骤2：然后，我们将F(k)替换为其傅里叶变换f(x)。
f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] [∫[负无穷，正无穷]f(x')·e^(-ikx') dx']·e^(ikx) dk步骤3：我们交换积分的顺序并进行化简。
6.3互易定理
证明：设电路中有b条支路，连接αα’和证明方法同定理1证明方法同定理1☐互易定理在应用时要注意，前两种形式中，当激励是电压，响应为电流；当激励是电流，响应就是电压；第3种形式，一边激励、响应都是电流，另一边激励、响应都是电压。
从总体上说，不能全是电流或全是电压。
(注意，互易定理中各次观测的响应均为零状态响应)☐应用互易定理时，不仅有量的大小问题，而且还有方向问题。
一般电源的移动方法为：平移法和旋转法。
☐互易定理用于解平衡电桥电路和对称电路较方便。
☐互易性与无源性是互不相干的，回转器是无源器件，但不能互易。
9例4：图中N为线性无源电阻电路，图（当将3Ω支路短路求短路电流(a) (b)17从图(a)可知又因为从图(b)可知22232323()R u R i R i R i R i R R iββ=+=+=+Si i =所以223S()u R R i β=+113ˆˆˆˆR uu i R i γ=++又因为S ˆii =111S ˆˆR uR i R i ββ=-=-所以11S S 3S 13S ˆ()uR i i R i R R i βγβγ=-++=-++由于u 2应等于û1，所以可求得12()R R γβ=+(c)19网孔方程为消去控制电流i 及网孔电流i m3，得矩阵形式的网孔方程13131m1132232m 22R R R R R i u R R R R R i u γβγβββ++-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦若原电路电路互易，则13m13m 21m313m123m 22m32m3m1m 2()()R R i R i R i u i R i R R i R i u i i i i i γβ++-=-⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪=+⎩3132R R R R γββ+-=+亦可得12()R R γβ=+。
材料力学互易定理
材料力学互易定理材料力学互易定理，也称Betti第二定理或Betti-Maxwell互易定理，是材料力学分析中一个重要的定理，用于计算复杂结构的内力分布和刚度计算等问题。
本文将详细解释什么是材料力学互易定理，其背景、前提和证明过程，并简要介绍其应用和限制。
一、背景和前提材料力学互易定理是由19世纪意大利学者贝蒂 (Carlo Alberto Castigliano) 和英国学者麦克斯韦（James Clerk Maxwell）独立提出的。
这个定理的起源可以追溯到19世纪，当时的工程师们需要计算桥梁、建筑和机器的承载能力以及内力、应变等。
然而，复杂的结构往往需要进行繁琐的计算才能得出结果，这个过程既费时又费力，而且容易出错。
为了解决这个问题，贝蒂和麦克斯韦分别提出了一条定理，使得计算更为简单。
他们的定理相似，而且可以互相推导，因此被称为材料力学互易定理或Betti第二定理。
这个定理的基本思想是在复杂的力学问题中，可以通过若干次简单的计算来得出结果。
在介绍互易定理之前，先要介绍一些概念。
材料力学中的很多问题都是静力学问题，即考虑物体在稳定状态下的受力情况。
为了描述一个物体在空间中的静力学状态，需要引入一些概念：受力结构：指一个物体，包括其支撑和支承的物体。
外载荷：指作用在受力结构各部分上的外部荷载，包括重力、压力、拉力等。
位移：指受力结构的任意一个点在三维空间中的位移，包括沿x、y和z三个方向的位移。
应力：指受力结构内部任意一个点的受力情况，包括拉力、压力等。
应变：指受力结构内部任意一个点的形变情况，包括沿x、y和z三个方向上的形变。
根据上述定义，可以得到受力结构中各部分的内力和挠度，由此可以推导出材料力学互易定理。
二、定理表述材料力学互易定理的核心是内力和位移之间的关系。
它的推理方式可以描述为以下两个定理：定理一：原来的受力结构，在其任意点的位移与外载荷的乘积之和等于对其施加单位外力所引起的位移值，即W = ∫_(V)(σVε)dV其中，W是原始受力结构对外力加之后的反作用位移，V是受力结构内部有位移的体积，σ是体积元素中的应力向量，ε是应力张量中的应变向量。
电路分析之互易定理
R1 = R2 = 2Ω时，us = 8V，i1 = 2A，u2 = 2V； R1’ = 1.4Ω，R2’ = 0.8Ω时，us’ = 9V，i1’ = 3A， 求：u2’ = ?
R1 i1
i2
R1’ i1’
i2’
uS
N
R2 u2 uS’
N R2’ u2’
2009-10-13
(a)
(b)
解： ∵R1、R2已变，∴不能直接对us两端用互易定理。
Q u22' = 0，uˆ11'＝0，uS1 = u11'，uˆ S 2 = uˆ22'
其它形式的推导类似
5
3、注意事项
§2－10互易定理
只适用于线性电阻网络； 使用互易定理时要注意电流、电压的关联方
向；
互易定理对简单支路也成立； 当网络只有单一源时，才能直接使用互易定理。
当有多个电源时，可先用叠加定理化为单电源
网络，再使用互易定理。
4、例子
例1、下图(a)中，已知u2 = 6V，求图(b)中u1’ = ?
4A
R1
N R2
u2 u1’ R1
N R2
2A
(a)
(b)
2009-10-13
6
1
§2－10互易定理
§2－10互易定理
§2－10互易定理
4A
R1
N R2
u2 u1’ R1
N R2
2A
(a)
(b)
解：首先R1和R2可并入N构成N’仍为无源线性电阻网络
i11adi1n4520vi2ei1n45i220v将图a和b电路的网络n及左端用戴维南等效电路的代替即将a和b分别化简为fg3用戴维南定理求i220091013210互易定理12fr05uoc1agi2r0uoc2a1uocr052uocr0r0是图a和b电路从右端看进去的戴维南等效电路的r0则图e可简化为h
2-8互易定理
$ u22 ′ i s = u11′ i s
所以
$ u22 ′ = u11′
互易定理的第三种形式
=iS
u11′i11′ + u 22′i22′ = u11′i11′ + u 22′i22′
0 0 -iS uS
数值
所以 五,应用举例
$ u11′ = i22′
数值
$ 0 = u11′ i s + u s i 22 ′
§28 互易定理
三,注意几点: 1 .为互易网络的条件 不含受控源和独立源的线性二端口网络 2 .为口的条件 3 .两个端口的引出方式有规定: 两个端口的引出方式有规定: 在任意对节点间并联引出(跨接引出 烙铁引出) 跨接引出, 在任意对节点间并联引出 跨接引出,烙铁引出 将任意支路剪断后串接引出(夹钳引出) 将任意支路剪断后串接引出(夹钳引出) 4. 激励和响应互换位置后要使响应数值不变, . 激励和响应互换位置后要使响应数值不变, 激励和响应在性质上的三种达配关系. 激励和响应在性质上的三种达配关系. 用动画说明
5. 激励和响应互换位置后要使响应数值不变, . 激励和响应互换位置后要使响应数值不变, 激励和响应的方向不能错. 激励和响应的方向不能错.
1 is 1′ N
互
2 i 22′ 数值
1
2 N
互
+ u11′ u ′ 11
2′
1′ 2′
+ 数值 is us -
响应电流(短路电流) 响应电流(短路电流) 响应电压(开路电压) 响应电压(开路电压) 电流源电激流方向 电压源电位升方向 四,证明:用特勒根定理证明 证明:
互易定理的第一种形式
u11′i11′ + u 22′i22′ = u11′i11′ + u 22′i22′
互易定理的应用
互易定理的应用互易定理，又称反比例定理，是一种数学定理，由欧几里得发现，也有可能是希腊数学家勒比里安提出。
它表明两个变量总是存在反比例关系，即当一个增加时，另一个就会减少，反之亦然。
本文将针对互易定理的定义及其在人们日常生活中的应用作出介绍。
首先，从数学上来说，互易定理的定义如下：若x和y是两个正数，且x y，则有 x / y = y / x 。
互易定理是一种对称定理，即把变量换位置，结果依旧不变。
它可以被用来计算一个变量的值，当另一个变量的值已知时，例如将2/4用互易定理处理，可得出4/2=2。
其次，在日常生活中，互易定理常常被用来计算金融类的问题，例如汇率的计算，人们可以根据以美元（USD）为基准计价的汇率，把其他货币的汇率折算成美元，再将美元的汇率折算回原货币，从而得出原货币的汇率。
此外，在物理上，互易定理也得到了广泛的应用。
常见的例子是摩擦力和摩擦系数之间的关系，即F=μ*N，其中F为摩擦力，N为物体表面接触的部分产生的压力，而μ则为摩擦系数。
很显然，当N增大时，F也会增大，但μ则同时减小，由此可见，F和μ之间也存在反比例关系，这正是互易定理的应用。
最后，互易定理还可以应用于流体力学和化学，例如比重的换算，在一个未知液体的情况下，可以根据比重的反比例关系，通过测定出一个熟悉的液体的比重，从而估算出未知液体的比重。
在生物学方面，同样可以利用互易定理，比如减肥的过程，当体重减少时，体质指数（BMI）会相应减少，反之亦然，因此可直观地看出二者之间存在反比例关系，同样是互易定理的应用。
综上所述，互易定理是一个十分有用的定理，其应用领域涉及到金融、物理、化学以及生物等多种领域。
本文综述了互易定理的定义及其应用，希望能够对读者有所帮助。
3-4 互易定理
3.4 互易定理1. 互易定理的内容互易定理：对于一个线性电阻网络而言，如果只有一个激励和一个响应，那么当激励与响应互换位置后，激励与响应的比值保持不变。
这里的激励指电压源或电流源，响应指电压或电流。
互易定理的示意图如图1所示。
u 1i 2u 2i 1212u u i i =图1 互易定理示意图根据互易定理和图1，1212(u u i i =激励）（互换位置后的激励）（响应）（互换位置后的响应） （1）由式（1）可以看出，如果激励（电压源电压）相同，则互换位置后的响应（电流）也相同。
这是互易定理的一种特殊情况。
由互易定理的内容可以看出，互易定理是很难自己想象出来的。
由于互易定理很难想象，要证明互易定理自然也是一件非常困难的事情。
不过，为了令人信服，下面我们来证明一下互易定理。
2. 互易定理的证明在证明互易定理之前，需要先证明两个定理和一个定理推论，即特勒根定理1、特勒根定理2和特勒根定理2推论。
特勒根定理1的内容是，任意一个电路，如果每一条支路的电流参考方向都是从电压参考方向的正极流入，则所有支路的电压电流乘积加起来一定等于零。
电压电流乘积就是功率，可见特勒根定理1的物理含义就是任何一个电路总的功率为零，也就是发出功率等于吸收功率，即功率守恒。
下面我们来证明特勒根定理1。
假设任意一个电路总计有b 条支路，n 个结点，第p 、q 个结点之间的电压记为pq u ，电流记为pq i ，则1111111111111()02222bn n n n n n nnk kpq pq p q pq p pq q pq k p q p q p q q p u i u i u u i u i u i ===========−=−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）由式（2）即证明了特勒根定理1。
式（2）乍一看很难理解，下面对其中的细节进行解释。
式（2）中第一个等号是将支路电压电流乘积之和转化为结点与结点之间电压与电流乘积之和。
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is i v
N
v
ˆ v
N
ˆ v
ˆs i ˆ i
'
'
'
'
ˆs is，则 v ˆ v 若i
§4.10
互易定理
证明方法同定理1
is i v
N
v
ˆ v
N
ˆ v
ˆs i ˆ i
'
'
'
'
根据特勒根定理有
ˆ v ˆ ˆ i ˆ i v vi v i
这说明回转器是既不发出功率，又不消耗功率的元件。所以，回转 器是无源元件。
i1
1A
i2 v2
i1
i2
1A
v2=
v1=-
v1
这说明，互易定理不适用回转器。所以说，互异性与无源性是没有 关联关系的，即不相干的。
§4.10
互易定理
例 一线性无源电阻网络N0，引出两对端钮测量。当 输入2A电流时，输入端电压为10V，输出端电压为5V； 若把电流源接在输出端，同时在输入端跨接一个15的 电阻，求流过15电阻的电流。
'
'
ˆ i
N
ˆ v
ˆ v
ˆs v
ˆ vs i vs i
ˆ i ˆs vs时，i 因此，当v
'
'
§4.10
互易定理
互易定理2 对内部不含独立源和受控源的线性电阻网络 N,任取两对端钮’和’，若在端口’施加输入电流， 在端口’可得输出电压，如图所示。反之，对’施加输 入电压，可在’得到输出电流，如图所示。
ˆ 0，i ˆ is i is，i 0，i
ˆ is v is v
ˆ v 因此，当is is时，v
§4.10
互易定理
互易定理3 对内部不含独立源和受控源的线性电阻网络 N,任取两对端钮’和’,若在端口’施加输入电流， 在端口’可得输出电流，如图所示。反之，对’施加输 入电压，可在’得到输出电压，如图所示。
ˆ 0，v ˆ v ˆs i is，v 0，i
ˆ is v ˆs i 0 v
ˆ is v ˆs i v
ˆs的值 is的值时，v ˆ的值 i的值 因此，当v
§4.10
互易定理
• 互易定理的适用范围是比较窄的，它只适用于无源线性定 常网络。如果网络中有独立源或受控源，非线性元件，时 变元件等，该网络就不能运用互易定理。这是因为线性定 常网络保证了网络的电阻矩阵和电导矩阵具有对称性，才 使互易性得以成立。
例
互易定理
i1 v1
i2 v2
v1 0 v2
i1 0 i2
从外界送入回转器的功率为
v1 (t )i1 (t ) v2 (t )i2 (t ) i2 (t )i1 (t ) i1 (t )i2 (t ) 0
基本电路理论
第四章 电阻性网络的一般分析与网络定理
上海交通大学本科学位课程
电子信息与电气工程学院 2004年7月
§4.10
互易定理
互易定理1 对内部不含独立源和受控源的线性电阻网络N, 任取两对端钮’和’，如果在端口’施加输入电压,在 端口’可得到输出电流,如图所示。反之，对’施加输 入电压，可在’得到输出电流，如图所示。
iS
R1
v1
v2
g m v1 R
v2≠0
v1=0
R1
v1
g m v1 R
iS
iS
v2
v2≠0
v1=0
v1 iS
§4.10
互易定理
• 互易定理在应用时要注意，前两种形式中，当激励是电 压，响应为电流；当激励是电流，响应就是电压；第3 种形式，一边激励、响应都是电流，另一边激励、响应 都是电压。从总体上说，不能全是电流或全是电压。 (注意，互易定理中各次观测的响应均为零状态响应) • 应用互易定理时，不仅有量的大小问题，而且还有方向 问题。一般电源的移动方法为：平移法和旋转法。 • 互易定理用于解平衡电桥网络和对称网络较方便。 • 互易性与无源性是互不相干的，回转器是无源器件，但 不能互易。
根据特勒根定理
ˆ ˆ v i v i
则有
vs v
N
v iˆ
k 1
b
k k
0
ˆ i ˆ i v v
ˆi v
k 1
b
b
k k
0
由于网络N由线性定常电阻组成，所以
ˆ ˆ v i v i
v i
R i iˆ
k 1
b
2A
N0
5V
5V
5
i
10V
N0
2A
5V
15
'
'
'
'
'
电流源变换位置后电路结构改变（接入15的电阻），故不能直接用 互易定理。 由已知，N0的等效电阻Req=5；由互易定理，’的开路电压VOC=5 V。用戴维宁定理求得i=0.25A。
§4.10
例
互易定理
求图示网络中的电流I。
4
+
8V
2 2 2 I
解 所示为复杂电路，用互易定 理可化简成串并联方法求解的简 单电路。 I1=2A，I2=4/3A，I3=2/3A， KCL：I=I2-I3=2/3A 此例也说明，同电位不等于无电 流。
1
4 I 1
2
I2 I3
I1
2
8V
2
§4.10
ˆk ˆk Rk i vk Rk ik，v
k 1
k k k
0
ˆ i Rk iˆk ik 0 ˆ i v v
ˆ ˆ ˆ i ˆ i v v v i v i
ˆ 0，v ˆ vs v vs，v 0，v
vs v
N
v i
ˆ i
NˆΒιβλιοθήκη vˆ vˆs v'
'
'
'
ˆ ˆs vs，则i 若v i
§4.10
互易定理
证明：设网络中有b条支路，连接’和’的支路电压和电流分别 为 ˆ ，v ˆ ˆ ，i ˆ ，i v ，i ，v ，i ， v
is i v
N
v i
ˆ v
N
ˆ v ˆs v
'
'
'
'
ˆs的值 is的值，则v ˆ的值 i的值 若v
§4.10
互易定理
is i v
N
证明方法同定理1
v i
ˆ v
N
ˆ v ˆs v
'
'
'
'
根据特勒根定理有
ˆ v ˆ ˆ i ˆ i v vi v i