殷都区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

殷都区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数f （x ）＝，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）

kx ＋b x ＋1

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．4

2． 棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）

A ．

B ．18

C ．

D ．

3． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（

）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也非必要条件

4． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于

，且获得一等奖

的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）

A ．最多可以购买4份一等奖奖品

B ．最多可以购买16份二等奖奖品

C ．购买奖品至少要花费100元

D ．共有20种不同的购买奖品方案

5． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1?a 2?…?a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ）

A ．T 1=T 19

B ．T 3=T 17

C ．T 5=T 12

D ．T 8=T 11

　

6． 函数f （x ）=21﹣|x|的值域是（ ）

A ．（0，+∞）

B ．（﹣∞，2]

C ．（0，2]

D ．[

，2]

7． 在中，，，，则等于（ ）

ABC ?b =3c =30B =

A B ．

C D ．2

8． 已知i 为虚数单位，则复数

所对应的点在（

）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

9． 年月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取

20163名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为，，，按分

20350500150层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ）A. B. C. D.56710【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.

10．在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

　

11．函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g （a ）的图象可以是（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

　

12．已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）

[1,1]x ∈-[0,2]y ∈(,)P x y 20210220x y x y x y +-??

-+??-+?

………A.

B.

C.

D.

34

38

14

18

【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.

二、填空题

13

．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则__________.

h =14．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________．

15．【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足，为的导函数，且

对恒成立，则的取值范围是__________________.

16．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数（为常数）的导函数为

()2

f x ax bx c =++,,a b c ，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．

()f x 'x R ∈()()f x f x ≥'2

22b a c

+17．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）

18．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．　

三、解答题

19．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角三角形，其中，为O EFH FE FH ⊥裁剪出面积尽可能大的梯形铁片（不计损耗），将点放在弧上，点放在斜边上，ABCD ,A B EF ,C D EH 且，设.

////AD BC HF AOE θ∠=（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式；

ABCD S θ（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值.

θABCD S

20．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4=7，S 4=16．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．

21．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且

．

（1）求A；

（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．

22．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；

（Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．

23．（本题满分12分）设向量，，，记函数))cos (sin 2

3

,

(sin x x x a -=)cos sin ,(cos x x x b +=R x ∈.

x f ?=)(（1）求函数的单调递增区间；

)(x f （2）在锐角中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值.ABC ?C B A ,,c b a ,,2

1

)(=

A f 2=a ABC ?24．（本小题满分12分）

已知函数.2

1()(3)ln 2

f x x a x x =

+-+（1）若函数在定义域上是单调增函数，求的最小值；

()f x （2）若方程在区间上有两个不同的实根，求的取值范围.

2

1()()(4)02f x a x a x -+--=1[,]e e

殷都区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题

1． 【答案】

【解析】解析：选B.设点P （m ，n ）是函数图象上任一点，P 关于（－1，2）的对称点为Q （－2－m ，4－n ），

则，恒成立．

{

n ＝km ＋b m ＋14－n ＝

k （－2－m ）＋b －1－m )

由方程组得4m ＋4＝2km ＋2k 恒成立，∴4＝2k ，即k ＝2，

∴f （x ）＝，又f （－2）＝＝3，

2x ＋b

x ＋1－4＋b －

1∴b ＝1，故选B.2． 【答案】D

【解析】解：由三视图可知正方体边长为2

，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：

故该几何体的表面积为：3×22+3×（）+=，

故选：D ．　

3． 【答案】A

【解析】解：∵sinB+sin （A ﹣B ）=sinC=sin （A+B ），∴sinB+sinAcosB ﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB ，∴sinB=2cosAsinB ，∵sinB ≠0，∴cosA=，∴

A=，∴

sinA=，当sinA=

，

∴A=或A=，

故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，

故选：A

　

4．【答案】D

【解析】【知识点】线性规划

【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，

则根据题意有：，作可行域为：

A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。

其中，x最大为4，y最大为16．

最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。

所以A、B、C正确，D错误。

故答案为：D

5．【答案】C

【解析】解：∵a n=29﹣n，

∴T n=a1?a2?…?a n=28+7+…+9﹣n=

∴T1=28，T19=2﹣19，故A不正确

T3=221，T17=20，故B不正确

T5=230，T12=230，故C正确

T8=236，T11=233，故D不正确

故选C

　

6．【答案】C

【解析】解：由题意：函数f（x）=21﹣|x|，

∵令u=1﹣|x|的值域为[1，﹣∞），

则：f（x）=2u是单调增函数，

∴当u=1时，函数f（x）取得最大值为2，

故得函数f（x）=21﹣|x|的值域（0，2]．

故选C．

【点评】本题考查了复合函数的值域求法．需分解成基本函数，再求解．属于基础题．

　

7．【答案】C

【解析】

考点：余弦定理．

8．【答案】A

【解析】解：==1+i，其对应的点为（1，1），

故选：A．

　

9．【答案】C

10．【答案】C

【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，

所以共有4×6=24个，

而在8个点中选3个点的有C83=56，

所以所求概率为=

故选：C

【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

　

11．【答案】B

【解析】解：根据选项可知a≤0

a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，

∴2|b|=16，b=4

故选B．

【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．

　

12．【答案】B

【解析】

二、填空题

13．【答案】【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱底面，且为直角三角形，且

VA ⊥ABC ABC ?，所以三棱锥的体积为，解得.

5,,6AB VA h AC ===11

5652032

V h h =???==4h =

考点：几何体的三视图与体积.14．【答案】

【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得10×2＋×c ＝200，∴c ＝4.

10×92

答案：415．【答案】

【解析】点

睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。16．

【答案】2

-【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R

()'2f x ax b =+()()'f x f x ≥()2

20ax b a x c b +-+-≥上恒成立，等价于：，可解得：，则：0

{

a >≤A ()22444

b a

c a a c a ≤-=-，令，，222222241441c b ac a a a c a c c a ??- ?-??≤=++??+ ???

1,(0)c t t a =-

>2

4422222

t y t t t t ==≤=++++故的最大值为．2

22

b a c

+2考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用17．【答案】　24　

【解析】解：由题意，B 与C 必须相邻，利用捆绑法，可得

=48种方法，

因为A 必须在D 的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，故答案为：24．

【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．　

18．【答案】 ．

【解析】解：点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离为d=，

∵mn ﹣m ﹣n=3，

∴（m ﹣1）（n ﹣1）=4，（m ﹣1＞0，n ﹣1＞0），∴（m ﹣1）+（n ﹣1）≥2，

∴m+n ≥6，则d=≥3

．

故答案为：

．

【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．　

三、解答题

19．【答案】（1），其中.（2）时，()21sin cos S θθ=+02

π

θ<<

6

π

θ=

max S =

【解析】试题分析：（1）求梯形铁片的面积关键是用表示上下底及高，先由图形得

ABCD S θ，这样可得高，再根据等腰直角三角形性质得，AOE BOF θ∠=∠=2cos AB θ=()1cos sin AD θθ=-+最后根据梯形面积公式得，交代定义域

()1cos sin BC θθ=++()2

AD BC AB S +?=

()

21sin cos θθ=+．（2）利用导数求函数最值：先求导数，再求导函数零点

02

π

θ<<

()'f θ()()22sin 1sin 1θθ=--+，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值

6

π

θ=

试题解析：（1）连接，根据对称性可得且，OB AOE BOF θ∠=∠=1OA OB ==所以，，，1cos sin AD θθ=-+1cos sin BC θθ=++2cos AB θ=所以，其中．

()2

AD BC AB S +?=

()

21sin cos θθ=+02

π

θ<<

考点：利用导数求函数最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．

20．【答案】

【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）

解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…

（2）由①得…（7分）

∴…（11分）

∴…（12分）

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．

　

21．【答案】

【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，

∴B+C=，

则A=；

（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，

∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，

解得：bc=4，

则S△ABC=bcsinA=×4×=．

【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

　

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C74=35种情况；若4人全是男生，共有C84=70种情况；

故全为女生的概率为=．…

（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…

P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；

P（X=3）==；P（X=4）==．…

故X的分布列为

X01234

P

EX=0×+1×+2×+3×+4×=．…

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．

　

23．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.

24．【答案】（1）；（2）.1111]01a <<【解析】

则

对恒成立，即对恒成立，

'()0f x ≥0x >1

(3a x x

≥-++0x >

而当时，，0x >1()3231x x

-++≤-+=∴.

1a ≥若函数在上递减，

()f x (0,)+∞则对恒成立，即对恒成立，'()0f x ≤0x >1()3a x x

≤-++0x >这是不可能的.综上，.1a ≥的最小值为1. 1

（2）由，2

1()()(2)2ln 02

f x a x a x x =-+-+=得，

2

1()(2)2ln 2

a x a x x -+-=即，令，，2ln x x a x +=2ln ()x x r x x +=233

1

(1)2(ln )

12ln '()x x x x x x x r x x x

+-+--==得的根为1，

12ln 0x x --

=考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.