第2章-有限差分法基础
3第二章有限差分方法基础解读
3第二章有限差分方法基础解读有限差分方法是数值计算中常用的一种方法，用于求解偏微分方程的数值解。
它的基本思想是将连续的空间或时间域离散化为有限的点，然后用差分近似代替导数，将偏微分方程转化为差分方程，从而得到问题的数值解。
有限差分方法的基础概念有三个：差分节点、差分近似和差分方程。
差分节点是指将连续的自变量区域划分为离散的点，这些点被称为节点。
差分近似是指用函数在差分节点上的函数值来近似代替它们的导数值。
差分方程是指在差分节点上建立的方程，用来表示问题的数值解。
在有限差分方法中，常用的几种差分格式有：向前差分、向后差分和中心差分。
其中，向前差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}$，向后差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}$，中心差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}$。
这些差分格式的选择要根据问题的具体情况和求解的精度要求来确定。
有限差分方法中，差分方程的建立是非常重要的一步。
一般来说，差分方程的建立需要利用边界条件和初始条件。
对于初始条件，通常是指给定问题在初始时刻或初始位置上的条件；而边界条件是指给定问题在边界上的条件。
缺乏良好的边界条件和初始条件会导致差分方程无法建立或无法得到合理的数值解。
因此，在使用有限差分方法求解偏微分方程时，需要仔细考虑问题的边界条件和初始条件，并将其合理地纳入差分方程中。
有限差分方法还包括时间步长和空间步长的选择。
时间步长是指时间域上的离散间隔，空间步长是指空间域上的离散间隔。
时间步长和空间步长的选取要兼顾问题的稳定性和精度要求。
一般来说，时间步长和空间步长越小，计算的精度越高，但计算量也会增加。
因此，在具体应用中，需要根据问题的特点和计算资源的限制来选择合适的步长。
亥姆霍兹方程有限差分法
亥姆霍兹方程有限差分法
亥姆霍兹方程是一个描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。
有限差分法是求解亥姆霍兹方程的一种常用数值方法。
有限差分法的基本思想是将求解区域离散为网格，然后使用中心差分格式来逼近微分算子。
这种方法的优势在于其简单性和易于实现，通过适当选择网格分辨率，可以获得足够的精度。
同时，研究者们也在不断探索如何构造高精度、收敛快且针对大波数问题有效的有限差分格式。
然而，有限差分法在求解高波数问题时可能会遇到一些困难，因为Helmholtz方程的解在高波数时会出现严重的震荡，导致数值解的精度随着波数的增加而逐渐变差，即所谓的“污染效应”。
为了解决这个问题，研究者们提出了各种优化差分系数的方法来提高数值精度。
总的来说，有限差分法是一种有效且实用的求解亥姆霍兹方程的方法，但在实际应用中需要根据具体问题的特点和要求进行选择和调整。
廖敦明《有限差分法基础》第2章 数值模拟方法概述
第二节 数值分析方法（4/6）- 有限元法/FEM
有限元法又可分为位移法、利用余位进行变化的方法和用混合积分的混 合法三种。 有限元法的位移法，其实质就是将求解区域划分为有限个单元，通过 构造插值函数，把问题化为一个变分问题（即求泛函数值的问题），经过 离散化得到计算格式，利用计算格式来求解相应问题。变分法证明求解某 些微分方程的问题等效于将泛函数的相关量进行最小化。如果相关于因变 量的节点值使泛函数最小，那么所得到的条件表达式就是所需要的离散化 方程。也就是说，求解一个微分方程边值问题就可以通过寻找某一变分问 题的极值函数来解决。有限元解题的基本过程: 对一个具体的工程应用分析， 在确定了分析计算的基本方案后，就可以按建模（即建立几何模型）、分 网（即建立有限元模型）、加载（即给定边界条件）、求解（有限元求解） 和后处理（即计算结果的可视化）等几个步骤实施分析计算。
新进展-热应力模拟及热裂纹预测
(华铸课题组成果) -热应力模拟及热裂纹预测
FEM热应力模拟
行星架铸件
裂纹
热裂倾 向较大
FEM热应力模拟 (华铸课题组成果)
数控机床横梁铸件长约11米，重约 30吨，最薄壁厚只有30毫米。
铸造成形模拟仿ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ技术
FEM热应力模拟 (华铸课题组成果)
横梁铸件等效应变分布及变形情况（变形放大 10倍）
《有限差分法基础》讲义
第2章 数值模拟方法概述
廖敦明 华中科技大学
18071121688, 87558134 liaodunming@
华中科技大学材料学院华铸软件中心 材料成形与模具技术国家重点实验室
第一节 研究目的与研究内容（1/13） 1．研究目的 数值模拟(CAE)技术是通过建立能够准确描述研究 对象某一过程的数学模型，采用合适可行的求解方法， 使得在计算机上模拟仿真出研究对象的特定过程，分析 有关影响因素，预测这一特定过程的可能趋势与结果。 材料成形数值模拟CAE技术最终的研究目的是在计 算机虚拟的环境下，通过交互方式，能够制定合理的工 艺，而不需要或少做现场试生产。从而可以大幅度缩短 新产品开发周期，降低废品率，提高经济效益。
有限差分方程
有限差分方程有限差分方程（Finite Difference Equation）有限差分方程是数值分析中一种常用的数值解法，用于近似求解微分方程。
它的基本思想是将连续的函数或方程转化为离散的差分形式，通过有限个点上的函数值来逼近微分方程的解。
首先，我们需要定义一个离散的网格。
将自变量的定义域分成有限个小区间，并在每个小区间上选择一个节点。
这些节点上的函数值将用来近似描述整个区域上的函数行为。
然后，利用差分运算来逼近微分运算。
常用的差分运算有一阶前向差分、一阶后向差分和中心差分。
一阶前向差分可以用来近似求解一阶导数。
它的定义为：$$f'(x)≈\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$其中，h为网格的步长，f(x)为在节点x处的函数值。
一阶后向差分也可以用来近似求解一阶导数。
它的定义为：$$f'(x)≈\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$中心差分是一种更准确的差分近似方法，可以用来近似求解一阶导数和二阶导数。
对于一阶导数，中心差分的定义为：$$f'(x)≈\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$对于二阶导数，中心差分的定义为：$$f''(x)≈\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$有限差分方程的求解过程需要将微分方程转化为差分形式。
将微分方程中的导数用差分近似代替，并将其转化为一个线性方程组。
然后，通过解这个线性方程组，得到离散网格上的函数值，从而得到近似解。
需要注意的是，有限差分方程的求解结果只是近似解，并不是精确解。
但是在实际应用中，有限差分方程是一种非常有效的数值解法，可以用来求解各种类型的微分方程，例如常微分方程、偏微分方程等。
总之，有限差分方程是一种常用的数值解法，通过将微分方程转化为离散的差分形式，利用离散点上的函数值来近似求解微分方程。
在实际应用中，有限差分方程可以有效地求解各种类型的微分方程，具有广泛的应用价值。
PFC课件(经典)
所以颗粒流程序只存在颗粒-颗粒接触模型和颗粒-墙接触模型。
4、颗粒流方法的特点
PFC可以直接模拟圆形/球形颗粒的运动和相互作用问题。颗料可以 代表材料中的个别颗粒，例如砂粒，也可以代表粘结在一起的固体材料， 例如混凝土或岩石。当粘结以渐进的方式破坏时，它能够破裂。粘结在 一起的集合体可以是各向同性，也可以被分成一些离散的区域或块体。 这类物理系统可以用处理角状块体的离散单元程序UDEC和3DEC来模拟。
举例
①允许粒子发生有限位移和转动，粒子间可以完全脱离 ②在计算过程中能够自动辩识新的接触
PFC 优点：
1、它有潜在的高效率。因为圆形物体间的接触探测比角状物体间的更简单。 2、对可以模拟的位移大小实质上没有限制。
3、由于它们是由粘结的粒子组成，采用其模拟时块体单元可以破裂，而UDEC和 3DEC模拟的块体不能破裂。
最关键的优势
• 平衡方程 • 变形协调方程 • 本构方程
变形协调方程保证介质的变形连续性(材料在变形过程中应 当是连续的，而不能出现撕裂或重叠的现象)，本构方程即 物理方程(应力分量与应变分量之间关系)，它表征介质应 力和应变的物理关系。
对于颗粒流而言，由于介质一开始就假定为离散颗粒体的
集合，故颗粒之间没有变形协调的约束，但必须满足平衡 方程。
PFC (Particle Follow Code) 是通过离散单元方法来模拟 圆形颗粒介质的运动及其相互作用。最初，这种方法是研究 颗粒介质特性的一种工具，它采用数值方法将物体分为有代 表性的数百个颗粒单元，期望利用这种局部的模拟结果来研 究边值间题连续计算的本构模型。
以下两种因素促使PFC方法产生变革与发展: (1)通过现场实验来得到颗粒介质本构模型相当困难； (2)随着微机功能的逐步增强，用颗粒模型模拟整个问题成为
第二章有限差分基础
第⼆章有限差分基础第2章有限差分基础（finite difference method ，FDM ）1.1 偏微分⽅程的⼀般形式()()φφφρρφq x x x u t j j j j +Γ=+ （ 2-1 ） 2.1 ⽹格划分⼀般有限差分采⽤结构化⽹格划分。
即节点对应于当地坐标系统的原点。
它的轴同⽹格线⼀致。
即两个同⼀族的⽹格线不相交，且没对⽹格线对应不同的族。
每⼀个节点可⽤唯⼀的⼀个坐标表⽰，如（ξ1, ξ2）。
⽹格线能⽤ξ1＝const, ξ2＝const 表⽰。
1D 2D有限差分法就是要将节点上的偏微分⽅程⽤相邻点上的值表⽰，变成线性代数⽅程式。
i-1ii+1N1 N jj+1 j-1j 11i-1 i i+1为流体⼒学的微分⽅程的数值求解⽅法之代表。
必要条件：连续领域内的分配有限的⽹格领域内的函数分布可⽤⽹格点上的值代表1. 计算分⼦（computational molecule ）5点计算分⼦ 15点计算分⼦ 7点计算分⼦这些节点⼜称为计算分⼦。
⽅程的个数应与未知数相同，即每个节点有⼀个⽅程式。
EWNET N2. T aylor 展开例如：⼀维时间变量φ的理论解为φ(t,x)，它在离散点上的值为投影（projection ）的近似值为：()x i t n ?Λ,φ,n: 时间的step 数i:空间的step 数为了求得此近似解，需对微分⽅程进⾏差分近似。
利⽤T aylor 展开可得到⼏个差分表⽰形式，仅考虑空间依存问题：在?x 很⼩时，位置j ?x 内的物理量φ⽤φj 来表⽰，则位置(j+1)?x 上的值φj+1表⽰为：()+++=+ii i i x x x x 222121φφφφ（ 2-2 ）(j-1)?x 上的值φj+1表⽰为：()++-=-ii i i x x x x 222121φφφφ（ 2-3 ） 2.2 基本差分格式1. ⼀阶导数（first derivative ）的近似()xu orxφρφ（ 2-4 ） i. 向前差分(forward difference ，FDS)利⽤( 1 ) 式，可得到1阶微分的向前差分形式:)(1x O xx j j j ?+?-=??+φφφ（ 2-5 ） ii. 向后差分(backward difference ，BDS)利⽤( 1 ) 式，可得到1阶微分的向后差分形式)(1x O xx j j j ?+?-=??-φφφ（ 2-6 ） iii. 中⼼差分（central difference ，CDS ）(1)-(2) 得1阶微分的2 次精度中⼼差分法：)(2211x O xx j j j ?+?-=??-+φφφ（ 2-7 ） iv. 上风法、迎风法（upwind difference, UDS ）与速度有关的微分()<-->--≈??++--;0if,;0if ,1111u x x u u x x u x u ii i i i i i i φφρφφρφρ（ 2-8 ）2. ⼆阶导数的近似i. 中⼼差分（central difference ，CDS ）利⽤（j ±1/2）?x 的T ayor 展开，可得过且1阶微分的2次精度的向前向后差分形式：11112121---+++--=??--=??i i i i i ii ii i x x x x x x φφφφφφ（ 2-9 ）将上⼆式相减，得2阶微分的差分⽅程式中⼼差分：(?x 相当))(2221122x O xx i i i i ?+?+-=??-+φφφφ（ 2-10 ）其它还有各种形式。
——显式差分和隐式差分
边界节点：
A矩阵非零系数减少， 同时引入第一类边界，
方程右端项B向量出现 非零元素。
AX B
组建A和B矩阵，求解线性方程组得到X
A A(135,135)
X X (135,1)
B B(135,1)
%Matlab 2D clear; clc; figure('color','w');
内部节点：
for j=2:n-1 for i=2:m-1;
a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i+1)=1; a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i-1)=1; a((j-1)*m+i,j*m+i)=1; a((j-1)*m+i,(j-2)*m+i)=1; a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i)=-4; end end
Tair
Tcap
一阶常微分方程的数值解 首先对时间和温度进行离散：
dT f (T ,t) dt
利用向前差分形式：
t j t0 jt, Tj T (t j )
dT dt
tt j
Tj1 Tj O(t) t
得到以下的显式差分格式：
Tj1 Tj tf (Tj , t j )
Cui, 2013
Cui, 2013
Cui, 2013
Cui, 2013
总结：
1、有限差分方法给出的数值解的精度取决于所用的差分形式（向 前、向后、中心）。
2、偏微分方程的显式有限差分格式通常是有条件稳定的，为了保 证得到精确的数值解，最关键的是需要根据稳定性条件选取正确的 空间和时间步长。
有限元与有限差分法基础
1.连续体离散化
•
连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。
•
离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划
分为有限
• 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元， 相邻两个
• 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。
•
相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单
元之间传
• 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。
“ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫 （Clough，R.W.）在一篇题为 “平面应力分析的有限元 法” 论文中首先使用。此后，有限元法的应用得到蓬勃 发展。
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元 通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。 由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果 已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。
第二讲 有限元与有限差分法基础
• CAE的工具： • 有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、边界元法
（BEM）、有限体积法（FVM）、无网格法等等 • 在材料成形的CAE中主要使用的是有限元法和有限差分法
1
“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就 有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
7
节点(node)和 单元(element) 网格（grid）
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度
和存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、 矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线 、面或实体以及二维或三维的单元等种类。
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通 过节点连接，并承受一定载荷。
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13
第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（1/3） 3．非均匀步长
在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的
xi 2 xi 1
xi 和xi 1 ，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。
一阶向后差商
x i 2 x i 1 xi 1
x i
f ( xi ) f ( xi xi 1 ) xi 1
当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。
8
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）
以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。 如一阶向前差商为
f f ( x x, y, ) f ( x, y, ) , x x
f f ( x, y y,) f ( x, y,) , y y
4
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。 例如n 阶前差分为
n y (n 1 y ) [(n 2 y )] { [(y )]} { [( f ( x x) f ( x)]}
一阶中心差商为
1 1 f ( x x) f ( x x) y 2 2 x x
或
y f ( x x) f ( x x) x 2x
7
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（7/8）
二阶差商多取中心式，即
2 y f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 x (x) 2
一阶向后差商也具有一阶精度。
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（3/4）
将 f ( x x) 与 f ( x x) 的Taylor展开式相减可得
f ( x x) f ( x x) f ( x) O(( x) 2 ) 2x
可见一阶中心差商具有二阶精度。
10
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/4）
(x) 2 (x)3 (x) 4 IV f ( x x) f ( x) x f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) O((x)5 ), 2! 3! 4! f ( x) f ( x x) f ( x) O(x) x
12
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（4/4）
将 f ( x x) 与
f ( x x) 的Taylor展开式相加可得
f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 f ( x ) O (( x ) ) 2 x
这说明二阶中心差商的精度也为二阶 Nhomakorabea5
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。 一阶向前差商为
y f ( x x) f ( x) x x
一阶向后差商为
y f ( x) f ( x x) x x
6
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）
dy dx
是函数对自变量的导数，又称微商； 分别称为函数及自变量的差分，
y x
y 、x
为函数对自变量的差商。
2
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）
向前差分 向后差分 中心差分
y f ( x x) f ( x)
y f ( x) f ( x x)
y f ( x
9
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（1/4） 2．逼近误差
由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到 导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数 的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量） 的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。
主要内容
1、差分原理及逼近误差 2、差分方程，截断误差和相容性 3、收敛性与稳定性 4、Lax等价定理
1
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）
1．差分原理 设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为
dy y f ( x x) f ( x) lim lim dx x 0 x x 0 x
现将函数 在x的 邻域作Taylor展开：
(x) 2 (x)3 (x) 4 IV f ( x x) f ( x) x f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) O((x)5 ) 2! 3! 4!
f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x) f IV ( x) 2 f ( x) x (x) (x)3 O((x) 4 ) x 2! 3! 4! f ( x) O(x)
x
1 1 x) f ( x x) 2 2
〉0
3
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）
上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一 阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 2 y 。 以向前差分为例，有
2 y (y ) [ f ( x x) f ( x)] f ( x x) f ( x) [ f ( x 2x) f ( x x)] [ f ( x x) f ( x)] f ( x 2x) 2 f ( x x) f ( x)
x
O
xi 2
x i 1
xi
x i 1
xi2
一阶中心差商
非均匀步长差分
f ( xi xi ) f ( xi xi 1 ) xi xi 1
14
第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）