由教材一道例题教学引发的思考与...
由一道教材例题引起的思考
由一道教材例题引起的思考新课程改革已经在我省全面展开，笔者认为新课程目标下，最基本的还是应该重视对教材资源的充分挖掘和利用。
这也是实现注意从学生已有的经验出发，让他们在熟悉的情景中感受物理思想的重要性，了解物理与日常生活的密切关系，逐步学会分析和解决与物理有关的一些简单的实际问题。
”的教学理念和实现高中新课程教育目标的基础与关键。
我以高中新课标教材《物理选修-3-4》为例，分别对新教材例题的研究；新教材概念的深入挖掘；新教材插图的充分利用，谈谈我的看法和做法。
一、重视教材例题习题我们虽然总是在提素质教育，可真正教学时，很容易让学生陷入题海当中。
如果我们能充分挖掘教材潜力，以课本为纲，让学生知道什么是最重要的。
实现让学生可以从教材走出去，也可以从容走回来。
教材例题是编委从大量习题中精选出来的，有很强的代表性。
我们应该从例题出发，触类旁通，举一反三。
我想这也是给学生减负的好方法。
笔者最近和学生曾经讨论一道习题，感受颇丰。
原题是这样的。
“井底之蛙”这个成语常被用来讽刺没有见识的人，现有井口大小和深度相同的两口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，两井底都各有一只青蛙，则( )a．枯井中青蛙觉得井口大些b．水井中青蛙觉得井口大些c．晴天的夜晚，枯井中青蛙能看到更多的星星d．晴天的夜晚，水井中青蛙能看到更多的星星学生们开始普遍感到无从下手。
而我在备课时想尽量降低学生理解的难度，从学生熟悉的知识入手。
后来我发现如果从教材一道例题出发就能很好的解决问题。
教材原题是一个储油桶的底面直径与高均为d.当桶内没有油时,从某点a恰能看到桶底边缘的某点b. 如图(a)所示,当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿ab方向看去,恰好看到桶底上的点c, 如图(b)所示,c、b两点相距d/4.求油的折射率和光在油中传播的速度。
这是一道很常规的习题，学生很容易入手，当时讲的时候学生也普遍接受。
现在我换一个角思维问题。
第一步按着题中所说开始c点看不到a，a也看不到c。
由一道课本试题引发的思考
由一道课本试题引发的思考七年级学生经常会在练习题中遇到这样的一道几何习题（例1），此题是全等三角形的经典习题，从它上面，我们可以发掘更多、更深的知识。
笔者在实际教学中对此题的讲解，深得学生的赞赏，现将此题拿出来，跟广大师生读者分享，希望大家能获得更多的解题心得。
图1例1如图1，在△ABC中，已知AB=AC,BE=CD。
求证：AD=AE。
??分析：此题的常规思路是通过说明△ABD≌△ACE来证明AD=AE。
显然求证条件是足够的，在△ABC中，AB=AC已经隐含了∠B=∠C，加之BE=CD，即BD+DE=DE+EC，实际上就是BD=CE，故△ABD≌△ACE（SAS）。
当然如果考虑到AD，AE是△ADE的两边时，那么说明△ADE是等腰三角形也不失为一种方法，但要说明△ADE是等腰三角形时，就要证明∠ADE=∠AED，而要证明∠ADE=∠AED，就得证明∠ADB=∠AEC，其实就是说明△ABD≌△ACE，可见我们回到了第一种方法上，当我们把题目多角度思考时，总会收获许多知识。
另外，从等腰三角形的性质入手，也可以找到解题途径；通过作底边上的高，可以得到多个直角三角形，再结合其他条件（BE=CD）就可以解讲问题。
??证明：由AB=AC?荨?B=∠C。
??BE=DC（BD+DE=DE+CE)??BD=CE。
??在△ABD和△ACE中，AB=AC，??∠B=∠C，??BD=CE?荨?ABD≌△ACE(SAS)。
??图2另证：如图2，取BC的中点F，连结AF，则BF=CF，AF ⊥BC。
（△ABC是等腰三角形）??∵BE=BF+EF，CD=CF+DF，CD=BE，??∴DF=EF，∴在??Rt??△AEF和??Rt??△ADF中，??AF=AF，?ぁ?AFD=∠AFE，??FO=FE，∴??Rt??△AEF≌??Rt??△ADF。
??∴AD=AE。
??笔者在第一题的基础上，稍作改变，得到了以下两道新题，这两个题目的解题思路可以极大地丰富我们对全等三角形及相关知识点的认识。
一道课本例题教学所引发的思考
一道课本例题教学所引发的思考——为学生打开自主学习的空间浙江省天台中学王修凯摘要：新课程改革遵循“以学生发展为本”的理念，大力倡导建立自主、合作、探究的学习方式，改变原有的单一、被动的学习方式，促进学生主动地、富有个性的学习。
自主学习以学生自己的认知与经验来建构活动过程的，通过亲身体验、讨论、反思实现由感性认识发展到理性认识。
自主学习能激活、诱导学生的学习积极性，促进学生思维能力的发展，提高学生探究的意识。
关键词：自主学习优化反思转变观念现在，整个教育界都在提倡创新教育，自主探究式学习，我也曾经尝试着在课堂上渗透让学生自主学习的思想，我也曾努力创设情景给学生们多一些创新的机会，允许并鼓励他们在课堂上提出自己的看法，但课堂教学，特别是目前仍受考试压力影响的高中课堂中，教师和学生依然面临着升学压力。
无奈的现实让我很难在课堂上落实这些“理念”：毕竟学生这么多、课时这么少、教学任务又如此之重，作出一个教学决定又要考虑方方面面的因素，权衡各种关系。
可一次偶然的机会，让我彻底改变了原先的观念，原来，教育的机会就在平时普通的课堂中。
一、例题教学的再现例题高中新课本《数学》第二册（上）第106页例3一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s。
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程。
如何通过这道例题的讲解，为学生打开自主学习的空间呢？首先设爆炸点为P，那么在A处听到爆炸声比在B处晚2s，说明什么问题？学生思考后很快说出点P在距A处较远、距B处较近的位置上，且点P到A处的距离与它到B处的距离的差是一个常数3402⨯m。
我进一步问道，那么点P在怎样的曲线上？学生回答，点P在以A、B为焦点的双曲线上，且在离B处较近的一支上。
显然，这种解答不够全面，接下去是老师讲出正确答案，还是让学生讨论探讨出其他的可能性呢？我用鼓励的目光望着大家，问：大家还有其他想法吗？过了一会，有同学提出了不同意见：点P不一定在双曲线上，因为由题意只能知道点P 到A处的距离与它到B处的距离的差是一个常数3402⨯m，但并未说明这个常数小于A、B 两处的距离。
一道课本例习题教学引发的思考
一道课本例习题教学引发的思考摘要：课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在“活”用课本例习题应当注意特别是变式教学时要注重如何更好的形变，如何更好的在“度”、“宽”上的掌控，让学生从不同角度、不同层面去看问题，从学会更好地解决问题。
关键词：数学；课本例习题；反思课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在教学过程中对教材中的例题，习题可以从多个角度来挖掘其深层次的数学本质，并结合利用变式教学通过改变数学表征问题，来达到更好地揭示数学本征问题的目的。
下面以八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题为例谈谈针对一道课本例习题教学引发的一些思考：一、注重引导，寻思关键在课本例习题教学中，教师要先指引学生从题设出发，通过观察图形，自主学习与探讨交流，然后写出证明过程。
本题对于学生来说，没有障碍，由已知条件等边三角形自然联想到其性质：三条边相等，三个角相等，学生由图形自主探究构建全等三角，再进行合作交流，找出间边与角之间对应关系，且角的相等是证明全等的关键。
课本这道例习题的教学价值在于学生通过学习后能够完成文字语言与符号语言之间的转换，检验学生对基本概念知识、方法的掌握情况，目的在于让学生学会观察、分析、概括、归纳，提升语言表达能力。
二、深入挖掘，一题多解数学教学中，为了激发学生的思维和建构知识间的链接，往往是在解决问题时从多角度促使知识间的联系。
因此十分有必要对课本中例习题进一步进行挖掘，比如八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题，这是一道基础题，如若在教学过程中教师讲过就将之抛在一旁，那乃是捡了芝麻丢了西瓜之举。
在数学课堂中，时常用来拓展学生数学思维形成的教学策略之一是一题多解，这种教学策略能很好地引导学生从不同角度看待问题、解决问题。
一道课本习题的解题教学反思
一道课本习题的解题教学反思设计一：本题从题目上读字面意义要求画出函数的图象，并求出函数的解析式，训练的是奇函数的图象关于原点成中心对称图形，由已知x≥0时，f（x）=x（1+x）是二次函数，做出此时函数的图象，再利用高一学生在初中就已经很熟知的中心对称的方法，画出x0时的图象，利用待定系数法，求出此时的解析式。
设计二：运用转化的数学思想。
题目中给出条件是奇函数，满足f（__）=-f（x），利用奇函数的定义及转化的数学思想方法，将所要求x0时的解析式转化到已知解析式（x≥0）上，求出函数的解析式。
反思一：教学设计。
本节课达到了教学目标，使学生感受了数学思想方法的应用，对上述三种解题设计方案我比较倾向于第一种和第二种，第一种方案遵循教材原有意图，符合高一学生的原有的认知规律，是学生很容易接受的，但是第一种方案的局限性很强，当遇到不好作图的题目或者是学生不熟悉的函数图象时，学生是无从下手了，第二种解法更具有一般性，利用了转化的数学思想，适用于这一类的题目，因此设计上比第一种方案好，第三种方案从理论上讲是应用了转化的数学思想，但这种方法在学习了解析几何之后能够更好的理解，对高一学生有认知困难。
反思二：学生接受的情况。
课堂上学生对第一种方案接受较好，完全是自主完成解题过程，相应的练习及课后的作业接受的都很到位。
对第二种方案就如预期的一样，有部分学生不知道应该设x的什么范围，也不知道为什么要将__代入x≥0时的解析式中，这是对分段函数的不理解造成的问题。
对于第三种方案，在课后的习题及测试中，我发现有部分同学喜欢这种方法，他们的解释是只需要将（__，-y）代入就行了，很简单。
应该说从函数的意义上，他们不是完全理解。
反思三：对今后教学的指导意义。
我对这节解题教学设计的预期基本达到，但不足之处也很多，由于第二种方法还有部分同学不是很能掌握，要继续对他们的个别指，针对此方法对分段函数做更多的课前复习，达到双嬴。
第三种方法不是很适合在高一这么早的时候讲解，会给学生养成不好的学习习惯，只是死记解题过程，而不求思维过程，学生在此方法中对符号的使用也易混乱。
由一道课本例题引发的探究、引申与应用
推广 公式 ，
展开 式中 的系数为
知识 网络 ， 把握 纵横 联系 ， 提炼 数学 思想 ， 在 数学 地 提 出问题 、 分 析 问题 、 解决 问题 中学 会数 学学 习 ， 有 益 于拓展思 路 ， 扩 展视 野 ， 发 展学 生 探 究 能力 和 数
学思 维能力．
ｃ ： ｍ ＝ｃ “＝
垒 ｉ ± ２ （ 垒±
１ ，
－ ｙ － 旦
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社． １ ９ ８ ０： １ ７ — １ ８ ．
１・ ２＋ ２・ ３＋… ＋凡 （ 凡＋１ ）＝￣ 。 － ｎ （ ｎ＋１ ） （ ｎ＋２ ） ．
［ ２ ］ 徐 会方 ， 董振平 ， 崔耀 文 ， 等． 怎样 寻 求 Ｐ （ ＋ １ ）的 证 明 ［ Ｍ］ ．郑 州 ：河 南 教 育 出 版 社 ，
积是 一 ， 求 点 Ｍ 的轨迹 方程
问题 １ 设 点 Ａ， Ｂ 的坐 标 分 别 为 （一ｏ ， ０ ） ，
（ ｎ ， ０ ） ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 相 交 于点 Ｍ， 且 它们 的斜率 之
积是 一 ， 求点 Ｍ 的轨迹方程．
解 设点 （ ， Ｙ ） ， 由Ａ （一ｎ ， ０ ） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） ， 得
・
４・
中 学教 研 （ 数学）
要 计算 Ｓ ＝１ ・ ２＋ ２・ ３＋ ３・ ４＋… ＋ 凡 （ １ ７ ， ＋ １ ） ，
只需求 出母 函数的项 ｆ “的系数 即可． 根据 二项 式 的
特 别地 ， 如果教 师从 高等数 学 的视角来 研究初
等数 学 ， 常 常能居 高临下 ， 深入 浅 出地处理 问题． 总 而言 之 ， 立足基 础知 识 、 基 本技 能 和基本方 法 ， 编 织
苏科版教材例题教学的思考
苏科版教材例题教学的思考
苏科版教材是国内较为常见的教材之一，其例题教学方法也很有启发性。
以下是一些思考：
1. 注重讲解思路、方法
在教学过程中，教师应该注重讲解解题思路、方法，尤其是对于一些难度较大的题目。
可以通过举例、讲解原理、模拟演示等方式，给学生展示方法的实际应用，帮助学生理解问题所在。
2. 多维度引导学生思考
苏科版教材的例题通常不仅考验学生的基本知识，还可能涉及到思维创新、多元化思考等方面。
在教学中，老师应该引导学生从多个维度思考问题，考虑不同的解决方案，让学生更加主动地应对题目。
3. 塑造良好的学习氛围
在苏科版教材的例题教学中，教师通常会采用小组讨论、竞赛等形式，培养学生之间的合作意识和竞争意识。
在这样的氛围下，学生们会更加积极地参与到学习中，互相学习与启发，学习效果也会更加显著。
怎样让学生解题时学会思考——一一道例题教学的反思
解 （ Ｉ）曲线 Ｃ 的方 程 为 ｙ — １（ ＋ ｚ ｚ ）
．
说 明 把 比例 关 系量 用 参 数 ｋ 示 ， 使 比 例关 系量 表 要 Ｑ 定值 Ｂｚ为
ｆ Ｌｌ ± 兰± 丝
２、 再
Ｑ Ｂ
．
２ １ ｋ ）ｖＴ－ ｋ （ ＋ ｚ ＇￣ ｚ
．
一
’ Ｑ Ａ
｝ ｋｌ
詈’ ｊ
当 意一 ２时 ， 一 ５ ， 而 所求 直线 方程 为 ２ 从 —
＋ ２ — ０．
（ Ⅱ）求 出 直 线 ￡ 方 程 ， 得 的 使
为常数．
即直线 Ｅ Ｆ的斜率为定值 ， 其值为÷ ．
说明 把 直 线 Ｅ 的斜 率 用 参 数 ｋ表 示 ， 证 明 结 论 Ｆ 再 与 参 数 ｋ无 关 ． 例 ７ （ ０ ８ 浙 江卷 理 第 ２ ２０ 年 Ｏ题 ）已 知 曲线 Ｃ是 到 点
——
Ｑ（ １Ｏ － ，）垂 直 于 ｌ的 直 线 ｚ ： ｙ
思 路 １ 消 去 向 量Ａ Ａ Ｂ， Ｃ．
Ｂ Ａ＋ ＡＤ， 入 （＊） ， 代 式 得
Ａ ０ （ Ａ ＋ ＡＤ） Ｂ ＋ Ｃ 一 ＡＯ ＋ （ Ａ ＋ ＡＤ） ． Ｂ
— — —
’
— ＋ ——
——■ — ・
—— ＋ —
化 简 得 ２ Ａ ・ Ｄ 一 ２Ｂ ・ Ｄ ， Ｃ Ａ Ａ Ａ
所 以ＡＤ（ Ａ ～ Ｃ ）一 ０， ｐ Ｂ Ａ Ｉ ＡＤ ・ ＢＣ 一 ０ ． 所 以 ＡＤ ＩＢＣ．
因
一 Ａ ＋ Ｄ ＡＣ — Ａ ＋ Ｄ 代 人 （ 式 ， Ｄ Ｂ， Ｄ Ｃ， ＊） 得
师 ： 得很好．这时又有学生举手发 言） 证 （
（ ＋磅 ）＋一 （ ＋ ）＋ ｚ ｚ Ｃ Ｄ ｚ ，
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由教材一道例题教学引发的思考与探讨
福建省晋江市第二中学 362212 施国龙
在华师版九年级《数学》上册第39页的例2中,教材所用的证明方法与证明过程值得仔细体会与探讨.
题目 例2 (1)如果
d c b a =,那么d
d c b b a +=+; 证明 ∵d
c b a =,在等式两边同加上1, ∴11+=+
d c b a ,∴d d c b b a +=+. 学生提问1:前面刚学了比例的基本性质,为什么不是像以前那样用刚学的知识去证明呢?
教师思考1:学生讲的有道理呀!以前我们都是这样的学习模式:学生学到一个知识后就会马上去应用,在此处为什么没有呢?如果采用此种方法会怎样呢?心动不如行动.
证明: ∵d
c b a =, ∴bc a
d =, 在等式两边同加上bd , ∴bd bc bd ad +=+, 即b d c d b a )()(+=+,
两边同时除以bd , ∴d
d c b b a +=+. 这种方法其实质是用到了教材中刚学的“比例的基本性质”,这是解决此类问题的常用解法之一.在教材中没有采用这种方法确实与以往的教材安排大不一样,结果让学生适得其反,理解不到位,容易产生误解.让学生认为这道例题的方法与前面刚学的内容无关.
学生提问2:为什么要用“等式两边同加上1”的方法去证明呢?
教师思考2:在华师版数学教材中第一次出现这种“加上1”的方法,学生确实无法马上理解为什么是“加上1”?而不是“加上2”或“加上3”?
经过仔细的思考与对比发现,事实上其实质是:此处是采用了高中数学中证明等式常用的“分析法与综合法”的证明思路.以下为用“分析法”证明.
证明: 要证 d d c b b a +=+, 只要证 11+=+d
c b a , 即证
d c b a =, 而d
c b a =是已知成立的,
∴d
d c b b a +=+. 在此基础上,反过来用综合法写出证明过程就是上述教材中的证明过程了.教材中的方法也就是常见的“构造法”证明.在实际教学中学生普遍感到较难理解,不容易掌握.这就要求我们在实际的教学中深入到学生的学习实际,深化对学生知识水平的理解,争取做到让学生认为本题所采用的方法是水到渠成的事.
引申与探讨:本题的解法中,实际上还可以有一种更常用、更普遍采用的解法,即设“比例的比值为k ”.
证明 设
k d
c b a ==, 则dk c bk a ==,, ∴,1)1(+=+=+=+k b
k b b b bk b b a ,1)1(+=+=+=+k d
k d d d dk d d c ∴d d c b b a +=+. 在教学中,教师要能让学生自己分析对比出各种证明方法的优劣,并能深刻理解与领会.这样才能促使学生提高思维的灵活性与深刻性,也就培养了学生的思维品质与个性发展.
题目 例2 (2)如果d c b a =,那么d
c c b a a -=-. 证明 ∵d
c b a =, ∴bc a
d =, 在等式两边同加上ac , ∴ac bc ac ad +=+, ∴,bc ac ad ac -=-
两边同是除以))((d c b a --, ∴d
c c b a a -=-. 学生提问3:学生小组讨论后,一位同学提出:若4,3====
d c b a ,则要证明的式子的分母b a -与d c -就没有意义了!
教师思考3:这位同学思考的问题不无道理呀!问题出在哪呢?
经过仔细思考之后,发现在证明过程中,两边同时除以))((d c b a --,存在一定的问题.根据等式的基本性质,等式的两边同时除以一个不为0的数,左右两边的值相等,而题目中并未给出))((d c b a --的值不为0的条件.因此,给合本节课的内容,在此应补充:a 、b 、c 、d 是互不相等的四条线段,这样就可以证明成立.
当然,本题除以用课本的“等式的性质”证明外,也可用设“比例的比值为k ”
这种方法.
证明 设
k d c b a ==, 则dk c bk a ==,, ∴,1
)1(-=-=-=-k k k b bk b bk bk b a a ,1
)1(-=-=-=-k k k d dk d dk dk d c c ∴d
c c b a a -=-. 笔者认为此例题主要是考查:运用比例基本的性质来证明等式的成立,但在教材中存在对例题选用的证明方法理解不够深入,所选用方法不太符合学生的认知水平和能力,例题条件考虑不够周全,应补充合适的条件使其完善.
这样在接下来的配套练习第3题中,就可以把更多的方法通过学生的交流与探讨进行综合提升,自然过渡到位.
题目 3、已知,23=b a 那么,b b a + b
a a - 各等于多少? 交流与探讨：通过前面例题的交流探讨之后,各位同学思维活跃,气氛热烈.各小组成员广开思路,汇总后得出了以下三种不同的解法.
方法1 “特殊值法” 令,3=a 2=b ，则
,25=+b b a 3=-b a a . 方法2 “代入法” 由,23=b a 得b a 2
3=, ∴,252523==+=+b b b b b b b a 32
232323==-=-b b b b b b a a . 方法3 由,2
3=b a 设k b k a 2,3==, ∴,2525223==+=+k k k k k b b a 33233==-=-k
k k k k b a a . 可以看出,方法1实际上是方法3的特例.可以引导学生发现做选择题与填空题时常用方法1.
通过以上例题与练习的方法归纳与总结, 同学们探讨分析出了解决此类问题的常见思路.笔者接下来顺势让学生总结出各种方法在计算题与证明题中的运用,发现其规律与特点.进一步提升了他们的思维灵活性,同时也提高了他们的解题能力,符合学生的认知规律.深化了学生对所学知识的综合运用能力.解决了在以往
教学中,学生学习此类知识与方法不容易突破的难点,取得了良好的效果. 这样也就激发了学生的求知欲,也更加激发了学生的质疑与释疑的能力,让他们有一种“不唯书”的精神与勇气,一定程度上也破除了“尽信书”观点.同时这一节课也就启到了最佳的示范作用.。