由一道课本习题的思考
由一道教材例题引起的思考
由一道教材例题引起的思考新课程改革已经在我省全面展开，笔者认为新课程目标下，最基本的还是应该重视对教材资源的充分挖掘和利用。
这也是实现注意从学生已有的经验出发，让他们在熟悉的情景中感受物理思想的重要性，了解物理与日常生活的密切关系，逐步学会分析和解决与物理有关的一些简单的实际问题。
”的教学理念和实现高中新课程教育目标的基础与关键。
我以高中新课标教材《物理选修-3-4》为例，分别对新教材例题的研究；新教材概念的深入挖掘；新教材插图的充分利用，谈谈我的看法和做法。
一、重视教材例题习题我们虽然总是在提素质教育，可真正教学时，很容易让学生陷入题海当中。
如果我们能充分挖掘教材潜力，以课本为纲，让学生知道什么是最重要的。
实现让学生可以从教材走出去，也可以从容走回来。
教材例题是编委从大量习题中精选出来的，有很强的代表性。
我们应该从例题出发，触类旁通，举一反三。
我想这也是给学生减负的好方法。
笔者最近和学生曾经讨论一道习题，感受颇丰。
原题是这样的。
“井底之蛙”这个成语常被用来讽刺没有见识的人，现有井口大小和深度相同的两口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，两井底都各有一只青蛙，则( )a．枯井中青蛙觉得井口大些b．水井中青蛙觉得井口大些c．晴天的夜晚，枯井中青蛙能看到更多的星星d．晴天的夜晚，水井中青蛙能看到更多的星星学生们开始普遍感到无从下手。
而我在备课时想尽量降低学生理解的难度，从学生熟悉的知识入手。
后来我发现如果从教材一道例题出发就能很好的解决问题。
教材原题是一个储油桶的底面直径与高均为d.当桶内没有油时,从某点a恰能看到桶底边缘的某点b. 如图(a)所示,当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿ab方向看去,恰好看到桶底上的点c, 如图(b)所示,c、b两点相距d/4.求油的折射率和光在油中传播的速度。
这是一道很常规的习题，学生很容易入手，当时讲的时候学生也普遍接受。
现在我换一个角思维问题。
第一步按着题中所说开始c点看不到a，a也看不到c。
深入数学教学重视习题探究——对一道课本习题“图形”的思考
探索 性 ，因此 ，深入 探究每一 道 习题 ，充分
挖掘其 内在 的数学思 想与方法 ，发挥典 型习 人 认为这是 小题大 做吹 毛求 疵 ，不 必大惊小 边 长计算 的一般 方法 ，体现从 特殊 到一般 的 题应有 的功 能与价值 ，对调动 学生 的学 习积 怪 ，对求解 也不会 产生多 大的影 响 ，不值得 数学思想 ，更能使 学生 明确 对于锐 角三角形
深入数学教 学
重视 习题 探究
对一道课本 习题 “ 图形 ＂的 思考
口浙江省宁波市余姚市 陆埠镇洪 山初级 中学 马调芳
课本 中的习题 ，具有典 型性 、示 范性和
相 矛 盾 ， 因 此 点 Ａ必 在 圆 外 ，所 以 Ｂ Ｃ是 一个 锐 角不 可能是 Ｒ 。也 许有 Ａ ｔ
做 到数据 图形两结合 。特别是追 加 的第 （ ２）个 问题 ，促使 学生 去 探求 内接正 方 形
容易发现 问 题所在 ，可能是 教材编写 者把注 意力集 中在 知识 点
／
Ｐ
则 四边 形 Ｐ ＭＮ是 Ａ Ａ Ｃ的 内 接 正 方 Ｑ Ｂ
形 ，如 图 ５ 。 简要说 明 ・ Ｎ ／Ｐ ． Ｍ／ ， ‘ Ｃ
‘ ． ．
相似 三 角形 性 质 的
巩 固 和运 用 上 ，忽 视 了
所 以 ａ ｈ或 ＋口Fra bibliotek ｈ思考 三 课 本 中给出 的三角 形余 料 Ａ Ｃ Ｂ 据 三角形余 料 Ａ Ｃ的不 同形状 ，怎样 使加工 Ｂ 成 的正 方形 零件 最大 。现 以正方形 的边 Ｑ Ｍ
为加 工成 的正方形零件 ， Ｑ 边 Ｍ在 Ｂ Ｃ上 ， 得到 的三角形余 料 Ａ Ｃ的形状 也不 同，因此 的内接正方形 Ｐ ＭＮ是怎样 加工 出来 的？根 Ｂ Ｑ
由一道课本试题引发的思考
由一道课本试题引发的思考七年级学生经常会在练习题中遇到这样的一道几何习题（例1），此题是全等三角形的经典习题，从它上面，我们可以发掘更多、更深的知识。
笔者在实际教学中对此题的讲解，深得学生的赞赏，现将此题拿出来，跟广大师生读者分享，希望大家能获得更多的解题心得。
图1例1如图1，在△ABC中，已知AB=AC,BE=CD。
求证：AD=AE。
??分析：此题的常规思路是通过说明△ABD≌△ACE来证明AD=AE。
显然求证条件是足够的，在△ABC中，AB=AC已经隐含了∠B=∠C，加之BE=CD，即BD+DE=DE+EC，实际上就是BD=CE，故△ABD≌△ACE（SAS）。
当然如果考虑到AD，AE是△ADE的两边时，那么说明△ADE是等腰三角形也不失为一种方法，但要说明△ADE是等腰三角形时，就要证明∠ADE=∠AED，而要证明∠ADE=∠AED，就得证明∠ADB=∠AEC，其实就是说明△ABD≌△ACE，可见我们回到了第一种方法上，当我们把题目多角度思考时，总会收获许多知识。
另外，从等腰三角形的性质入手，也可以找到解题途径；通过作底边上的高，可以得到多个直角三角形，再结合其他条件（BE=CD）就可以解讲问题。
??证明：由AB=AC?荨?B=∠C。
??BE=DC（BD+DE=DE+CE)??BD=CE。
??在△ABD和△ACE中，AB=AC，??∠B=∠C，??BD=CE?荨?ABD≌△ACE(SAS)。
??图2另证：如图2，取BC的中点F，连结AF，则BF=CF，AF ⊥BC。
（△ABC是等腰三角形）??∵BE=BF+EF，CD=CF+DF，CD=BE，??∴DF=EF，∴在??Rt??△AEF和??Rt??△ADF中，??AF=AF，?ぁ?AFD=∠AFE，??FO=FE，∴??Rt??△AEF≌??Rt??△ADF。
??∴AD=AE。
??笔者在第一题的基础上，稍作改变，得到了以下两道新题，这两个题目的解题思路可以极大地丰富我们对全等三角形及相关知识点的认识。
一道教材习题的探究与思考
46中学数学研究2020年第10期(下)一道教材习题的探究与思考江苏省苏州市吴中区碧波中学(215128)王春摘要本文以一道教材习题为例,对其解法探究,并利用教材例题、习题引出一般结论,对习题再次解法探究和引申,展现了数学的特殊与一般思想、转化与化归思想和分类与整合思想等方法,有利于培养学生创造思维与创新精神,发展学生核心素养.关键词教材习题;探究教材是教师上课之本,学生认知之本.习题是教材重要组成部分,它承担着对基础知识、基本思想、基本方法的巩固与训练.因此教师要重视对教材习题的归纳、变式、拓展和引申,提升和挖掘其潜在功能.这样可以切实减轻学生解题训练量,而达到事半功倍的效果.事实上,不少考题就是教材例题、习题的变式、拓展和引申,习题因探究而精彩.1问题呈现问题1(苏科版七下第166页)如图1,在五角星形ABCDE中,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和等于多少度?请加以证明.解析1:若此题为选择或填空题,则可转化为正五角星形.问题等价求∠A,在等腰∆AP Q中,即求∠AP Q,因∠AP Q是正五边形外角,利用多边形外角和为360◦,所以∠AP Q=360◦÷5=72◦,因此∠A=36◦,故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180◦.解析2:由解析1结论特征,问题1可转化为三角形内角和问题.利用∠AP Q是∆P BD的一个外角,所以∠AP Q=∠B+∠D;同理∠AQP=∠C+∠E,利用三角形内角和定理易得结论.此解析利用解析1结论特征,把五角星形五角和问题转化为∆AP Q内角和问题.著名数学家华罗庚认为:善于“退”,一直“退”到原始而不失重要性的地方,是学习数学的一个重要诀窍.特殊性寓于普遍性之中,通过具体分析,往往能获得解题的重要信息,达到缩减思维过程,降低推算难度目的.因此在选择或填空等客观问题中,注意特殊化思想的使用.2归纳结论问题2(苏科版七下第154页例2)如图2,AC、BD相交于点O,求证:∠A+∠B=∠C+∠D.在∆AOB和∆COD中,∠AOC分别是∆AOB与∆COD外角,由三角形内角和定理推论,易得结论.此时称这两个∆AOB与∆COD为对顶三角形.对顶三角形性质如图2,在∆AOB和∆COD中,若∠AOB和∠COD是对顶角,则∠A+∠B=∠C+∠D.问题3(苏科版七下第166页)画∠A,在∠A的两边上分别取点B、C,在∠A的内部取一点P,连接P B、P C.探索∠BP C与∠A、∠ABP、∠ACP之间的数量关系,并证明你的结论.让学生来参与评价,增强学生学习积极性;函数是现实世界中刻画运动变化规律的重要模型,“试一试”找寻函数与客观世界的联系;“说一说”使学生联系初高中函数概念,对原有函数的认知进行调整,将初中建立的函数图式纳入到更高级的高中函数图式中;“查一查”让学生了解函数概念的发展历程,进一步完善高中函数图式;“谈一谈”总结活动经验学习体会,培养良好的学习习惯.函数是贯穿整个高中数学课程的一个基本脉络.对“函数”这个范畴,可有如下图式表征形式:函数的上位概念:映射;函数的组成部分:对应关系、定义域、值域;函数的表象:图像;函数的性质:单调性、奇偶性、周期性,……;函数的下位概念:幂函数、指数函数,…….学生对函数的认识不是也不可能一步到位,只有经历一定的知识和时间的积累,才能在循环往复、螺旋上升中达成对函数的整体理解,形成高层次的图式表征.参考文献[1]夏学梅.项目化学习设计:学习素养视角下的国际与本土实践[M].北京:教育科学出版社,2018.11.2020年第10期(下)中学数学研究47问题分三种情况:1⃝若点P在∆ABC外部,由四边形内角和定理有∠BP C=360◦−(∠A+∠ABP+∠ACP); 2⃝若点P在∆ABC边BC上,由三角形内角和定理,易得∠BP C=360◦−(∠A+∠ABP+∠ACP)或∠BP C=∠A+∠ABP+∠ACP;3⃝若P在∆ABC内部,如图3,连接AP并延长,由三角形内角和定理推论有:∠3=∠1+∠ABP,∠4=∠2+∠ACP,故∠BP C=∠A+∠ABP+∠ACP.凹四边形性质如图3,在凹四边形BACP中,则∠BP C=∠A+∠ABP+∠ACP.(凹四边形凹角等于其它三角之和).在数学中,我们常从较特殊问题开始,再认识问题一般性质.一般化能把研究问题推广到更大范围的性质.许多几何问题中存在对顶三角形、凹四边形,此时若能利用对顶三角形、凹四边形性质,往往可使繁杂问题得到更简明快捷的解决.3问题再探究解析3:如图1,图中存在凹四边形ACMD,利用凹四边形性质,则∠A+∠C+∠D=∠CMD,易得结论.解析4:如图1,连接CD,图中存在对顶三角形:∆BEM和∆CDM,利用对顶三角形性质,则∠B+∠E=∠MCD+∠MDC,易得结论.转化与化归思想是贯穿整个中学数学的核心思想方法之一,在解决数学问题时,常常会遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的方法进行变换,将原问题转化为一个新问题,通过新问题的求解,从而达到解决原问题的目的.著名数学家莫斯科大学教授C.A雅洁卡娅在一次向数学奥林匹克参赛者发表题为“什么叫解题”的演讲指出:“解题就是把要解的题转化为已经解决过的题.”因此在教学中要把这种思想方法融入进去,让学生体会其中的精髓.4问题引申问题4如图4.1-4.3,对于任意的退化五角星形图形,这一结论仍成立吗?如果成立或者不成立,请说明理由.解析5:图4.1、4.2利用问题1的解析2均可把五角星形图的五角和均可转化为∆DMQ内角和问题,图4.3可延长CE交AD于Q,也可转化为∆DMQ内角和问题.解析6:连接CD,如图4.4-4.6,由对顶三角形性质,把∠B+∠E转化到∆ACD内,利用三角形内角和定理解决.解析7:利用凹四边形性质有:∠A+∠C+∠D=∠MD,五角和转化为∆BEM内角和问题.解析8:如图4.4、4.5延长DB至B1,连接B1E;图4.6延长DB、CE至图形外,作B1E1//BE,交DB、CE延长线分别于B1、E1,从而均可转化为问题1.五角星形性质在任意五角星形中,五角星形的五角之和为180◦.问题5若对图5.1星形截去一角,得图5.2,再对图5.2角进一步截去,得图5.3,则图5.3的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=度.(合肥校级自主招生)如图5.4,利用五角星形性质,其内角和为180◦,连接AD,可把所求角和转化为三角形与五角星形内角和,即180◦×2=360◦;以此类推,如图5.5内角和转化为一个五角星形与五个三角形内角和,即180◦×6=1080◦.48中学数学研究2020年第10期(下)抓结构拨迷雾看本质*—–一类几何题简洁处理策略安徽省合肥市一六八中学(230601)武前炜摘要本文结合实际教学,以典型问题为背景,从审题、审图、审形到发现、构造几何模型,身临其境,拨开迷雾,抓住结构,迅速找到问题的切入口,做到解题方法合情—–易想到;合理—–解释的清楚.快速、合理、简洁添加辅助线,从而轻松突破.关键词旋转;流浪点;几何模型;解题策略初中平面几何对于特殊三角形—–等腰三角形、直角三角形的考查尤其多,往往需要重新构造几何图形之间的关系或者利用几何变换构造全等或者相似三角形,这就需要同学们根据图形特点适时添加辅助线.在实际的教学中,学生对于稍微复杂的几何图形,知道要添加辅助线,却又不知道从哪里加,如何添加更合理.本文以一类贯穿初中几何始终的问题谈简洁处理策略.1原题呈现题目:如图1,已知:P是正方形ABCD外一点, P A=3,P B=4,求线段P C的最大值.图1图2本题解法众多,以下从图形结构入手谈这一类辅助线添加入口.D点与本题关联不大,所以图形可简化为图2.5思考数学教材是试题的根本源泉,是各类考试命题的主要依据,许多试题的产生都是在教材的基础上组合,加工,发展的结果,每年的中考、竞赛试题总有不少试题来源于教材.因此平时教学工作中,我们要挖掘教材,不能认为教材习题难度不够或者没有新意等原因,一味地在课外资料中选题.因此平时复习要将回归教材落到实处,教材是教师备课、上课之本,也是学生学习之本,抓住了教材也就抓住了考试命题的方向.数学教材是思想方法的集散地,本文中列举教材中的问题,主要运用到的数学思想方法有:特殊与一般、分类讨论、转化与化归等.数学思想方法对于数学学习有何作用?众所周知,人的行为源于思想意识,思想混乱将引起行为混乱,学习数学也一样.有些学生为何解决不了一些并不复杂甚至简单的数学问题呢?笔者认为:除少数学生不知相应数学知识外,大多是不能站在思想的高度来思考和引领方法,或思想不明确而不知用何方法解决问题.若作为数学教师能在教学时,引领学生把这些问题提炼归类出一般性方法、结论,或者形成相对固定的解题方法,来应对考题,则必将会给学生的学习带来更大的提升.在数学教学中,笔者认为一线教师不仅要关注教材中知识点和典型例题,同时不要忽视了教材中例题和习题作用.它们是教与学的延伸与发散,是教师教之根本,是学生学之源泉,教师不能一味的仅仅在教辅资料或者网上选题,而不注重教材甚至抛弃教材.这样处理的效果或许在短期内能提高学生成绩,但长期如此对学生发展是极为不利.首先,学生长期在题海中感受数学学习,只会削弱学生学习数学的兴趣;其次,它会淡化学生的基础知识与基本技能,导致学生对创造性和创新性能力的培养脱节;同时,教材例题与习题是数学教材的重要组成部分,是专家精挑细选出来的,具有一定的典范性,通常情况下,它比作业本、教辅资料等其他习题更为典型、精致.因此,教师除了要注重教材上有关知识与定理的生成过程,同时还需要深入理解教材例题与习题的设计意图,并对它们进行自然、合理地挖掘开发,从而提升课堂教学的品质,这应成为我们一线数学教师的不懈追求.*本文系合肥市教育规划课题《基于“核心素养”的初中数学作业设计的实践与研究》的阶段成果,课题编号为HJG20128.。
课本一道例题的教学与思考
课本一道例题的教学与思考数学是一门与生活紧密联系的学科，在数学教学中实施生活化教学能够让学生提高解决数学问题的能力并爱上数学学习，形成数学学习思维。
本文以教材中一道例题的解决问题为例浅谈生活化教学的意义。
标签：数学；教材；例题；思考苏科版七年级下册第十章第5节《用二元一次方程组解决问题》有道例题为：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源。
某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过6m3时，按基本价格收费；超过6m3时，超过的部分要加价收费。
该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量/m3水费/元48225927试求该市居民用水的两种收费价格。
课本设置此题的背景是用表格分析数量关系并解决问题。
针对这样一个目标，我认为首先要读懂这个表格，很多学生在小学习惯了做题目条件反射，根本就不去思考究竟是为什么，没有解决问题的逻辑。
同时，本题的这样一个分段函数的情境也是常考的一种类型，所以我将用一节课的时间分析并拓展此题。
一、识辨表格主要是让班级的后进生说说出从这个表格中你可以讀出哪些信息，这是解答本题的基础和关键。
答案应为：“4月份用水量为8立方米，水费为22元；5月份用水量为9立方米，水费为27元。
”这是最基本的层次，通过这样一个处理信息的过程，其实就很容易思考到，“5月份比4月份多用了1立方米，这个水费多交了5元，那么水费即为每立方米5元。
”其实，这就是加工信息的能力了，而且这也是解决本题的一个小技巧，一种整体的思想。
二、分析数据，解决问题表格中的两行数据事实上是并列的，处理方法是类似的，那么不妨先看第一行，关键词是“8立方米22元”，能否直接用22除以8呢？很显然，不可以，因为这8立方米的水价格是不一致的，可以将其分为2份，一份是基础部分，另一份是加价部分。
即等量关系为“总价22元=基础部分的水费总价+超出部分的水费总价”，这时候只需要用代数式表示出两个总价，如何求出总价呢？总价=单价×数量，很显然这部分的数量是知道的，一个是6立方米，另一部分是（8-6）立方米，而价格是未知的，也是所求的，所以可以假设基本水价为x元/立方米，超出6立方米部分的价格为y元/立方米。
一道数学课本习题再思考的教学价值
一道数学课本习题再思考的教学价值课本的例习题是所有教学材料中的精品，有丰富的内涵和广阔的外延，对学生理解巩固知识和形成解题策略具有一定典型作用和潜在的价值. 新课程主张要改变学生的学习方式和教师的教学方式，要求把学习的时间还给学生，提倡探究式学习，那么教师如何挖掘习题的价值就显得尤为关键. 有些教师仍习惯题海战术，可学生却是异常排斥. 正确的做法是将“训练”和“反思”相结合，在训练的基础上多做总结性的反思. 这就要求教师要用“活”例习题，教会学生自主去探究，真正实现探究过程中随时留下来“知识的烙印”. 本文以人教版必修4第113页B组第3题为例，探讨问题的再思考所产生的学习价值.题目：已知对任意平面向量=（x，y），把绕着点A逆时针方向旋转θ角后，得到向量=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把B点绕点A逆时针旋转θ角得到点P.（1）已知平面内一点A（1，2），点B（1+，2-），把点B绕点A顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标；（2）设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线x2-y2=1，求曲线C的方程.一、课本习题最基本的教学价值是以所学知识为基础的知识巩固本例所给出的背景是解析几何中的坐标旋转公式. 新课标要求给学生“坐标旋转公式”以初步印象，了解其含义，并能利用已给的公式进行运算，为学生进行“旋转变换”提供了可能. 要实现上述教学价值，必须建立合理的认知结构，由于学生在此时还没有学习两角和差的正余弦公式，就不会理解该公式为研究图形的旋转变换提供了最方便的方法. 在实际的教学中，我将此题的教学延后到“两角和与差的正弦、余弦公式”之后来进行，这样就可以有效地利用所学知识来证明该公式，降低了知识的难度，使学生便于接受，处理得应该是比较合理的.在学习完三角函数的相关知识后不禁要问：三角函数的定义应用十分广泛，除了推导出诱导公式、三角恒等式、正余弦定理外，还有许多应用，你能利用三角函数的定义来表示点的坐标吗？如图1，设点P的坐标为（x，y），以射线Ox为始边，射线OP为终边的角α，有三角函数的定义可知：P（rcosα，rsinα），起到利于温故知新之效.平面内一点P（x，y）绕原点O逆时针方向旋转θ角后，得到点P′（x′，y′），则这两点坐标之间的关系是什么？自然联想：设OP=OP′=r，以Ox为始边，OP′为终边的角α+θ，由上述结论可知x=rcosα，y=rsinα，x′=rcos（θ+α），y′=rsin（θ+α）.由两角和的余弦公式可得x′=xcosθ-ysinθ，y′=xsinθ+ycosθ.该公式就是点P旋转前后坐标之间的关系，也就是坐标旋转公式.二、课本习题的教学应补充思维过程，拓展学生思维空间课堂上我们要留给学生的不仅是完整的解题过程，更重要的是分析解决问题的思维过程，否则学生只会知其然而不知其所以然. 所以我们要引导学生真正搞懂解题的依据是什么，发现规律，探究方法. 在解决完本题后，我又引导学生做了如下探讨：（1）初中学习的反比例函数y=（k≠0），其图象是双曲线，在高中我们又学习过双曲线，方程为-=1（a>0，b>0），那么，这两种曲线是一致的吗？如何证明你的判断呢？（2）设反比例函数y=（k≠0）图象绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到曲线C，又设曲线上任意一点的坐标为P（x，y），那么将点P绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点P′（x′，y′），在反比例函数的图象上，即x′y′=k.由旋转公式可得x′=xcos-ysin=（x-y）y′=xsin+ycos=（x+y）所以x2-y2=2k显然表示高中的双曲线.由此我们完全明白为什么初中把反比例函数的图象叫做双曲线了！因为它的本质就是将双曲线x2-y2=2k绕原点O逆时针旋转得到的.（3）既然反比例函数的图象是双曲线，那么你能求出其顶点、焦点、对称轴、渐进线等等吗？学生很快发现，只要将双曲线x2-y2=2k（k>0）的顶点、焦点、对称轴、渐进线等绕原点O逆时针旋转即可.（4）双曲线的许多性质应该也一样适用反比例函数，你能说出几条吗？这是一个开放性的问题，我的学生给出了许多答案，其中有一条让我感觉学生的能力有了大幅度的提高：学生给出了这样的一个结论若一条直线与反比例函数的图象、坐标轴相交的四个点依次为A，B，C，D，那么|AB|=|CD|.三、用“活”课本习题，实现学生能力与品格的双赢思维不应就此停止，我们要想从浩如烟海的“题海”中解放出来，就必须引导学生向更广的范围，更深的层次去联想，纵横引申，把所学的知识放到更大的范围去联想、演变，促进知识的融会贯通，使解题能力和思维能力得到提高，人也会越来越自信. 所以，我又为学生搭建了下面的台阶：（1）“双勾”函数y=ax+（a，b为正数）在高考中出现的频率越来越高，该函数的图象也是双曲线形状，它跟我们本题研究的是否是同一类曲线构成呢？将函数y=ax+（a，b为正数）的图象（图2）绕原点O顺时针方向旋转角θ（θ为锐角）后得到的曲线为C，设C上的任意一点P（x，y），则将其绕原点逆时针方向旋转角θ后得到的点P′（x′，y′）必在函数y=ax+（a，b为正数）的图象上，所以y′=ax′+，即x′y′=ax′2+b.由旋转公式x′=xcosθ-ysinθ，y′=xsinθ+ycosθ，代入上式化简得（sin2θ-cos2θ-a）x2-（sin2θ-cos2θ+a）y2=-2xy（asin2θ+cos2θ）+2b，令asin2θ+cos2θ=0，即tan2θ=-<0，又因为θ为锐角，所以2θ为钝角，故sin2θ=，cos2θ=，可取θ=arccos，代入方程并化简得（-a）x2-（+a）y2=2b，由于-a与+a和2b均为正数，所以此方程表示中心在原点，焦点在x轴上的双曲线.可见，原函数y=ax+（a，b为正数）的图象也是中心在原点的双曲线. 这样我的学生就完全明白了“双勾”函数的图象也是双曲线！学生就可以顺理成章地把该函数定义为“双勾双曲线”，形象也贴切！（2）由于函数y=ax+（a，b为正数）（图3）与“双勾”函数y=ax+（a，b 为正数）的解析式仅差一个负号，那么其图象是什么呢？两者的图象之间有什么关系呢？这两个函数在学生的学习中经常遇到，学生往往就是利用函数的单调性、奇偶性等知识画出函数的草图，但却很少深入研究两者之间的关系.与上述运算仅仅相差一个负号，只要绕原点旋转同样的角度θ=arccos后，就可以得到方程（-a）x2-（+a）y2=2b，它也是一条双曲线.在运算中可以发现（-a）x2-（+a）y2=±2b是一对共轭双曲线，所以函数y=ax+（a，b为正数）的图象也是双曲线，并且和“双勾”函数的图象是一对共轭双曲线. 这样我们就可以非常准确地画出它们的图象了，也完全掌握了这两个函数图象之间的关系. （图4）数学概念的建立、计算公式、性质概括等教学难点必须让学生设身处地，身临其境，否则任凭教师再怎样讲解强调也是无济于事. 我们不应跳过与学生一起经历知识的形成过程，直接告知结论，再通过题型教学反复强化结论，这样做无异于“杀鸡取卵”，百害而无一利.上述的设计既不脱离教材，又不拘泥于教材，随着教学层次的展开，不失时机地引导学生由浅入深的探讨，将学生的思维引向深入. 通过观察、分析、比较，从感性认识上升到理性认识，使思维产生了质的飞跃.对问题的再思考，能很好地帮助学生完成“解决问题——提出新问题——解决新问题”的探究过程，通过联想新问题打破原有的知识体系，通过解决新问题使学习更上一层楼，更能培养学生自主学习的兴趣，点燃学生的求知欲望，大幅度提高学习效率.。
一道课本例习题教学引发的思考
一道课本例习题教学引发的思考摘要：课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在“活”用课本例习题应当注意特别是变式教学时要注重如何更好的形变，如何更好的在“度”、“宽”上的掌控，让学生从不同角度、不同层面去看问题，从学会更好地解决问题。
关键词：数学；课本例习题；反思课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在教学过程中对教材中的例题，习题可以从多个角度来挖掘其深层次的数学本质，并结合利用变式教学通过改变数学表征问题，来达到更好地揭示数学本征问题的目的。
下面以八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题为例谈谈针对一道课本例习题教学引发的一些思考：一、注重引导，寻思关键在课本例习题教学中，教师要先指引学生从题设出发，通过观察图形，自主学习与探讨交流，然后写出证明过程。
本题对于学生来说，没有障碍，由已知条件等边三角形自然联想到其性质：三条边相等，三个角相等，学生由图形自主探究构建全等三角，再进行合作交流，找出间边与角之间对应关系，且角的相等是证明全等的关键。
课本这道例习题的教学价值在于学生通过学习后能够完成文字语言与符号语言之间的转换，检验学生对基本概念知识、方法的掌握情况，目的在于让学生学会观察、分析、概括、归纳，提升语言表达能力。
二、深入挖掘，一题多解数学教学中，为了激发学生的思维和建构知识间的链接，往往是在解决问题时从多角度促使知识间的联系。
因此十分有必要对课本中例习题进一步进行挖掘，比如八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题，这是一道基础题，如若在教学过程中教师讲过就将之抛在一旁，那乃是捡了芝麻丢了西瓜之举。
在数学课堂中，时常用来拓展学生数学思维形成的教学策略之一是一题多解，这种教学策略能很好地引导学生从不同角度看待问题、解决问题。
一道课本习题的多角度思考
一道课本习题的多角度思考（陕西省富平县刘集中学）教材是数学教学的基础，数学考点源于教材，而高于教材，成为高考的常态，因此挖掘教材的习题，深入进行研究，一方面可以巩固知识，加深理解，另一方面有利于高考备战。
选修2-2习题1-2有这样一道课后练习题，经过笔者和学生共同努力得到以下几种做法：问题 已知d c b a ,，,都是实数，且1,12222=+=+d c b a ，求证：.1≤+bd ac一 三角换元法 证法1 1d c ，12222=+=+b a,sin ,cos ，sin ,cos ββαα====∴d c b aβαβαsin sin cos cos +=+∴bd ac()1cos ≤-=βα评注 三角换元法是不等式证明中常用的一种方法，可以起到消元及优化解析式的目的。
等式满足122=+y x，就可以用三角换元法，变换成 。
此题显然满足三角换元法。
二 均值不等式证法2 （分析法） ，1≤+bd ac ，12≤+∴bdac，122222≤++∴acbd d b c a 又1,22=+b a，2222222b a acbd d b c a +≤++∴ ，1sin cos 22=+αα，222222222222222c b d a b a c b d a acbd d b c a +++≤++++∴ ()(),2222222222222c b d a b a acbd d c b c d a +++≤++++∴,122=+d c,222222222c b d a b a acbd b a +++≤++∴ ,02-2222≥+∴acbd c b d a(),02≥-∴bc ad显然成立。
证法3 （综合法） 1,d c 1,2222=+=+b a2,d c 2222=+++∴b a 2cd,d c 2ab,2222≥+≥+b a(),bd ac 2d c 2222+≥+++∴b a,bd ac 2d c 2222+≥+++∴b a,bd ac 22+≥∴。
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由一道课本习题的思考
数学学习的核心是发展思维能力。
同学们在学习的过程中，若能经常对课本的经典题进行挖掘、引申和改编，就可以得到综合性强、形式新颖的命题，这样可帮我们全面系统地掌握知识，培养思维的灵活性和发散思维能力。
现举例说明。
原题目：苏科版九年级上册第136页：已知点I为ABC的内心，/ BAC的平分线与ABC的外
接圆于D, AD交BC于E, DB与DI
相等吗？为什么？
分析：连接BI , VI为内心，.•./ ABI=Z EBI,
/ BAEh CADh EBD 而/ DIB=Z ABI+Z BAE
/ DBI=Z EBDZ EBI,.Z DIB=Z DBI,. DB=D。
变形题1:本题还可证得（1）AB?AC=AE?AD（ 2）DI2=DE?DA （3）AB?AC=AE2+BE?CE
分析：结论（1）可通过证明AB» AEC结论（2）可通过证明DB0 DAB;结论（3）可通过证明AE3 BED得AE?DE=BE?EC由（1）得AB?AC=AE?AD=（EAE+ED =AE2+
AE?ED=AE2+BE?EC
原题可互换条件和结论得
变形题2:如图1, ABC的角平分线交BC于E,交ABC的外接圆于D, I为AD上一点，且DB=D,求证：I为ABC的内心。
分析：只要证明/ AB匸/ EBI，与原题的证法类似。
变形题3:在原题条件下，作DMLAB DNLAC M, N为垂
足，AB>AC。
求证：（1）BM=CN=（AB-AC）（2）
分析：（1）易证DBMP?DCN ADMP?ADN 得BM=CNAM=AN 由
AM=AN 得AB-BM=AC+CN即卩2BM=AB-AC
所以BM=CN=（AB-AC）。
（2）易证AE3 ABD, ABE^ ADC 得。
变形题4:在原题条件下，过D作圆的切线交AB AC的延长线于M N,求证：（1）BC// MN （2）CD2=CE （AB-AC）DM 分析：（1）设0为?ABC的外接圆的圆心，连接0D因为MN为切线，所以ODL MN又因为/ BADh CAD可得弧BD=^ CD 所以ODL BC 所以BC// MN
（2）由弧BD=弧CD得BD=CD 又BC// MN 得
/ DCBh DBCh BDM 又/ ADCh ABCh M 可得CDE^ DMB 得
CD?BD=CE?BD因为BD=CD 所以CD2=CE?DM
通过对一道习题的引申、改编，同学们不仅对课本知识的掌握和应用更为熟练，而且对培养发散思维和创造性思维能力大有裨益。
更重要的是可以培养学生对已经解决的数学问题加以引申变化的意识，从而提高创新能力。