由课本一道例题引发的思考
自主选择 自主发展——由一道习题教学引发的思考
题 目是这样的 ： 把一个棱长为 １ 分米 ． 六面都涂成绿色的
正方体 木块 ． 数一数 ： 这 些小正方体 中至 少有一 面被涂过 色的数 目是多少 ？如果是 切 成１ ０ ０ ０ 块 大小相等 的小 正方体 呢？ （ 第二 问 期待你能完成 ） 当学 生通过观察 和思考 ｆ 部 分学 困生 通 过操 作 、 数数 ） 得 出三面涂 色 ， 两面涂 色及 一 面涂 色的小正 方体分 别有 ８ 块、 １ ２块和 ６块 的结论 后 ，我继续 提问 ： “ 请 同学们仔细 观察 这组 数据 ： ８ 、 １ ２ 、 ６ ， 联 系我们 刚刚学 习的正方 体特征 ． 你有 没有发 现什 么？” 稍作思考后 ． 便有学生开始汇报 生一 ： 我发现好像正方体的特征中也恰好 有这样一些数据 生二： （ 豁然 开朗 ）三 面被涂 色 的正方 体 的块数 正好 和大正方 体 的顶点 个数 一样 ： 两 面涂 色的小正方 体的块数正好 相当于大 正方 体 的棱 的条数 ：一面涂色 的小正 方体 的块 数 又相 当于大正方体 的面 的个数 生三（ 自言 自 语） ： 这是怎 么回事 ． 难道 是 巧合啊７ 我接生三 的话说 ： “ 是 啊 ，这到底是 巧合
是学生“笨”吗？——由一道习题引发的思考
成 了 依赖 性 ， 果 到 了 中 、 结 高年 级 ， 读题 都不 想 读 ， 连 大致 开 一 遍 甚至 一遍 没 看 完 就 下 笔 ， 的 学 生甚 至 连 题 部 没 看 就 嘁 ： 不会 有 我 做 。这 怎 么 能弄 清 题 意 、 正确 解 题 呢 ？ ３ 与教 师提 问的语 言 、 ． 给予 思 考的 时间 等订 很 大的关 系 。 解
题 中提 供 的信 息 明 显 比 前面 的例 题 多 丁，对 学 佳 的 Ｊ 思 维 的 Ｅ确 线 索起 了 干扰 作 用 。这 时 ， 生 能直 接 看 Ｉ 婴 比什 么 ？无 法 比 学 ｌ ｊ 出线 段 的 长短 ， 不 能 想 到 』 刚 学 的 数 数 方法 米 对 ， 以 显得 更 ｝ ｊ 所 束手无策。
以用 数 格 子 的 方 法 来 做 。 结果 ，全 班 ５ ５名 学 生 ， ７名 出 错 ， ２ 占
４ ．％。出错 的 同 学 中 ， 部 分学 生 不 知 所措 ， ９１ 大 － 下 手 ， 便 勾 尢从 随 画： 部分 同学 认 为一 只 蚂 蚁 走 的路 都 是 一 七格 ； 有 一 小 部 分 行 还 学 生 数 的是 出现 在 每 条相 应 红 线 上 面 的所 有 格 子 。错 误 率 如 此 之 高 ， 禁 引 发 了笔 者 的 思考 ： 不
清 语 言 的 结 构和 层 次 ， 多数 小 学 生 阅读 数 学 文 本 、 解 数 学 问 是 理
题 的主 要 障碍 之 一 。如～ 年 级 学 生 刚 接触 由直 观 图和 文 字 组 成
的 信 息 时 ， 往 更 关注 图形 ， 法 理 顺 整 合 图文 的意 思 。 最 长 的 往 无 画 、 最 短 的 画Ｘ 底 指 ｆ一 ？是 陶 中 的 红线 还 是 格 予 ， 是 其 他 ／ 到 １么 戏
从课本的一道例题谈起
从课本的一道例题谈起青岛市崂山区第三中学王昌涛1.写在前面亲爱的同学们，在学习本节课时相信大家对例题的印象是非常深刻的，原因在哪里呢？让我们再来回顾本节课的例题.例1 如图1，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,即∠AED=90°，DE=12BD×10=5（cm）∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：12(). AE cm ===∴AC=2AE=2×12=24(cm).（2）S菱形ABCD = S△ABD+ S△CBD=2×S△ABD =2×12×BD×AE= BD×AE=10×12=120(cm2).2.一类四边形面积求解的方法相信同学们完成例题后都会对菱形面积的处理感觉非常妙，对于这种解题的技巧你是一笑而过，还是让你陷入了沉思呢？今天就让我们一起深入探讨一类图形的面积求解问题。
通过本节课的学习我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形的面积等于对角线乘积的一半.即如图1所示：S菱形ABCD=12AC×BD.仔细分析上述的证明过程我们会发现，我们日常生活中常见的风筝的形状即“筝形”也是可以用这种方法求解的.例2如图2，四边形ABCD是我们常见的风筝的图案，其中对角线BD长为20cm，AC长为40cm，AC垂直平分BD，垂足为E，求筝形ABCD的面积.解析：由已知：S四边形ABCD = S△ABD+ S△CBD=12×BD×AE+12×BD×CE图1B图2= 12×BD ×(AE+CE)= 12×BD ×AC. 我们发现这个结论对于筝形依然成立.那么到底满足什么条件的图形可以通过这种方法求面积呢？仔细观察不难发现，只要四边形的对角线互相垂直我们就可以利用这一结论求解.例3 如图3，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，其中对角线BD 长为20cm ，AC 长为15cm ，垂足为E ，求四边形ABCD 的面积.解析：通过上述求解过程，同学们应该能求出结果为150cm研究到这里，我们可以得出一个结论：结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.3.普通四边形面积求解的拓展通过结论1的研究对于普通的对角线不垂直的四边形的面积的求解能不能有什么启示呢？下面让我们一起来研究.如图4所示四边形ABCD 的对角线BD长为20cm ，根据前面三个例题的求解方式只要我们知道AE 与CF 的长度即可求出四边形的面积，仿照上面写出如下算式：S 四边形ABCD = S △ABD + S △CBD =12×BD ×AE+12×BD ×CF=12×BD ×(AE+CF).通过这个算式我们发现我们刚开始猜想的知道AE 与CF 的长度即可求出四边形的面积，这一条件可以简化为知道AE+CF 即可求出四边形的面积。
教学案例：一道作业题引发的思考
教学案例：一道作业题引发的思考背景介绍我校是一所普通中学，我长期担任高中生物教学工作。
在工作中我发现，学生有厌做作业心理，作业收不齐，学生抄袭作业现象普遍，课外作业往往流于形式。
作业对教学效果的巩固和反馈作用不可替代，如何设计符合课程标准和教材要求的作业，并能有效利用作业这个工具达到教学相长的目的，我一直在思索这个问题却苦于理不出头绪。
案例描绘教学课题：苏教版物理八年级上第四章光的折射课型：常态复习课任课教师：王浩源老师听课班级：九、四班上课时间：2014年3月7日课时：1课时学生分析：普通中学的学生教学过程：那节课，王老师布置的作业是这样一道题：请根据图中给出的入射光线和出射光线的传播方向，在方框中填放适当光学元件，以满足题设条件，并作出光路图加以说明，请找出7种方法.。
当王老师布置作业题时，我听到学生发自内心的感叹。
学生在为这道题欢呼，他们对这道题很感兴趣，互相比试着谁画的最快，谁想的点子最多。
显然，这道题点燃了学生复习的热情。
王老师让学生不再对作业厌倦，并且产生学习兴趣，从中体会到学习物理的乐趣。
我认为王老师的作业布置很有创意。
一提到作业，学生经常就是苦着脸，有种厌倦情绪。
该作业注重了学生的学习经验和兴趣，减少了死记硬背、机械训练的内容。
通过作业培养了学生收集和处理信息的水平、获取新知识的水平、分析和解决问题的水平以及交流、合作的水平。
课后我一直冷静反思自己做的不到位的地方。
案例反思一、作业布置中存有的一些弊端因为传统的教育注重智力测验这种单一的评价方式，这个指挥棒“指使”我实行“题海战术”，布置的是千人一面的统一作业，学生课外往往处于题海之中，学生课外负担重，但收效甚微。
我总结了自己在作业布置中存有的一些弊端。
（1）、作业布置没有层次性长期以来，我布置作业总是全班统一一致，无视了学生之间存有的个体差异。
这样的“统一”作业，遏制着学生学习水平的发展，不能“满足每个学生发展的基本需求”。
（2）、作业布置形式单一，无视合作完成我过于强调学生作业独立完成、却无视了合作学习的方式。
该如何正确理解整数乘法的意义——由一个例题引发的思考
７或 ７ ６ ” ｘ。
《 课标（ ０ ２１ １年版 ）第 １ 》 ７页上还有这样一段叙 述 ：结合具体情境 ， “ 体会整数 四则运算的意义（ 见 参
例 ５ 。 由此 可 知 ， 例 ５ 是 为 学 生 体 会 整 数 乘 法 意 ）” “ ”
数的个数 ” 这样 的乘法意义 ， 小学低年级 的学生能理
我 们 不 妨 也 把 它 叫 做 “ 定 ” 这 个 “ 定 ” 样 是 不 规 ， 规 同
２ 按 照 “ ５ 中 的 “ 定 ” 乘 法 交 换 律 将 不 复 ． 例 ” 规 ，
存 在
按照 “ 定”“ 规 ，６个 ７的 和 ” 以 写 成 “ｘ 可 ６ ７或 ７ ×
合理 的。
义可参 阅人 民教育 出版 社 １８ 年 出版的 《 ９２ 小学数学
基础理论和教法（ 第—册 ） ）在那个定义 中 ，ｘ 》， ａ ｂ表示
ｂ个 ａ相 加 ，ｘ ｂ ａ表 示 ａ个 ｂ相 加 ， 当 ａ和 ｂ中 有 ０
称“ 规定 ”的规定 不合理 。 ） 第三 ，乘数 ” “ 也可 以口 因
解吗？ 且“ 而 ６个 ７的和 ” “ 与 ７个 ６的 和 ” 否相 等 都 是
没有经过检验 ， 就让 它们都用同一个乘法算式 “ｘ ” ６ ７ 来表示 ， 这样做显然是不合理的。 在人教版 数学 二年 级上册 “ 乘法的初步认识 ” 教 学中， 教材 利用加法 算式 ３ ３ ３ ３ ３ ３ １ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ８引 出乘
法 算 式 “ 样 的 加 法 ， 可 用 乘 法 表 示 ： ｘ ＝ ８或 这 还 ６３１
义 而设定 的， 这个例题 的作 用与 ２ ０ 年 出版 的《 ０１ 全
日制义务教育数学课 程标准 （ 实验稿 ）（ 简称《 》下 课 标（ 实验稿 ） ） １ 》 第 ３页上的一个 “ 注释 ” 的作用相同 ，
由一道几何题引起的思考
学法指导由一道几何题引起的思考■应位峰摘要：数学的课堂难免会出现意外。
这样的意外是学生积极参与，探索思考的结果。
我们善于利用，对自己、对学生、对课堂都大有裨益。
本文从九年级课堂教学中的一道习题出发，通过学生给出的解法，谈谈一些自己在教学时的思考。
关键词：教师；解题数学教学尤其是几何教学总能引发学生们思维的火花碰撞，有的会让我们老师得到意外的收获。
因此，教师的主导不能代替学生的主体，引导学生，积极思维，敢于表达和质疑往往使学生对于知识的掌握更到位。
下面谈谈九年级数学圆周角一课讲到的一个习题时，遇到的意外收获。
一、题目呈现如图，AB 是⊙O 的直径，D 是弦AC 延长线上的一点，且CD=AC ，DB 的延长线交⊙O 于点E 。
问CD 与CE 相等吗？为什么？二、师生解法对比该题教师给出的解法：连接BC 。
由于AB 是圆O 的直径，可得∠ACB =90°，即BC ⊥AD 。
根据已知条件CD=AC ，由“三线合一”得到BA=BD ，再由“等边对等角”得到∠A=∠D 。
由于∠A 与∠E 是同弧所对的圆周角，所以∠A=∠E 。
再等量代换即得到∠E=∠D ，再通过“等角对等边”得到CE=CD 。
学生给出的优解：连接AE ，由于AB ⊙圆O 的直径，因此∠AEB =90°。
因为CD=AC ，所以C 是斜边AD 的中点。
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE =12AD ，即CE=CD 。
相对而言，两者选择的角度不同，对于教师来说，一般比较喜欢用分析法，从结论出发，要证边相等，就要证角相等，于是要证∠E=∠D 。
因为∠A=∠E ，所以只要证∠A=∠D ，那么就要证BA=BD ，就会向证中垂线的方向去证，因此过程相对就多了一点，但是像这样，从结论出发，往前推逐步跟已知条件联系，对于解任何一道几何题都能行得通，因为思维上比较容易。
而学生方法的最大的优点就是简便，巧妙地运用直径构造另外一个直角，加上中点，使得直角三角形的性质发挥作用。
由一道课本例题引发的探究、引申与应用
推广 公式 ，
展开 式中 的系数为
知识 网络 ， 把握 纵横 联系 ， 提炼 数学 思想 ， 在 数学 地 提 出问题 、 分 析 问题 、 解决 问题 中学 会数 学学 习 ， 有 益 于拓展思 路 ， 扩 展视 野 ， 发 展学 生 探 究 能力 和 数
学思 维能力．
ｃ ： ｍ ＝ｃ “＝
垒 ｉ ± ２ （ 垒±
１ ，
－ ｙ － 旦
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社． １ ９ ８ ０： １ ７ — １ ８ ．
１・ ２＋ ２・ ３＋… ＋凡 （ 凡＋１ ）＝￣ 。 － ｎ （ ｎ＋１ ） （ ｎ＋２ ） ．
［ ２ ］ 徐 会方 ， 董振平 ， 崔耀 文 ， 等． 怎样 寻 求 Ｐ （ ＋ １ ）的 证 明 ［ Ｍ］ ．郑 州 ：河 南 教 育 出 版 社 ，
积是 一 ， 求 点 Ｍ 的轨迹 方程
问题 １ 设 点 Ａ， Ｂ 的坐 标 分 别 为 （一ｏ ， ０ ） ，
（ ｎ ， ０ ） ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 相 交 于点 Ｍ， 且 它们 的斜率 之
积是 一 ， 求点 Ｍ 的轨迹方程．
解 设点 （ ， Ｙ ） ， 由Ａ （一ｎ ， ０ ） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） ， 得
・
４・
中 学教 研 （ 数学）
要 计算 Ｓ ＝１ ・ ２＋ ２・ ３＋ ３・ ４＋… ＋ 凡 （ １ ７ ， ＋ １ ） ，
只需求 出母 函数的项 ｆ “的系数 即可． 根据 二项 式 的
特 别地 ， 如果教 师从 高等数 学 的视角来 研究初
等数 学 ， 常 常能居 高临下 ， 深入 浅 出地处理 问题． 总 而言 之 ， 立足基 础知 识 、 基 本技 能 和基本方 法 ， 编 织
一道数学题引发的思考
一道数学题引发的思考数学，是一门极具逻辑性和抽象性的学科，它不仅是一种工具，更是一种思维方式。
数学题在引发我们思考的也促使我们发现问题的本质，培养逻辑推理和解决问题的能力。
下面，我们来谈一谈数学题引发的思考过程。
最近，我在解题时遇到了这样一道题目：已知 a + b = 10，a - b = 6，求 a 和 b 的值。
一般情况下，我们可能会采用代数方法来解这道题，即通过联立方程来求解。
在我解题的过程中，我突然想到了另外一种方法，那就是直接归纳和推理。
我们不妨假设 a 和 b 都是整数。
那么根据题目条件可知 a 和 b 的关系，我们可以通过列举可能的整数对来求解。
当 a = 8, b = 2 时满足条件，因为 8 + 2 = 10，8 - 2 = 6；当 a = 7, b = 3 时也满足条件，因为 7 + 3 = 10，7 - 3 = 4；当 a = 6, b = 4 时满足条件，因为 6 + 4 = 10，6 - 4 = 2。
通过以上列举，我们可以发现，对于 a 和 b 来说，只有一组整数满足条件。
所以，我们得出结论：a = 8，b = 2。
通过这道数学题，我深深地思考到了数学问题解决的多种思路，更加深刻地理解到了数学问题的本质。
数学题并不仅仅是为了考验我们的计算能力，更是考验我们的逻辑思维和解决问题的能力。
在这个过程中，我还意识到了数学的自然美和逻辑美。
每一个数学问题都是一个独立的思维世界，我们可以通过不同的途径来发现和解决问题。
这种美妙的思维方式，远不止局限于数学领域，它更是一种全面的思维能力的培养。
数学题还能引发我们对抽象思维的锤炼。
在解题的过程中，我们需要将问题抽象成符号和方程式，并通过逻辑推理来解决问题。
这种抽象思维的过程，可以帮助我们更好地理解问题的本质，培养我们在解决实际问题时的抽象能力。
数学题还能激发我们对新领域的探索和思考。
在解决数学题的过程中，我们可能会涉及到其他学科的知识，比如物理、化学、计算机等，这些跨学科的思维过程，可以引发我们对新领域的兴趣和探索，帮助我们更好地拓展自己的思维空间。
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由课本一道例题引发的思考
发表时间：
2017-06-09T16:09:26.547Z 来源：《创新人才教育》2017年第1期 作者： 武海燕
[导读] 作为选修内容的极坐标对学生来说是很 新颖的知识，而且课时安排不多，所以精简提炼总结，使学生能在有限的时间内掌握新知
识，对课本知识进行拓展。
西工大启迪中学
武海燕
【摘
要】 作为选修内容的极坐标对学生来说是很 新颖的知识，而且课时安排不多，所以精简提炼总结，使学生能在有限的时间内掌握新
知识，对课本知识进行拓展。
【关键词】激发
极点思考