数字信号处理,第十讲单位脉冲不变法
脉冲响应不变法数字信号处理总结通用课件
MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析和数值计算的编程语言和环境。它提供了大量 的数字信号处理工具箱，这些工具箱包含了实现脉冲响应不变法所需的函数和算法。
算法实现步骤
信号采样
预加重滤波
脉冲响应测量
脉冲响应不变转换
首先，对连续时间信号进行采 样，将其转换为离散时间信号 。采样频率应根据信号的最高 频率来确定，以避免混叠效应 。
代码示例与演示
• Python代码示例：以下是一个简 单的Python代码示例，演示了如 何使用NumPy库实现脉冲响应不 变法。该示例包括信号采样、预 加重滤波、脉冲响应测量和脉冲 响应不变转换等步骤。
代码示例与演示
t = np.linspace(0, 1, num=1000) # 时间轴
import numpy as np
效果展示与比较
展示处理前后的音频信号，并进行效果比较，以客观地评估所采用方 法的优劣。
案例三：通信系统中的信号处理
通信系统中的信号处理概述
在通信系统中，信号处理技术用于改善传输质量、增强信号可靠性以 及实现高效的数据传输。
脉冲响应不变法在通信系统中的应用场景
探讨脉冲响应不变法在通信系统中的具体应用场景，如调制解调、信 道均衡等。
在音频处理中，脉冲响应不变法常用于音频压缩和音频恢复。通过将音频信号通 过一个脉冲响应不变系统，可以压缩音频数据，减小存储空间和传输时间。在需 要时，再通过相同的脉冲响应不变系统，恢复出原始音频质量，实现音频的恢复 。
04 脉冲响应不变法的实现方 法
编程语言与工具
Python
Python是一种通用编程语言，适用于各种应用领域，包括数字信号处理。Python具有简洁的语法和 强大的科学计算库，如NumPy和SciPy，这些库提供了脉冲响应不变法所需的数学函数和算法。
数字信号处理
第一部分：数字滤波器的设计
6
第5章 IIR滤波器的设计 一、滤波器的基本概念
1.什么是滤波器、数字滤波器？ 滤波器，是指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰 减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。 数字滤波器——把输入序列通过一定的运算变换成所要 求的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。 2.分类 （1）经典滤波器和现代滤波器 （2）IIR和FIR滤波器 （3）低通、高通、带通、带阻滤波器
数字信号处理 Digital Signal Processing
1
绪论：
xa (t) 预滤 A/DC 数字信号处理 D/AC 平滑滤波 ya (t)
图0-2 模拟信号的数字ห้องสมุดไป่ตู้号处理系统框图
前置滤波器：滤除模拟信号的杂散分量，避免采样信号的混叠失真
A/DC： 模数转换（采样、保持、量化、编码） 数字信号处理：核心，对x(n)进行变换，得到想要的y(n)信号； 处理的实质是运算 D/AC：数模转换
4型
Hk=HN-k
频率采样法设计比较简单，所得的系统频率响应在每个 频率采样点上严格与理想特性一致，各采样点之间的频响则 是由各采样点的内插函数延伸叠加而成。
26
3.改善频率响应的措施 为了提高逼近质量，在理想特性不连续点处人为加入过 渡采样点（1～3个），虽然加宽了过渡带，但缓和了边缘上 两采样点之间的突变，将有效的减少起伏振荡，提高阻带衰 减。 H ( ) , H
六、其他要求
如何根据Ha(s)、H(z)判断其为何种类型的滤波器？
17
第6章 FIR数字滤波器的设计 一、基本概念
1.FIR DF具有线性相位的条件
H (e j ) h( n)e jn | H (e j ) | e j ( ) H ( )e j ( )
数字信号处理期末复习填空选择判断真题
数字信号处理期末复习填空选择判断真题The document was prepared on January 2, 2021一、填空、选择、判断：1. 一线性时不变系统，输入为 x （n ）时，输出为y （n ） ；则输入为2x （n ）时，输出为 2y(n) ；输入为x （n-3）时，输出为 y(n-3) 。
2. 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2121-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。
3. 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 时域离散信 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。
4. 单位脉冲响应不变法缺点 频谱混迭 ，适合____低通带通 滤波器设计，但不适合高通带阻 滤波器设计。
5. 请写出三种常用低通原型模拟滤波器特沃什滤波器、切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器。
6. FIR 数字滤波器的单位取样响应为 h(n), 0≤n≤N -1, 则其系统函数 H(z)的极点在 z=0 是 N-1 阶的。
7. 对于N 点（N ＝2L ）的按时间抽取的基2FFT 算法，共需要作 2/NlbN 次复数乘和 _NlbN 次复数加。
8. 从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs 与信号最高频率f max 关系为： fs>=2f max 。
9. 已知一个长度为N 的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X （e jw ），它的N 点离散傅立叶变换X （K ）是关于X （e jw ）的 N 点等间隔 采样 。
10. 有限长序列x(n)的8点DFT 为X （K ），则X （K ）=()70()nk N n X k x n W ==∑。
11. 用脉冲响应不变法进行IIR 数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的 交叠 所产生的现象。
12. 若数字滤波器的单位脉冲响应h （n ）是奇对称的，长度为N ，则它的对称中心是 (N-1)/2 。
3.6 脉冲响应不变法-数字信号处理 总结
数字频率w与模拟频率W 的关系为 w WTs
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
利用单极点H(s) 与H(z)的映射关系，可得
H (z) wc
1 e wcT z 1
AF与DF的频率响应分别为
频率，单位为rad/s
（1）
z esTs e( jW)Ts eTs e jWTs
（2）
r eTs
则 z re jw
w WTs
z变换的定义
Ts是抽样周期（或抽样间隔），Fs=1/Ts是抽样 频率
w WTs 2f Fs W w / Ts wFs
脉冲响应不变法的优缺点 优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性
w W Ts
缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设 计高通、带阻等滤波器。
脉冲响应不变法设计DF的步骤
脉冲响应不变法的MATLAB实现
[numd,dend] = impinvar(num,den,Fs) num,den：AF分子、分母多项式的系数向量 Fs=1/T：抽样频率 numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
因此,当f在 jW 轴上从-∞变至+∞的过程中，每 间隔Fs，对应的 w 从0变到2π ，即在单位圆上绕
了一周，所以，由s平面到z平面的映射不是单一的。
脉冲响应不变法的基本原理
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]
h[k ] h(t ) tkT 脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。 2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。 3．计算h[k]的z变换得到H(z)。
数字信号处理复习资料(答案)
一、 填空题1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。
2、若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是 当n<0时，h(n)＝0 。
3、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆 的N 点等间隔采样。
4、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L ≥8 时，二者的循环卷积等于线性卷积。
5、已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是()n h n ∞=-∞<∞∑6、巴特沃思低通滤波器的幅频特性与阶次N 有关，当N 越大时，通带内越_平坦______，过渡带越_窄___。
7、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要__（N 2）16*16＝256_ __次复乘法，采用基2FFT 算法，需要__(N/2 )×log 2N ＝8×4＝32_____ 次复乘法。
8、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，_级联型____和 _并联型__四种。
9、IIR 系统的系统函数为)(z H ，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，其中 并联型 的运算速度最高。
10、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法11、两个有限长序列和长度分别是和，在做线性卷积后结果长度是__N 1＋N 2－1_____。
12、N=2M 点基2FFT ，共有__ M 列蝶形，每列有__ N/2 个蝶形。
13、线性相位FIR 滤波器的零点分布特点是 互为倒数的共轭对14、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法15、在利用窗函数法设计FIR 滤波器时，窗函数的窗谱性能指标中最重要的是___过渡带宽___与__阻带最小衰减__。
16、_脉冲响应不变法_设计IIR 滤波器不会产生畸变。
17、用窗口法设计FIR 滤波器时影响滤波器幅频特性质量的主要原因是主瓣使数字滤波器存在过渡带，旁瓣使数字滤波器存在波动，减少阻带衰减。
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)
h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)
由于
x(n)*δ(n)=x(n)
1
x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)
2
故
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 1 2
（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果
|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，
7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，
要求画出y(n)输出的波形。
解： 解法（一）采用列表法。
y(n)=x(n)*h(n)=
0≤m≤3
－4≤m≤n
非零区间如下:
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
根据非零区间， 将n分成四种情况求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0
1=n+1
n
1=8－m n0
3
mn4
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
数字信号处理期末试卷（含答案）全
数字信号处理期末试卷（含答案）全数字信号处理期末试卷(含答案)⼀、单项选择题(在每⼩题的四个备选答案中，选出⼀个正确答案，并将正确答案的序号填在括号。
1.若⼀模拟信号为带限，且对其抽样满⾜奈奎斯特采样定理，则只要将抽样信号通过( )即可完全不失真恢复原信号。
A.理想低通滤波器B.理想⾼通滤波器C.理想带通滤波器D.理想带阻滤波器 2．下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输⼊序列）中哪个属于线性系统？( )A.y(n)=x 3(n)B.y(n)=x(n)x(n+2)C.y(n)=x(n)+2D.y(n)=x(n 2)3.．设两有限长序列的长度分别是M 与N ，欲⽤圆周卷积计算两者的线性卷积，则圆周卷积的长度⾄少应取( )。
A ．M+NB.M+N-1C.M+N+1D.2(M+N)4.若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，⽽不发⽣时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满⾜的条件是( )。
A.N ≥MB.N ≤MC.N ≤2MD.N ≥2M 5.直接计算N 点DFT 所需的复数乘法次数与( )成正⽐。
A.N B.N 2 C.N 3 D.Nlog 2N6.下列各种滤波器的结构中哪种不是FIR 滤波器的基本结构( )。
A.直接型 B.级联型 C.并联型 D.频率抽样型7.第⼆种类型线性FIR 滤波器的幅度响应H(w)特点( )： A 关于0=w 、π、π2偶对称 B 关于0=w 、π、π2奇对称C 关于0=w 、π2偶对称关于=w π奇对称D 关于0=w 、π2奇对称关于=w π偶对称 8.适合带阻滤波器设计的是：（） A )n N (h )n (h ---=1 N 为偶数 B )n N (h )n (h ---=1 N 为奇数C )n N (h )n (h --=1 N 为偶数D )n N (h )n (h --=1 N 为奇数9.以下对双线性变换的描述中不正确的是( )。
数字信号处理期末复习
一、选择题1.序列x 1(n)的长度为4，序列x 2(n)的长度为3，则它们线性卷积的长度是7， 5点圆周卷积的长度是5。
DA. 5，5B. 6，5C. 6，6D. 7，52.若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域 混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( A ) A. B.C. D.3.关于窗函数设计法中错误的是： D A. 窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小；B. 窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关；C. 为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加；D.窗函数法不能用于设计高通滤波器；4.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特采样定理，则只要将抽样信号通过( A )即可完全不失真恢复原信号。
A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器D.理想带阻滤波器5. 一个序列)(n x 的离散傅里叶变换的变换定义为A 。
A.∑∞-∞=-=njn j e n x e X ωω)()( B.∑-=-=10/2)()(N nNnk j e n x k X πC.∑∞-∞=-=nnz n x z X )()( D.∑-=-=10)()(N nknnk W A n x z X 。
6.离散序列x(n)为实、偶序列，则其频域序列X(k)为：（ A ）A ．实、偶序列 B. 虚、偶序列C ．实、奇序列 D. 虚、奇序列7. 在基2 DIT-FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为（ C ）A. 8B. 16C. 1D. 48. 如题图所示的滤波器幅频特性曲线，可以确定该滤波器类型为（C）A.低通滤波器B.高通滤波器C.带通滤波器D.带阻滤波器9.在IIR数字滤波器结构中，能通过单独调整系数来调整一对零点或极点的结构是（C）A.直接I型B.直接II型C.级联型D.并联型10.δ(n)的z变换是AA. 1B.δ(w)C. 2πδ(w)D. 2π11.从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f s与信号最高频率f max关系为：AA. f s≥2f maxB. f s≤2 f maxC. f s≥f maxD. f s≤f max12.无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构是C型的。
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p 2 f p 12000 rad / s r 2 fr 24000 rad / s
（2）确定模拟低通滤波器H(s)
N 5
c p 12000 rad / s
H
n
(s)
1
3.2360s
5.2360s2
1 5.2360s3
3.2360s4
s5
6.4 单位脉冲响应不变法
H
(s)
5c
3.2360c4s
p
c 0.6871 rad / s
H(s)
s3
0.3243 1.3741s2 0.9441s
0.3243
6.4 单位脉冲响应不变法
（3）将模拟滤波器转换为数字滤波器
H
(
z)
1
0.0998z1 0.0633z2 1.6778z1 1.0940z2 0.2531z
3
| H ( j) |
| H (e j ) | dB
H(s)
j0.3224
j0.3224
s 0.3224 j0.7772 s 0.3224 j0.7772
则
H (z) 2e0.3224T 0.3224sin( 0.7772T )z 1 1 2e0.3224T cos(0.7772T )z 1 e0.6449T z 2
6.4 单位脉冲响应不变法
为阻带的最小衰减,其值为对应于阻带
min
指标0.3162的分贝数；
c、s分别为通带边界频率和阻带边界频率。
(ii)
巴特沃斯模拟滤波器的极点为sk
j ( 1 2k 1)
ce 2 2N ,
k 1, 2,L , N
(iii)s平面到z平面的映射为 Ak s sk
1
Ak eskT
z
1
(iv) 所有小数取小数点后3位。
5c 5.23603cs2 5.2360c2s3
3.2360c s 4
s5
（3）将模拟滤波器转换为数字滤波器
H
(
z
)
1.0000
0.0073z 2.5547 z 1
1
0.0468z2 0.0283z 2.9435z2 1.8117z3
3
0.0016z4 0.5855z4
0.0786
z
5
| H ( j) |
该滤波器通带最大衰减Ap=-1.99dB， 阻带最小衰减Ar =-25.56dB.达到要求。
6.4 单位脉冲响应不变法
例3 利用脉冲响应不变法设计一个BW低通数字 滤波器，要求通带截止频率为6kHz，通带 最大衰减3dB;阻带起始频率为12kHz，阻 带最小衰减25dB，取样频率为48kHz。
解： （1）确定模拟低通滤波器指标
(2)阻带的数字边界频率 r 0.6 , Ar 25dB
(3)取样周期T=1s
解： （1）确定模拟低通滤波器指标
p
p
T
0.2
rad / s
r
r
T
0.6
rad / s
6.4 单位脉冲响应不变法
（2）确定模拟低通滤波器H(s)
N
lg(110000..11AArp
1) 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.86
取N=3
2 lg( r )
z re j
re j e( j)T
映射的特点：
z esT
r eT
T
(1)当 0时，r 1；s平面虚轴映射为z平面的单位圆. (2)当 0时，r 1；s左半平面映射为z平面的单位圆内部.
保证H(z)是稳定的!
6.4 单位脉冲响应不变法
映射的特点：
(3)由于=T，多值映射。
j
Im[z]
6.4 单位脉冲响应不变法
解：(1)H (s) 3 3
s 1 s 2
H1 ( z )
6 1 e2 z1
1
6 e4
z
1
0.702z1 1 0.153z1 0.0025z2
0.5(1 z1)2
H2
(z)
H
(s)
|s
1 1
z1 z 1
1
1 3
z 1
(2)H (s)、H1(z)和H2(z)的幅度响应
H (z)
N
Ak
k 1 1 eskT
z 1
（1）H (s)的极点sk，变换到H (z)的极点zk eskT ; （2）如果H (s)是稳定的，即Re[sk ] 0;
因为| z || eRe[sk ]T | 1，则H (z)也是稳定的；
极点映射关系：z esT
6.4 单位脉冲响应不变法
设s j
EFG H
40 50
e | H2(e j ) | dB
60 0
fg
0.5
h
1.5 2
700 5 10 15 20 25 30
混叠很轻
6.4 单位脉冲响应不变法
例2 利用单位脉冲响应不变法设计一个BW型 数字滤波器，要求满足下列技术指标：
(1)通带的数字边界频率 p 0.2 , Ap 2dB
例5.已知某模拟滤波器的系统函数为H (s)
3
(s 2)(s 1)
(1)分别利用脉冲响应不变法和双线性变换法将其
转换为数字滤波器，求出相应的H1(z)和H2 (z)， 抽样间隔T =2。
(2)分别画出H (s)、H1(z)和H2 (z)幅度响应草图。 （标明关键点的值）
(3)简述脉冲响应不变法和双线性法的优缺点。
6.4 单位脉冲响应不变法
解：min 10dB,s s /T 0.5 rad / s Ap 3dB, c c /T 0.15 rad / s
N log10 (100.1min 1) log10 (100.1(10) 1) lg 3 0.912
取N 1 2 log10 (s / c ) 2 log10 (0.5 / 0.15 ) lg10 lg 3 j ( 1 2k 1)
当T
1时，H1(z)
0.3276 z 1 11.0328z1 0.5247z2
当T
0.1时，H2 (z)
0.0485 z 1 11.9307z1 0.9375z2
A
0
10 B | H ( j) | dB 20 C
30
D
0a
10 20
30 d
| H1(e j ) | dB
bc
混叠严重
40 50 60
| H ( j) | 1.50
| H1(e j ) |
| H2 (e j ) |
0.83
1.50
0.95
0.61
0.48
0.260 1 2 3 0
0
(3)同上题
6.4 单位脉冲响应不变法
例6.已知RC模拟滤波器如图所示,能否用单位脉冲响应 不变法将该模拟滤波器转换成数字滤波器,为什么？
解：H ( j) R jRC
h(n) h(t) |tnT
6.4 单位脉冲响应不变法
N
设 H (s)
Ak
k1 s sk
N
h(t) Akesktu(t) k 1
映射
N
h(n) AkesknT u(n)
k 1
H (z)
N
Ak
k 1 1 eskT
z 1
6.4 单位脉冲响应不变法
N
H (s)
Ak
k1 s sk
映射
巴特沃斯滤波器 切比雪夫滤波器
椭圆滤波器
模拟滤波器
IIR滤波器 :
M
bi zi
H(z)
i0 N
1 ai zi
i 1
数字滤波器
H (s) 数字化方法
H (z)
6.4 单位脉冲响应不变法
设计一个数字滤波器，使它的单位脉冲响应
h(n)逼近模拟滤波器h(t )的采样值。
H (z)
H (s)
z变换
拉氏逆变换
| H (e j ) | dB
6kHz 12kHz
6kHz 12kHz
6.4 单位脉冲响应不变法
2007年北京理工大学研究生考题
例4.用单位脉冲不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器。
其技术指标为：0.7079 | H (e j ) | 1, 0 | | 0.15 | H (e j ) | 0.3162, 0.5 | |
Im[z]
0.624
0 1 Re[z]
(3)y(n) 0.471x(n) 0.624y(n 1)
(4)脉冲响应不变法
x(n) 0.471
y(n) z 1
优点：频率关系是线性的；
0.624
缺点：存在频谱混叠，不能直接
设计高通、带阻滤波器。
6.4 单位脉冲响应不变法
2005年北京交通大学研究生考题
s1 ce 2 2N c
Ha (s)
A1 s s1
c s c
0.15 s 0.15
H (z)
1
A1 es1T
z
1
1
c ecT
z
1
1
0.15
e0.15
z
1
6.4 单位脉冲响应不变法
(1)Ha (s)
s
0.471 0.471
j Im[s]
0.471 Re[s]
0
(2)H (z) 0.471z z 0.624
R 1 1 jRC
jC
x(t) C R y(t)
H (s) RCs 1 RCs
模拟滤波器是一个高通滤波器，所以不能用
脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器，会产生
严重的频率混叠现象。
3
T
T
0
1 Re[z]