人教版八年级下册数学：二次根式化简
a2 aa22 =aa（a（a≥aaa（≤0（）0aa）≥≤00）） 你能说说依据吗？
巩固新知
例3 计算下列各式：
（1）16 ；（2）（-5）2； （3） 3.14 2 ．
解：（1）16 42 4
（2） 52 5 5 （3） 3.14 2 3.14 3.14
例4 1已知a, b, c为△ABC的三边长,
解 ：(1)（ 1.5）21.5
(2)（2 5）2 22 （ 5）2 4 5 20
(3) 4
2 3
2
42
2
2 3
16 2 32 33
性质1运用
例2 已知 ( a 2)2 3b 9 (4 c)2 0 ， 求 2a b c 的值 .
解： 在( a 2)2 3b 9 (4 c)2 0中，
化简 (a b c)2 (b a c)2
化简2 a 12 (a为任何实数)
(a 1)2
总结:被开方数不小于零； (a=1)
性质再探究
问题3 回顾我们学过的式子，如 5，a，a+2b，ab，s ， x3， 3， a（a≥0） t 这些式子有哪些共同特征？
（1）含有表示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
2
0 _0___;
问题2 根据算术平方根的意义填空.
22 __2__;
0.12 _0_._1_;
2 2
2 __3__;
3
02 __0__;
（ 2)2 __2_;
0.12 _0_.1_;
2 2
2 _3__;
(0)2 __0_;
3
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得 到的式子叫代数式．
练习：
1.下列运算正确的是（ ）
A、（ 2）2 2
B、（ 2）2 2
C、 22 2
D、 22 2
2、若 a 22 2 a ，则a的取值范围是
3、已知 1 有意义，那么A（a， a ）在
a
第
象限.
4.算一算：
（1（ ）3 2）2
9.在实数范围内分解因式：4x2 3
10．计算:
49
52 2
2
2
课堂小结
1、什么叫做二次根式？
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式具有哪些性质？
性质 1（ a ）2 =a (a≥0) 性质 2：当 a≥0 时， a2 = a ；
当 a＜0 时， a2 = -a 。 也就是说： a2 = |a| 。
2 2 __2__;
0.1 2 _0_._1_;
2 32 2 Fra bibliotek_3__;0 2 _0___;
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
（ a ）2 =a （a≥0）．
你能说说依据吗？
性质1运用
例1 计算下列各式： （1）（ 1.5）2 ；（2）（2
5）2
；
（3） 4
2
2 3
．
八年级 下册
16.1 二次根式（2）
复习旧知 ⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数 就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做 a的算术平方根。
用 a (a≥0)表示。
探究1
问题1 根据算术平方根的意义填空.
有( a 2)2 0, 3b 9 0, (4 c)2 0; ( a 2)2 0, 3b 9 0, (4 c)2 0;
a 2,b 3, c 4 2a b c 2（ 2）3 4 3
探究21
2 2 __2__;
0.1 2 _0_.1__;
2 3
2
2 __3__;
（2） 5
2
3
（3） 3 2 5
（4）
2 2
3
5、已知 y 2 x x 2 5 ，则 y x
6、若a、b为实数，且 2 a b 2 0 ， 求 a2 b2 2b 1的值.
7.实数p在数轴上的位置如图所示，化简
1 p2
2
2 p
8.若 12 n 是一个整数，求自然数n的值.
课后作业
作业：教科书第4页练习第1，2题； 习题16.1第2，4题．
人教版-数学-八年级下册化简二次根式的技巧
化简二次根式的技巧化简二次根式是进行二次根式加减运算的基础，只有把二次根式化简了，才能进行二次根式的加减运算.在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略.下面举例说明.一、被开方数为整数当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方.例1.分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4×3=22×3.解：原式==.二、被开方数是小数当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方.例2.分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，先将0.5化成12，然后再利用二次根式的性质进行化简.解：原式2===.三、被开方数是带分数当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方.例3.分析：因为为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简.解：原式2===.四、被开方数为数的和（或差）形式当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.例4.. 分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，一定不能直接各自开方得11322+，而应先计算被开方数，然后再进行开方运算.解：原式==五、被开方数为单项式当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成2()m a 或2()m a ·b 的形式），然后再开方.例5.分析：由于3527x y 是一个单项式，因此应先将3527x y 分解为22223()3x y y ⨯⨯⨯的形式，然后再进行开方运算.解：原式3xy =六、被开方数是多项式当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方.例6.分析：由于5243412x y x y +是一个多项式，因此应先将5243412x y x y +分解因式后再开方，切莫直接各自开方得2222x x解：原式22x =七：被开方数是分式当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算.例7.分析：由于2512z x y 是一个分式，可根据分式的基本性质，将2512z x y的分子、分母同乘以3y ，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算，将二次根式化简.解：原式==八、被开方数是分式的和（或差）当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简.例8.. 分析：由于被开方数是2211a b+，是两个分式的和的形式，因此需先通分后再化简.解：原式ab ==. 通过以上各例可以看出，把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.。
人教版八年级下册数学 第16章 二次根式化简的方法和技巧
人教版八年级下册数学 第16章 二次根式化简的方法和技巧1、被开放数是小数的二次根式化简例1、化简5.1分析：被开放数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解。
解：5.1=26262223232==⨯⨯=。
评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
2、被开放数是分数的二次根式化简例2、化简1251 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。
解：1251=255555551=⨯⨯⨯⨯。
评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
3、被开放数是非完全平方数的二次根式化简例3、化简48分析：因为，48=16×3=42×3， 所以，根据公式b a ab ⨯=（a≥0，b≥0），就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。
解：48=34343163162=⨯=⨯=⨯。
评注：将被开放数进行因数分解，是化简的基础。
4、被开放数是多项式的二次根式化简例4、化简3)(y x +分析：当指数是奇数时，保持底数不变，设法把指数化成是一个偶数和一个奇数的积。
解：3)(y x +=y x y x y x y x y x y x ++=+⨯+=++)()()()(22。
评注：当多项式从二次根号中开出来的时候，一定要注意添加括号。
否则，就失去意义。
5、被开放数是隐含条件的二次根式化简例5、化简a a1-的结果是： A ）a B ）a - C ）a - D ）a --分析：含字母的化简，通常要知道字母的符号。
而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏。
因此，化简时要从被开方数入手。
解：∵a a 1-有意义∴a1-≥0，∴-a ＞0 ∴原式=a a a a a a a a a a a a a a a a--=--=--=--=---=-||)())(()()(12故选（C ）。
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）【例1】 化简（1(ba b ab b -÷--（2（3（4解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例2】 比6大的最小整数是多少？解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y ==想一想：设x =求432326218237515x x x x x x x --++-++的值.的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例3】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例4】 （1的最小值.（2的最小值.解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例5】 设2)m a =≤≤，求1098747m m mm m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.若满足0＜x＜y=x，y）是_______2.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞03）A．1B C. D. 54、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、化简：（1（2（3（4（56、设x =(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值.77x =，求x 的值.B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则.2.已知42______1x x x ==++2x 那么.3.a =那么23331a a a++＝＿＿＿＿＿.4. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 85． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b6.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 7. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 48． 把(1)a - ）A .B C. D .9、化简：（110099+（2（310、设01,x << 1≤<.12、已知a, b, c为有理数，证明：222a b ca b c++++为整数.参考答案例1 (1)⎤(2)+5．(3)3-；（4-++＝-．例2 x＋y＝，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵01，从而0＜6＜1，故10 581＜6＜10 582．例 3 x＝－y…①；同理，y＝x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例4 (1)构造如图所示图形，P A PB．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B13为所求代数式的最小值．(2)设yA(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝例 5 m＝＋＝．∵1≤a≤2，∴01，∴－11≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1 999．A级1．(17，833)，(68，612)，( 153，420) 2．B 3．C4．A 5．(1)()2x yx y+-(2)22-(4) 6．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．7．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝127．B级1．642．9553．1提示：∵－1)a＝2－1，即1a－1．4．B提示：由条件得a＋3＋a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．5．B提示：a－b－11＝0．同理c－a＞0 6．B 7．B 8．D提示：注意隐含条件a－1＜0．9．(1)910提示：考虑一般情形＝－(2)原式＝8153+＝2+(3)210．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CPAP，AC，AM AC≤PC＋P A＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋11．设y＝－＝，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝12b c+-＝)22233ab bc b acb c-+--为有理数，则b2 －ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝()2cba++－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．。
人教版八年级下册数学：二次根式化简
2 4b2 12ab2 4b2 1 3a
2b 1 3a
一般步骤： ①先把被开方式分解成平方 因子和其它因子相乘的形式。
②再根据积的算术平方根的 性质和 a 2 a(a 0) 把平方因 子移到根号外。
当被开方式是多项式时，先 因式分解化为积的形式。
尝试练习
设 a 0 ， b 0 ，化简下列二次根式。
AC 2OA 2 2
由此可见: 8 2 2
42 = 4 2
知识探究
观察比较
积的算术平方根的性质
1 4 3 = 4 3
2 254 = 25 4 ab a • b a 0,b 0
3
11 49
=
1 1 49
…………
两个非负数的积的算术 平方根，等于这两个非 负数的算术平方根的积
现在你能用上面的性质说明 8 2 2 吗？
1 72
2 8a2b3
解：1 72 98 32 22 2 3 2 2 6 2
或 72 36 2 62 2 6 2
2 8a2b3 2• 22 • a2 •b2 •b 2ab 2b
在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子 全部移到根号外，否则未完成化简。
强化练习
1、 练习: 1. ②④ 2. ③ 3. ①
～～～～～ 性质错用
课堂小结
二次根式的化简
1、积的算术平方根的性质
ab a • b a 0, b 0
是化简二次根式的依据之一。 2、被开方式一定要先分解成平方因子和其它因子 相乘的形式。 3、被开方式是多项式时一定要先因式分解，化 为积的形式后才能化简。
4、化简时，被开方式的所有平方因子一定要 全部移到根号外。
8 42 4 2 2 2
人教版八年级数学下册《二次根式化简》专项练习(附带答案)
人教版八年级数学下册《二次根式化简》专项练习(附带答案）类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式例． ）A ．1x ≥B ．1x ≥-C ．1x ≥或1x ≤-D ．1x ≠±【变式训练1】已知m n 为实数 且3n -= =________．【详解】依题意可得m -2≥0且2-m ≥0 ∴m =2 ∴n -3=0∴n =3【变式训练2】已知a b c 是ABC 的三边长 ||0b c -=ABC 的形状是_______．【详解】解：2220a b c b c 2220a b c 0b c222a b c ∴=+ 且b c =∴ABC 为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形．【变式训练3】3x =- 则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≥C ．3x <D ．3x ≤【变式训练4】已知a 、b 、c 为一个等腰三角形的三条边长 并且a 、b 满足7b = 求此等腰三角形周长．【答案】17 【详解】解：由题意得：3030a a -≥⎧⎨-≥⎩ 解得：a =3 则b =7 若c =a =3时 3+3＜7 不能构成三角形．若c =b =7 此时周长为17．类型二、利用数轴化简二次根式例．实数a b c ，，在数轴上的对应点如图所示 化简a b a -+-的结果是是（ ）A ．b c --B ．c b -C ．222b c -+D ．2b c ++ 【答案】A【详解】解：由数轴知：00c b a ＜，＜＜∴0b a -＜∴原式＝a b a c ----（）＝a b a c --+-＝b c --．故选：A ．【变式训练1】已知实数m n 、在数轴上的对应点如图所示 ||m n +＝_____【变式训练2】实数a b 在数轴上对应点的位置如图所示 化简||a 的结果是（ ）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b 【答案】A【解析】根据数轴上点的位置得：a ＜0＜b ∴a -b ＜0则原式=|a |+|a -b |=-a +b -a = -2a +b ．故选：A ．【变式训练3】已知实数a 、b 、c 表示在数轴上如图所示 a b -【变式训练4】如图 a b c 是数轴上三个点A 、B 、C 所对应的实数．a b b c ++．类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．已知 化简：25m -<<5m -=__________．【答案】23m -##32m -+【详解】解：2m -<<例2.ABC 的三边长分别为1、k 、3 则化简723k -=_____． ∴ABC 的三边长分别为90-<812k +-()23k --A B C ．D ．【详解】解：20b a -≥0ab > 所以a 和b 同号22b b b a a a a a---=-【变式训练2】若35x << _______； 【答案】【变式训练3】化简：2-=_______． 【答案】0【解析】由题意可知：3-x ≥0 ∴23x -=33x x ---=33x x -+-=0故答案为：0．【变式训练4】7=-b .(1)求a 的值；(2)若a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长 求另一条直角边的长度. ）解：25a -+2525≥≤ a ∴）解：25225a -+-a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长∴另一条直角边的长度为：类型四、双重二次根式的化简例.阅读下列材料 然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时其实我们还可以将其进===1=以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1；（2【答案】（1（2【详解】（13133333333；（2222(53)2(53)5353(53)(53)53．【变式训练1】阅读理解“分母有理化”7==+除此之外我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数设x=故0x>由22x=33=-2=解得x==根据以上方法【答案】5-【详解】解：设x∴0x<∴266x =-+ ∴212236x =-⨯= ∴x =2532==-- ∴原式55=--【变式训练2】先阅读材料 然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时经过思考 小张解决这个问题的过程如下：①===④在上述化简过程中 第 步出现了错误 化简的正确结果为 ；（2）请根据你从上述材料中得到的启发 化简【变式训练3】先阅读下列解答过程 然后再解答：437+= 4312⨯= 即：227+= 所以2==+问题：（1=__________ =____________﹔（2）进一步研究发现： 只要我们找到两个正数a b （a b >）使a b m += ab n = 即22m += =__________．（3【答案】（11 （2)a b >；（3【详解】解：（11；（2)a b =>；（3． 【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方 如(231+ 善于思考的小明进行了以下探索：设()2a m +=（其中a 、b 、m 、n 均为正整数） 则有222a m n =++∴a ＝m 2+2n 2 b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分a 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时 若()2a m =+ 用含m 、n 的式子分别表示a 、b 得：a ＝ b ＝ ；（2）若()2a m ++ 且a 、m 、n 均为正整数 求a 的值；（3课后作业120b -= 那么这个等腰三角形的周长为（ ） A ．8B ．10C ．8或10D ．9 【答案】B【详解】解：20b -=∴40a -= 20b -= 解得4a = 2b =当腰长为2 底边为4时 ∴224+= 不满足三角形三边条件 不符合题意； 当腰长为4 底边为2时 ∴2464+=> 4402-=< 满足三角形三边条件 此时等腰三角形的周长为44210++=．故选：B2．化简二次根式- ）A BC ．D ．x x x -=--3．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示 则||a c b ++ ）A ．2b c -B ．2b a -C ．2a b --D ．2c b -4．若()230a -= 则a b +的平方根是______． 【详解】解：(5．设a b 是整数 方程20x ax b ++= 则a b +=___________．∴113060a b a ++=⎧⎨+=⎩解得67a b =-⎧⎨=⎩∴671a b +=-+=．故答案为：16．已知x 、y 为实数 4y = 则x y 的值等于______．7．已知实数a b c 、、在数轴上的位置如图所示 且a b = 化简a a b ++8．阅读：根据二次根式的性质 a b =+．根据这一性质 我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号 达到化简效果．解：设24+=（a b 为非负有理数） 则4a b +++ ∴43a b ab +=⎧⎨=⎩①② 由①得 4b a =- 代入②得：()43a a -= 解得11a = 23a =∴13b = 21b =∴224(1+=+1=请根据以上阅读理解 解决下列问题：(1)的化简结果是__________；(2)(3) 如果能化简 请写出化简后的结果 如果不能 请说明理由．9．在二次根式的计算和比较大小中有时候用“平方法”会取得很好的效果例如比较a＝b＝的大小我们可以把a和b分别平方∴a2＝12 b2＝18 则a2＜b2∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c＝d＝c d（填写＞＜或者＝）．(2)猜想m＝n＝并证明．(3)＝（直接写出答案）．10．（1）已知a、b为实数4b+求a、b的值．（2）已知实数a 满足2021a a -= 求22021a -的值．。
人教版八下数学《二次根式的化简》.docx
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
a b
b a
(a＞0，b＞0)．
错解：ab ba＝1．
正解：ab ba＝ab aab2＝aab ab＝ bab．
二次根式化简的常见错误
化简 25a3b3 (a＜0)．
错解： 25a3b3＝ 52a2b2·ab＝5·(－a) ·b· ab ＝－5ab ab．
正解：∵25a3b3≥0，a＜0，∴b≤0，∴ab≥0． 25a3b3＝ 52a2b2·ab＝ 52· a2b2· ab＝5ab ab．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
解： 1.5＝ 32＝ 32××22＝ 262＝ 26．
4．被开方数是幂的二次根式的化简
例 4 化简 (x＋y)3 （x＋y≥0）． 分析：当幂的指数是奇数时，保持底数不变，
设法把幂化成是一个偶数次幂和一个奇数次幂的 积．
解：当 x＋y≥0 时， (x＋y)3＝ (x＋y)2(x＋y) ＝ (x＋y)2· x＋y ＝(x＋y) x＋y．
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.2 最简二次根式
二次根式化简
1．被开方数是非完全平方数的二次根式化简 例 1 化简 48． 分析：因为，48=16×3=42×3，所以，根据公 式 a b= ab (a≥0，b≥0)，就可以把积的是完 全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来， 从而实现化简的目的．
人教版八年级下册数学二次根式
人教版八年级下册数学二次根式二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a\geq 0$。
最简二次根式是指被开方数的因数是整数且因式是整式（分母中不含根号），同时被开方数中含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
如果几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式有一些性质，比如$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（其中$a\geq 0$，$b\geq 0$），以及$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}$（其中$a$为任意实数）。
分母有理化是指将分母中的根号化去，有理化因式则是指两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
在解题时，需要掌握二次根式的计算和化简求值，以及二次根式的运算法则，包括加减乘除四则运算和分母有理化。
在选择题中，常考查最简二次根式、同类二次根式的概念，而在中等难度的解答题中，则常考查二次根式的计算和化简求值。
在计算或化简求值时，可以使用因式的外移和内移的方法，将被开方数中的因式移到根号外面或根号里面。
11.当$x=-2$时，代数式$5x^2-3x-1$的值是多少？1.计算：$(3-2)+\frac{1}{3}+4\cos30^\circ-|-12|$。
2.在进行二次根式化简时，有时会遇到如下式子：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，其实我们还可以将其进一步化简：begin{aligned} \frac{\sqrt{5}-1}{2} &= \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} \\ &= \frac{5-1}{4} \\ &=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \end{aligned}$$以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：begin{aligned} \frac{3+1}{\sqrt{2^2\cdot 3^2}} &=\frac{3+1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} \end{aligned}$$1) 请用不同的方法化简$\frac{2}{5+\sqrt{3}}$。
人教版八年级下册第十六章 二次根式： 二次根式化简计算的几种常见类型(含答案)
二次根式化简计算的几种常见类型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A. 25B. 13C. 13D. 242. 如果(2a−1)2=1−2a，则a的取值范围是( )A. a<12B. a⩽12C. a>12D. a⩾123. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简a2+(a+1)2−(b−1)2结果为( )A. 2a+bB. −2a+bC. 2a−bD. −2a−b4. 若二次根式，32n的值是整数，则下列n的取值符合条件的是( )A. n=12B. n=15C. n=16D. n=185. 将一组数3，6，3，23，15，…，87，310按下面的方式进行排列： 3, 6, 3, 23, 15,32, 21, 26, 33, 30, ⋮按这样的方式进行下去，将15所在的位置记为(1,5)，26所在的位置记为(2,3)，那么62所在的位置应记为( )A. (2,5)B. (5,4)C. (6,2)D. (6,3)二、填空题6. 代数式x−6在实数范围内有意义时，x应满足的条件是．7. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22=(1)2+1=2，S1=12；OA32=12+(2)2=3，S2=22；OA42=12+(3)2=4，S3=32….请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变规律：OA n2=，S n=；8. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为x2和y2的两个小正方形(空白部分).已知x=2−3，y=2+3，则留下阴影部分面积为．9. 已知x=7+1，x的整数部分为a，小数部分为b，则ab的值．10. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=m2n−mn−3n，如：1※2=12×2−1×2−3×2=−6.则(−2)※3．三、计算题11. 计算：(1)52−22(2)(23+6)(23−6)(3)239x+6x4四、解答题12. 已知最简二次根式5a−5b与2a+4是同类二次根式，且(a−3c)2+b−5c=0，求15a+b−125c的值．13. 阅读下列计算过程：12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1；13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2；15+2=1×(5−2)(5+2)(5−2)=5−2．(1)根据上面运算方法，直接写出1n+1+n=____________；(2)利用上面的解法，请化简：12021+2020+12020+2019+12019+2018+⋅⋅⋅+12+1；(3)根据上面的知识化简1n+1+n．14. 阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2−2x−5的值．王红的做法是：根据x=2+1得(x−1)2=2，∴x2−2x+1=2，得：x2−2x=1.把x2−2x作为整体代入：得x2−2x−5=1−5=−4.即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：(1)已知x=3−2，求代数式x2+4x−5的值；(2)已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．15. 如图，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1．(1)在图1中，画一个有一条边长为5，面积为8的平行四边形；(2)在图2中，画一个有一条边长为5，面积为10的矩形，并直接写出这个矩形的周长．周长=_______________．答案1. C2. B3. D4. D5. B6. x ≥67. n n 28. 29. 7+2 10. 3 3 11. 解：(1) 5 2−2 2 = 3 2 ；(2) (2 3+ 6)(2 3− 6)=(2 3)2−( 6)2=12−6=6 ；(3) 239x +6 x 4=23×3 x +6×12x =2 x +3 x =5 x ．12. 解：∵最简二次根式 5a− 5b 与 2a +4是同类二次根式，∴5a− 5b =2a +4，即3a = 5b +4，∵(a−3c)2+ b− 5c =0，∴a−3c =0，b− 5c =0，∴a =3c ，b = 5c ，∴9c =5c +4，解得：c =1，∴a =3，b = 5，∴ 15a +b− 125c = 55×3+ 5−5 5×1=−1755． 13. 解：(1) n +1− n ；(2)1 2021+ 2020+1 2020+ 2019+1 2019+ 2018+…+1 2+1= 2021− 2020+ 2020− 2019+ 2019− 2018+…+ 2−1= 2021−1；(3)1 n +1+ n =1×( n +1− n )( n +1+ n )( n +1− n )= n +1− n n +1−n = n +1− n 1= n +1− n ． 14. (1) ∵x = 3−2 ，∴x +2= 3 ，∴(x +2)2=( 3)2 ，∴x 2+4x =−1 ，∴x 2+4x−5=−6 ；(2) ∵x = 5−12，∴2x +1= 5 ，∴(2x+1)2=(5)2，变形整理得：x2+x=1，∴x3+x2+1=x(x2+x)+1=x+1=5−12+1=5+12．15.(1)解：如图所示，AB=5，AD=4，平行四边形ABCD的面积为4×2=8；(2)解：如图所示，AB=CD=5，BC=AD=25，BD=5，∴BD2=AB2+AD2，∴△BAD是直角三角形，且∠BAD=90∘，同理可得∠B=∠C=∠D=90∘，面积为AB×AD=10，∴四边形ABCD的周长为2(5+25)=65，故答案为：65．。
(人教版)八年级数学下册 专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧
【对应训练】 6．已知 a＝ 5＋2，b＝ 5－2，求下列式子的值： (1)a2b＋ab2； (2)a2－3ab＋b2； (3)(a－2)(b－2)． 解：(1)2 5 (2)15 (3)5－4 5
2－1
时，原式＝
2 2
五、巧用二次根式的定义和性质求值 【例 5】已知 x，y 为实数，且满足 1＋x－(y－1)· 1－y＝0，那 么 x2017－y2017＝__－__2__． 分析：因为 1＋x－(y－1) 1－y＝0，所以 1＋x＋(1－y) 1－y＝ 0.因为 1＋x≥0，(1－y) 1－y≥0，从而可求得 x，y 的值，再代入求值 即可． 【对应训练】 5．若 x－3＋ 3－x＝(x＋y)2，则 x－y＝__6__．
专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧
一、二次根式的加减运算
【例 1】计算：
2 (1)3
9x＋
4x－2x
1x；
(2)( 40－ 0.2＋3 52)－( 217－ 10)． 分析：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并．
解：(1)原式＝2 x＋3 x－2 x＝3 x (2)原式＝2 10－ 55＋53 10
【对应训练】 2．计算： (1) 15×35 20÷(－31 6)； 解：－9 2
(2)( 18－4
12＋
1 3＋
2)÷
3 3.
解：3
三、巧用乘法公式计算 【例 3】计算： (1)(3 2＋ 12)( 18－2 3)； (2)(2＋ 2)( 2－1)． 分析：(1)先将二次根式化简，再运用平方差公式计算；(2)先将“2 ＋ 2”变成“ 2( 2＋1)”，再运用平方差公式计算． 解：(1)原式＝(3 2＋2 3)(3 2－2 3)＝(3 2)2－(2 3)2＝18－12＝6 (2)原式＝ 2( 2＋1)( 2－1)＝ 2(2－1)＝ 2