2.1抽象思想和符号化思想
孕育
形成 应用
数学抽象的主要方法（按对象的内容分）
无限抽象：“无限”概念是数学研究的一个重要
概念，称涉及无限概念的抽象为无限抽象。 两种不同的理解方式： 1.把“无限”看成是永远在延伸着的、处在构造中 的东西或变化过程，它是一个潜在的而不是实在的 东西，例如，不断向后延伸着的自然数列 l，2，3，…，n，…
对抽象思想的认识
又如：1，2，3等较小自然数概念是建立在对于 真实事物的直接抽象之上的，但是，那些较大的 自然数显然不是直接抽象的结果，而是建立在已 有数概念的抽象思维基础之上的，即人们要从较 小数概念中抽象出数概念的“序”的特性------一 个数字加1就可以得到下一个比它大1的数。
数学抽象的特征
2.模式化特征：通过数学抽象而成的抽象物，当不 考虑它与现实原型的联系时，它就获得了独立的存 在性，成为一种真实的“数学客体”，相对于原型 而言，它具有更为普遍的意义。
如由切线斜率模型抽象出的导数概念，它不仅适用于曲线在 其上一点处切线的研究，还适用于具有相同量性特征的一类
问题：运动的瞬时速度——路程关于时间的导数，电流强度
数学抽象的主要方法
性质抽象：就是考察被研究对象某一方面的性质
或属性，而抽取量性方面的性质或属性的抽象方
法。
性质抽象包括分离和概括两个步骤。
教学中的典型例子，正、反面例子，以及问题情
境的创设，都是为了帮助学生获得丰富的感性认
识，经比较、分析完成抽象概括，形成相应的数
学概念。
案例：角和直角的初步认识
一般
特例
数学抽象的主要方法
一般
特例 强抽象就是一个不断增加概念内涵而缩小其外延 的思维过程。
数学抽象的教学策略
情境
模型
应用
注重操作和直观； 要在适当的时机进行适度的数学抽象。
案例：长方体的认识
符号化思想
“符号是数学的语言，也是数学的工具，更是 数学的方法。”---《数学课程标准（2011版）
自然科学研究的是客观存在的运动物质实体，没有对其质
的抽象，其研究对象，诸如碳、氢、氧、电子等还是客观 存在于现实中的。
数学抽象的特征
4.符号化特征：作为数学研究的对象的抽象的思想 材料，不只是以普通的自然语言形式存在和被描述 的，而是被进一步符号化，尤其在现代数学中，每 抽象出一个重要概念，都要赋予符号表示。当符号 与一定的概念单值地对应时，思想的操作可以转换 为对符号的操作，从而出现了数学特有的分析问题 、研究问题的规则：内容的分析往往让位于形式的 变换，而形式的变换则完全由符号来完成。
各自独立 → 逐步规范、统一 → 国际化
符号意识的体现： 1.理解符号所表示的数、数量关系和变化规律 小学数学常用符号P17
符号化思想
2.能用符号表示数、数量关系和变化规律 3.知道使用符号可以进行运算和推理，是进行 数学思考的重要形式，得到的结论具有一般性
正方形周长=边长的4倍 C=4a
符号化思想的应用(P18表2-1）
个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个 点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
新科学的诞生
数学抽象的特征
1.理想化特征：数学抽象的过程往往包含了对于 现实客体或现象的必要简化、纯化和完善，它强 调和夸张了现实原型的某一些特征，同时，又完
全舍弃了它的另外一些特征，甚至虚构一些在与
问题相关的方面同现实客体相合，但又不具有现
角由两部分组成，一个顶点和两条边。
案例：角和直角的初步认识
数学抽象的主要方法
关系抽象 数学关系抽象是指根据认识目的，从研究对象中 抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位
置关系，而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽
象方法。
长方形：对边平行且相等
数学抽象的主要方法（按对象的内容分）
等置抽象：按某种等价关系，抽取一类对象共同
数学抽象的主要方法（按对象的内容分）
两种不同的理解方式：
2.把无限对象视为可以自我完成的过程或无穷整体 ，即把无限的东西的整体本身作为一个个实在的对 象来考虑，看成是已经构造完成了的东西。 如把自然数全体理解为一个实在的无限集合 {1，2，3，…，n，…}，并用符号N 表示
数学抽象的主要方法（按思维形式分）
抽象思想与符号化思想
一、对抽象思想的认识 二、数学抽象的特征
三、数学抽象的主要方法
四、数学抽象的教学
五、符号化思想
六、符号化思想的应用
七、符号化思想的教学
对抽象思想的认识（数学文化P41）
抽象：在思考过程中，从具体的客观事物中抽 取其本质特征，而摒弃其非本质特征的思维活 动。
形象
文学抽象：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千 里目，更上一层楼。 数学抽象：就是指在数学研究中，通过对象的 现象，深入里层，抽取事物本质特征的一种认 识方法。
实客体的其他各种复杂性质的“理想对象”。
数学抽象的特征
如，在几何学中，为了便于探讨现实事物的形状 、大小和空间关系，就把形态各异的物体抽象成 几种空间几何图形：把针尖、笔头等物体抽象为 “没有大小的点”，以此强调它所占的空间位置 很小；把一根竿、一根绳等长度比其他维度更明 显的物体抽象为“没有宽度的线”，而把一张纸 、一块板等长和宽都比其厚度大得多的物体抽象 为“没有厚度的面”，等等。
问题：能不能设计一次散步，使得七座桥中的每一座
都走过一次，而且只走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题
照样子画一张地图，亲自尝试尝试。
哥尼斯堡七桥问题
想把所有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因
为各种可能的线路有 P =5040种。要想一一试过，
7 7
真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的解答便众
符号化思想的应用
3.列方程解应用题的思想 主要体现在如下几个方面： （1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等 地参与运算； （2）代数翻译。把题中自然语言表述的已知条件，
译成用符号化语言表述的方程。
（3）解代数方程。把字母看成已知数，并进行四则
运算，进而达到求解的目的。
符号化思想的教学
1.要使学生理解数学符号的含义和实质 数学概念本身是抽象的，而数学符号又常常 是概念的代表，因此，要搞清楚每个数学符号的 含义与实质。 2.教育学生规范化书写数学符号 （1）数学符号书写的位置必须准确无误
如，60°π
符号化思想的教学
（4）指导数学符号书写的“笔顺”，使学生能流
畅、正确地写好符号。
3.在概念、公式、法则、性质等的教学中，解决问题中培养符号意识
例：有10个同学站成5列，每列学生有4人，这些学
生应该如何站？ 直觉→有相交点 抽象成五条线段和10个点（符号化）
数学抽象的主要方法
概念的内涵：概念的含义。表示概念所反映的事物 的特有属性。
概念的外延：概念所适用的范围。
具体内容参见《小学数学课程与教学》P101
数学抽象的主要方法
弱抽象和强抽象
2.所谓强抽象，也可以叫做“强化结构式抽象”， 即通过在原型中引入新的特征来强化原来结构的抽 象，从而获得新的概念或理论。在这里，抽象出的 结构就是原结构的一个特例。 原结构 抽象后结构
1.变元的思想 例如，在□中填入适当的数 6-□＞4 8+□＜11 8＜14-□ 8＜14-□ 12＞7+□ 10+□＜13
“□”换成“x”，那么，上述的算式是不等式 ，变元x有确定的取值范围。符号“□”在这里 只起着“位置占有者”的作用。
符号化思想的应用
2.用字母表示数的思想 如，加法的交换律用a+b=b+a，圆面积用 S=πr2表示等 目的是为了更深刻地探索、揭示数学规律，达 到更准确、更简洁地表达数学规律，在较大范 围内肯定数学规律的正确性。
对抽象思想的认识
例（哥尼斯堡七桥问题） 现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史 名城。在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首 府，曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的 哲学家，古典唯心主义的创始人康德，终生没有
离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家之
一，德国的希尔伯特也出生于此地。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于以下有趣的
弱抽象和强抽象
1.所谓弱抽象，也可以叫做“扩张式抽象”，即从 原型中选取某一侧面特征加以抽象，从而形成比原 型更为普遍和更为一般化的概念或理论，获得比原 结构更广阔的结构，使原结构成为被抽象后结构的 特例。 原结构 抽象后结构
特例
一般
数学抽象的主要方法
特例
一般 弱抽象就是一个不断减少概念内涵而使其外延不断 扩大的思维过程。
——电量关于时间的导数等问题的研究，从而成为了一种模 式。
数学抽象的特征
3.形式化特征：对客观事物或现象的数学抽象就是 在数量上和空间上将其形式与内容分离，舍弃内 容，保留形式，整个数学是一个纯形式化的思想 体系。
如“函数”，客观世界中本没有函数，它只是人们从现实 世界数量相依关系中抽象出来的思想材料。与此相对照，
比如，4.7写成4· 7
符号化思想的教学
（2）遵守符号书写的规定或习惯。 例如，圆的周长和圆的面积一般是写为： C=2πr，S=πr2 而不可以写成：r=2πa，θ=πr2 遵守数学符号书写的大小的习惯，不要把常用的数学 符号写得过大或过小，或与一般写法不同。 （3）一个表达式中的数学符号体系要统一。
每多一个相交点→减少一名同学
符号化思想的教学
5.在高年级及六年级下的复习中，加强符号化思 想的教学（案例阅读课本P21）
说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向于否定满足条 件的解答的存在；另一些人则认为，巧妙的答案是 存在的，只是人们尚未发现而已，这在人类智慧所 未及的领域，是很常见的事！
汉代画像石中的符号化思维和抽象化思维
汉代画像石中的符号化思维和抽象化思维汉代画像石是我国古代文化的珍贵遗产之一，具有丰富的象征意义和深厚的文化内涵。
其中的符号化思维和抽象化思维在其图像中得到充分体现。
下面将从这两个方面进行详细介绍。
一、符号化思维1. 前史符号化：汉代画像石中常常出现一些前史符号，如猛犸象、麒麟等，这些神秘的古代生物被赋予了特殊的象征意义，代表着古代人们对自然界的崇拜和敬畏之情。
2. 动物符号化：汉代画像石中的动物形象也是重要的符号承载者。
比如龙、凤、鸟、虎等，都被赋予了特殊的含义。
龙代表着权威和尊贵，凤代表着吉祥和幸福，鸟代表着自由和美好，虎代表着勇猛和力量。
这些动物在画像石上的出现，传达了人们对美好生活的向往和追求。
3. 人物符号化：汉代画像石中的人物形象也经常被符号化处理。
比如一些重要的历史人物，如刘备、孙权、曹操等，他们的形象经过了简化和概括，以便更好地体现其特点和重要性。
一些官员、士人、艺人等身份的人物也会通过服饰、姿态等方式进行符号化，以便展示其社会地位和身份特征。
4. 文化符号化：汉代画像石中的符号化思维还表现在对一些文化符号的运用上。
比如书画、音乐、舞蹈等艺术形式，被用来表达人们的审美情趣和精神追求。
一些宗教、神话、传说等文化元素也被巧妙地融入画像石中，以便传达一些特定的信仰和意义。
二、抽象化思维1. 形象抽象化：汉代画像石中的形象经常进行抽象化处理，即在保留形象特点的对细节进行简化和概括，以达到更好的视觉效果。
比如对于动物形象，会强调其特征，如长嘴、大爪、鳞甲等，以凸显其身份和特殊性。
对于人物形象，也会通过象征性的装饰品、服饰等方式进行简化，以突出其社会地位。
2. 空间抽象化：在画像石中，对于空间的表现也经常进行抽象化处理。
比如通过透视、压缩、错觉等手法，将三维的物体表现为二维的图像，营造出具有层次感和景深感的空间效果。
画像石中的背景也常常被简化为平面的几何图形，以便突出主体形象。
3. 时间抽象化：汉代画像石中的时间表达方式也经常进行抽象化处理。
小学数学思想方法复习资料
小学数学思想方法复习资料1．数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
2．数学研究的对象可以分为两类：一类是研究数量关系的，另一类是研究空间形式的。
3．数学知识与数学思想是数学教学的两条主线，数学知识是一条明线，它被写在教材中；数学思想则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼并贯穿在教学过程中。
4．传统数学教学只注重形式化的的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。
5．小学生的思维特点是具体形象思维。
6．根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。
7．初等代数的特点是用字母符号来表示各种数，研究的对象主要是代数式的计算和方程的求解。
8．所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调。
数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
9．分类必须遵循的原则是不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分。
10．概括通常包括两种：经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属种的特性的认识。
11．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形，见形思数，数形结合考虑问题的一种思想方法。
12．化归方法是将待解决的问题转化为已知问题。
即，把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。
在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。
13．面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者找出反例说明此猜想为假，并且进一步修正或否定此猜想。
小学数学思想方式技巧符号化思想
小学数学思想方式技巧符号化思想数学作为一门科学学科，涉及到丰富的思维方式和技巧。
在小学阶段，学生的数学思维方式的培养尤为重要，可以通过符号化思想的方法来帮助学生更好地理解和应用数学知识。
本文将探讨小学数学思想方式培养以及符号化思想在小学数学教育中的应用。
一、小学数学思想方式培养在小学数学教育中，培养学生正确的数学思想方式是非常重要的。
下面将介绍几种培养小学生数学思想方式的方法。
1. 培养抽象思维能力抽象思维是数学思维的基础，可以通过数学游戏、拼图、图形变换等活动来培养学生的抽象思维能力。
例如，在拼图游戏中，学生需要观察图形的形状和颜色，并将其正确地拼接在一起，这有助于培养学生的空间思维和逻辑思维能力。
2. 开发创造性思维数学问题通常有多种解法，培养学生的创造性思维能力可以让他们找到更多的解题方法。
教师可以设计一些富有探究性和启发性的问题，引导学生通过自己的思考发现解题的不同思路。
例如，给定一组数，要求学生用不同的方法来求它们的和，这样可以激发学生的创造性思维。
3. 强调逻辑思维逻辑思维是数学思想方式的核心，可以通过编程教育等方式培养学生的逻辑思维能力。
编程教育将问题分解为一个个小步骤，要求学生按照逻辑顺序进行操作，从而培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、符号化思想在小学数学教育中的应用符号化思想是数学教育中一种重要的教学手段，通过变换符号的形式来揭示数学问题的本质，帮助学生更好地理解问题和解决问题。
1. 利用符号表示问题在小学数学教育中，可以通过使用符号来表示问题中的未知数或已知数。
例如，在算术题中，用字母代替未知数，通过列方程的方式求解。
这种方法可以帮助学生理解问题的结构，加深对数学关系和运算规则的认识。
2. 引入数学符号数学符号在数学教育中扮演着重要的角色，学生通过学习和应用数学符号来表达数学概念和关系。
例如，学生学习加减乘除时，可以引入"+"、"-"、"×"、"÷"等符号，通过运算符号的使用进行计算。
符号化思想
• 2、数学家们开始有意识地、普遍地用符号去表述、
研究数学
• 十七世纪出现了大量的数学符号。 • 韦达是第一个有意识系统地使用字母的人，在《分 析法入门》中用符号表示
• 3、数学家们开始研究符号能够生成的条件 • 注意符号的科学性和合理性 • 莱布尼茨
, dx, dy, 牛顿的符号是x， y，
• （三）列方程解应用题的思想
• （1）代设想
• （2）代数翻译 • （3）解代数方程 学生存在的困难： 第一：不能很快理解已知数和未知数的平等地位 第二：不能很快理解用字母表示已知数，取得问 题的公式解
• • • • • •
五、符号化思想的教学： 符号在小学数学中的应用如下表： 1、在思想上引起重视 2、把培养符号意识落实到课堂教学目标中 3、引导学生认识符号的特点 4.、号意识的培养是一个长期的过程
（二）符号化思想的发展
• 19世纪随集合理论的形成和发展，符号化思想向 着进一步抽象化、形式化的方向发展。 • 现代代数中符号化思想发展到难以想象和理解的 程度。 • 计算机科学的发展对符号化思想的发展有着巨大 的影响。如：
5 x 2要写成X 2， x要写成X （ 1 0 / 5 0）等
• （一）变元的思想
• 一年级借用□或（）代替变元符号x
6-□＞4，12 ＞ 5+ □ ，7+ □ ＜10
8 ＜14- □ ， □ +8 ＜12 ，9 ＞ □+5
• 加法交换率
30+50=50+30
123+21=21+123
26+43=43+26
□ +○ = ○ + □
• （二）用字母表示数的思想
小学数学与数学思想方法
小学数学与数学思想方法小学数学与数学思想方法1之前一提到数学思想方法，总是感觉似乎知道一些，想过应用它来指导自己的教学，但是自身对数学思想方法的理解不深透，另外又觉得数学思想方法的渗透教学在课堂教学中短时期难以见成效。
所以，本人的教学现状中对数学思想渗透的深度远远不够。
而读了《小学数学与数学思想方法》这本书，王永春老师对数学各类思想方法的梳理和对新教材思想方法的解读，让我对新课标的新理念有了更深一层的理解，对小学数学思想方法的内涵有了较为深刻的认识，明确了教材使用和课堂环节中的渗透策略。
《小学数学与数学思想方法》首先对数学数学思想方法的概念、对小学数学教学的意义、对小学数学进行教学的可行性与方法做了简介。
其次，梳理了与抽象有关的数学思想：包括抽象思想、符号化思想、分类思想、集合思想、变中有不变思想、有限与无限思想；与推理有关的数学思想：包括归纳思想、类比思想、演绎思想、转化思想、数形结合思想、几何变换思想、极限思想、代换思想；与模型有关的数学思想包括：模型思想、方程思想、函数思想、优化思想、统计思想、随机思想；其他数学思想方法包括：数学美思想、分析法和综合法、反证法、假设法、穷举法、数学思想方法的综合应用。
最后，对小学数学1-6年级共十二册教材中数学思想方法案例进行了解读。
经过研读我发现，数学教材的教学内容始终反映着数学知识和数学思想方法这两方面，数学教材的每一章、每一节乃至每一道题，都体现着这两者的有机结合，数学思想方法有助于数学知识的理解和掌握。
如本人执教的三年级下册第八单元搭配，就突出体现了分类思想、符号化思想。
第一课时，我让学生体会解决排列组合问题时，就用到了分类讨论的方法有序全面的解决问题。
如在用数字0、1、3、5组成没有重复数字的两位数时，多数学生没有分类有序思考，而是比较杂乱地写了组成的两位数，只有少数学生有序地书写。
当我让几个学生把他们的方法展示在黑板上，引导学生交流比较后，发现，有学生漏写，有孩子写重复，其中一个孩子书写时分成三类：十位上是1的是10、13、15，十位上是3的有30、31、35，十位上是5的有50、51、53，保证有序全面地排列出来，肯定了有序思考的重要性。
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？答;1、集合思想。
集合思想对数学的影响巨大，很多的数学分支都需要用集合语言表达。
①教学中要注重集合概念的渗透。
例如，认识“2”的教学中，例举多个两个物体，这多个两个物体的所在类的代表就是“2”。
又如六头猪和六只狗等所在类的代表就是“6”。
这里的2、6就是集合的基数。
”②教学中要注重集合关系的渗透。
如：一一对应关系，包含关系等。
③教学中要注重集合运算的渗透。
如：加法运算其实就是并集，减法运算的结果就是差集。
2、数形结合思想。
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数与形之间的联系即称为数形结合，或形数结合。
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
即“以形助数”或“以数解形”。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用一般可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决很多数学问题。
①利用数与形的对应来理解数学概念。
例如：认识分数的教学。
②利用数与形的对应解应用题。
例如：画线段图解应用题。
③坐标思想。
用方程表示图形，沟通数形之间的关系。
在教学中要培养学生积极主动地利用数形结合的思想解决问题。
3、函数思想。
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。
在小学阶段学习的对应关系，正、反比例关系中就蕴藏中基本的函数思想。
4、变换与转化思想。
变换与转化思想是中小学数学中最重要的数学思想，充分重视这种数学思想方法在解题中的应用，不但可使问题化繁为简、化难为易，而且还可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。
五下数学作业读三国演义悟数学思想
五下数学作业读三国演义悟数学思想《三国演义》是元末明初小说家罗贯中创作的长篇章回体历史演义小说，也是我国四大名著之一。
《三国演义》描写了从东汉末年到西晋初年之间近百年的历史，全书以黄巾起义为开端，最终司马炎一统三国，建立晋朝的故事。
在这广阔的历史舞台上，呈现了一幕幕气势磅礴的战争场面，作者将兵法融于字里行间，既有情节，也有计谋。
《三国演义》是一部非常成功的战争描写著作，在文学艺术中成就非常突出，其中也体现了数学思想的应用。
一、抽象思想抽象思想是认识事物的一种邏辑思维方法，包括符号思想、分类思想、集合思想、有限与无限思想、变中有不变思想等。
《三国演义》中体现了符号化思想、变中有不变思想的应用。
（一）符号化思想符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。
符号化思想是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的，它来源于生活，但并不是生活中真实的物质存在，而是一种抽象概括。
在文艺作品中，符号化思想也得到了广泛应用。
在中国古代社会，“三”是一个神圣的数字，很多小说的回目和情节中就有符号“三”的应用。
回目就是每回书的题目，有的是单句，有的是偶句，这是一种在小说创造过程中具有中国特色的艺术表现形式。
很多小说作品的回目中都有数字“三”的身影，像《西游记》中的“九九数完魔刬尽，三三行满道归根；三僧大战青龙山，四星挟捉犀牛怪”。
《水浒传》中的：“吴学究说三阮撞筹，公孙胜应七星聚义；镇三山大闹青州道，霹雳火夜走瓦砾场”。
《三国演义》也不例外，回目中仍然很多地方都有数字“三”的应用，如“宴桃园豪杰三结义，斩黄巾英雄首立功；袁曹各起马步三军，关张共擒王刘二将；荆州城公子三求计，博望坡军师初用兵”等。
（二）变中有不变的思想变中有不变思想是指在学习数学或用数学解决问题的过程中，会面对千变万化的对象，但是在这些变化中能找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是变中有不变的思想，其实质是万变不离其宗。
汉代画像石中的符号化思维和抽象化思维
汉代画像石中的符号化思维和抽象化思维
汉代画像石是中国石刻艺术的重要组成部分，它以花岗岩或砂岩为材料，用雕刻的方
式表现出各种题材的图像和文字内容。
汉代画像石中融入了丰富的符号化思维和抽象化思维，展现了古代人们的审美观念和艺术追求。
符号化思维是人类认识世界和表达思想的一种方式。
在汉代画像石中，出现了众多的
符号，用以代表特定的事物、人物或概念。
这些符号可以分为两类：一是代表具体事物的
符号，比如人物形象、动物形象、建筑物等；二是代表抽象概念的符号，比如心形、星形、几何形状等。
通过使用这些符号，艺术家能够用简练的形象表达出复杂的内容，使观者能
够迅速理解绘画的寓意和主题。
这些符号还赋予了画像石一种神秘感，让观者在鉴赏过程
中保持好奇和想象。
抽象化思维是一种将事物与其本质解离开来的思维方式。
在汉代画像石中，艺术家通
过抽象化的手法将事物的形象进行简化和理想化，使画像石具有更强的艺术性和表现力。
人物形象常常保留了头部、四肢等关键部位，但是身体的细节和比例却经过精心设计，强
调了动态和节奏感；动物形象也常常经过艺术家的创新，使其具有简洁而优美的线条和形态；建筑物则常常简化为几何形状，通过线条和色彩的运用表达特定的情感和意境。
符号化思维和抽象化思维在汉代画像石中相互交融，形成了一种独特的艺术语言和风格。
艺术家通过运用符号化思维，将物象转化为符号，让观者能够快速理解画像石的寓意
和主题；抽象化思维使得画像石具有更强的艺术表现力和审美价值。
这种符号化和抽象化
的运用，不仅反映了汉代人们对艺术的探索和追求，更展示了古代中国人丰富多样的审美
观念和思维模式。
汉代画像石中的符号化思维和抽象化思维
汉代画像石中的符号化思维和抽象化思维汉代画像石是中国古代石刻艺术的重要遗产之一，它记录了当时社会政治、经济和文化等各个方面的历史信息。
其中，符号化思维和抽象化思维是汉代画像石中最为显著的两个特征。
一、符号化思维符号化思维是指通过一些简单的符号或象征性的形式来表达复杂的思想和概念。
汉代画像石中的符号化思维主要表现在以下方面：1. 文字汉代画像石中常常穿插着文字，这些文字可以解释画面中人物的身份、场景的背景以及表达画家的情感。
其中最常见的是人名、官衔、生卒年月等。
例如《吕氏家谱铭》中，画面中所绘人物的身份和职务均通过文字标注出来，使人们更好地了解当时的社会和人物。
2. 动物在汉代画像石中，马、牛、羊、鸟等动物也被用作符号，用来代表人物的身份和职业。
比如，画面中出现马车，可以表示画中人物出行；画面中的牛、羊可以表示人物是农民或牧民。
3. 食物画像石中常常出现各种食物，如鱼、肉、果实、面食等，这些食物可以表达不同的意义。
比如，画面中出现水果，可以表示四季平安；画面中出现面食，可以代表家庭团聚、欢乐节日。
二、抽象化思维1. 形象的符号由于画面中的人物形象和动物形象已经足够清晰明了，因此画家可以通过一些抽象图形来表达情感和思想。
例如，《店周岭会集图》中，画家用笔画出了一座山，表达了自己的思乡之情；在《故事号》中，画家也借助画面中船的方向来表达自己的意念。
2. 像征性的符号画像石中常用圆形、三角形、方形、椭圆形等符号来表达一些特定的意义。
比如，画像石中常见的“卍”字符号，形似“卍”字，表示万象重合、平安顺利。
总之，汉代画像石中的符号化思维和抽象化思维十分突出，这种思维方式的运用，不仅是对那个时代文化思维的产物，也是直至今天还能继承下来的珍贵财富。
小学数学与数学思想方法
① 简约阶段——把握事物的本质，把复杂的问题 简单化、条理化，能清晰地表达。 ② 符号阶段——去掉具体的事物，利用概念、图 形、符号、关系表述包括已经简化可的事物在 内的一些事物。 ③ 普适阶段——通过假设和推理建立发则，并能 在一般意义上解释具体事物
第一节 抽象思想
抽象 一般
加法交换率、长方形的面积
不应该只是关心具体知识点，也应该 重视一般结论
例如
正方形的周长为边长乘4， 正方形的面积=边长乘边长 进一步 正方形边长为a，则正方形周长为4a
第二节 符号化思想
二 、符号化思想的应用
第二节 符号化思想
三、符号化思想的教学
小学数学思想方法
第一章 数学思想方法简介
第二章 与抽象有关的数学思想
第一节 抽象思想
一 、对抽象思想的认识
1、数学抽象在数学中及教学过程中无处不在
长方形的周长，运算规律，定理等等 2、数学抽象存在层次性 数系的扩张、字母表示数（常量、变 量）
第一节 抽象思想
二、抽象思想的应用
1、有数学课堂，就有抽象思想
小学数学常用的符号分类
数量符号 0~9，未知常量（a,b,c等），变量（x,y,z等），圆周 率π 加号、减号、乘号、除号、乘方、比号 等号、近似符号、不等号、大于号、小于号、平行、 垂直 小括号、中括号、分数线 正号、负号 三角形、角
运算符号 关系符号 结合符号 性质符号 省略符号
具体 特殊 例如
二、抽象思想的教学
案例：哥尼斯堡七桥问题
第二节 符号化思想
一 、对符号化思想的认识
1、《标准（2011版）》的解读
符号是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法