工科数学分析多元函数微分学-3多元数量值函数的导数与微分-偏导数
高等数学微积分教程第四章多元函数微分学--偏导数与全微分
∂2z y2 − x2 ∂2z = = 2 2 2 ∂y∂x (x + y ) ∂x∂y
例6. z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z ∂3z , , , 求 2 , 2 ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x 3
∂z = 3x 2 y 2 − 3 y3 − y, ∂x
例4. f ( x, y ) =| x | + | y |
y →0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0) 故在(0,0)点连续. x →0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在. 注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y = y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan α
例7.求 u = x + sin
y + e yz 的全微分 2 ∂u ∂u 1 y ∂u yz = 1, = ye yz = cos + ze , ∂x ∂z ∂y 2 2 1 y ∴ du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数: 一元函数 可导 连续 多元函数: 多元函数 可微
f ( x0 + ∆x, y0 , z0 ) − f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) = lim ∆x → 0 ∆x
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用多元函数是指存在于多元空间中的函数，其自变量个数大于等于2个。
对于多元函数，我们需要引入偏导数和全微分的概念来描述其变化情况和应用。
概念：偏导数是多元函数在某一点沿着坐标轴方向的变化率，可以理解为函数对于某一个自变量的变化的敏感程度。
对于二元函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
其中，∂f/∂x表示函数f对x的偏导数，y视为常数；∂f/∂y表示函数f对y的偏导数，x视为常数。
全微分是描述多元函数在某个点附近的变化的线性逼近。
对于二元函数f(x, y)，全微分可以用df表示。
全微分df包含两部分：一部分是偏导数对自变量的改变的斜率；另一部分是自变量的微小变化引起的函数的增量。
全微分df可以表示为df= (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
应用：1. 最值判定：偏导数可以帮助我们找到多元函数取得最值（极大值或极小值）的点。
根据拉格朗日乘子法、极值判定条件等方法，通过计算偏导数和求解方程组可以找到函数取得最值的点。
2. 曲面方程：通过求偏导数，我们可以得到曲面在某个点的切线方程和法向量。
这对于研究曲面的性质和描述其形态十分重要。
3. 实际问题的建模：多元函数的偏导数和全微分在数理物理、经济学、工程学等学科中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过求函数关于某个变量的偏导数，得到该变量对函数的影响程度，从而分析经济关系和做出合理决策。
4. 方向导数与梯度：偏导数和全微分还可以帮助我们研究函数在某个点上沿着某个方向的变化情况。
方向导数可以通过偏导数和方向向量的内积来求取。
梯度则是一个向量，包含了函数在某个点上沿着变化最快的方向和变化率。
梯度的方向是函数值增长最快的方向，大小则表示了函数值增长的速度。
总结：多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数的重要工具，可以帮助我们理解函数的变化规律、寻找最值、建立模型和分析实际问题。
在实际应用中，熟练掌握多元函数的偏导数和全微分的计算方法和性质，对于解决实际问题具有重要的意义。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。
对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。
对于一般的 n 元函数也可类似定义。
2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。
一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。
3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。
4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。
二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。
2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。
3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。
三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。
在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。
2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。
梯度为零的点可能为极值点。
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分多元函数是指含有多个自变量的函数。
在研究多元函数时，我们经常需要考虑函数在各个自变量上的变化情况。
而偏导数就是用来描述多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的定义如下：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在某个点P(x1,x2, ..., xn)处，对第i个自变量求导得到的导数称为偏导数，记作∂f/∂xi。
偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
如果函数f是可微的，那么全微分df可以表示为df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn是自变量的微小变化量。
偏导数与方向导数之间存在一定的联系。
方向导数表示了函数在某一特定方向上的变化率，偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特例。
具体来说，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点P(x1, x2, ..., xn)处的方向向量为d，则方向导数可以表示为Df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... +∂f/∂xn * dxn。
当d为坐标轴方向(例如d = (1, 0, 0, ..., 0))时，方向向量的每个分量只有一个非零分量，其他分量为0，此时方向导数就变成了偏导数。
在求解多元函数的偏导数时，常常使用链式法则和求导法则。
链式法则用于求解复合函数的导数，求导法则则是求解一些特定函数的导数公式。
多元函数偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常研究生产函数来描述生产过程中的变化率；在物理学中，偏导数可以用来表示速度、加速度等物理量的变化率。
总结一下，多元函数的偏导数是用来描述函数在某个自变量上的变化率。
全微分则是将多个自变量的偏导数通过线性组合得到的。
偏导数与方向导数密切相关，是方向导数在坐标轴方向上的特例。
在实际问题中，偏导数有着重要的应用价值。
以上就是关于多元函数的偏导数与全微分的相关内容，希望能够帮助你更好地理解和应用多元函数的求导方法。
多元函数微分法
2.偏导数的几何意义 :
z f ( x,y) f x ( x 0, y 0 ) : 表 示 曲 线 在点 y y0 M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))处 的 切 线 对 轴 的 斜 率 x .
z f ( x, y) f y ( x0 , y0 ) : 表 示 曲 线 x x0 在 点 M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))处 的 切 线 对y 轴 的 斜 率 .
n n
el cos 2 1 cos 2 2 cos 2 n 1.
en 0, ,0,1是R n的一个标准正交基 ; u f x 在点x0 处沿 l 方向的方向导数 f x 0 f l l
x0
f x 0 te l f x 0 lim t 0 t
定理2(可微的充分条件)
f x 内存在偏导数 , i 1, , n, 且所有偏导 x i 数均在点x 0 处连续, 则 f 在点x 0 处可微.
设u f x f x1 , x 2 , , x n 在点 x 0 的邻域
证明：
z f x x , y y f x , y f x x , y y f x , y y
u f x 在点x 0 处对x i 的偏导数
就是它在点 x 0 沿方向 e i i 1,2, , n 的方向导数， 即 f x 0 f x 0 te i f x 0 u lim x0 t 0 x i x i t f x 0 f x 0 x i e i f x 0 lim x i 0 x i x i
是 f x 在点x 0 处关于自变量 x的(一阶)全微分, 记作 du x x0 df x 0 Lx α, Δx
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分在微积分中，我们学习了单变量函数的导数和微分，它们描述了函数在某一点的变化率和近似值。
然而，在现实生活中，很多问题都涉及到多个变量的函数，这就需要我们引入多元函数的概念。
多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数性质的重要工具。
一、多元函数的偏导数偏导数是多元函数在某一点关于某个变量的导数。
对于一个二元函数f(x, y)，它可以表示为z = f(x, y)，其中x和y是自变量，z是因变量。
在这种情况下，我们可以计算函数f对于x的偏导数和对于y的偏导数，分别记为∂f/∂x和∂f/∂y。
偏导数的计算方法与单变量函数的导数类似，只是在求导时将其他变量视为常数。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以计算出∂f/∂x = 2x + 2y和∂f/∂y = 2x + 2y。
这两个偏导数描述了函数f在某一点上关于x和y的变化率。
偏导数还可以进一步推广到更高维度的情况。
对于一个n元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以计算出关于每个变量的偏导数，分别记为∂f/∂x1，∂f/∂x2，...，∂f/∂xn。
这些偏导数描述了函数f在某一点上关于每个变量的变化率。
二、多元函数的全微分全微分是多元函数在某一点的线性近似。
对于一个二元函数f(x, y)，它的全微分可以表示为df = ∂f/∂x·dx + ∂f/∂y·dy。
其中，dx和dy分别表示自变量x和y的微小变化量。
全微分可以帮助我们计算函数在某一点的微小变化量。
例如，对于函数f(x, y)= x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的全微分可以表示为df = (2·1 + 2·2)·dx + (2·1 + 2·2)·dy = 10·dx + 10·dy。
这个全微分描述了函数f在点(1, 2)附近的线性近似。
多元函数的导数与微分
表示 PP0 (关于 l 的方向)的斜率. 当 t ® 0, x ® x0 , 割线转化为切线.
¶f 它关于 l 方向的斜率是方向导数 ¶ l .
x0
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例3.1 设二元函数
求 f 在点(0,0)沿方向 解：当cos q ¹ 0 时，有
? f (0,0) f (t cos q, t sin q) f (0,0) = lim t® 0 ¶l t cos q × sin 2 q sin 2 q = lim = ; 2 2 4 t ® 0 cos q + t sin q cos q
是自变量为t 的一元函数，记作
F (t ) = f ( x0 + tel ).
因此，f (x)在x0 处沿方向l 的变化率就是函数F(t)在t=0 处的导数，即
F (t ) - F (0) lim t® 0 t
f ( x0 + tel ) - f ( x0 ) = lim . t® 0 t
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y0
( x0 , y0 )
y
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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结束
注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然
的方向导数.
当 cos q = 0 时，由于
f (t cos q, t sin q) - f (0,0) = 0,
¶ f (0,0) = 0. 从而 ¶l
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偏导数的定义
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同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y
).
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5
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 uf(x,y,z)在 (x,y,z) 处
f x ( x ,y ,z ) lx 0 if( m x x ,y ,z x ) f( x ,y ,z ) , fy (x ,y ,z ) ly i0fm (x ,y y , z y ) f(x ,y ,z ), fz (x ,y ,z ) lz i 0fm (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z ).
多元函数中在某点偏导数存在 ？ 连续，
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 ) 处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
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4、偏导数的几何意义 设 M 0 ( x 0 ,y 0 ,f ( x 0 ,y 0 )为 ) z 曲 f ( x ,y ) 上 面 , 一 如图
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例 , 设 z f ( 如 x ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 ).
解 fx(0,0)lx i0m |xx 0|00 fy(0,0).
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３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fy纯y(x偏,y)导 y x zx2zyfxy(x,y) ,x y zy2 zxf混yx (合x,偏y)导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
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例5 设zx3y2 3xy3 xy1， 求x2z2、y2zx、x2zy、y2z2及x3z3 .
xy
yx
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问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )，
如果lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对x的
偏导数，记为
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3
x zxx0， fxxx0， zxx y x y0 0或 fx(x0,y0).
证
z yxy1,
x
z xy lnx, y
x z 1 z xyxy1 1 xylnx
yx lnxy y
lnx
xyxy 2z.
原结论成立．
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例 3设 z arcx si， n 求 z， z. x 2y 2 x y
解
z x
1 1x2x2y2
x x2
y2
x
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几何意义:
偏导数fx(x0,y0)就是曲面被平面yy0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的
斜率.
偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面xx0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的
斜率.
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二、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
x2y2
y2
| y|
(x2y2)3
| y| x2 y2
.
( y2 | y|)
9
z y
1 1x2x2y2
x x2
y2
y
x2y2 (xy)
| y|
(x2y2)3
x2
x
y2
sgn1 y
(y0)
z
不存在．
y x0
y0
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例 4 已知理想气体的状态方程pV RT （R为常数），求证：p V T 1.
V T p
证
p
RT V
p V
VR2T;
V RT V R ; T pV T V ;
p T p
R p R
p VT V T p
RT V2
R p
V R
RT pV
1.
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有关偏导数的几点说明：
１、 偏 导 数 u 是 一 个 整 体 记 号 ， 不 能 拆 分 ; x
yy0
yy0
同理可定义函数z f(x, y)在点(x0, y0)处对y
的偏导数， 为
limf(x0, y0 y) f(x0, y0)
y0
y
记为z y
，f xx0 y
，zy
xx0
xx0或fy(x0,
yy0
y0).
yy0
yy0
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4
如果函数z f(x, y)在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z f(x, y)对 自变量x的偏导数， 记作xz，fx，zx或fx(x, y).
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6
例 1求 z x 2 3 x y y 2 在 点 (1 ,2 )处 的 偏 导 数 ．
解
z 2x3y; x
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
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7
例2 设 zxy(x0,x1)， 求 证xz 1 z2z. yx lnxy
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
偏导数
偏导数的计算 高阶偏导数
2021/3/18 2
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在y0 而 x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
解 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x;
x
y
2
x
z
2
6xy2,
3z x 3
6y2,
2
y
z
2
2x318x;y
2z xy
6x2y9y21,
2z yx
6x2y9y21.
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
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导二 函阶 数混 图合 形偏
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例 6设 u e ac xb o ， 求 y s 二 阶 偏 导 数 .
解 uaeaxcobsy, x
x2u2 a2eaxcobsy,
ubeaxsinby; y y2u2 b2eaxcobs y,
2u abaexsinby, 2u abaexsinby.