第十六章二次根式单元教学计划
人教版八年级数学下册第16章二次根式全章教案
人教版八年级数学第16章单元计划一、课前导学：学生自学课本2-3页内容，并完成下列问题 1. 温故而知新：（1）如果一个数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么x 叫做a 的 ，记为x = ， （2）如果一个非负数x 的平方等于a ，即2x =a （0≥x ），那么非负数x 叫做a 的 ，记为x = ， （3）计算下列各式的值：= ，= ，= ，= ，= ，2)9(= ，2．一般地我们把形如 （ ）叫做二次根式，a 叫做_____________， 3. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3， 16-， 34，5-， )0(3≥a a ， 12+x4．根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ）， 5.计算：(1)2)23( (2)2)52(- 二、合作、交流、展示： 1.理解二次根式概念（1）二次根式a 中，字母a 必须满足 ； （2）二次根式与算术平方根有何关系呢？年级 八年级 课题 16.1二次根式（1） 课型 新授教 学 目 标知识技能1．理解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式；2. 掌握二次根式有意义的条件；3. 掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 过程方法培养观察、归纳能力，理解分类讨论思想，培养思维的严密性.情感态度激发学生学习数学的兴趣，培养合作意识.教学重点 二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 教学难点 灵活运用性质)0(0≥≥a a 解题． 教法学案导学学法探究、合作教学媒体多 媒 体教 学 过 程 设 计2)3(________)(2=a（3）当0≥a 时，a 是什么数？【归纳】二次根式的双重非负性： 2．当x 取何值时，下列各二次根式有意义（1）43-x ； （2）x 322- （3）2)2(-x（4）x --213. 若20a -=，则 2a b -= ，4．已知，求xy的值．【收获感悟】： ， 三、巩固与应用1. 若x -在实数范围内有意义，则x 为（ ），A.正数B.负数C.非负数D.非正数 2．当x 时，二次根式x 35-有意义，3. 在式子xx+-121中，x 的取值范围是____________.4．在实数范围内因式分解：①72-x ② 4a 2-115有意义，则a 的值为___________．6．已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________.7．已知+3，求y x 的值．8.拓展提高：已知a 、b =b +4，求a 、b 的值． 四、小结：1．二次根式的概念： ；2.二次根式的性质：（1） ，（2） ； 3．巧用非负数解题． 五、作业：《作业本》第1页. 六、课后反思：一、课前导学：学生自学课本第4页内容，并完成下列问题 1. 计算：24= =20观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=≥2,0a a 时 2．计算：-2)4(==观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 3.【归纳】二次根式的性质：=2a =4．化简下列各式：（1）=22.0 （2）=-2)3.0( （3）=-2)4( （4）()22a = （0<a ）5．代数式：用基本运算符号把 连接起来的式子叫做代数式. 二、合作、交流、展示：1.理解二次根式三条基本性质：（1（ ） （2）()=2a （ ） （3） =2a教 学 过 程 设 计2．【讨论】二次根式的性质：)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系？3．化简下列各式（1）)0(42≥x x (2)4x （3）)3()3(2≥-a a4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简b b c c a a ---++-22)(.三、巩固与应用 1. 课本第4页练习2； 2．2)4(-π= ；3．a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________；4.你能运用公式a a =2比较53与34的大小吗?5．当x = 时，代数式43x +有最小值，其最小值是 ； 6．拓展提高：（1）已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+xx（2）已知实数a 满足a a a =-+-2014)2013(2，求22013-a 的值. 四、小结：1.二次根式的性质： ， ， ； 2．灵活运用二次根式的性质解题. 五、作业：《作业本》第2页. 六、课后反思：一、课前导学：学生自学课本6-7页内容，并完成下列问题1、探究 ⑴ 计算下列各式，观察计算结果：①4×9=______ ，94⨯=_______②16 ×25 =_______ ，2516⨯=_______ ③100 ×36 =_______ ， 36100⨯=_______⑵ 仔细观察上题中的规律，猜想b a •＝ ()0,0≥≥b a (二次根式乘法法则)再例举两个例子验证你的猜想： ； 2、计算2×3 ＝ ；5×6＝ ；274•＝ ；123•＝ 3、乘法公式反过来得到：=ab ()0,0≥≥b a ， 4、填空：⑴=•=⨯=24248 ； =•=⨯=292918 ；⑵请你用上述方法化简下列二次根式： 12＝ ；27＝ ；48＝ ； 72＝ ； 98＝ ； 250x ＝ ；二、合作、交流、展示：1.二次根式的乘法法则：b a •＝ ， 注意：乘法法则成立的条件是： （为什么？） 2、积的算术平方根的性质（乘法法则的逆向运用）=ab教 学 过 程 设 计注意：⑴性质成立的条件是： （为什么？）⑵如何化简：()()94-⨯-？ 3、例题1 计算：⑴3127⨯ ⑵4510152⨯ ⑶1531372⨯-例题2 化简：⑴()()8116-⨯- ⑵3225b a ⑶4499ab ⑷2212b a【收获感悟】：如何进行二次根式的化简 ，例题3 计算：⑴714⨯ ⑵10253⨯ ⑶ xy x 31122⨯-三、巩固与应用1、等式1112-=-•+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1 2、下列各等式成立的是（ ）． A ．45×25=85B ．53×42=205 C.53×22=106 D ． yx y x +=+22 4、不改变式子的值，把根号外的数移到根号里面： ⑴=32 ； ⑵313＝ ；⑶ －=625、比较下列两数的大小：⑴ ⑵⑶-32-6、已知一个三角形的一条边长为502，这条边上的高为83，求这个三角形的面积.7、计算：（1）68×（-26）； （2 8、（拓展）化简⑴a a1 ⑵aa 1-四、小结：1．二次根式的乘法法则： ；2.积的算术平方根的性质： ， 五、作业：《作业本》第3页. 六、课后反思：一、课前导学：学生自学课本第8-9页内容，并完成下列问题 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质b a •＝ ，=ab2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯3、填空： （1； （2；（3； （4． 你能发现什么规律呢？一般地，对二次根式的除法规定：二次根式的除法法则 商的算术平方根的性质 4、计算：（1）312 （2）16141÷5、化简：（1）257 （2）932 （3）)0,0(42522≥>b a ab 二、合作、交流、展示：仿照课本例题利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质完成以下题目教 学 过 程 设 计1、计算： （1 （2 （3）52154【温馨提示】：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
二次根式单元教学计划
二次根式单元教学计划
一、教学内容
本节课主要介绍二次根式的基本概念，以及如何将二次根式转化为二次函数的形式。
二、教学重点、难点
教学重点：
1.了解二次根式的基本概念；
2.掌握如何将二次根式转化为二次函数的形式。
教学难点：
1.将二次根式用二次函数的形式表达；
2.计算复杂的二次根式。
三、学习目标
掌握二次根式的基本概念，能量将二次根式转化为二次函数的形式，掌握求解复杂二次根式的方法，提高对函数的理解能力。
四、教学方法
1.探究式教学法：通过小组讨论，激发学生的学习兴趣，以实际问题引导学生去发现知识，强化学生掌握知识的过程；
2.讲授法：老师利用图形，实例等方法，以指导性的方式把掌握知识的思路与方法讲解出来，帮助学生理解与掌握知识；
3.小组探究法：针对讲授的内容，通过小组活动，让学生通过合作、探究的方式，达到进行知识练习、检验知识的目的；
4.短练营教学法：向学生介绍二次根式的概念，并给予短期的练习，让学生通过练习掌握转换二次根式的方法；
5.案例分析法：通过对一些例题的分析，让学生能够更好的理解和掌握二次根式的概念。
八年级数学下册教学计划第十六章二次根式
八年级数学下册教学计划一、学情分析八年级是初中学习过程中的关键时期，起着承上启下的作用。
下学期尤为重要，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。
学生通过上学期的学习，算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步的认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，通过教育教学培养，绝大部分学生能够认真对待每次作业并及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致志的进行学习与思考，学生的学习兴趣得到了激发和进一步的发展，课堂整体表现较为活跃。
本学期将继续促进学生自主学习，让学生亲身参与活动，进行探索与发现，以自身的体验获取知识与技能；努力实现基础性与现代性的统一，提高学生的创新精神和实践能力；进一步激发学生的数学兴趣和爱好，通过各种教学手段帮助学生理解概念，操作运算，扩展思路。
要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。
关注学困生和女生。
二、教材分析本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下：第十六章二次根式本章主要内容是二次根式的概念、性质、化简和有关的计算。
本章重点是理解二次根式的性质，及二次根式的化简和计算。
本章的难点是正确理解二次根式的性质和运算法则。
第十七章勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半，本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理。
第十八章平行四边形四边形是人们日常生活中应用较广泛的一种图形，尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的用处更多。
因此，四边形既是几何中的基本图形，也是“空间与图形”领域研究的主要对象之一。
本章是在学生前面学段已经学过的四边形知识、本学段学过的多边形、平行线、三角形的有关知识的基础上来学习的，也可以说是在已有知识的基础上做进一步系统的整理和研究，本章内容的学习也反复运用了平行线和三角形的知识。
人教版2019八年级(下册)数学第十六章二次根式整章教案
第十六章二次根式16.1 二次根式(1)一、教学目标：认知：1、根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
能力：先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳得出概念。
情感：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、发现问题的能力及研究问题的严谨性。
二、教学重难点：教学重点：理解二次根式的概念教学难点：明确二次根式有意义的条件，并运用其解决具体问题。
三、教学法：1.教法：五环节教学法2.学法：自学与小组合作学习相结合的方法四、教学具准备：教学课件五、教学过程：（一）复习引入：1、已知一个正数x，满足x2 = a，x是a的________, 记为______, a一定是_______数。
2、（1） 4的算术平方根为_______ ，用式子表示为 __________；（2） 16的算术平方根是_______，用式子表示为 __________；（3） 0 的算术平方根是_______；（4）正数a的算术平方根为_______，（5）－7_______算术平方根。
归纳：_______和_______都有算术平方根；_______没有算术平方根（二）出示学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
（三）探索新知、提出问题思考：用带有根号的式子填空1、面积为3的正方形的边长是_______，面积为S的正方形的边长是_______。
2、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为_______米。
3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_______.很明显：所得的结果都表示一些正数的算术平方根。
像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。
一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式（学生举例巩固）（四）议一议1、-1有算术平方根吗？2、0的算术平方根是多少？3、当a<0时，有意义吗？点评：1、表示非负数a 的算术平方根。
人教版八年级下册数学16.1二次根式(教案)
-二次根式的化简：学会化简二次根式，包括将复杂二次根式化简为最简二次根式，以及合并同类二次根式。
-二次根式的应用：了解二次根式在实际问题中的应用，如求解平面几何中的面积、长度等。
举例：重点强调√a（a≥0）的定义，以及如何将√(ab)和√(a/b)等复杂形式化简为最简二次根式。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对二次根式的概念和性质掌握得还算不错。通过引入日常生活中的例子，他们能够更好地理解二次根式的实际意义。在讲授过程中，我注意到有些学生对于二次根式的化简和混合运算感到有些困惑，这让我意识到这部分内容是教学的难点。
3.二次根式的化简：学会化简二次根式，掌握将复杂二次根式化简为最简二次根式的方法。
4.二次根式的乘除法运算：掌握二次根式的乘除法运算规则，能正确进行相关运算。
5.二次根式的加减法运算：学会二次根式的加减法运算，并能熟练运用运算规则进行混合运算。
6.二次根式的应用：了解二次根式在实际问题中的应用，如求解平面几何中的面积、长度等问题。
4.培养学生的数学建模素养：通过解决实际问题时运用二次根式，培养学生建立数学模型、运用数学知识解决现实问题的能力。
5.培养学生的几何直观素养：在学习二次根式的应用过程中，使学生能运用几何直观发现、理解并解决相关问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的概念：理解二次根式的定义，掌握其一般形式，这是学习后续内容的基础。
第16章《二次根式》整章(教案)
1.加强对二次根式乘除法运算的讲解，通过对比练习，使学生更好地掌握运算规则。
2.增加与实际生活相关的案例，培养学生的数学建模能力。
3.提高小组讨论的参与度，鼓励学生发表自己的观点，提高课堂互动性。
4.设计更多针对难点的练习题，帮助学生突破学习难点。
5.在课堂总结环节，加入互动性游戏或竞赛，提高学生的记忆效果。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的性质和运算规则这两个重点。对于难点部分，如二次根式的乘除法和加减法，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题，如计算特定图形的面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用几何图形拼凑出$\sqrt{9}$和$\sqrt{16}$，演示二次根式的基本原理。
第16章《二次根式》整章（教案）
一、教学内容
第16章《二次根式》整章，教学内容如下：
1.二次根式的概念及性质；
2.二次根式的乘除法运算；
3.二次根式的加减法运算；
4.最简二次根式；
5.二次根式的化简与证明；
6.二次根式的实际应用。
本章将通过具体实例，引导学生掌握二次根式的性质与运算方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。同时，注重提高学生的逻辑思维和运算能力，为后续学习打下坚实基础。
其次，在实践活动和小组讨论中，我发现部分学生在解决实际问题时，将问题抽象为二次根式的数学模型的能力较弱。针对这一问题，我计划在今后的教学中，加入更多与实际生活相关的案例，引导学生学会将实际问题转化为数学模型。
此外，学生在小组讨论中的参与度还有待提高。在今后的教学中，我会更加注重激发学生的讨论兴趣，鼓励他们积极发表自己的观点，提高课堂互动性。
初中数学第16章 二次根式 全章教案
《教育部审定人教版八年级下册全书教案》第十六章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2（a≥0）是一个非负数，）2=a（a≥0）a（a≥0）．（3（a≥0，b≥0）；a≥0，b>0）a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念． 再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定， 并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维， 得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点， 给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点1．a ≥0）a ≥0）是一个非负数；）2＝a （a ≥0）=a （a ≥0） 及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点1（a ≥0）2＝a （a ≥0a （a ≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力， 培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3课时 21．2 二次根式的乘法 3课时 21．3 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标（a ≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用（a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y =，那么它的图象在第一象限横、 纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC =3，BC =1，∠C =90°，那么AB 边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S =_________． 老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x =y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以x ）．3xAC问题2：由勾股定理得AB问题3：由方差的概念得S = .二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根（a ≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．－1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？3．当a <0有意义吗？老师点评:（略）例1x >0）、、（x ≥0，y ≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号”；第二，被开方数是正数或．（x >0）、－、（x ≥0，y ≥0）；不是二次、． 例2．当x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x －1≥0，才能有意义．解：由3x －1≥0，得：x ≥1x 1x y+1x 1x y+13当x ≥三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x +在实数范围内有意义？ 分析+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x +1≠0． 解：依题意，得由①得：x ≥－由②得：x ≠－1当x ≥－且x ≠－1+在实数范围内有意义．例4(1)已知y，求的值．(答案:2) (2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．1311x +11x +11x +23010x x +≥⎧⎨+≠⎩323211x +xy253.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计 一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）ABCD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A BCD ．3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5 BC ．D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要， 底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x +x 2在实数范围内有意义？ 3=_______．4.有意义的未知数x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数5.已知a 、b =b +4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B1x15二、1（a ≥0）23．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：x ．2．依题意得：， ∴当x >－且x ≠0＋x 2在实数范围内没有意义．3.4．B5．a =5，b =－421.1 二次根式(2)第二课时教学内容1（a ≥0）是一个非负数；2．）2=a （a ≥0）． 教学目标（a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简． （a ≥0）是一个非负数，用具体）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键1（a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2（a ≥0）是一个非负数； 用探究的方法导）2=a （a ≥0）．2300x x +≥⎧⎨≠⎩320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩3213教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0叫什么？当a <0有意义吗？老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4的）2=4．同理可得：）2=2，2=9，2=3，）2=，2=，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．24．）2 分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =，（2 =32·2=32·5=45，1372322=，）2． 三、巩固练习 计算下列各式的值：）2）2（）2）2（2四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0）2．2 3．）2 4．2分析：（1）因为x≥0，所以x +1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a +1=（a +1）≥0； （4）4x 2－12x +9=（2x ）2－2·2x ·3+32=（2x －3）2≥0．所以上面的4）2=a （a ≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x ≥0，所以x +1>0 2=x +1（2）∵a 2≥02=a 2 （3）∵a 2+2a +1=（a +1）2又∵（a +1）2≥0，∴a 2+2a +1≥0 =a 2+2a +1 （4）∵4x 2－12x +9=（2x ）2－2·2x ·3+32=（2x －3）2 又∵（2x －3）2≥0∴4x 2－12x +9≥0）2=4x 2－12x +9 例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2－3 （2）x 4－4 (3) 2x 2－3分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：5674=422-1（a ≥0）是一个非负数；2．）2=a（a ≥0）;反之:a =）2（a ≥0）． 六、布置作业1．教材P 8复习巩固2．（1）、（2） P 97．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0 D ．a =0 二、填空题1．2=________．2_______数． 三、综合提高题 1．计算（1）2 （2）2 （3）（）2 （4）（－）2(5) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）（4）x （x ≥0） 3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2－2 （2）x 4－9 3x 2－51216第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9（22=－3（3）（）2=×6=（4）（－2=9×=6 (5)－6 2．（1）5=2 （2）3.4=2（3）=2 （4）x =）2（x ≥0）3．x y =34=814.（1）x 2－2=（x）（x ）（2）x 4－9=（x 2+3）（x 2－3）=（x 2+3）（x ）（x ）(3)略21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a （a ≥0）教学目标a （a ≥0）并利用它进行计算和化简． 1214322316103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1a （a ≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a ≥0）的式子叫做二次根式；2（a ≥0）是一个非负数；3．)2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；=________=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=0.01===．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=－32，（2）（－4）2=42，（3）25=52，（4）（－3）2=32a （a ≥0） 去化简． 1102337解：（1=3 （2（3=5 （4=3三、巩固练习教材P 7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a <0， 并根据这一性质回答下列问题．（1a ，则a 可以是什么数？（2－a ，则a可以是什么数？（3a ，则a 可以是什么数？分析a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a <0．解：（1a ，所以a ≥0；（2－a ，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0a a ，即使a >a 所以a 不存在；当a <0=－a a ，即使－a >a ，a <0综上，a <0例3当x >2．分析：(略)五、归纳小结a （a ≥0）及其运用，同时理解当a <0a 的应用拓展．六、布置作业1．教材P 8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1的值是（ ）．A ．0B ．C ．4D ．以上都不对2．a ≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．ABCD二、填空题1=________．2是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a =9时，求a 的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a =a +（1－a ）=1；乙的解答为：原式=a =a +（a －1）=2a －1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995－a =a ，求a －19952的值．（提示：先由a －2000≥0，判断1995－a 的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若－3≤x ≤2时，试化简│x －答案:一、1．C 2．A二、1．－0．02 2．5三、1．甲 甲没有先判定1－a 是正数还是负数23232．由已知得a－ 2000 ≥0， a ≥2000所以a－=a=1995，a－2000=19952，所以a－19952=2000．3. 10－x21．2 二次根式的乘除第一课时教学内容（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简·（a≥0，b≥0）并运用它进行计算； 利（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．（a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或教学过程b一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______=________．（3=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2，（3（4，（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1 （2 （3 （4 分析：（a ≥0，b ≥0）计算即可．解：（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4 （5（a ≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1（2（3（4=3xy（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②(2) 化简: ; ;;教材P 11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2解：（1）不正确．（2）不正确．五、归纳小结本节课应掌握：（1=（a≥0，b≥0）·（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1cm， 那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cmD．27cm2．化简的结果是（）．ABCD3）A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－14．下列各等式成立的是（）．A．B．C．D．二、填空题11x-=1．2．自由落体的公式为S =gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m /s 2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水， 现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1） 验证：（2）验证：同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：=_______（a >0）,并验证你的结论． 答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D12=====二、1．2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x．2．验证：21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容=a≥0，b>0），反过来a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：==1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1=________；（2=________=________；（3=________；（4=________=________．；．3．利用计算器计算填空:（1=_________，（2=_________，（3=______，（4=________．。
人教版数学八年级下册16章《二次根式》单元整体教学设计
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将引导学生回顾本节课所学内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
1.回顾总结：请学生回顾本节课所学的内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
2.归纳提升：引导学生发现数学规律，提高数学思维能力。
3.反馈评价：教师对学生的学习情况进行反馈，给予鼓励和指导，激发学生的学习动力。
-学会化简二次根式，包括分解质因数、提取平方因子等方法，使二次根式达到最简形式。
2.学会解决实际问题中涉及二次根式的计算，如长度、面积和体积的计算等。
-能够将实际问题转化为数学问题，建立二次根式相关的数学模型。
-运用二次根式的运算方法解决实际问题，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
3.了解二次根式在几何图形中的应用，如勾股定理等。
4.运算讲解：详细讲解二次根式的乘除法运算规则，通过例题使学生熟练掌握运算方法。
（三）学生小组讨论
在小组讨论环节，我将组织学生进行合作学习，共同探讨二次根式的性质、化简和运算规则。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选一个组长，负责组织讨论。
2.讨论主题：每组针对二次根式的性质、化简方法和运算规则进行讨论，探讨解决实际问题的方法。
3.拓展应用：
-探究题：让学生自主探索二次根式在几何图形中的其他应用，如圆的面积、体积计算等，并撰写探究报告。
-研究性学习：小组合作，选择一个与二次根式相关的研究主题，如二次根式在建筑、工程中的应用，进行深入研究，并制作PPT进行课堂分享。
-数学阅读：推荐阅读相关数学历史资料，了解二次根式的历史背景和发展过程，拓宽学生的数学视野。
五、作业布置
为了巩固学生对二次根式的理解和应用，作业布置将包括基础巩固、能力提升和拓展应用三个层次，确保学生在课后能够自主复习、巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
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第十六章二次根式单元教学计划
教材内容
1．本单元教学的主要内容：
二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．
2．本单元在教材中的地位和作用：
二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．
（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·；
=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．
（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
2．过程与方法
（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点
1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；
=a（a≥0）•及其运用．
2．二次根式乘除法的规定及其运用．
3．最简二次根式的概念．
4．二次根式的加减运算．
教学难点
1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．
2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．
教学关键
1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．
2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．
单元课时划分
本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：
21．1 二次根式3课时
21．2 二次根式的乘法3课时
21．3 二次根式的加减3课时
教学活动、习题课、小结2课时。