高考数学一轮复习第2讲二次函数

高考数学一轮复习第2讲：二次函数
一. 【复习目标】
1.准确理解函数的有关概念.
2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.
二、【课前热身】
1、 f(x)是定义在全体实数上的偶函数，它的图象关于x=2为轴对称，已知当x ∈(-2,2)时f(x)的表达式为
-x 2+1，则当x ∈(-6,-2)时，f(x)的表达式是： （ ）
(A)-x 2+1 （B ）-(x-2)2+1 (C)-(x+2)2+1 （D ）-(x+4)2
+1
2、 已知f(x)=x 2+(lga+2)x+lgb 且f(-1)=-2，又f(x)≥2x 对一切x ∈R 都成立，求a+b = .
3、函数f(x)=x 4-2x 2+2的单调增区间是( )
（A ）[1,+∞)， （B ）(-∞,-1)∪[1,+∞)， (C)[-1,0]∪[1,+∞)， (D)以上都不对
4、已知方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P 的取值为 。

三. 【例题探究】
例1．已知函数21sin sin 42
a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值 ．
例2． 已知函数22
()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．
例3．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数 2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，
（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；
（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线
21
21y kx a =++对称，求b 的最小值．
四、【方法点拨】
1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；
2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．
冲刺强化训练(1)
班级 姓名 学号 日期 月 日
1、函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ ）
A ．0b ≥
B ． 0b ≤
C ． 0b >
D ． 0b <
2、 函数x x y 22
-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为 （ ） A ．{}3,0,1- B ．{}3,2,1,0 C ．{}31≤≤-y y D ．{}
30≤≤y y
3、若函数f (x )=4)2(2)2(2--+-x a x a 的图象位于x 轴的下方，则实数a 的取值范围是( ) )2(]22(]22[)2(--∞---∞，、，、，、，、D C B A
4、使函数542+-=x x y 具有反函数的一个条件是_____________________________。

（只填上一个条件即可，不必考虑所有情形）。

5、若函数2(2)3([,]y x
a x x a
b =+++∈的图象关于1x =对称则b = ． 6、若sin 2x+cosx+a=0有实根，试确定实数a 的取值范围（ ）
7、已知函数3222)(a b x a ax x f -++=。

(Ⅰ)当(26)()0(2)(6)()0x f x x f x ∈->∈-∞-+∞<，时，
；当，，时， a b 求、的值及)(x f 的表达式； （Ⅱ）设)()16(2)1(4)(4
)(x F k k x k x f k x F 取何值时，函数，-+++-=的值恒为负值？
8、已知二次函数)0()(2≠+=a b a bx ax x f 为常数且、满足条件：)5(+-x f =)3(-x f ，且方程)(x f =x 有等根。

(Ⅰ)求)(x f 的解析式；
(Ⅱ)是否存在实数,()m n m n <，使)(x f 的定义域和值域分别是[,]m n 和[3,3]m n ？如果存在，求出,m n
的值；若不存在，说明理由.
9、 已知二次函数1()y f x =的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数2()y f x =的图象与直线y x =的两
个交点间距离为8,12()()()f x f x f x =+.
(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式；
(Ⅱ) 证明:当a>3时,关于x 的方程f(x)= f(a)有三个实数解.
第1讲 二次函数
一、课前热身
1、D 2 110 3、D 4、（－∞，－1）
二、例题探究
例1． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-， ∴221()(2)24a
y t a a =--+-+，对称轴为2
a t =，
（1）当112a -≤
≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24
y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）． （2）当12
a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增， 由max 111242y a a =-+-+=，得103
a =． （3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24
a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减， 由max 111242
y a a =---+=，得2a =-（舍去）． 综上可得：a 的值为2a =-或103
a =． 例2． 解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x 则120x x ≤或1212
000x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩
，得94a ≤≤． 解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020
f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩
，得94a ≤． 例3． 解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2
000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．
（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，
224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立，
∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．
（3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121
y x a =-++， 设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++，∴212221
b b a a a -=++，
∴2112142a b a a a
=-=-≥-++12(01)a a a =<<
，即2a =时等号成立， ∴b
的最小值为-．
冲刺强化训练(1)
1、A
2、A
3、C
4、，或它们的某个子集。

，，或，]2()2[-∞∞+
5、6
6、[-5/4,1]
7、（Ⅰ）48164)(842++-=-=-=x x x f b a ，，
（Ⅱ）恒为负值。

时)(2x F k -<
8、（Ⅰ）x x x f +-=22
1)(。

（Ⅱ）存在m =-4，n =0满足要求。

9、 (Ⅰ)由已知,设f 1(x)=ax 2,由f 1(1)=1,得a=1, ∴f 1(x)= x 2.设f 2(x)=
x
k (k>0),它的图象与直线y=x 的交点分别为A(k ,k )，B(－k ,－k ) 由AB =8,得k=8,. ∴f 2(x)=
x 8.故f(x)=x 2+x
8. (Ⅱ) （证法一）f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a
8, 即x 8=－x 2+a 2+a 8.在同一坐标系内作出f 2(x)=x
8和 f 3(x)= －x 2+a 2+a 8的大致图象,其中f 2(x)的图象是以坐 标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f 3(x)与的图象是以(0, a 2+a
8)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f 2(x)与f 3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f 2(2)=4, f 3(2)= －4+a 2+a
8，当a>3时,. f 3(2)－f 2(2)= a 2+a 8－8>0,当a>3时,在第一象限f 3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f 2(x)图象的上方.f 2(x)与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
（证法二）由f(x)=f(a),得x 2+
x 8=a 2+a 8,即(x －a)(x+a －ax 8)=0,得方程的一个解x 1=a.方程x+a －ax 8=0化为ax 2+a 2x －8=0,由a>3,△=a 4+32a>0,得x 2=a a a a 23242+--, x 3=a
a a a 23242++-,x 2<0, x 3>0, ∵x 1≠ x 2,且x 2≠ x 3.若x 1= x 3,即a=a
a a a 23242++-,则3a 2=a a 324+, a 4=4a,得a=0或a=34,这与a>3矛盾,∴x 1≠ x 3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.。