(第35讲)导数的运算法则及基本公式应用
导数公式与运算法则
导数公式与运算法则导数是微积分中的重要概念，它用于描述函数的变化率。
导数公式和运算法则是求导的基本工具，可以帮助我们计算各种函数的导数。
本文将详细介绍导数公式和运算法则，并提供相应的推导和证明。
1.导数的定义在解释导数公式和运算法则之前，我们首先介绍导数的定义。
设函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗导数的几何意义是函数在其中一点处的切线斜率。
如果函数在其中一点可导，则该函数在该点的切线斜率就是该点的导数值。
2.基本导数公式2.1常数函数对于常数函数f(x)=c，其中c为常数，其导数等于0：f'(x)=0证明：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗= lim┬(Δx→0)〖(c-c)/Δx〗= lim┬(Δx→0)0/Δx=02.2幂函数对于幂函数f(x)=x^n，其中n为非零实数，其导数为：f'(x) = nx^(n-1)证明：利用导数的定义，我们有f'(x) = lim┬(Δx→0)〖((x+Δx)^n-x^n)/Δx〗= lim┬(Δx→0)〖(nx^(n-1)Δx+...)/Δx〗 (利用二项展开)= nx^(n-1)2.3指数函数对于指数函数f(x)=e^x，其导数为：f'(x)=e^x证明：利用导数的定义，我们有f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(e^(x+Δx)-e^x)/Δx〗= lim┬(Δx→0)〖(e^x*e^Δx-e^x)/Δx〗= e^x*lim┬(Δx→0)〖(e^Δx-1)/Δx〗这里需要引入极限的定义，e的定义就是使得e^x的导数等于e^x的常数。
因此，我们可以得到以上结论。
3.导数的基本运算法则3.1基本导数法则（1）常数乘法法则：若 c 为常数，则 (cf(x))' = cf'(x)（2）加法法则：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)（3）减法法则：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)（4）乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（5）除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)证明：我们以加法法则为例进行证明。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面将详细介绍。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量的增量。
该定义表示函数f(x)在点x处的导数是函数在极限过程中的变化率。
二、导数的基本公式1.常数函数的导数公式若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4.对数函数的导数公式若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
三、导数的运算法则1.和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
2.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
3.乘积法则若f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
导数的基本公式及四则运算法则
常见函数的导数
指数函数
$(a^x)' = a^x ln a$
三角函数
$(sin x)' = cos x$， $(cos x)' = -sin x$
幂函数
$(x^n)' = n cdot x^{n-1}$
对数函数
$(ln x)' = frac{1}{x}$
反三角函数
$(arcsin x)' = frac{1}{sqrt{1x^2}}$
详细描述
对于两个可导函数的和或差，其导数可以通过分别对每个函数求导然后进行相应的加减运算来得到。 即，如果 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导的，那么 $(u(x) + v(x))'$ 和 $(u(x) - v(x))'$ 可以通过对 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别求导然后进行加法或减法运算来得到。
导数在解决实际问题中也有重要应用，如经济学、物理学和工程学等领域的问题。
导数的概念和计算方法对于培养数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。
导数与积分的关系
导数是微分的逆运算， 而积分是微分的积分。
通过导数和积分可以 相互转化，从而解决 复杂的数学问题。
导数和积分是微积分 中的两个基本概念， 它们之间存在密切的 联系。
THANKS
谢谢
导数的基本公式及四则运算法 则
目录
CONTENTS
• 导数的基本公式 • 导数的四则运算法则 • 导数的应用 • 导数与微积分的关系
01
CHAPTER
导数的基本公式
定义与性质
定义
导数描述了函数在某一点附近的 变化率，是函数局部性质的一种 体现。
导数的四则运算法则课件
泰勒级数常用于数学和工程计算中，也常用于科学和工业实践中的数像处理中也有广泛应用，如图像去噪和匹配等。
总结和扩展导数的四则运算规则
导数的四则运算法则是微积分的非常基础的知识点，也是应用导数的必备前提。掌握导数的四则运算法 则后，您可以使用它们在各种领域中应用导数来解决现实问题。
导数的四则运算法则课件
本课件将介绍导数的基本概念和基本法则，以及导数在数学和其他领域中的 应用。欢迎大家学习。
导数的基本概念
什么是导数？导数可以看作是函数在某一点上的瞬时变化率，也称为导函数。导数是微积分学中非常重 要的概念。
导数的基本定义和符号 表示
导数是函数在某一点上的变化 率。通常用dy/dx或f'(x)来表示。
实例演算：求导数
掌握导数的运算法则后，我们来看几个实例。
1
例2
2
$y=\sin x+\cos x, y'=\cos x-\sin x$
3
例4
4
$y=\frac{x}{x+1}, y'=\frac{1}{(x+1)^2}$
例1
$y=x^3+2x^2-5x+3, y'=3x^2+4x-5$
例3
$y=x^2\cdot\ln x, y'=\frac{x^2}{x}\cdot\ln(x)+x^2\cd ot\frac{1}{x}$
泰勒展开和应用
泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用于函数逼近和数值运算。以下是一些应用案 例。
1
案例 1
使用泰勒展开法计算$\sin x$在$x= 0$处的近似值，可以表示为$\sin x= x\frac{x^ 3}{3!}+ \frac{x^ 5}{5!}- \cdots$。
导数的运算公式和运算法则
导数的运算公式和运算法则导数可是高中数学中的一个重要概念，它的运算公式和运算法则就像是打开数学世界奇妙之门的钥匙。
咱们先来说说常见的导数运算公式。
比如说，对于函数 $f(x) =x^n$ （$n$ 为常数），它的导数就是 $f'(x) = nx^{n-1}$ 。
这就好比是给一个数穿上了速度的外衣，能让我们更清楚地看到它变化的快慢。
再比如，对于函数 $f(x) = \sin x$ ，它的导数是 $f'(x) = \cos x$ ；对于函数 $f(x) = \cos x$ ，导数则是 $f'(x) = -\sin x$ 。
这是不是有点像变魔术，一下子就变出了新的东西。
还有，常数的导数为 0 ，这就好像是一个静止不动的家伙，压根没有变化的趋势。
接下来说说导数的运算法则。
加减法则，就像是把两个小伙伴的速度合起来或者分开算。
如果有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，那么 $(f(x) ±g(x))' = f'(x) ± g'(x)$ 。
乘法则有点复杂，就像两个小伙伴手拉手一起跑，速度的关系就变得微妙起来。
如果是两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相乘，那么 $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 。
除法则更是需要我们多费点心思，就好比是要算出两个小伙伴一起跑，但其中一个跑快了或者跑慢了对整体速度的影响。
如果是$f(x)÷g(x)$ ，那么它的导数就是$\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ 。
给大家讲讲我之前教学生导数的一个小经历。
有个学生叫小李，这孩子特别聪明，但就是对导数的运算法则总是弄混。
有一次做练习题，遇到一个函数是两个式子相除的形式，小李想都没想就直接把分子分母分别求导，然后就得出了答案。
我一看，哭笑不得，这孩子明显是把法则给记错了。
高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用
高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用导数的运算法则及基本公式应用导数是高考数学中的重要内容，对于理解和应用导数的运算法则及基本公式，是提高数学成绩的关键。
本文将介绍导数的运算法则及基本公式，并通过实例分析应用场景，帮助考生突破导数的难点。
1.乘积法则若函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数h(x)=f(x)g(x)也可导，且有h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
示例：计算函数y = x^2sinx的导数。
解：令f(x) = x^2，g(x) = sinx，则y = f(x)g(x)。
根据乘积法则，有y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
由此得到y' = 2xsinx + x^2cosx。
2.商法则若函数f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则函数h(x)=f(x)/g(x)也可导，且有h'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2示例：计算函数y=(2x+1)/(x-1)的导数。
解：令f(x)=2x+1，g(x)=x-1，则y=f(x)/g(x)。
根据商法则，有y'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2由此得到y'=(2(x-1)-(2x+1))/[(x-1)^2]=-3/[(x-1)^2]。
3.基本公式应用常见的基本公式有导数的和差法则、常数倍法则、幂函数的导数法则等。
示例：计算函数y=3x^2-4x+2的导数。
解：根据导数的和差法则和常数倍法则，有y'=(3x^2)'-(4x)'+(2)'=6x-4在实际应用中，导数的运算法则及基本公式具有广泛的应用，如在最优化问题中，可以通过求导得到极值点；在曲线的切线和法线问题中，可以通过求导得到切线斜率和法线斜率；在函数图像的研究中，可以通过导数判断函数的单调性和凹凸性等。
导数基本公式与运算法则共20页文档
uv' u'vu'v
就是说，两个函数的乘积的导数等于第一个函数的 导数乘第二个函数，加上第二个函数的导数乘第一 个函数。
特别地，当其中一个函数为常数 c时，则有 cu' cu'
上面的公式对于有限多个可导函数成立，例如：
uv ' w u'vw u'w vuv ' w
1.3、商的导数
x 设函数ux和vx在点
Thank you
dy f 'u'x
dx
或 yx' yu' u'
或 dy dy du
dx du dx
这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中 间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
例题 求下列函数的导数： (1) ysin3 x (2) y 43x2
练习：求 ylncoxs的导数。
由定理的结论可以推广到多次复合的情况。例如
导数基本公式与运算法则
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
f x x2 x2，求
x3
f ' 1
.
练习 求 ytanx 的导数。
(word完整版)导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念:+△x)函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值y也相应的有增量△y=f(x—f(x），其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。
若，，则平均变化率可表示为,称为函数从到的平均变化率。
注意：①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值;②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。
函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化,应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是:直线AB的斜率。
事实上，.作用:根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数,在点处给自变量x 以增量,函数y 相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即:(或）注意: ①增量可以是正数，也可以是负数;②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数.注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念,是常数,是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义： （1)曲线的切线曲线上一点P(x 0，y 0)及其附近一点Q （x 0+△x ，y 0+△y),经过点P 、Q 作曲线的割线PQ ，其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y 0+△y)沿曲线无限接近于点P(x 0,y 0），即△x →0时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
导数的运算法则课件
乘除法则
总结词
导数的乘除法则是指两个函数的乘积或商的导数等于它们各自导数的乘积或商。
详细描述
对于两个函数的乘积或商，其导数可以通过将两个函数的导数相乘或相除来获得 。具体地，如果函数$u(x)$和$v(x)$的导数分别为$u'(x)$和$v'(x)$，则$(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$，$left(frac{u}{v}right)'(x) = frac{u'(x)v(x) u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$。
极值定理
利用导数，我们可以证明一些极 值定理，例如费马定理和罗尔定 理。这些定理在解决极值问题时
非常有用。
曲线的切线问题
切线斜率
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率。在几何上，切线 与x轴的夹角正切值等于该点的导数值。
切线方程
给定曲线上的一个点，我们可以利用导数求出该点的切线 方程。切线方程的一般形式为 y=mx+b，其中 m 是切线 的斜率，b 是切线在y轴上的截距。
导数在数学建模和实际问题中的应用
导数可以用来建立数学模型，例如在 经济、物理、工程等领域中，可以用 导数来描述和预测事物的变化趋势。
导数可以用来研究实际问题中的变化 规律，例如在物理学中的速度、加速 度、电流等物理量的变化规律可以用 导数来描述。
导数可以用来解决实际问题，例如在 优化问题、经济问题、物理问题等领 域中，可以用导数来求解问题。
速度函数的导数。
03
动能与势能
利用导数，我们可以计算物体在运动过程中的动能和势能。动能是速度
平方与质量乘积的一半，势能是位置函数与重力加速度乘积的一半。
导数的四则运算法则课件
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
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高中数学复习专题讲座——导数的运算法则及基本公式应用高考要求导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式 四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导重难点归纳1 深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数xy ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=xy x ∆∆→∆lim，知道导数的等价形式()()(lim)()(lim000000x f x x x f x f xx f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆2 求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键3 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误4 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系典型题例示范讲解例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω命题意图 本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型知识依托 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数错解分析 本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与方法 先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x xx x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x=12+x x f ′(12+x )例2利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n,(n ∈N *) 命题意图 培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力知识依托 通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维 由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通项的形式结构错解分析 本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想技巧与方法 第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导解 (1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1);当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=x xx n --+11,两边都是关于x 的函数，求导得 (x +x 2+x 3+…+x n)′=(xxx n --+11)′即S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1=21)1()1(1x nxx n n n-++-+(2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n,两边都是关于x 的可导函数，求导得 n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C nn xn －1,令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn ,即S n =C 1n +2C 2n +…+n C nn =n ·2n －1 例3 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标解 由l 过原点，知k =0x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0,∴0x y =x 02－3x 0+2y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =0x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+22x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =0x y =－41∴l 方程y =－41x 切点(23，－83)学生巩固练习1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A 0B 1C －1D 22 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0D x －y =0或25x －y =03 若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim000--→ =_________4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程6 求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x;(2)y7 有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚14 m 时，梯子上端下滑的速度8 求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1 ,(x ≠0,n ∈N *) 参考答案1 解析 y ′=e sin x［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1答案 B2 解析 设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =0x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3, x 0 (2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53),从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )=251)515(42-=+-- ,由于切线过原点，故得切线 l A :y =－x 或l B :y =－x答案 A3 解析 根据导数的定义f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f kx f k x f kx f k x f kx f k x f k k k答案 －14 解析 设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！ 答案 n !5 解 设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1 y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12①对于C 2 y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为 y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4, 解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0 ∴直线l 方程为y =0或y =4x －4 6 解 (1)注意到y ＞0,两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxxex x ex x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得 ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |),两边解x 求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311xx x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7 解 设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1 4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21 (25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t-,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0 875(m/s)8 解 (1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nxx n n n -++-+,两边同乘以x ,得 x +2x 2+3x 2+…+nx n=221)1()1(x nxxn x n n -++-++两边对x 求导，得S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1 =322122)1()122()1(1x xn xn n x n x n n n---+++-+++课前后备注。