2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.4直线、平面平行的判定与性质学案理

7．4 直线、平面平行的判定与性质[知识梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理3．必记结论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．[诊断自测]1．概念思辨(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A2P61T1(2))如果直线a平行于平面α，直线b∥a，则b与α的位置关系是( )A．b与α相交B．b∥α或b⊂αC．b⊂αD．b∥α答案 B解析两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与已知平面相交，所以由直线b ∥a ，可知若b 与α相交，则a 与α也相交，而由题目已知，直线a 平行于平面α，所以b 与α不可能相交，所以b ∥α或b ⊂α.故选B.(2)(必修A2P 58T 3)已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，下列命题中正确的个数是( )①若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，且m ∥n ，则α∥β；②若m ，n 相交且都在α，β外，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ④若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β. A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 A解析 ①仅满足m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，不能得出α∥β，此命题不正确；②设m ，n 确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，此命题正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．故选A.3．小题热身(1)如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 答案 D解析 选项A ，B ，C 显然错误．∵PA ⊥平面ABC ，∴∠PDA 是直线PD 与平面ABC 所成的角．∵ABCDEF 是正六边形，∴AD ＝2AB .∵tan ∠PDA ＝PA AD ＝2AB2AB＝1，∴直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.故选D.(2)已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：① }a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② }a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ }c ∥αc ∥β⇒α∥β； ④ }α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ }c ∥αa ∥c ⇒a ∥α；⑥ }a ∥γα∥γ⇒a∥α.其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①④解析由三线平行公理，知①正确；两条直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面，故②错误；两个平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，故③错误；面面平行具有传递性，故④正确；一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内，故⑤错误；一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可能平行也可能直线在平面内，故⑥错误．题型1 平行关系命题的真假判定m，n，l1，l2表示不同直线，α，β表示不同平典例(2018·豫西五校联考)已知面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2排除法．答案 D解析对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件．故选D.方法技巧解决平行关系命题真假判断的一般思路1．判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．3．结合实物进行空间想象，比较判断．冲关针对训练(2017·山西长治二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β答案 C解析对于A，墙角的三个墙面α，β，γ满足条伴，但γ与β相交，故A错误；m⊂α，n⊂β，且m，n平行于α，β的交线时符合B中条件，但α与β相交，故B错误；由m∥n，m⊥α可推出n⊥α，结合n⊥β可推出α∥β，故C正确；由D中的条件得α与β可能平行也可能相交，故D错误．所以选C.题型2 直线与平面平行的判定与性质角度1 直线与平面平行的判定与性质P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中典例(2017·保定期中)如图，点．(1)求证：PB∥平面EAC；(2)若M是CD上异于C、D的点，连接PM交CE于G，连接BM交AC于H，求证：GH∥PB.利用中位线证线线平行从而证线面平行，利用线面平行证线线平行．证明(1)连接BD，交AC于O，连接EO，则O是BD的中点．又E是PD的中点，∴PB∥EO.∵PB⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，∴PB∥平面EAC.(2)由(1)知PB∥平面EAC，又平面PBM∩平面EAC＝GH，∴根据线面平行的性质定理得GH∥PB.角度2 直线与平面平行的探索性问题典例 (2018·包河月考)在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，平面PAB ∩平面PCD ＝l .(1)证明：l ∥CD ；(2)在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．通过证明面面平行来证明线面平行．证明 (1)∵菱形ABCD ，∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ，又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD ＝l ， ∴AB ∥l ，∵AB ∥CD ，∴l ∥CD .(2)当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明如下，如图取PE 的中点M ，连接FM ，由于M 为PE 中点，F 为PC 中点，所以FM ∥CE .①由M 为PE 中点，得EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，因为四边形ABCD 是菱形，则O 为BD 的中点， 由于E 是MD 的中点，O 是BD 的中点， 所以BM ∥OE .②由①FM ∥CE ②BM ∥OE 知，平面BFM ∥平面AEC ， 又BF ⊂平面BFM ，所以BF∥平面AEC.方法技巧线面平行问题的证明策略1．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．2．判断或证明线面平行的方法：①线面平行的定义(反证法)；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理．3．线面平行的探究性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．冲关针对训练(2017·济南一模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，EF∥AC，EF＝ 3.求证：FC∥平面BDE.证明设AC∩BD＝O，连接EO.∵底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴OC＝ 3.∵EF∥AC，EF＝OC＝3，∴EFCO为平行四边形，∴FC∥EO，∵FC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴FC∥平面BDE.题型3 平面与平面平行的判定与性质典例 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明 (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，则GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .又G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，A 1B 1綊AB ， ∴A 1G 綊EB .∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB . ∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面EFA 1∥平面BCHG .[条件探究] 在典例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求AD DC的值．解 连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 同理可证AD 1∥DC 1，则A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1. 方法技巧1．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，转化为证明线面平行． (2)证明两平面垂直于同一条直线． (3)证明两平面与第三个平面平行． 2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行． (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．冲关针对训练(2018·西安模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．解 (1)证明：由题设知BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD －A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.1.(2017·福建八校联考)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行答案 B解析 如图，MC 1⊂平面DD 1C 1C ，而平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故MC 1∥平面AA 1B 1B .2．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案 ②③④解析 对于①，由m ⊥n ，m ⊥α可得n ∥α或n 在α内，当n ∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错误；对于②，过直线n 作平面与平面α交于直线c ，由n ∥α可知n ∥c ，∵m ⊥α，∴m ⊥c ，∴m ⊥n ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.3．(2018·河北唐山统考)在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．答案 8解析 过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过E ，F 分别作EN ∥PB ，FM ∥PB ，分别交AB ，BC 于点N ，M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.4．(2018·石家庄质检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上一点，且PC ＝3PN .(1)求证：MN ∥平面PAB ； (2)求点M 到平面PAN 的距离．解 (1)证明：在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1.又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ， ∴四边形AMNH 为平行四边形， ∴MN ∥AH .又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .(2)连接AC ，MC ，PM ，平面PAN 即为平面PAC ，设点M 到平面PAC 的距离为h . 由题意可得CD ＝22，AC ＝23， ∴S △PAC ＝12PA ·AC ＝43，S △AMC ＝12AM ·CD ＝2，由V M －PAC ＝V P －AMC ， 得13S △PAC ·h ＝13S △AMC ·PA ， 即43h ＝2×4，∴h ＝63， ∴点M 到平面PAN 的距离为63.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·南开模拟)下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 答案 C解析 若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错误；一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错误；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错误；故选C.2．下列命题中，错误的是( )A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α，β，γ，δ的交线为a，b，c，d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案 D解析D错误，当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，如图，α⊥β，直线AB与α，β都成45°角，但α∩β＝l.故选D.3．(2018·福建联考)设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m⊥l，m⊥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对①，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②，直线l可能在平面α内，故②错误；对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故③错误；对④，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确．综上①④正确．故选B.4．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，则MN与平面BDH的关系是( )A ．MN ∩平面BDH ＝MB ．MN ⊂平面BDHC ．MN ∥平面BDHD ．MN ⊥平面BDH答案 C解析 连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN ，如图所示． ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .故选C.5．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25 答案 D解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面PAB ∩α＝A ′B ′，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB .又∵PA ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝PA ′∶PA ＝2∶5.同理B ′C ′∶BC ＝A ′C ′∶AC ＝2∶5.∴△A ′B ′C ′与△ABC 相似，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25，故选D.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，若A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1.∴MP ∥平面BB 1C 1C ，PN ∥平面AA 1D 1D .∴平面MNP ∥平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.7．(2018·宜昌一模)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A．MF∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE答案 B解析在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1.所以AM綊BN，所以MN綊AB，又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC ＝EF，所以MN∥EF，所以EF∥AB，显然在△ABC中，EF∥MN，EF≠MN，所以四边形MNEF为梯形．故选B.8．(2017·安徽阜阳一中模拟)过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )A．4条B．6条C．8条D．12条答案 D解析如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH，平面MNPQ均与平面BDD1B1平行，平面EFGH和平面MNPQ 中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12条直线符合要求．故选D.9．(2018·河南三市联考)如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是 ( )答案 C解析 过M 作MQ ∥DD 1，交AD 于Q ，连接QN .∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1，又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于QN 和DC ，∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x .∵MQ AQ ＝DD 1AD＝2，∴MQ ＝2x .在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1，∴y 2－4x 2＝1(x ≥0，y ≥1)，∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C.10．(2018·昆明模拟)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B.4532C ．45D ．45 3答案 A解析取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝452.故选A.二、填空题11．如图，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________.答案 5解析 ∵AB ∥平面α，AB ⊂平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴AB ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝12(AB ＋CD )＝5.12．如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 、平面ABD解析 连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.答案64解析 如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．14．如图，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案 M 位于线段FH 上(答案不唯一)解析 连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只要M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.B 级三、解答题15．(2018·石家庄质检二)如图，在三棱柱ABC －DEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，BC ＝212.点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且点G 在AE 上，FG ＝3，点M在线段CF 上，且CM ＝14CF .(1)证明：直线GM ∥平面DEF ； (2)求三棱锥M －DEF 的体积．解 (1)证明：∵点F 在平面ABED 内的正投影为G ， ∴FG ⊥平面ABED ，∴FG ⊥GE . 又BC ＝212＝EF ，FG ＝3，∴GE ＝32. ∵四边形ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，∴AE ＝2，∴AG ＝12.如图，过点G 作GH ∥AD 交DE 于点H ，连接FH .则GH AD ＝GE AE ，∴GH ＝32，由CM ＝14CF 得MF ＝32＝GH . 易证GH ∥AD ∥MF ，∴四边形GHFM 为平行四边形，∴MG ∥FH . 又GM ⊄平面DEF ，∴GM ∥平面DEF .(2)由(1)知GM ∥平面DEF ，连接GD ，则有V M －DEF ＝V G －DEF . 又V G －DEF ＝V F －DEG ＝13FG ·S △DEG ＝13FG ·34S △DAE ＝34，∴V M －DEF ＝34.16．(2018·郑州质检二)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1，M 为AB的三等分点，现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC .(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离．解 (1)当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC .理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP . 在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12，∵△ADB 中，AP PB ＝12，∴AD ∥PN .∵AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ，∴AD ∥平面MPC . (2)∵平面AMD ⊥平面MBCD ， 平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ，平面AMD 中AM ⊥DM ，∴AM ⊥平面MBCD . ∴V P －MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝16.在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52，MC ＝2，又PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， ∴S △MPC ＝12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝64. ∴点B 到平面MPC 的距离为d ＝3V P －MBC S △MPC ＝3×1664＝63.17．(2018·简阳市模拟)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别是PA ，BD ，PD 的中点．(1)求证：MN ∥PC ；(2)求证：平面MNQ∥平面PBC.证明(1)由题意：P－ABCD是四棱锥，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，连接AC，∴N是AC的中点．∴MN是三角形ACP的中位线，∴MN∥PC.(2)由(1)可得MN∥PC.∵M，Q分别是PA，PD的中点，∴MQ是三角形ADP的中位线，∴MQ∥AD.又由AD∥BC，∴MQ∥BC.由MQ∥BC，MN∥PC，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，同理MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN＝M.∴平面MNQ∥平面PBC.18．(2018·德州模拟)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，CE⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明(1)如图，取BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD，知CO⊥BD. 又CE⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，所以BD⊥OE.又因为O是BD中点，所以BE＝DE.(2)如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC, BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.。