2017-2018年广东省汕头市金山中学高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，B={x|x2≤x}，全集U=A∪B，则∁U（A ∩B）=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣，1]C．（﹣∞，0）∪[，1]D．（﹣，0] 2．（5分）复数z=a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，是z的共轭复数，则下列判断正确的是（）A．z+是纯虚数B．z2≥0C．的虚部为﹣bi D．若z2=﹣1，则z=±i3．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，G∈R，则“G是a，b的等比中项”的充要条件是“G2=ab”B．在△ABC中，若•＜0，则△ABC为钝角三角形C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．若a，b是异面直线，直线c平行于直线a，则c与b不可能是平行直线4．（5分）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）A．若|+|=||﹣||，则⊥B．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λC．若⊥，则|+|=||﹣||D．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||5．（5分）已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．246．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数7．（5分）如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（）A．1 B．C．D．8．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3与a5的等比中项为2，b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则当++…+最大时，n的值等于（）A．8 B．9 C．8或9 D．179．（5分）函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）10．（5分）已知cos（+α）=3sin（α+），则tan（+α）=（）A．4﹣2B．2﹣4 C．4﹣4D．4﹣411．（5分）已知数列{a n}各项为正数，a1=1，△ABC所在平面上的点P n（n∈N*）均满足△P n AB与△P n AC的面积比为3：1，若+a n+1+（2a n+1）=，则a10的值是（）A．1023 B．1024 C．2048 D．204912．（5分）定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+f′（x）=，f（）=，其中f′（x）是函数f（x）的导函数，若对任意正数a，b都有f（sinθ）≤++，则θ的取值范围是（）A．[2kπ，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）D．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．14．（5分）若两个向量的夹角为θ，则称向量“”为“向量积”，其长度．若，则=．15．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为．16．（5分）如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n＞1，n∈N）个点，相应的图案中总的点数记为a n．则=三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每题12分，第22，23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．18．（12分）如图，AB是圆C的直径，O是圆C上异于A，B的一点，DO⊥BO，DO∥EB，AO⊥OE，DO=EB=1，AB=4．（Ⅰ）求证：DE⊥平面AOD；（Ⅱ）若AO=BO，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+1+n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log3（﹣a n+1），求数列{（﹣1）n•b n﹣a n}前n项和为T n．20．（12分）已知椭圆的右焦点F（1，0），椭圆Γ的左，右顶点分别为M，N．过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）已知点P是曲线C上一点，求点P到直线l的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|+|x+2|（m∈R），g（x）=|2x﹣1|+3．（1）当m=1时，求不等式f（x）≤5的解集；（2）若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，B={x|x2≤x}，全集U=A∪B，则∁U（A ∩B）=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣，1]C．（﹣∞，0）∪[，1]D．（﹣，0]【解答】解：集合A={x|y=ln（1﹣2x）}={x|1﹣2x＞0}={x|x＜}=（﹣∞，），B={x|x2≤x}={x|x（x﹣1）≤0}={x|0≤x≤1}=[0，1]，∴U=A∪B=（﹣∞，1]，∴A∩B=[0，）；∴∁U（A∩B）=（﹣∞，0）∪[，1]．故选：C．2．（5分）复数z=a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，是z的共轭复数，则下列判断正确的是（）A．z+是纯虚数B．z2≥0C．的虚部为﹣bi D．若z2=﹣1，则z=±i【解答】解：复数z=a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，是z的共轭复数，则，对于A，，故A不正确，对于B，z2=（a+bi）2=a2﹣b2+2abi，当a，b都不为0时，z2是一个虚数，不能与0比较大小，故B不正确，对于C，∵z=a+bi，∴，∴的虚部为﹣b，故C不正确，对于D，z2=（a+bi）2=a2﹣b2+2abi，当z2=﹣1时，则，∵a，b∈R，∴a=0，b=±1，即z=±i，故D正确．∴判断正确的是D．故选：D．3．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，G∈R，则“G是a，b的等比中项”的充要条件是“G2=ab”B．在△ABC中，若•＜0，则△ABC为钝角三角形C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．若a，b是异面直线，直线c平行于直线a，则c与b不可能是平行直线【解答】解：对于A，“G是a，b的等比中项”时，有“G2=ab”成立，当“G2=ab”时，“G是a，b的等比中项”不一定成立，G、a、b可能为0，A错误；对于B，△ABC中，•＜0时，得出B的外角是钝角，B是锐角，不能判断△ABC为钝角三角形，B错误；对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2＜0”，C错误；对于D，a，b是异面直线，直线c平行于直线a时，c与b一定不是平行直线，假设c∥b，则由c∥a知a∥b，这与已知a、b是异面直线矛盾，∴假设不成立，D正确．故选：D．4．（5分）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）A．若|+|=||﹣||，则⊥B．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λC．若⊥，则|+|=||﹣||D．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||【解答】解：，是两个非零向量，对于A，若|+|=||﹣||，则，反向共线，即有A错误；对于B，若|+|=||﹣||，则，反向共线，由向量共线定理可得存在实数λ，使得=λ，B正确；对于C，若⊥，则，不共线|+|=||﹣||不成立，即C错误；对于D，存在实数λ，使得=λ，若λ＞0，则，同向共线，即D错误．故选：B．5．（5分）已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．24【解答】解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴+===8，当且仅当2x=3y=时取等号．∴+的最小值是8．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；对于B，因为f（+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，f（﹣x）=cos（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（﹣x），可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；当t∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为．由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确；对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．综上所述，只有C项不正确．故选：C．7．（5分）如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：取AD的中点E，连接BE，PE，CE，根据题意可知BE∥CD，∴∠PBE为异面直线PB与CD所成角根据条件知，PE=1，BE=，PE⊥BE∴tan∠PBE=故选：C．8．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3与a5的等比中项为2，b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则当++…+最大时，n的值等于（）A．8 B．9 C．8或9 D．17【解答】解：在等比数列中，由a1a5+2a3a5+a2a8=25得（a3）2+2a3a5+（a5）2=25，即（a3+a5）2=25，即a3+a5=5，又a3与a5的等比中项为2，则a3a5=4，得a3=1，a5=4或a3=4，a5=1，∵公比q∈（0，1），∴数列是递减数列，即a3=4，a5=1，则由a5=a3q2，得q2=，得q=，则a n=a3q n﹣3=4×（）n﹣3=25﹣n，则b n=log2a n=b n=log225﹣n=5﹣n，则S n==，则=，数列{}是单调递减的等差数列，由≥得，n≤9，即当++…+最大时，n的值等于8或9，故选：C．9．（5分）函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：根据题意，x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；①当1﹣2k≤0时，解得k≥；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k≤0，∴f（1﹣2k）=﹣（1﹣2k）2，∴﹣（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得﹣1+4k﹣4k2﹣k＜0，即4k2﹣3k+1＞0；∵△=（﹣3）2﹣16=﹣7＜0，∴不等式对一切实数都成立，∴k≥；②当1﹣2k＞0时，解得k＜；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k＞0，∴f（1﹣2k）=（1﹣2k）2，∴（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得4k2﹣5k+1＜0，解得＜k＜1；又∵k＜，∴＜k＜；综上，k∈（，）∪[，+∞）=（+∞）；∴k 的取值范围是k ∈（，+∞）． 故选：D ．10．（5分）已知cos （+α）=3sin （α+），则tan （+α）=（ ）A ．4﹣2B ．2﹣4 C ．4﹣4D ．4﹣4【解答】解：cos （+α）=3sin （α+），∴﹣sinα=﹣3sin （α+），∴sinα=3sin （α+）=3sinαcos +3cosαsin =sinα+cosα，∴tanα=；又tan =tan （﹣）===2﹣，∴tan （+α）===2﹣4．故选：B ．11．（5分）已知数列{a n }各项为正数，a 1=1，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N*）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3：1，若+a n +1+（2a n +1）=，则a 10的值是（ ） A ．1023B ．1024C ．2048D ．2049【解答】解：由+a n +1+（2a n +1）=得，+（2a n +1）=﹣a n +1；用图形表示上面等式如下：；其中=（2a n+1），=﹣a n+1∴=a n，=（2a n+1），+1，==（2a n+1），∴=a n+1又由△P n AB与△P n AC的面积比为3：1，=2a n+1；∴a n+1+1=2（a n+1）；∴a n+1∴{a n+1}构成以2为首项，2为公比的等比数列；∴a10+1=210=1024∴a10=1023．故选：A．12．（5分）定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+f′（x）=，f（）=，其中f′（x）是函数f（x）的导函数，若对任意正数a，b都有f（sinθ）≤++，则θ的取值范围是（）A．[2kπ，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）D．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）【解答】解：由2f（x）+f′（x）=，可得2e2x f（x）+e2x f′（x）=e x，即[e2x f（x）]′=e x，令g（x）=e2x f（x），则f（x）=且g′（x）=e x，故f′（x）=，令h（x）=e x﹣2g（x），故h′（x）=（e x）′﹣2g′（x）=，x∈[0，]时，h′（x）≥0，h（x）递增，x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，故h（x）max=h（）=0，故f′（x）≤0，f（x）在[0，+∞）递减，∵++≥+≥2=，当且仅当a2=8e，b2=时“=”成立，由题意f（sinθ）≤，即f（sinθ）≤f（），∵f（x）在[0，+∞）递减，∴sinθ≥，解得：2kπ+≤θ≤2kπ+（k∈z），故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=﹣1．【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．14．（5分）若两个向量的夹角为θ，则称向量“”为“向量积”，其长度．若，则=3．【解答】解：因为若，所以，所以，所以=．故答案为：3．15．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为（﹣，1] ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，向量、的夹角为θ，∵||=，，∴cosθ==．∵当P运动到B时，θ有最小值，当P运动到C时，θ有最大值π，∴﹣1＜cosθ≤，即﹣1＜，则＜≤1．∴的取值范围为（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]．16．（5分）如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n＞1，n∈N）个点，相应的图案中总的点数记为a n．则=【解答】解：根据分析，可得a2=3=3×（2﹣1），a3=6=3×（3﹣1），a4=9=3×（4﹣1），a5=12=3×（5﹣1）…，a n=3（n﹣1），数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为a n=3（n﹣1）（n≥2）；所以==（﹣），则=9××（1﹣+﹣+…+﹣）=1﹣=，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每题12分，第22，23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3•﹣+3=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈，∴2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈（0，3]．（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=2．18．（12分）如图，AB是圆C的直径，O是圆C上异于A，B的一点，DO⊥BO，DO∥EB，AO⊥OE，DO=EB=1，AB=4．（Ⅰ）求证：DE⊥平面AOD；（Ⅱ）若AO=BO，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB是圆C的直径，O是圆C上异于A，B的一点，∴AO⊥BO．又∵DO⊥BO，又AO∩DO=O，∴BO⊥平面AOD，又∵DO∥EB，DO=EB，∴四边形BODE是平行四边形．∴BO∥DE，∴DE⊥平面AOD．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AO⊥BO，又∵AO⊥OE，BO∩OE=O，∴AO⊥平面BOED，∴AO⊥OD，又∵DO⊥BO，AO⊥BO，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），D（0，0，1），B（0，2，0），E（0，2，1），=（﹣2，0，1），=（0，2，0），=（﹣2，2，0），=（0，0，1）．设=（x，y，z）为平面ADE的法向量，则，令x=1，得=（1，0，2）．设=（x，y，z）为平面ABE的法向量，则，令x=1，得=（1，1，0）．∴cos＜＞===，∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为．19．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+1+n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log3（﹣a n+1），求数列{（﹣1）n•b n﹣a n}前n项和为T n．【解答】解：（Ⅰ）a1=﹣2，且满足S n=a n+1+n+1（n∈N*），得S n=a n+n，n≥2，﹣1两式相减得3a n=a n+1+2，﹣1，得到3（a n﹣1）=a n+1当n=1时，a1=a2+1+1，即a2=2a1﹣4=﹣8，又a1﹣1=﹣3，所以{a n﹣1}为以﹣3为首项以3为公比的等比数列，a n﹣1=﹣3•3n﹣1=﹣3n，故a n=1﹣3n；（Ⅱ）b n=log3（﹣a n+1）=log33n=n，（﹣1）n•b n﹣a n=（﹣1）n•n﹣1+3n，当n为偶数时，前n项和为T n=[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣（n﹣1）+n）]+（3+9+…+3n）﹣n=+﹣n=；当n为奇数时，T n=T n﹣1﹣n﹣1+3n=﹣n﹣1+3n=．综上可得T n=．20．（12分）已知椭圆的右焦点F（1，0），椭圆Γ的左，右顶点分别为M，N．过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（I）因为椭圆的右焦点F（1，0），所以c=1，因为△MCD的面积是△NCD的面积的3倍，所以MF=3NF，即a+c=3（a﹣c），所以a=2c=2，所以b2=3，则椭圆Γ的方程为．…（4分）（II）解法一：当∠ACD=∠BCD，则k AC+k BC=0，设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为﹣k，不妨设点C在x轴上方，，设A（x1，y1），B（x2，y2），则AC的直线方程为，代入中整理得（3+4k2）x2﹣4k（2k ﹣3）x+4k2﹣12k﹣3=0，；同理．…（8分）所以，，…（10分）则==，因此直线AB的斜率是定值．…（12分）（II）解法二：依题意知直线AB的斜率存在，所以设AB方程：y=kx+m，代入中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，，…（6分）△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=16（12k2﹣3m2+9）＞0当∠ACD=∠BCD，则k AC+k BC=0，不妨设点C在x轴上方，，所以，整理得，…（8分）所以，整理得12k2+12（m﹣2）k+9﹣6m=0，…（9分）即（6k﹣3）（2k+2m﹣3）=0，所以2k+2m﹣3=0或6k﹣3=0．…（10分）当2k+2m﹣3=0时，直线AB过定点，不合题意；当6k﹣3=0时，，符合题意，所以直线AB的斜率是定值．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，由f'（x）＞0得：x＞0，由f'（x）＜0得：x＜0故函数f（x）在x=0时，函数f（x）取极小值1；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，由f'（x）＞0得：x＞0，由f'（x）＜0得：x＜0故函数f（x）在x=0时，函数f（x）取极小值1；在x=0时，函数f（x）取极小值1…（6分）（Ⅱ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（1）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）已知点P是曲线C上一点，求点P到直线l的最小距离．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程得：ρ2+2ρ2sin2θ=3，∴曲线C的直角坐标方程为：，直线l的普通方程为：y﹣x=6．（2）设曲线C上任意一点P为，则点P到直线l的距离为，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|+|x+2|（m∈R），g（x）=|2x﹣1|+3．（1）当m=1时，求不等式f（x）≤5的解集；（2）若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=|x﹣1|+|x+2|，①当x≤﹣2时，f（x）=1﹣x﹣x﹣2=﹣2x﹣1，由﹣2x﹣1≤5，解得x≥﹣3，所以﹣3≤x≤﹣2；②当﹣2＜x＜1时，f（x）=1﹣x+x+2=3≤5恒成立，所以﹣2＜x＜1；③当x≥1时，f（x）=x﹣1+x+2=2x+1，由2x+1≤5，解得x≤2，所以1≤x≤2；综上所述，不等式f（x）≤5的解集为[﹣3，2]．（2）若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，设A={y|y=f（x）}，B={y|y=g（x）}，则A⊆B，因为f（x）=|x﹣m|+|x+2|≥|（x﹣m）﹣（x+2）|=|m+2|，g（x）=|2x﹣1|+3≥3，所以|m+2|≥3，解得m≥1或m≤﹣5，因此，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[1，+∞）．。