数学归纳法第一课
课件1：一 数学归纳法
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＝右边， 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N*成立．
1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等 式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关．由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加 多少项，增加怎样的项．
数学归纳法的概念
例 1 用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2 (a≠1，n∈N*)，在验证 n＝1 成立时，左边计算的结果是( )
A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
【思路探究】注意左端特征，共有 n＋2 项，首项为 1， 最后一项为 an＋1.
【解答】实际是由 1(即 a0)起，每项指数增加 1，到最后 一项为 an＋1，∴n＝1 时，左边的最后一项应为 a2，因此左边 计算的结果应为 1＋a＋a2.
【答案】 C
1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证 的初始值不一定为 1；
2．递推是关键：正确分析由 n＝k 到 n＝k＋1 时式子项 数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是 要准确表述 n＝n0 时命题的形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的 核心环节．
变式训练 用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 【证明】(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2+(2k＋1)2－(2k＋2)2
《数学归纳法》第一课时教学设计
《数学归纳法》第一课时教学设计《《数学归纳法》第一课时教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学任务分析】(1)了解数学归纳法的意义，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。
(2)使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明有关正整数的命题。
【教学目标】1、知识与技能：理解“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式和整除问题。
2、过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质;让学生养成自主思维、主动发现的学习习惯。
3、情态与价值：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】1、了解数学归纳法的原理及其使用题型和基本步骤;2、会用数学归纳法证明相关的等式和整除问题。
【教学难点】如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学基本流程】创设情景，从具体实例引入新课观看实验短片，类比得到引例的解决方法探究得到一般情况下证明步骤(得到数学归纳法定义)例题练习利用数学归纳法证题小结：数学归纳法的注意事项及其它应用【教学过程】一.课题导入在数学研究中，有很多与正整数或自然数有关的命题，它们要求对所有的正整数都成立，或者对于从某个正整数开始的所有正整数都成立，例如：能够被7整除我们怎么证明它们呢?这一节我们将讨论这类命题的证明。
思考：通过计算下面的式子，你能猜想出的结果吗?-1+3=————-1+3-5=————-1+3-5+7=————-1+3-5+7-9=————上面四个式子的结果分别是2，-3，4，-5，由此猜想：怎么证明它呢?师生活动：学生A回答四个结果，然后教师引导学生猜想加到第n项时的结果，学生分组进行讨论，学生B回答。
设计意图：培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。
数学归纳法PPT课件第一课时
ak 1 k 1 k ( ak 1 0).
2.用数学归纳法证明 n N,a 1
2 n 1 n2
1 a 1 a a a , 在验证 1 a n 1成立时，左边是（ C ）
A、 1 B、1+a C、1+a+a2
D、1+a+a2+a3
基础练习：
1 1 1 (n N ) 1、已知 f (n) 1 2 3 2n 1
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
数学归纳法的步骤
（1）证明当
n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
n k (k N , 且k n0 ) 时结论正
n k 1 时结论也正确。
n N 且n n0
（2）假设当
例4、是否存在常数a、b,使得等式: 12 22 n2 an2 n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) bn 2 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
3a b 1 a 1 ,{ . 解:令n=1,2,并整理得 { 10a 3b 2 b 4
则当n=1时，f (n) 则当n=k+1时， ；
f (k 1) f (k )
。
基础练习：
2、在用数学归纳法证明
1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2n 1 2n n 1 1 1 过程中，当n=1时， n2 2n
左式= 右式= ； 。
例2：用数学归纳法证明：
1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ n(n 1)(n 2) 3
_数学归纳法(第一课时)
1 通项公式为 an 的证 n
明方法
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时，猜想成立
（ 2 ）若第 k 块倒下时 ， 则 相 邻 的 第 k+1 块 也倒下。 （ 2 ）若当 n=k 时猜想成 1 立，即 a k = ，则当 k n=k+1时猜想也成立 1 ，即 ak +1 = k +1
根据（ 1 ）和 （ 2 ）， 根据（1）和（2），可知 可知不论有多少块骨牌 对任意的正整数 n，猜想 ，都能全部倒下。 都成立。
n( n 1)(2n 1) 1 2 3 n 6 *
其中n N .
回顾反思
数学思想：递推思想、 类比思想、归纳思想
数学方法：数学归纳法—— 证明与正整数有关的命题 数学知识：数学归纳法 要点：两个步骤一结论
2.3 数学归纳法(第一课时)
泰来一中 陈立新
对于数列an ,已知a1 1，an1 猜想其通项公式
1 a1 1 1 a2 2 1 a3 3 1 a4 4
an n 1, 2, ... 1 an
如何证明这个猜 想的正确性呢？
1 猜想： a n n
…
问题情境一
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
探究1：
这个游戏中，能使所有多米诺骨牌 倒下的条件是什么？
探究2： 你认为探究1中的条件（1）（2）的 作用是什么？
问题情境二：你认为证明数列的通项 1 公式是 a n 这个猜想与上述多米 诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多 米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
n
多米诺骨牌游戏原理
数学归纳法
一般地， 证明一个与正整数n有关的数学命题， 可按下列步骤进行：
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【归纳奠基】
《数学归纳法》第一课时教学设计
《数学归纳法》第一课时教学设计第一篇：《数学归纳法》第一课时教学设计《数学归纳法》第一课时教学设计教材分析：本节课是人教A版4―5第四讲第一节数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法证明一些与正整数有关的实际问题。
它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是促进学生从有限思维发展到无限思维，并培养学生严密的推理能力和抽象思维能力的重要载体。
学情分析：由于此前数列和推理与证明两部分的学习，使学生对归纳推理有了一定的认知。
教学目标：知识与技能目标：1.了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，认清“奠基”和“递推”两者缺一不可。
2.体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的命题。
过程与方法目标：1.亲身感悟数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其由无限问题化为有限问题这一转化的数学思想。
2.精心创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。
情感态度与价值观目标：1.通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和数学思维品质。
2.认识有限与无限的辩证关系。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析及其适用范围，掌握数学归纳法证题的基本步骤。
教学难点：认识数学归纳法的证明思路，对数学归纳法中递推思想的理解。
教具准备：传统板书与多媒体辅助教学相结合。
教学过程：一、情景设置问题1：通过计算下面的式子，你能猜想出-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）的结果吗？证明你的结论。
-1+3=-1+3-5=-1+3-5+7=-1+3-5+7-9=问题2：多米诺骨牌是怎样全部倒下的？二、探究新知问题1中，要证明等式在n为正整数时都成立，虽然可以验证n=1，2，3，4……甚至10000000时等式（★）成立，但是正整数有无限多个，我们无法对它们一一验证，所以，通过验证是无法完成证明的。
下面我们先来看看多米诺骨牌的视频（多媒体播放视频材料），讨论问题2 。
高中数学《数学归纳法(第一课时)》教学设计
高中数学《数学归纳法(第一课时)》教学设计一、教材分析1、教学内容数学归纳法是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》第二章推理与证明第3节的内容，主要内容是了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2、地位和作用数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M．那么M是全体正整数的集合，即M=N*）也叫做归纳公理。
不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质。
数学归纳法是高中数学中的一个较难理解的概念，也是一种重要的数学方法。
证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题（例如：数列通项及前n项和等）。
数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．3、教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题，对于数学归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。
4、教学难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设。
如果不会运用“假设当n=k,（k ≥n0，k∈N*）时，命题成立”这一条件，直接将n=k+1代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明。
二、学情分析1、学生知识准备在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”。
这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础。
2、能力储备学生具备一些的从特殊到一般的归纳能力，但对复杂的逻辑推理是模糊的。
数学归纳法 第1课时 课件苏教版选修.ppt
利用数学归纳法证明
课前探究学习
课堂讲练互动
[规范解答] (1)已知a1＝1，由题意得a1·a2＝22， ∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝2322.
同理可得a4＝3422，a5＝5422.
因此这个数列的前五项为1,4，94，196，2156.
(4分)
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应 为：
2．3 数学归纳法
第1课时 数学归纳法
【课标要求】 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
【核心扫描】 1．数学归纳法的原理及用数学归纳法证明数学命题的步
骤．(重点、难点) 2．数学归纳法证明不等式．(热点)
课前探究学习
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自学导引
课前探究学习
课堂讲练互动
本题的第二步未使用归纳假设，直接使用了等 比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳 法失误．
课前探究学习
课堂讲练互动
[正解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6， 等式成立， (2)假设n＝k(k≥3，k∈N＋)时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1 ＝2(2k－1－1)． 那么2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k ＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2(2(k＋1)－1－1)． 即当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对任何n＞2，n∈N＋都成立．
始证起，如果要证明的命题是对于不小于n0的全体正整数都 成立，则要从n＝n0证起，如证明“n边形的内角和为(n－ 2)·180°”中，第一个值n0＝3.
课前探究学习
1.4.1数学归纳法教学课件(第一课时)
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 探究数学问题，领悟方法真谛
问题探究：不等式 2 n 立？证明你的结论。
（1）结论的发现：当
2n 1 对于哪些正整数n都成
n 3 时，原不等式成立。
（2）尝试证明：结论的发现要通过大量的实验，如何改进刚
才无穷无尽的实验方法？比如n=4时的情况。
已知n=3时，不等式成立，即 2 2 3 1 ,能否由 此出发来证明不等式当n=4时也成立即 24 2 4 1。 4 3 等价于问题：已知 2 2 3 1，求证： 2 4 1 2 （不用直接计算）
2
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 搜索生活实例，激发学习兴趣
多米诺骨牌游戏成功的关键有两点：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下．于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．
搜索：再举几则生活事例：车棚里整齐排放的自行车被推倒, 烽火台传递信息，早操排队对齐等．
这是不完全归纳法
利用判别式总结直线和椭圆位置关系时需要分哪几 种情况进行讨论？ 需要分
0, 0 和 0 三种情况进题1 已知 an (n 5n 5) ，(n∈N*)。 (1)分别求 a1 , a2 , a3 , a4 . (2)由此你能得到一个什么结论? 这个结论正确吗?
补充作业：
an a1 1, an 1 (n N ). 已知数列 an 中， 1 an （1）计算 a2 , a3 , a4 的值，并推测通项 a n 的公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论。
课后反思：（1）本节课是10届在8班上过 的一节公开课，课件是在安徽师大附中一位 老师所作课件的基础上修改而成，总体上来 说结构严谨，语言精练，具有较强的启发性， 给学生留有很多思维空间，但是对于普通班 学生来说难度可能较大；（2）有老师提出 将引入部分砍掉一些，比如问题2，但是本 节课的主题是数学归纳法的发现，这几个问 题重点在于引导学生分辨不完全归纳法和完 全归纳法的区别；（3）本课例在普通班时 间较为紧张。
《数学归纳法》第1课时示范课教学设计【高中数学】
《数学归纳法》教学设计第1课时1.了解数学归纳法的原理和步骤，会用数学归纳法证明关于正整数n的数学命题.2.借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析，获得证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的原理和步骤.3.感受类比的数学思想方法，提升数学抽象素养.教学重点：用数学归纳法证明数学命题教学难点：数学归纳法的原理.PPT课件．【新课导入】问题1：阅读课本第44~47页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习数学归纳法．（2）前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法．但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法．数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现．并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材．发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2： 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{a n }的通项公式a n =a 1+(n -1) d 等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数n 有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数n 都成立呢？师生活动：教师呈现问题情境，引发学生思考.问题3：已知数列{}n a 满足11=a ，)N (211*+∈-=n a a n n ，计算432a a a ，，，猜想其通项公式，并证明你的猜想.师生活动：学生思考发现：已知反映相邻两项关系的递推公式，又已知首项，那么就可以求出该数列的每一项.教师完善．预设的答案：令n =1，就有1221a a -=，把11=a 代入，可得12=a .同理，令n =2，就有2321a a -=，把12=a 代入，可得13=a .把13=a 代入，可得4a 也等于1.看上去这个数列的每一项都是1，由此猜想，该数列的通项公式就是1=n a )(*∈N n .问题4：该如何证明这个猜想呢？师生活动：有学生认为：从n =5开始一个个往下验证呗！教师完善．预设的答案：一般来说，与正整数n 有关的命题，当n 比较小时可以逐个验证.但当n 较大时，验证起来会很麻烦.尤其是我们这里要证明n 取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明.因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时命题都成立.问题5：能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？师生活动：先让学生看一个小游戏：多米诺骨牌．2011年12月31日晚，中国小伙子刘杨成功以321197枚多米诺骨牌的成绩，刷新了多米诺骨牌个人吉尼斯世界纪录．随着一段简短的视频，我们一起感受一下当时壮观的场面．预设的答案：通过对视频的观察，归纳使所有骨牌都能倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌倒下，（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下.设计意图：利用视频引出多米诺骨牌游戏，激发学生学习兴趣．同时，利用中国人创造吉尼斯纪录视频，激发学生爱国情怀．反思游戏过程，让学生亲身经历多米诺骨牌原理的提炼过程，培养学生抽象思维和概括能力；利用问题，逐步推进对思想方法的理解．追问1：条件（1）的作用是什么？师生活动：教师与学生一起探讨．预设的答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒.所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少.追问2：条件（2）的作用是什么？师生活动：教师与学生一起探讨．预设的答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下.可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k 块骨牌倒下，能推出第k +1块骨牌倒下.假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去.也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下.这就是骨牌原理.追问3：证明猜想“数列{}n a 的通项公式是1=n a ”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？师生活动：教师引导学生回顾猜想该数列通项公式是1=n a 的过程：学生发现这个过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：以1=k a 成立为条件，推出11=+k a 也成立.它相当于命题：当n =k 时猜想成立，则n =k +1时猜想也成立.学生在教师引导下发现只要能证明这个命题，就可以在11=a 的条件下，由这个命题得到：对任意正整数n ，1=n a 成立.教师引导学生证明该命题：如果n =k 时猜想成立，即1=k a ，那么k k a a -=+211，把1=k a 代入，k k a a -=+2111121=-=.也就是说，当n =k +1时，猜想也成立.这样我们就证明了这个命题.我们猜想的通项公式也就得到了验证.教师引导学生把这个猜想的证明过程与骨牌原理进行类比.教师总结：通过以上类比、迁移的过程，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时命题都成立”的方法.这个方法，就叫做数学归纳法.设计意图：通过分析、探讨，自然引入新课：什么是数学归纳法.【探究新知】知识点1数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当0n n =（*∈N 0n ）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n =k （*∈N k ，k ≥0n ）时命题成立”为条件，推出“当n =k +1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立，这种证明方法称为数学归纳法.特别地，当10=n 时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立.设计意图：类比多米诺骨牌，经历观察、分析、比较、抽象出数学归纳法的原理．发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养．追问1：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？师生活动：学生在教师的引导下理解两个步骤的必要性．预设的答案：第一步是命题递推的基础，确定了0n n =时命题成立，0n n =成为后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水.就好比多米诺骨牌，只有推倒其中一块骨牌，后面的骨牌才有可能倒.我们把第一步称为是归纳奠基.而第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，好比是多米诺骨牌游戏中，如果第k 块骨牌倒下，那么要保证第k +1块骨牌也能倒下，再加之k 的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性.类似地，借助第二步，命题成立的范围就能从正整数0n 开始，向后一个数接一个数地无限传递到0n 以后的每一个正整数，从而完成证明.所以，我们把第二步称为是归纳递推.“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可.只有把两步的结论结合起来，才能断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.追问2：数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？师生活动：教师向学生解释这两个步骤之间既相互依存，又彼此联系，是一个有机的整体.预设的答案：如果我们记P （n ）是一个关于正整数n 的命题.第一步验证了当0n n =时结论成立，即)(0n P 为真.第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若)(k P)N (0n k k ≥∈*，为真，则)1(+k P 也为真.完成这两步，就有)(0n P 真，)1(0+n P 真……)(k P 真，)1(+k P 真…….结论就是)(n P 为真，从而完成证明.需要注意的是，第二步实际上就是从)(k P 推出)1(+k P ：)1()(+→k P k P .追问3：如何理解)1()(+→k P k P 的意义？师生活动：教师引导学生注意．预设的答案：这个关系所关注的不是)(k P 和)1(+k P 是否分别成立，而是命题“若)(k P 为真，则)1(+k P 也为真”是否成立，它强调的是这二者之间是否有递推关系.【巩固练习】例1 用数学归纳法证明：如果{}n a 是一个公差为d 的等差数列，那么d n a a n )1(1-+=①对任何*∈N n 多成立.师生活动：引导学生用数学归纳法证明，教师给出规范证明过程．.预设的答案：（1）当n =1时，左边1a =，右边=110a d a =⨯+，所以①式成立.（2）假设当n =k （*∈N k ）时①式成立，即d k a a k )1(1-+=，根据等差数列的定义，有d a a k k =-+1，于是d a a k k +=+1，就是1+k a []d d k a +-+=)1(1，所以1+k a []d k a 1)1(1+-+=， 即1+k a []1(1)1a k d =++-，所以n =k +1时①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何*∈N n 都成立.设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明关于正整数有关的命题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．注意点：用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k 到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.练习：教科书P 47 练习1 、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：2．总结概括：通过本节课的学习：问题1. 你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？问题2. 数学归纳法每一步的作用是什么？问题3. 数学归纳法适用于哪类数学证明问题？师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：利用问题串，帮助学生回顾本节课知识要点；通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：教科书P51 习题4.4 1 、2【目标检测设计】1.某个命题与正整数n有关，如果当n=k (k∈N+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题成立B．当n=6时该命题不成立C．当n=4该命题成立D．当n=4时该命题不成立设计意图：通过该题，让学生进一步理解数学归纳法的定义．2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1211naa+-=-(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是()A.1B.1+aC.1+a+ a2D.1+a+a2+a3设计意图：通过该题，让学生进一步理解数学归纳法的归纳奠基．3.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是()A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)设计意图：通过该题，让学生进一步理解数学归纳法的第（2）步．4.用数学归纳法证明：2n n n n15913(43)2(N)+++++-=-∈．+设计意图：通过该题，让学生进一步巩固数学归纳法的规范化解题．参考答案：1. D 由题意知：n=4时成立，可推出n=5时该命题成立，因为原命题与逆否命题等价，可考虑逆否命题，即：当n=5时不成立，则n=4时也不成立．2. C 当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.3. C 当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.4.证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立．（2）假设(1,N)=≥∈时，命题成立，即n k k k+2k k k k15913(43)2(N)+++++-=-∈．+则当n=k+1时，2+++++-++=-++15913(43)(41)2(41)k k k k k22=++=+-+．k k k k2312(1)(1)所以当n=k+1时，命题成立．综合（1）（2）可知，原命题成立．。
数学归纳法(第一课时)
$A_n^{k+1} = n A_n^k / (n-k) = n(n-1)(n2)...(n-k) times n / (n-k) = n(n-1)(n-2)...(n-
(k+1)+1)$，公式也成立。来自05总结与思考
数学归纳法的意义和价值
数学归纳法的应用
证明数列的恒等式、等差数列和等比数列的性质。
解决一些与自然数有关的数学问题，例如鸽笼原理 、排列组合问题等。
在计算机科学中，数学归纳法也被广泛应用于算法 设计和数据结构等领域。
02
数学归纳法的原理
归纳基础步骤
归纳基础步骤
验证$n=1$时，命题成立。这是数学归纳法的前提和出发点 。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，广泛应用于数列、 组合数学、概率论等领域。它能够证明对所有正整数都成立 的数学命题，使得数学理论更加严谨和可靠。
数学归纳法通过对递推关系的探究，揭示了数列、组合数学 等问题的内在规律，有助于发现新的数学定理和性质，推动 了数学的发展。
如何更好地理解和应用数学归纳法
归纳基础步骤的重要性
只有当$n=1$时命题成立，才能假设当$n=k$时命题成立， 进而推导$n=k+1$时命题也成立。
归纳递推步骤
归纳递推步骤
假设当$n=k$时命题成立，推导当$n=k+1$时命题也成立。这是 数学归纳法的核心和关键。
归纳递推步骤的逻辑
基于归纳基础步骤和归纳递推步骤，可以证明对于所有的自然数$n$， 命题都成立。
深入理解数学归纳法的原理
掌握数学归纳法的核心思想，理解递推关系和归纳 假设的运用，是正确运用数学归纳法的关键。