彭罗斯悖论三角形
邮票里的数学故事
邮票里的数学故事作者：陈新合来源：《初中生世界·七年级》2019年第12期一枚枚邮票包含着一个个典故。
邮票与数学有什么不解之缘呢？让我们一起走近邮票里那些形形色色的图形。
如图1，这张邮票上的图形是一个“彭罗斯三角形”，它是现实世界中不能客观存在的图形，也称为不可能图形。
不可能图形，又称错觉图片，是指只能在二维世界存在，而无法存在于三维的现实世界中的一种几何图形，常以视觉错位的形式“欺骗”观看者的眼睛，令观看者产生眼见不一定为实的想法。
如今，不可能图形已成为视觉艺术的一个子类，在数学、医学、电子游戏等领域均有应用。
“彭罗斯三角形”虽然以彭罗斯命名，但它其实最先是由荷兰艺术家埃舍尔设计的。
数学家彭罗斯在看到埃舍尔的绘画作品后，产生关于这种图形的灵感，然后与其父亲一同讨论出一篇论文并发表。
“彭罗斯三角形”便由此得名。
图1如图2，这张邮票给我们展示了“希尔宾斯基三角形”。
它由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出。
我们可以尝试制作“希尔宾斯基三角形”：取一个实心正三角形，挖去“中心三角形”（以原三角形各边的中点为顶点的三角形），在其余的小三角形中再分別挖去“中心三角形”。
如图3，白色三角形代表挖去的面积，黑色三角形代表剩下的面积。
如果无限重复以上方法，则“希尔宾斯基三角形”的面积趋近于零，周长趋近于无限大。
图2 图3“希尔宾斯基三角形”是最简单的分形。
分形具有自相似性，顾名思义，就是一个图形的自身可以看成由许多与自己相似的、大小不一的部分组成。
乍看起来杂乱无章的分形，其实是大自然的基本存在形式，随处可见，例如雷雨过后的闪电（图4），冬天漫天飞舞的雪花（图5），蜗牛外壳上的螺旋图案（图6），生活中常见的花菜等。
小至植物的结构及形态、遍布人体全身的纵横交错的血管，大到天空中聚散不定的白云、连绵起伏的群山，它们都或多或少表现出分形的特征。
分形与混沌理论在数学、物理学、生物学、地质学乃至股票指数波动等许多自然与社会科学领域中都有广泛应用，作为当今非线性科学中活跃风靡的前沿学科，不仅向人们展示了数学科学与艺术审美的内在关联，也从某个方面揭示了自然和精神世界的本质差异。
抽屉原理练习01
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根据最不利原则，最倒霉的情况是： 王牌2、花色一13、花色二13、花色三1、 花色四1 如果再抽1张牌必然能保证取出的牌中至少 包含3种花色，并且这3种花色的牌至少都 有2张，则至少抽出2+13+13+1+1+1=31 张牌，才能保证取出的牌中至少包含3种花 色，并且这3种花色的牌至少都有2张
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根据最不利原则，最倒霉的情况是： 拿到了1只红袜子、2只黑袜子、2只白袜子、2只绿袜子，如果再拿1只即可保 证有3只颜色一样的袜子，则一次至少拿1+2×3+1=8只，才能保证一定有颜色 一样的3只袜子
【补充知识】黑林错觉 平行的黑线完全是笔直而平行的，放射线会歪曲 人对线条和形状的感知，这种经典幻觉由19世纪 初德国心理学家艾沃德· 黑林首先发现，故称为“ 黑林错觉”。黑林错觉（Heringillusion），是德 国生理学家和心理学家E.黑林于1861年提出的 一种方向错觉。两条平行的直线，被许多在平行 线中间相交的直线分割后，看起来这两条平行线 显得向外弯曲。在平行线中间相交的直线越密， 两个平行线看起来会更弯。当双眼失焦再去看这 两条平行线，你又会觉得他们是直的。（简单说 ，便是不对直线聚焦”）该知识也可应用于科学与 数学中。
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根据最不利原则，最倒霉的情况是： 拿到10个黄球，如果再拿1个球一定能拿到其他颜色，则依次至少拿10+1=11 个球，才能保证取出的球至少有两种颜色
【补充知识】潘洛斯阶梯 潘洛斯阶梯（Penrose stairs）是一 个有名的几何学悖论，指的是一个始 终向上或向下但却走不到头的阶梯， 可以被视为彭罗斯三角形的一个变体 ，在此阶梯上永远无法找到最高的一 点或者最低的一点。潘洛斯阶梯由英 国数学家罗杰· 潘洛斯及其父亲遗传 学家列昂尼德· 潘洛斯于1958年提出 。 潘洛斯阶梯不可能在三维空间内存在 ，但只要放入更高阶的空间，潘洛斯 阶梯就可以很容易的实现。如同莫比 乌斯环、克莱因瓶。
高二【美术(人教版)】真实的悖论(矛盾空间)-教学设计
首先，请同学们观察《上升与下降》和《观景楼》这两幅埃舍尔的绘画作品，思考：埃舍尔是如何让观众在明知其表现内容不现实的情况下，却不得不承认这个空间的真实性，从而获得一种神奇体验的？问题情境，作者是如何将梦境再现的？从而造成我们真实的错觉。
探究与发现1：埃舍尔对现实的反驳1.真实和悖论是通过哪些因素造成的同学们通过读图和讨论后：发现楼梯没有起点和终点，既可以是上升，也可以是下降；逆时针观看是在下降，顺时针观看就是在上升。
2.分析《上升与下降》图像的奥秘，找到埃舍尔视错觉空间的识读方法。
同学们经过认真的观察和讨论后得出：作者通过是焦点透视、黑白灰明暗表现、线条的误导，来实现视错觉空间的营造。
经过1961年的《瀑布》是埃舍尔最后期的奇异建筑式图画，他依据彭罗斯的三角原理，将整齐的立方物体堆砌在建筑物上。
这种不合情理的结构亦见于1958年的《瞭望塔》，作品中的建筑物和人物手持的立方体都是怪异的。
埃舍尔的作品乍看起来没有什么奇怪的地方，但其实当中蕴藏的幻觉事物是最引人入胜的。
参观者每每把他们认识的真实世界，与埃舍尔的虚构幻象相混比较，而产生迷惑。
这幅版画中，两个彭罗斯三角形被结合成一个不可能的形状。
一个人如果明白空间的逻辑对如此的一个构造就必然会觉得不可思议：瀑布是一个封闭系统, 但它却能使作坊车轮象一台永动机一样连续地转动，这就违背了能量守衡的定律。
1.教师请学生用拼贴的方式初步感受“矛盾空间”的基本元素：彭罗斯三角、不可能立方体、不可能阶梯。
2.请学生临摹绘画基本元素。
教师及时发现问题并进行指导。
教师提示：不可能三角与莫比乌斯环的空间逻辑相似。
教师用纸条示意，使学生理解转弯处纸条的形状，避免出现60度角。
3.创意实践“矛盾空间”，让学生运用多组拼纸进行组合拍摄创意，在网格图纸上作画。
探究与发现2：梦境的再现几乎在埃舍尔创作这些出色作品的同时，另两位精于运用透视法则创造魔幻般空间场景的艺术家也在进行创作。
趣味数学美化生活解答
你
的
美化生活
智 慧之门来自个有趣的问题缪勒--莱耶错觉
看看上面的带箭头的两条直线，猜猜看哪 条更长? 是上面那条吗?
错了!其实它们一样长。 这就是有名的缪勒·莱耶错觉，也叫箭 形错觉。 它是指，两条长度相等的直线，如果一 条直线的两端加上向外的两条斜线，另一条 直线的两端加上向内的两条斜线，则前者会 显得比后者长得多。
大 小 恒 常 性 错 觉
在这幅图像中，一个大个子正在追赶一 个小个子，对吗？ 其实，这两个人完全是一 模一样的！（不信？用尺子量量看！）
你所看见的并不一定总是你所感知的。 这是怎么回事？！ 对于这种错觉，斯坦福大学的心理学家 Roger Shepard认为它与三维图像的适当的 深度知觉有关。
“一笔画”的规律
你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？ 试试看。（不走重复线路）
图1
图2
不 可 能 的 楼 梯
在这个楼梯中，你能分清哪一个是最高或最低的楼梯吗？ 当你沿顺时针走的时候，会发生什么呢？ 如果是逆时针，情况会怎么样呢？
这是著名的彭罗斯阶梯(Penrose stairs)是一个有名的几 何学悖论，指的是一个始终向上或向下但却无限循环的阶梯， 可以被视为彭罗斯三角形的一个变体，在此阶梯上永远无法 找到最高的一点或者最低的一点。彭罗斯阶梯由英国数学家 罗杰·彭罗斯及其父亲遗传学家列昂尼德·彭罗斯于1958年提 出。
同样的你试试下边的那幅，这次灰雾不会消失 了。 这是怎么回事？为什么灰雾有时消失有时又 不消失？
盯着第一幅图的黑点，目光不移动，你觉得灰雾消失了！ 同样盯着第二幅，这次灰雾不会消失了。这是怎么回事？！ 视觉系统对变化有更强的反应。一个不断变化的刺激物比一个 静止的物体更重要。稳定状态的刺激会逐渐被忽略。几乎任何 不产生变化的刺激最终都会被忽略。比如，疼痛神经末梢，从 而解释了长留的疼痛。因此，看静止画面时，眼睛不停做出轻 微的眼部运动，使视觉画面不断发生变化，以加强刺激。但是， 当眼部系统没有参照物来调整眼部运动时，稳定的刺激就会逐 渐被忽略。比如左边的图。而右边的图有一个虚线圈作为参照 物。
彭罗斯悖论
彭罗斯悖论
【实用版】
目录
1.彭罗斯悖论的定义
2.悖论的提出背景
3.悖论的逻辑分析
4.悖论的解决方法
5.悖论的影响和意义
正文
彭罗斯悖论，是一种哲学上的逻辑悖论，由英国数学家、哲学家查尔斯·彭罗斯于 1960 年代提出。
这个悖论的提出，对于研究逻辑、数学、哲学等领域产生了深远的影响。
悖论的提出背景是这样的：假设在一个封闭的空间中，有一条规则，规定在这个空间中的任何物品都不能被移动。
然后，悖论产生于一个看似简单的问题：在这个空间中，是否可以添加一个新的物品？如果可以添加，那么这个新的物品是如何被移动到这个空间中的？如果不可以添加，那么这个空间就不是封闭的，因为存在一种可能的操作（添加新物品）没有被规则禁止。
对于这个悖论的逻辑分析，学者们提出了许多不同的看法。
一些人认为，这个悖论揭示了逻辑系统的内在矛盾，挑战了我们对逻辑的理解。
另一些人则认为，这个悖论只是表面上的矛盾，可以通过修改规则或者提出新的假设来解决。
在解决这个悖论的方法上，学者们也提出了许多不同的方案。
例如，有人认为，我们可以通过引入新的逻辑规则，或者修改原有的规则，来解决这个悖论。
也有人认为，我们可以通过拒绝这个悖论的前提条件（例如，
承认空间不是完全封闭的），来避免这个悖论。
总的来说，彭罗斯悖论虽然看似简单，但它的影响和意义却十分深远。
几何里的“不可能”图形
几何里的“不可能”图形作者：修易来源：《课堂内外(初中版)》2019年第08期三角形具有稳定性这一特征就不用我多说了吧，但如果三角形不是三角形了，三维空间下的它还能算是几何图形里的一名大将吗？明明是不可能的存在，却受到众多设计师的追捧，你以为你已经“看透”了它，其实你对它一无所知……★三角形也具有艺术性前些时候西班牙设计工作室CuatroCuatros的设计极简花瓶“90°vase"在众多高端设计单品中杀出重围，收获了一大票粉丝。
从功能上看，它只能插一枝花，似乎有点鸡肋，但人家的不简单之处正是来源于它简单的结构一试图表现出“彭罗斯三角形”，这个被断定为不可能在三维空间里存在的形状。
那么，彭罗斯三角到底是个什么“神仙”存在？这还得从它的创造者说起。
1934年，瑞典艺术家奥斯卡·路特斯瓦德首次提出“不可能三角形”这一概念，而后英国数学家罗杰.彭罗斯及其父亲参与了这一概念的二维设计，并将它推广至英国各界。
可以说，彭罗斯三角是艺术家和数学家共同创造的产物，是“最有艺术家气质的数学图形”。
★不可能？不可能！彭罗斯三角看起来像是一个固体，由三个截面为正方形的长方体所构成，三个长方体组合成为一个三角形，但两个长方体之间的夹角似乎又是直角。
而这些性质，是无法在任何一个正常三维空间的物体上实现的。
由于这种物体只能存在于一些特定的欧式几何中，因此彭罗斯三角又被称为“不可能存在的图形”。
虽说彭罗斯三角无法存在于我们生活的三维空间，但只要敢想象，肥猪赛大象，“90°vase"这款花瓶不就在视觉上实现了彭罗斯三角的特征吗？不过，这真的是彭罗斯三角吗？我的回答是：NO！从特定的角度看过去，植物的枝叶确实插在一个真实的彭罗斯三角中，但你只要稍稍做个“歪头杀”，便会发现花瓶直角的部分其实有一个缺口，花茎从缺口穿过去，造成一种独特的错觉。
同样的，像东珀斯的雕塑这类号称实现彭罗斯三角的建筑物，实际上就是由几段各自分开的长方体组成的。
《周长的认识》教案设计
《周长的认识》教案设计第一章：周长的概念1.1 引入周长的概念：周长是指封闭图形的边界线的长度。
1.2 举例说明：展示一些简单的图形，如正方形、矩形、圆形等，引导学生观察并计算它们的周长。
第二章：周长的计算2.1 线性图形的周长计算：当图形是线性的，如直线或曲线时，可以通过测量每条边的长度并相加来计算周长。
2.2 封闭图形的周长计算：当图形是封闭的，如正方形、矩形等，可以通过计算每条边的长度并相加来计算周长。
2.3 周长计算的公式：展示一些常见的图形，如正方形、矩形、圆形等，并给出它们的周长计算公式。
第三章：周长的应用3.1 计算实际物体的周长：通过测量实际物体的边界线的长度，计算出它们的周长。
3.2 估算周长：通过观察和估算图形的大小，预测它们的周长。
3.3 周长的应用问题：提供一些实际问题，如围栏的长度、绳子的长度等，让学生应用周长的计算方法来解决问题。
第四章：周长的变形4.1 周长的增加和减少：当图形的边长发生增加或减少时，周长也会相应地增加或减少。
4.2 周长的延长和缩短：当图形的边长发生延长或缩短时，周长也会相应地延长或缩短。
4.3 周长的翻倍和减半：当图形的边长发生翻倍或减半时，周长也会相应地翻倍或减半。
第五章：周长的比较5.1 相同周长的图形：当两个图形的周长相它们可能有不同的形状和大小。
5.2 不同周长的图形：当两个图形的周长不它们可能有不同的形状和大小的组合。
5.3 周长的比较问题：提供一些比较问题，如两个图形的周长哪个更长，让学生通过观察和计算来比较它们的周长。
第六章：周长的性质6.1 对称性：展示具有对称性的图形，如正方形、矩形等，说明周长在对称轴两侧是相等的。
6.2 连续性：解释当图形的边连续时，周长是连续边长的总和。
6.3 闭合性：强调周长仅计算图形的边界，不包括内部结构。
第七章：周长与形状的关系7.1 边长与周长的关系：通过变换正方形的边长，让学生观察周长的变化。
7.2 形状与周长的关系：探讨不同形状的图形，如圆形、三角形等，周长如何随形状变化。
彭罗斯悖论
彭罗斯悖论摘要：1.彭罗斯悖论的定义2.彭罗斯悖论的起源和发展3.彭罗斯悖论的数学表述4.彭罗斯悖论的哲学意义5.彭罗斯悖论在现代科学中的应用正文：彭罗斯悖论是一个涉及自指和无穷的著名数学问题，由英国数学家罗杰·彭罗斯于1964年提出。
这个问题挑战了我们对数学和现实的认知，引发了广泛的讨论和争议。
彭罗斯悖论的起源可以追溯到古希腊时期的芝诺悖论，尤其是阿基里斯与乌龟的悖论。
这些悖论提出了关于无穷、速度和运动的有趣问题，但并没有给出严格的数学证明。
彭罗斯悖论则将这一思想推进到更高的维度，通过数学方法来研究自指和无穷的问题。
彭罗斯悖论的数学表述如下：假设平面上的一个区域A可以被分为两个部分，其中一个部分B在A内部，另一个部分C在A外部。
那么，我们可以构造一个新的区域D，使得D包含在A内部，并且D与B的边界相等。
进一步地，我们可以构造一个新的区域E，使得E包含在D内部，并且E与C的边界相等。
这样，我们得到了一个无穷嵌套的区域序列：A包含B，B包含D，D 包含E，E包含F，以此类推。
然而，根据集合论的原理，一个集合不能包含自己，因此这个区域序列是不可能实现的。
彭罗斯悖论的哲学意义在于它揭示了自指和无穷问题在数学中的悖论性质。
这个问题表明，当我们试图用数学方法描述现实世界中的无穷和自指现象时，数学本身可能会产生矛盾。
这使得我们重新审视数学和现实之间的关系，思考数学是否是现实世界的准确描述。
在现代科学中，彭罗斯悖论在许多领域都有应用，如计算机科学、物理学和宇宙学。
在计算机科学中，彭罗斯悖论被用来研究程序的自我复制和递归问题。
在物理学中，彭罗斯悖论与黑洞熵和宇宙学常数等问题有关。
在宇宙学中，彭罗斯悖论启示我们思考宇宙的起源和结构，以及它们与数学之间的关系。
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彭罗斯悖论三角形
彭罗斯悖论三角形是一种存在于数学领域的悖论，其背后隐藏了深刻
的数学思想。
下面，本文将从三个方面来解析彭罗斯悖论三角形。
一、悖论的表述
彭罗斯悖论三角形是由美国数学家彭罗斯发现的一种三角形，由于其
看似矛盾的形式，被称为悖论，具体表述如下：
假设有一个三角形ABC，其中角A、B、C的角度分别为90度、60度、120度。
同时，假设此三角形的每条边的长度分别为1、1、2。
然后，
我们可以计算出三边组成的三个小三角形的周长分别为2、2、3。
然而，如果我们把这三个小三角形拼接成一个大三角形DEF，发现它的周长居然是4。
二、悖论的解析
有人可能想，这是算错了吧？不过，我们反复计算也发现是无误的。
那么，这个悖论到底是怎么回事呢？其实，原因是在计算的时候，我
们把每条边多算了一次。
如果我们想正确计算这个三角形的周长，应
该减去重复计算的部分，即减去三个小三角形中的共同边缘部分。
这
个共同边缘部分就是三角形ABC中较长的那一边，即长为2的那条边，并且恰好重复计算了两次，因此需要减去两次才能得到正确的周长数值。
三、悖论的启示
虽然这个悖论的形式比较神奇，但是背后却包含了深刻的数学思想。
首先，它启示我们在进行复杂计算时，需要仔细辨别每个计算单位的
边界，以避免重复计算和漏算。
其次，它也展示了数学运算中的关联
性和可逆性，即在不同维度和节点上进行的运算需要合理地统计和组合，以确保最后结果的正确性和唯一性。
这也反映了数学思维中严密的逻辑结构和精细的推理过程。
总之，彭罗斯悖论三角形是一个非常有趣的悖论，它不仅为我们展示了数学中的奥妙和博大精深，也为我们提供了一种思考数学问题的角度和方法。
如果您对数学有浓厚的兴趣和热情，那么可以尝试更深入地研究这个悖论，从中获得更多的启示和收获。