最诡异数学悖论：11=1希尔伯特序列悖论数学球体
关于数学悖论
引言数学常被视为严格、和谐、精确的学科.但纵观数学发展史的，数学的发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，常常出现悖论. “悖论”一词来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”. 这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则推出了两个互相矛盾的结论.数学悖论在数学发展史中占据了重要的地位，可以这样说：数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理.这里，首先对数学悖论进行一个概述，然后介绍数学史中三个著名的悖论产生、消除及其对数学发展的历史意义.1 数学悖论的概述值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说.1.1 悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题.“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代.但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的.当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论.1897年意大利数学家不拉里——弗蒂在超穷序数理论中发现了第一悖论，接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”.1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”.由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡.那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的.”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真.”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面.这里认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：(1）任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对朴素集合论和真理性理论而言的；(2）悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”.例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德悖论、格里林悖论等就属于第一类悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类悖论；(3）对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”.因为悖论与诡辩有含义上的不同.后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因.我们认为，布拉里——弗蒂与希尔伯特关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但是这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论.数学悖论也叫“逆论”或“反论”，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学悖论.这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定是错了，但实际却是对的；有的看起来是对的，但实际是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境.数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后的逐步发展又动摇了某些数学基础，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩.历史上人民对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革.1.2研究数学悖论的意义数学科学历来视为严格、和谐、精确的典型学科，但是数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠信仰的动摇.数学史上的三次数学危机皆由数学产生悖论而引起.悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使那些著名数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考.可以说是悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的.悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就是不完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平.消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程.悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻.从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的.因而研究悖论的定义、悖论产生背景、解决方案以及对数学发展是非常必要的.数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关.在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的.在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”.因此，它的发生是必然的、不可避免的.数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新构建理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义.2 数学史上三个著名的悖论出现、消除及历史意义数学拥有“美”的内容，也存在着“丑”的东西，数学悖论就是一种“丑”的表现，追求数学美能促进数学发展，同样的，为了消除它的“丑”必然也能推动数学自身的发展，数学三次危机的克服对数学发展的推动作用，就是历史事实.数学发展是矛盾运动的结果.爱因斯坦指出：“提出问题比解决问题更重要.”问题就是矛盾，解决问题就是促使矛盾转化.数学探索与研究起源于数学问题，数学问题的源泉存在于自然科学、社会科学及数学自身的矛盾运动.数学问题一经提出，数学家一般要先经过各种尝试（如类比、归纳、演绎、分析、综合、试验等），经过长时期（甚至几代人）的不懈努力，最终目的促使数学问题得以解决，或说促使数学矛盾得以转化，从而创造出新的数学理论、新的数学成果及新的数学思想方法.数学的历史，就是不断解决数学矛盾又产生新的数学矛盾的过程.从哲学上看，数学是现实世界量的侧面在人们头脑中的反映，因为现实世界是充满着矛盾的，所以数学也必然充满了矛盾.正像恩格斯所指出的：不仅高等数学充满着矛盾，连初等数学也充满着矛盾.比如：正与负、直与曲、平行与相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、必然与或然、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分、几何变换与其逆变换、数学算子与逆算子、实在的与虚构理性的，等等.当然在整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾.例如：有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等.他们可以说贯穿了整个数学发展史，而这些大大小小矛盾的产生，发展到激化，到解决，总是不断为数学产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的危机.危机实际上是一种激化的、非解决不可的矛盾，而这些矛盾的消除、危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力的基本原理.纵观数学与数学文化的发展史，数学问题是数学中的一种疑难和矛盾，它的提出和解决是推动数学发展的重要力量.2.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的化解2.1.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的出现在古希腊毕达哥拉斯时期,数学思维尚处于刚刚形成有理数观念的早期阶段.由于数量概念源于测量,而测量得到的任何量在任何精确度的范围内都可以表示成有理数,所以,人们普遍相信一切量均可用有理数表示.这种认识反映到历史上第一个数学共同体——毕达哥拉斯学派的理论体系中,便凝练为可公度原理,即“一切量均可表示为整数与整数之比”.毕氏学派深信数的和谐与数是万物的本源,而宇宙间的一切现象都归纳为整数和整数比的信条.然而，毕达哥拉斯定理（勾股定理）却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新的数来表示.希帕索斯的发现的诞生.这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派是致命打击，对于当时所有古希腊人的观念也是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它竟然把以前所知道的事情从根本上推翻了.更糟糕的是，面对这一“荒谬”人们竟然毫无办法.这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.也就是著名的“毕达哥拉斯悖论”.2.1.2 第一次数学危机的解决第一次数学危机出现后，古希腊人陷入了“失乐园”的彷徨之中.为了摆脱危机，当时的学者作了种种努力.在这方面贡献最大的是柏拉图、欧多克索斯、欧几里得.在大约公元前370年，这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯给出的两个比相等的新定义所解决，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立.欧几里得则在柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等人工作的基础上,总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统，并编写出《几何原本》一书.这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次数学危机的产物.第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数.由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了一个难听的名字—无理数.不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑.甚至直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，但随着分析学的飞速发展，它(或整个实数理论)已不得不被人们摆在前台，到十九世纪下半叶，数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础，于是两种实数理论几乎在同一时期产生了，这两种实数理论分别是由戴德金与康托尔建立的，它有一个共同点，即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”.戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法.这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具.第一次数学危机也随之化解.这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展.复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了.第一次数学危机持续了两千多年. 1872年,数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起无理数理论.十分有趣的是，在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论完成了同一目标：他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立起了实数理论.实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质.实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了.直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！2.1.3 “毕达哥拉斯悖论”的历史意义这次危机导致了数学史上第一个无理数的诞生，之后，许多数学家正式研究了无理数，直到19世纪下半叶，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论.无理数本质才被彻底搞清，无理数在数学中的合法地位才被真正确立，同时也为数学分析的发展奠定了基础.第一次数学危机还表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示.反之，数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击.于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的，证明的思想在希腊人的心中扎下了根.进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识，古典逻辑学应运而生.从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系.这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物.第一次数学危机的影响是巨大的.首先，它推动了数学及相关学科的发展.例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的.其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引发了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间几乎成为是全部严密数学的基础，这不得不说是数学思想史上的一次巨大革命.当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘做法，对数学的发展也产生了不利的影响.不可公度量的发现，使希腊人把几何看成了全部数学的基础，在数的研究过程中割裂了它们之间的密切关系.这样做的最大弊端是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，从而导致了基本理论变的十分薄弱.这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年.总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念，并取得重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上取得杰出成就，甚至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础.2.2“贝克莱悖论”与第二次数学危机的化解2.2.1 “贝克莱悖论”与第二次数学危机的出现在希腊的后期，除了研究直线、折线的长度、直线形的面积外，还讨论过曲线的长度和曲线形的面积问题.经过中世纪和文艺复兴，直到十七、八世纪，人们发现下列问题需要处理：(1)知路程函数，求速度以及它的逆问题；(2)求——曲线的切线；(3)求——函数的极值.在研究上述问题过程中逐步产生了微积分.牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们把有关运动、切线、极值和求积等各种问题的解决统一成微积分方法，有计算微分的明确步骤，确立它是(不定)积分的逆运算，得到牛顿——莱布尼茨公式，这一新生而有力的数学方法，受到数学家们的欢迎，解决了大量过去无法解决的问题，同时，微积分基础的问题也越来越严重了.这就是如何解释“无穷小”的问题，牛顿给出瞬时速度的定义，又给出有效的计算方法：第一步，他用无穷小作分母进行除法运算；第二步，他又把无穷小看作零，以去掉那些包含着它的项，而得到所要的公式.这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在着漏洞，还不能自圆其说.例如，牛顿当时是这样求函数n y x =的导数的：()()()212()12nn n n n x x x n x x n n x x x --+∆=+⋅⋅∆+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆ 然后把函数的增量△y 除以自变量的增量△x ，得到：()()()()211212n n n n n n x x x y x x n n x x nx x x x x ----+∆-∆==⋅+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆+∆∆∆ 最后，扔掉其中所有含 x ∆的项，就得到函数n y x =的导数为1n nx - .“无穷小”在逻辑推理上是零与非零的矛盾，而牛顿却不能在逻辑上说清楚，他说：“量在其中消失的终极比，严格地说来，不是终极量的比，而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前即不能超越也不能达到这个极限.”无论牛顿用数学语言，还是利用物理意义，他都没有说清楚无穷小量是什么.科学家们相信它，因为它使用起来十分有效，得出的结果总是对的，但是由于逻辑上的漏洞，遭到一些人指责，甚至嘲讽与攻击.如1695年，荷兰数学家纽汶蒂在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等.法国数学家罗尔（罗尔中值定理以他的名字命名）也对微积分表示怀疑.然而，对新生的微积分攻击得最厉害的是爱尔兰主教贝克莱，他的观点是“存在即被感知”，认为一切事物不过是人的感知的综合，他的哲学目的是论证上帝的存在.贝克莱在1734 年写了题为《分析学家》，副标题“致不信神的数学家”一书，该书对微积分大肆攻击：“既不是有限量，也不是无穷小，但又不是无”、“是消失了的量的鬼魂”.尽管一些数学家对贝克莱的攻击进行反驳，但没有在逻辑上说清楚无穷小量引起的数学逻辑基础的混乱.贝克莱是出于恐惧当时自然科学发展所造成对宗教信仰的威胁，也是由于当时的微积分理论缺乏牢固基础，所以当时的微积分遭到攻击和非难在所难免. 历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现的混乱情形叫做“第二次数学危机”，也把贝克莱的攻击称为“贝克莱悖论”.2.2.2 第二次数学危机的解决贝克莱悖论的提出与第二次数学危机的出现，使微积分基础问题引起了更大的重视.十七、十八世纪，数学家们不顾贝克莱们的挑剔和攻击，受微积分有大用的鼓舞，继续在不牢固的基础上建筑微积分的大厦.在英国，数学家马克劳林对贝克莱悖论做出最重要的回应.虽然马克劳林巨大的努力回答了贝克莱的质疑，但十八世纪的大多数数学家对他这种用几何方法严格论证微积分的工作并不欣赏.后来欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等为微积分的基础严密化做了重大贡献，但是微积分逻辑基础在十八世纪结束的时候仍然是一个悬而未决的问题.十九世纪初，许多迫切的问题基本上得到解决，一种追求严密性的风尚开始在数学界蔓延开来.一些数学家开始沿着正确的途径建立微积分的严格基础.例如波尔查诺、阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等，波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量，而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；狄利克雷给出了函数的现代定义.在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，完成了一套被认为是天衣无缝的()N ξξσ--语言，严格刻画了极限的定义.人们放弃了无穷小，而以一个无限过程刻画的极限理论统一了导数和积分概念.由于这个理论用不着“无穷小”，一切都按程序操作,“无穷小”引起的混乱被消除了.十九世纪八十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限理论的基本定理，这样，数学分析中微积分的理论基础——严格的极限理论建立起来了，微积分的发展从此进入了一个新的阶段.原有的悖论在新的体系下可以圆满地予以清除，第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在十九世纪消除.第二次数学危机的消除，与第一次数学危机的消除，两者实际上是密不分的.为解决微积分问题，必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论，加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论，这样，第一、二次数学危机就相继消除.2.2.3 “贝克莱悖论”的历史意义“贝克莱数学上的悖论”源于他的哲学上的悖论认知.比如,他的著名观点“存在就是被感知”,就包含了存在、感知、观念、精神以及上帝.这里就潜藏着悖论因子:如果从上帝开始,那么,那是《创世纪》的方向,一切以经文为准,即“信仰之道”；相反,如从观念开始,就成了逆式的“哲学之路”了.这样他就混淆了这两条路:论证的路一再被信仰打破；而论证的困境一次又一次地因信仰而解决.事实上,贝克莱的思想处处充满逻辑悖论.对于他的“物质”观念化,我们就有理由追问:他的上帝似乎在虚无中创世,而创造的也是虚无.尽管作为抽象概念的物质并不存在,但在感知的另一头,是否会有某些不可名状的东西?但如果没有被动的观念,哪来主动的精神?既然没有物质实体,精神实体又在何处?如果没有精神实体,无限精神又当如何?最后的归宿就是:没有上帝,他的哲学注定漂无定所,假设有上帝,哲学又将变得可疑；如果哲学的虚拟性贯穿始终,则上帝将止于空洞的说词.可见,他的矛盾式的、悖论式的哲学思想就为微积分的缺口的批判——无穷小悖论做了伏笔.虽然从贝克莱本人的目的来看,他试图通过对微积分的批判,曲解数学而为神学辩护.但从客观上看,微积分的理论体系还是具有高度的精确性(虽然不十分严谨)和广泛的应用性.贝克莱悖论的出现只是从一个更高层次上对新生的微积分理论体系所提出的更高的要求,这样迫使数学家认真对待这一悖论：柯西用极。
数学中的十大悖论
2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让 乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得 比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时， 乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时， 乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期 的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试， 但他又告诉班上的同学：‚你们无法知道是哪一天，只有 到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。‛ 你能说出为什么这场考试无法进行吗？
电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控 制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而， 办公室靠近顶层的王先生说：‚每当我要下楼的时候，都 要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇 怪！‛李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室 上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：‚不论我 什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼 的。真让人烦死了！‛ 这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同， 可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？
数学中的十大悖论
--人文1102班
张燕燕
学号：3110102114
N· 布尔巴基说过：
‚……古往今来，为数众多的 悖论为逻辑思想的发展提供了 食粮。‛
什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它 看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很 多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题： 由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推 出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要 特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠 性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这 种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人 们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往 会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的 说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的 数学危机。
世界上最诡异的数学题
世界上最诡异的数学题1、哥德尔问题：哥德尔问题是著名的无限循环数学题，被称为“最难的数学题”。
它是Kurt Gödel在1931年提出的，他问：在一个特定的数学系统中，是否存在不可解决的真理？也就是说，可以在这个系统里证明出一组真理，但不能被证明为假。
虽然哥德尔问题至今未能解决，但它给出的观点无疑是大胆而引人入胜的，其影响力无可置疑。
2、希尔伯特猜想：希尔伯特猜想也叫意林猜想，是一个由18世纪数学家希尔伯特提出的猜想，直到今天也未能解答。
它假设：任何一个大于1的自然数都可以表示为素数的乘积，而任何一个大于2的自然数都可以表示为两个独特的素数的乘积。
目前，希尔伯特猜想还未能完全证明，但科学家们仍在努力，并不断取得进展。
3、哈利猜想：哈利猜想是一个关于质数的猜想，由数论家哈利提出。
哈利猜想假定：任何一个大于2的整数都可以写成两个质数之和，也就是说，任何一个偶数都可以写成两个质数的和，而任何一个奇数都可以写成3个质数的和。
虽然哈利的猜想一直没有被证实，但它仍然受到了许多数学家的关注。
4、狄利克雷三角形：狄利克雷三角形是一个大家都熟知的著名数学奥秘。
它是17世纪德国数学家狄利克雷提出的，也就是我们今天熟知的狄利克雷三角形。
它是一个三角形，一边是1，另外两条边分别是前一数加一，例如：1, 2, 3, 5，8，13，21……。
它的规律性使它有一种神奇的特性：后一个数是前两数的和。
它的不可思议之处在于，即使你往数列里增加任意多的数，都是让你吃惊的，它的神奇性当然令很多数学家和其他爱好者所折服。
5、默罕默德问题：默罕默德问题是一个著名的“开关”问题，也叫开关游戏。
它由十八世纪英国数学家默罕默德提出：如果有五把开关，它们的状态都无法观察，我们可以如何才能确定每一把开关的状态？默罕默德问题因其独特性而被提出，它被认为是一个“不可解决”的数学问题，仍然未能被有效地解决，给很多数学家带来了磨练。
数学中的悖论
古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一 句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却 既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学 家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖 论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊 诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据 说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑， 他常常担心自己会因思索这些悖论而过早 地丧命。在《新约》中，圣· 保罗在他给占 塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:12 – 13）。
乔纳· 斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的 无穷倒退，数学家奥古斯塔斯· 德摩根把它改写为： 大跳蚤有小跳蚤 在它们的背上咬， 小跳蚤又有小跳蚤， 如此下去 没完没了。 大跳蚤倒了个儿——变小 上面还有大跳蚤， 一个上面有一个， 总也找不到 谁的辈数老。
7．爱丽斯和红色国王
M：柏拉图—苏格拉底悖论有两个无穷 倒退。这正像在《透过镜子》中的爱丽 斯和红色国王一样。 爱丽斯：我在做梦，梦见了红色国王。 可是他睡着了，梦见我正做着关于他的 梦，在这儿他也在梦见我。啊，我的天！ 这样梦下去哪有个完。
6．无穷的倒退
M：机器受到的难题就像人碰 到要解答 一个古老的谜？。 问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪 个？ M：先有鸡吗？不，它必须从 鸡蛋里孵 出来，那末先有鸡蛋？不，它 必须由鸡 生下。好！你陷入了无穷的倒 退之中。
鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无 穷倒退”的最普通的例子。老人牌麦片往往装在一 个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个 盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。 自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往就像 一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。《科学 美国人》1965 年 4月号有一个封面，画着—个人眼 中反映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上， 也有一个小一点的眼睛，反映出一本更小的杂志， 自然这样一直小下去。在理发店里，对面的墙上有 很多相向的镜子，人们在这些镜子中可以看到反照 出的无穷倒退。
十大数学未解之谜
十大数学未解之谜
数学历来是一门神秘而又神奇的学科，人们有时能够利用数学模型和策略来解决实际问题，但是学术谜题的真正的解法却令人晕头转向。
有几个现存的数学谜题，仍然找不到答案，
今天我就介绍一些十大未解之谜。
第一个是数论上的质数双射问题，即金塔姆-金斯蒂比尔双射问题，这是一个集合的映射，但是人们仍然不知道如何在给定的集合上建立这样的映射。
第二个是哈维数学面临的谜题，这是一个古老、错综复杂的概念，它涉及定义和将数学对
象分组划分。
第三个是几何学上的哈密顿回路问题，这是一个较新的谜题，它关系到在某条路径上覆盖
完所有的顶点，但又不会重复。
第四个是古典拉格朗日方程，它有着深奥的数学研究，然而却无法通过普通的解法解决出来。
第五个是完备性定理，这个定理可以说既深奥又复杂，目前为止还没有完全的数学证明来
证明它的正确性。
第六个是泰勒级数未知参数值，这个谜题牵涉到无限多个参数值，因此需要花大量的精力
和时间才能够找到一个完备的解决办法。
第七个是泊松方程，它有着极其复杂的算法，让人们不知道如何将它转化为实际的数学模型。
第八个是亚当斯密定理，它涉及到性质的变换，但是斯坦福大学的数学家们仍然没有找到
一种完美的解决方案。
第九个是PS：NP问题，这是一个以困难为核心的谜题，甚至当今最聪明的数学家们也无
法给出结论。
最后一笔是卦曼字谜，卦曼字谜充满了神秘，目前为止，它仍然无法解开，这让数学家们
大跌眼镜。
以上就是十大未解数学谜的介绍。
数学的谜题让人们相当困惑，希望有朝一日，这些未知之谜都能够解开，增进人们对数学的了解。
十大恐怖悖论
十大恐怖悖论悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。
悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
本期，我们给大家整理的世界十大经典恐怖悖论，都是烧脑级别的，个个拿出来逻辑思辨力直线上升，是朋友聚会聊天吹牛必备法宝。
还等什么，先让自己的脑子“烧”起来吧～第一个悖论——上帝悖论其实上帝悖论是专门为了反驳天主教徒眼中万能的上帝而创造出来的，如果说上帝存在我们的世界上，它是无所不能的，那么上帝能够创造出一块连自己都无法搬动的石头吗？如果上帝能够创造出这样一块石头，既然上帝都无法搬动，那么说明上帝并不是万能的，如果上帝无法制造出这样一块石头，那么依然证明上帝不是万能的，也就是说，不管怎样，上帝能不能创造出这块石头，都会证明上帝不是万能的!上帝悖论是产生于文艺复兴时期,当时天主教行而且一直宣称上帝是全知全能之神,可以无所不能,坚定的无神主义者便提出了那个著名的上帝能否造出自己機不动的石头的问题，来怼这些天主教徒。
面对这个上帝悖论，很多相信上帝是万能的的人也陷入了沉思中,他们感到迷茫，绞尽脑汁的想反驳上帝悖论这一观点。
可是他们却没有想到，上帝悖论这一论点本身就是有问题的。
因为要论证是上帝是不是万能的，就必须要承认上帝是存在的，而上帝是否存在本身就是一个谜题，有神论者认为，上帝创造了我们的宇宙、创造了我们的世界，无神论者认为我们的宇宙并不是上帝创造的，双方各执一词，既然到现在我们谁都没有见过上帝，那么上帝悖论就永远都没有正确的答案，对于不同的人来说，对上帝的定义也是不同的，或许科学家眼中的上帝和我们所谓的上帝都是不同的。
第二个悖论——价值悖论价值悖论又称价值之谜，指有些东西效用很大，但价格很低(如水)，有些东西效用很小，但价格却很高(如钻石)。
这种现象与传统的价格理论不一致。
这个价值的悖论是亚当·斯密在200多年前提出的，直至边际效用理论提出后才给予一个令人满意的答案。
数学悖论
都能找到更“大”的无限集合）。
2
奇怪的旅店
有个故事据说出自杰出的德国数学家 希尔伯特之口：
一天深夜，一个人走进一家旅店， 想订一间房.店主微笑的告诉他说： “对不起，我们所有房间都住满了客 人，不过让我想想办法，或许我最终 可以为您腾出一个房间来.”
然后，店主便离开自己的办公台， 很不好意思的叫醒了旅客，并请他们 换一换房间：他要每一号房间的旅客 搬到房间号比原来高一号的房间去.
13
芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）
爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可
分的“一”及“静止的例证，人称
“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
我们从数学角度看其中的一个悖论。
18
症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展
2）较早的“反证法”及“无限”的思想
3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
19
芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连
续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离
数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的
（整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件：
每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
1
无限集合也有“大小”
——从“一一对应”说起
实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能
有不同的“大小”。
正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函 数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，
最诡异数学悖论：11=1
最诡异数学悖论：11=1分球悖论史上最诡异的悖论今天，8岁表妹的⽼师给她奖励了⼀块⼤巧克⼒，超模君打趣她能不能分给我点，遭到残忍拒绝，超模君很愤怒，暗下决⼼要神不知⿁不觉地吃上表妹的巧克⼒。
超模君趁表妹在认真做作业的时候，灵机⼀闪，拿起⼑就是切，偷偷吃了好⼏块。
假装帮表妹切好了巧克⼒，把剩下的拼好，成功蒙混过关。
乍⼀看，巧克⼒好像没有变少，但是实际上巧克⼒是不断减少的。
这让我想起了那个说⼀个球可以变为两个球，⽽且这两个球和原来的球⼀样⼤的分球悖论。
在我们的认知⾥，这是⾮常荒唐的事情。
但是在数学上，分球怪论理论上是成⽴的，只是以⼈类⽬前的认知⽆法在物理世界去证实它。
为了更改的理解分球悖论，先从超级韦⽒字典讲起。
超级韦⽒字典超级韦⽒字典是⼀本包含了所有英⽂单词的字典，你的名字，你的故事，你的everything都可在这本字典找到。
这本字典的开头是A，然后是AA，接着是AAA……在⽆限多个A之后，是AB，然后ABA，接着ABAA……⼀直到⽆限多个Z开头的序列。
⼤概是这个样⼦：我们都⽆法想象这本字典有多⼤，每个字母开头的序列都印⼀卷的话，⼀共要印26卷，那出版社要出版这么⼀本字典肯定得破产。
不过，有⼈发现如果A卷去掉开头的A，剩下的就是B-Z的所有序列内容。
出版社只需印去掉开头的A的A卷就完成了字典，因为⼈们在使⽤的时候⾃觉加上A就⾏，这就⼤⼤减少了成本。
下⾯我们就借助超级韦⽒字典来理解分球悖论。
分球悖论分球悖论：可以将⼀个三维实⼼球分成有限（不勒贝格可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地⽅重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。
“分球悖论”最重要的部分，就是如何分割三维的球体，⽽我们选取的⽅法，就是让三维球体，变成⼀部超级韦⽒字典。
⾸先，给球⾯上的所有点，取⼀个独⼀⽆⼆的名字。
取名的⽅法如下：1.选择⼀个起点O，然后以适当的单位长度，让O⼀步步地移动；2.移动的⽅向只有四个：上（U）、下（D）、左（L）、右（R）；3.O每向⼀个⽅向移动⼀步，就记录⼀步，直到O不动为⽌，所列出来的序列就是O停下时所在点P的名字；4.为了避免两个序列结束在同⼀个点上，移动不能原路返回。
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最诡异数学悖论：11=1希尔伯特序列悖论数学球体
分球悖论
史上最诡异的悖论
今天，8岁表妹的老师给她奖励了一块大巧克力，超模君打趣她能不能分给我点，遭到残忍拒绝，超模君很愤怒，暗下决心要神不知鬼不觉地吃上表妹的巧克力。
超模君趁表妹在认真做作业的时候，灵机一闪，拿起刀就是切，偷偷吃了好几块。
假装帮表妹切好了巧克力，把剩下的拼好，成功蒙混过关。
乍一看，巧克力好像没有变少，但是实际上巧克力是不断减少的。
这让我想起了那个说一个球可以变为两个球，而且这两个球和原来的球一样大的分球悖论。
在我们的认知里，这是非常荒唐的事情。
但是在数学上，分球怪论理论上是成立的，只是以人类目前的认知无法在物理世界去证实它。
为了更好地理解分球悖论，先从超级韦氏字典讲起。
超级韦氏字典
超级韦氏字典是一本包含了所有英文单词的字典，你的名字，你的故事，你的everything都可以在这本字典找到。
这本字典的开头是A，然后是AA，接着是AAA……在无限多个A 之后，是AB，然后ABA，接着ABAA……一直到无限多个Z开头的序列。
大概是这个样子：
我们都无法想象这本字典有多大，每个字母开头的序列都印一卷的话，一共要印26卷，那出版社要出版这么一本字典肯定得破产。
不过，有人发现如果A卷去掉开头的A，剩下的就是B-Z的所有序列内容。
出版社只需印去掉开头的A的A卷就完成了字典，因为人们在使用的时候自觉加上A就行，这就大大减少了成本。
下面我们就借助超级韦氏字典来理解分球悖论。
分球悖论
分球悖论：可以将一个三维实心球分成有限（不勒贝格可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。
“分球悖论”最重要的部分，就是如何分割三维的球体，而我们选取的方法，就是让三维球体，变成一部超级韦氏字典。
首先，给球面上的所有点，取一个独一无二的名字。
取名的方法如下：
1.选择一个起点O，然后以适当的单位长
度，让O一步步地移动；
2.移动的方向只有四个：上（U）、下
（D）、左（L）、右（R）；
3.O每向一个方向移动一步，就记录一步，
直到O不动为止，所列出来的序列就是O停
下时所在点P的名字；
4.为了避免两个序列结束在同一个点上，
移动不能原路返回。
比如，求点O向上移一步停下，则P1记为U，再向右一步停下，则P2记为RU。
在这里大家会注意到，序列的书写顺序是右到左的，因为要配合后面的步骤。
因为不能原路返回，所以像UD、DU、LR、RL...这些数列不存在，因为这样相当于点O根本没动。
现在我们把所有可能的序列都列出来，球面上的点就变成一部超级韦氏字典了：
用序列代表点，还是太抽象了！要从视觉上着手，才能更形象直观。
为了形象表达这序列，我们可以对它们做个分类：以最后一步的动作为准，最后一步是向上移动的（即序列以U结束）记为橙色，向下D点记为蓝色，向左L为紫色，向右R为红色。
按照上述方法，将这些序列标注在球面上，每个序列都会对应一个颜色的点：
这样的点有可数无限个，但是并不能占满整个球面，因为球面上有不可数无限个点。
（不了解可数和不可数无限的模友可以看康托尔的集合论）那么该怎么用这些序列来表示整个球面上的点呢？
很简单，在没有涂色的点中，选一个新起点，然后将这些序列应用到新起点上，再给可数无限个点命名。
重复这一过程，我们就可以将球面上所有点分成五类点：起点O、U点、D点、L点、R点。
按照之前的做法，我们分配颜色给这五类
点：起点O为绿色、U点为橙色、D点为蓝
色、L点为紫色、R点为红色。
这还没有结束，因为每个序列都有两个极点，在这类点里面被重复命名，需要把它们单独抽出来。
用黄色给它们来标上颜色。
所谓的极点，就是某个点运动到这个点时，
无论在序列中添加左右或者上下，都不会变成
第二个点的点。
对于以左右（L\R）作结尾的
序列而言，它们的极点是南北极点。
当点运动到南北极点时，无论是向左旋转
还是向右旋转（因为球面上点的移动的本质就
是旋转），都不会产生新的点，但是在序列中
却会产生新的序列，所以必须单独拿出来命名。
上下（U\D）结尾的序列的极点则是东西极点。
现在球体上所有的点都被标上颜色了，可分为6部分：起点部分，U点部分，D点部分，L点部分，R点部分，极点部分。
因为每个点到球心的点列是独一无二的，只用点来代表就行。
当然，球心也需要单独拿出来，因为它是独一无二的。
拆分后的球体如下图：
现在将L点部分拿出来看，L点部分对应的序列为所有以L结尾的序列，如果将L点部分向右旋转一下，序列会发生怎样的变化呢？
让人惊讶的是：L点部分所对应的序列变成了U点、D点、L点、起点部分所对应的序列。
还记得上面超级韦氏字典里的A卷，把A去掉就是剩下的B到Z 的序列吗？现在正是利用这一点！如图，向右旋转L点部分，相当于在L点部分所对应的序列之后再加上一个R：
前面也说过，RL这样的序列是不允许出现的，现在这么做，所有序列的最后一个L都被抵消，就好像超级韦氏字典第一卷那样，剩下的部分就是构成代表U点、D点、L点部分的序列，而只有一个L的那些点，因为被R抵消，还原回所有起点。
只是旋转一下，就得到了球体的四个部分，那剩下的部分只需要用之前分离出来的R点部分和极点部分填上，以及把球心放进去，就是一个完整的球体了。
一个球体组好了，剩下U点部分、D点部分和起点部分。
这三部分如何组成新的球体？
我们把U点部分向下转动，与前面向右旋转L点部分相类似，U 点部分所对应的序列就会变成U、L、R点部分对应的序列，还有起点的序列。
但是起点部分还没有用上呢？怎么办呢？
不要紧，把序列U所代表的点先行移到D点部分，然后再对整个U点部分进行旋转就行。
可是我们会发现，先清除再旋转后的U点部分，序列UU会变成序列U，与D点部分中先行到达的序列U相重复，所以我们必须先将所有的重复排列U的序列全部先行移除，然后再旋转剩余部分，最后再组合，才能够得到一个仅包含U、L、R点部分的序列集。
接下来把剩余的部分全部组合在一起。
但是，你会发现这个球没有极点部分和球心。
设想这个球可以绕某条轴旋转，某个圆经过球心和极轴上的任意一个点，圆的周长为2πr，利用无限的概念即可补上。
就这样，一个球就变成两个和它一样大的球了，这不是1=1+1吗？这就是诡异的分球悖论，在数学理论上是成立的，只是以人类目前的认知无法在物理世界去证实它。
看完分球悖论确实很烧脑，如果还没有理解，可以结合希伯尔特
旅馆悖论来理解会轻松一些。
希尔伯特旅馆悖论
希尔伯特旅馆有无限可数个房间，但是住满了客人。
这时候来了一客人要住店，希尔伯特让1号房的搬去2号房，2号房搬去3号房...n号房搬去n+1号房，1号房就腾出来给客人住了。
现在旅馆来了无限个客人要住店，希尔伯特让1号房的搬去2号房，2号房搬去4号房......n号房搬去2n号房，把奇数的房间腾出来给这无限个客人住。
这就像一个希尔伯特旅馆变成两个和希尔伯特旅馆一样大的希尔伯特旅馆一和二，都有无线个房间，就像一个球分为两个和原来这个球一样大的两个球。
虽然这样理解分球悖论不完全正确，但确实好理解一点。
现在如果有无数辆车，每辆车里面有无数个人来住店怎么安排呢？很简单，安排住在质数的房间即可，已住店的客人搬到2^n号房间，新来的第一辆车住进3^n房间，第二辆车里的人住进5^n房间......
正是这些科学家使人们对数从有限过渡到无限的认识更加深刻，脑洞大开乃至三观尽毁，正因为无限的发现才有后来的极限，微积分，高等数学等，社会才有今天的发展。
表妹还小，说不定过几年就知道我偷吃她的巧克力了！。