芝诺悖论无穷级数求解
从极限角度解释芝诺悖论
芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一系列关于运动和数学的悖论。
其中最著名的是“阿基米德螺旋”和“追不上的乌龟”。
这些悖论看似矛盾，但实际上反映了古希腊哲学家对数学和物理学的深刻思考。
从极限角度解释芝诺悖论，我们可以将芝诺悖论转化为数学问题。
例如，芝诺悖论中的“追不上的乌龟”可以转化为无穷级数的形式。
这个级数收敛于0,但芝诺悖论表明它永远不会完全收敛。
这反映了芝诺悖论的本质:看似无限接近，却永远不能到达。
此外，从极限角度解释芝诺悖论还可以让我们更好地理解数学中的极限概念。
极限是数学中非常重要的一个概念，它描述了函数在趋近于某个点时的行为。
在芝诺悖论中，极限的概念被用来描述物体在趋近于无限接近的速度下，最终仍然无法追上物体的情况。
总之，从极限角度解释芝诺悖论可以帮助我们更好地理解这个著名的哲学悖论，同时也有助于我们更好地理解数学中的极限概念。
大一微积分(经管类)第八章 无穷级数
n
S
如果数列{ S n } 没有极限,则称无穷级数
un 发散.
n 1
5
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a Sn a aq aq aq ， 1 q a n 当 | q | 1 时, lim q 0 limS n 收敛 n n 1 q
2
第一节
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具.
一、级数的基本概念
计算圆的面积
a1 正十二边形的面积 a1 a2 正 3 2 n 形的面积 a1 a2 an 即 A a1 a2 an
(un vn ) 收敛推出 un 、 vn
n1 n1 n1
收敛；
(2) 若
un 收敛,而 vn
n1 n1
发散,则
(u
n1
n
vn ) 必发散.
证 假设
而已知
所以
(u v ) 收敛,
n1 n n
由 vn (un vn ) un ,
un 收敛,
所以级数发散.
12
级数收敛的必要条件
定理 若级数 证明
u
n1
n
收敛,则必有lim un 0 .
n
un Sn Sn1 ,
n
lim S n S ，
lim un lim( S n S n1 ) lim S n lim S n 1
n n
芝诺悖论
芝诺（埃利亚）（Zeno of Elea）生活在古代希腊的埃利亚城邦。
他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。
关于他的生平，缺少可靠的文字记载。
柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。
其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。
那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。
”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构。
然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。
据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护。
但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。
”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。
他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。
芝诺有一本著作《论自然》。
在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。
”公元5世纪的评论家普罗克洛斯（Proclus）在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出40个各不相同的悖论。
芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯（Simplici－us）为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外只有少量零星残篇可提供佐证。
现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的，其中关于运动的4个悖论尤为著名。
直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。
英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。
之诺悖论
一、历史追溯芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：1、二分法。
物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。
2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。
快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
3、飞矢不动。
任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。
4、运动场。
两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。
四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。
关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。
以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。
１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。
他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。
在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。
”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。
不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。
常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。
已知最早的批评来自亚里士多德。
关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。
第一节 无穷级数
则称无穷级数发散 则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 当级数收敛时 称差值
为级数的余项 为级数的余项. 显然 余项
12
讨论等比级数 又称几何级数) 例1. 讨论等比级数 (又称几何级数 又称几何级数
( q 称为公比 ) 的敛散性 的敛散性.
a −aq = 1−q a 从而 limSn = n→ ∞ 1−q a 因此级数收敛 , 其和为 ; 1−q 从而 limSn = ∞, n→ ∞
解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
23
三、级数收敛的必要条件
设收敛级数 证: u = Sn − Sn−1 n 则必有
∴ limu = limSn −limSn−1 = S − S = 0 n
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
可见: 若级数的一般项不趋于0 可见 若级数的一般项不趋于 , 则级数必发散 . 例如, 例如 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散. 不趋于 因此这个级数发散
6
几点结论： 第三步 几点结论： 1．无穷级数是以加法形式出现的极限问题 是 ．无穷级数是以加法形式出现的极限问题, 披着羊皮的狼” 羊皮 是加法─ 羊皮” “披着羊皮的狼”. “羊皮”是加法─显得很易处 理, “狼”是极限─实际不易处理 狼 是极限─实际不易处理; 2．正由于本质是极限，故出现“极限是否存 ．正由于本质是极限，故出现“ 的问题，即无穷多项“相加”可能是“ 在”的问题，即无穷多项“相加”可能是“没有 和”的； 3．正由于本质是极限，故加法的性质 如交换 ．正由于本质是极限，故加法的性质(如交换 结合律等)不可以无条件平移过来 不可以无条件平移过来； 律、结合律等 不可以无条件平移过来； 正式定义无穷级数、部分和、 第四步 正式定义无穷级数、部分和、和等概 念。
芝诺悖论无穷级数解释
芝诺悖论无穷级数解释芝诺（zenoofelea）辩论（argument）——从量子的角度能得到完善的解决。
这里用无穷级数做些解释。
阿基里斯与乌龟接力赛问题：古希腊神话中善走的英雄阿基里斯和乌龟的接力赛，如果先使乌龟跳跃1000米后，再使阿基里斯回去冲乌龟，那么阿基里斯不可能将冲上乌龟。
芝诺辩论：因为在赛跑中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！从逻辑上谈上述辩论没任何问题，但似乎不合乎现实！无穷级数分析：设立乌龟的出发点为a1,阿基里斯的起跑点为a0，两者的间距为s1，乌龟的速度为v，阿基里斯的速度就是乌龟的100倍，即为100v.因为乌龟爬行到a2的时间与阿基里斯到达a1的时间相等，所以s2ss1，即s2 1.v100v100以此类推，sn1sn2s,sn n1，所以1001001sn100阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为：n1s1s s1s2s3sn21s1s11001s11001s110031s1100n1n123111s1110010010011001n11100100s1lim s1.n991100因此，从表面来看，阿基里斯在追上乌龟的过程中总走不回去，但模型分析排序所述当阿基里斯追到离起点100s1处时，已经追赶上了乌龟。
99。
阿基里斯“悖论”里收敛的无穷级数
阿基里斯“悖论”里收敛的无穷级数
阿基里斯悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一个著名的哲学难题。
它提出了一个看似合理但实际上不可能的结论：即使世界上最快的动物阿基里斯也无法追上慢速行走的乌龟。
这个悖论在数学领域也有着深远的影响，尤其是与无穷级数的关系。
阿基里斯悖论与无穷级数的联系在于，它揭示了无穷级数求和的问题。
芝诺认为，阿基里斯在任何给定的时间间隔内，都无法追上乌龟，因为在这段时间里，乌龟已经前进了一定距离。
将这段距离看作一个无穷级数，我们可以将其表示为：
d = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
这个级数是一个收敛的无穷级数，其和可以表示为：
H = ln(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
通过对这个级数的求和，我们可以得到一个有限的值，这意味着尽管阿基里斯在每个时间间隔内都无法追上乌龟，但经过无穷多个时间间隔，他最终可以追上乌龟。
这一结果揭示了收敛无穷级数在实际问题中的重要性。
收敛的无穷级数在数学和实际问题中具有广泛的应用。
例如，在微积分中，极限和连续性概念都与收敛级数密切相关。
收敛级数还用于求解各种数学问题，如求解方程、求解积分等。
在物理学、工程学等领域，收敛级数也发挥着重要作用，例如用级数表示连续函数的值，从而简化问题求解。
总之，阿基里斯悖论揭示了收敛无穷级数在数学和实际问题中的重要性。
它让我们认识到，在某些情况下，看似不可能的问题实际上可以通过无穷级数
求和来解决。
12-1(A)无穷级数-常数项级数的审敛法
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件: 一般项 un趋于零, 即
n1
un收
敛
lim
n
un
0.
*证 设 un s, 由 un sn sn1 ,
有
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意 1. 一般项不趋于零级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
。
解an
6
cos
n
6
6
6
0 , 原 式 发 散 。
16/26
*例 7 试把循环小数2.317 2.3171717表示
成分数的形式.
解 2.317
2.3 0.017 0.00017 0.0000017
2.3
17 103
17 105
17 107
2.3
17 103
n0
1 100
n
2.3
2T (1
1 2n )
2
让 n ，上述和 2T ．(与实际经验相符！)
可见， 要把无限多项之“和”＝2T 理解为前 n 项之和，当n 时的极限。
但是，如果以如下方式减速前进：
T
T
3
2
T
1
1
0 14
2
1
此时需化为 8 T T T T ？ 234
实际经验不能给我们任何启示！
若先考虑
Sn
19/26
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
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芝诺悖论无穷级数求解
芝诺悖论是一种古老而有趣的数学悖论，涉及到无穷级数的求解。
该悖论最早由古希腊数学家芝诺提出，他认为对一个无限的任务集合进行求和，将无法完成。
芝诺悖论的核心在于无穷级数的求和问题。
无穷级数是一系列数的和，其中每一项与前一项之间有规律的关系。
例如，常见的无穷级数可以表示为1+1/2+1/4+1/8+...，其中每一项都是前一项的一半。
芝诺悖论的思考方式是，假设我们从第一项开始，每一步都能加上前一项，那么我们应该可以得到一个有限的总和。
然而，如果我们将这个无穷级数的总和表示为S，我们可以通过以下方式推算：
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
将S乘以1/2得到：
1/2 * S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
将这个等式的两侧相减：
(1 - 1/2) * S = 1
化简得到：
1/2 * S = 1
解得：
S = 2
根据上述计算，我们得到了一个令人惊讶的结果，即无穷级数
1+1/2+1/4+1/8+...的总和等于2。
然而，这与我们的直觉不符。
我
们知道这个无穷级数是无限接近于2，但却不等于2。
这就是芝诺悖论的核心所在。
无穷级数的求和并不是一种直观的操作。
尽管我们可以进行一系列推导，看似得到了有理的结果，但这个结果与我们的直觉和实际情况不符。
实际上，芝诺悖论表明了无穷级数求和的难题。
数学家们在近几个世纪里一直在探索如何更准确地定义和求解无穷级数。
他们提出了一系列概念和方法，如级数的收敛性、绝对收敛等，以便更好地处理无穷级数。
总的来说，芝诺悖论向我们展示了数学中的困难和悖论。
它提醒我们，在处理无穷级数时需要谨慎，并不是所有的推导都可以直接应用于无穷情况。
数学家们仍然在努力解决这个问题，以更好地理解和解释无穷级数的求解。