导数中的切线问题专题练习
2022-2023学年高二下数学：利用导数研究切线的问题(附答案解析)
2022-2023学年高二下数学：利用导数研究切线的问题一．选择题（共8小题）1．（2021秋•昌江区校级期末）若曲线f（x）＝x2的一条切线l与直线4x+y﹣3＝0平行，则l的方程为（）A．4x﹣y﹣4＝0B．x+4y﹣5＝0C．x﹣4y+3＝0D．4x+y+4＝0 2．（2021秋•红桥区期末）函数f（x）＝lnx+3在点（1，f（1））处的切线方程的斜率是（）A．2B．﹣1C．0D．13．（2021秋•镇海区校级期末）点A 是曲线上任意一点，则点A到直线y＝2x ﹣1的最小距离为（）A ．B ．C ．D ．4．（2021秋•金安区校级期末）已知函数f（x）＝x2﹣mlnx+2x 的图象在点处的切线与直线x﹣2y＝0垂直，则m＝（）A ．B ．C ．D ．5．（2021秋•太原期末）已知曲线f（x）＝2x﹣lnx在点（1，f（1））处的切线与曲线g（x）＝ax2+（a﹣1）x﹣1有且只有一个公共点，则实数a＝（）A．2B．0或2C．﹣2D．﹣2或0 6．（2021秋•丹东期末）若直线y＝2x是曲线y＝x（e x﹣a）的切线，则a＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e7．（2021秋•天心区校级期末）过点（1，﹣1）且与曲线y＝x3﹣2x相切的切线方程为（）A．x﹣y﹣2＝0或5x+4y﹣1＝0B．x﹣y﹣2＝0C．x﹣y+2＝0D．x﹣y+2＝0或4x+5y+1＝0 8．（2021秋•马鞍山期末）若仅存在一条直线与函数f（x）＝alnx（a＞0）和g（x）＝x2的图象均相切，则实数a＝（）A．e B ．C．2e D ．二．填空题（共4小题）9．（2021秋•广东期中）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．第1页（共17页）。
专题：导数---切线问题
h(t )
h(2)
ln
2
1
ln
1 2e
，∴
a
ln
1 ， 2e
，故选
A．
2．已知直线 y 2x 与曲线 f x ln ax b 相切，则 ab 的最大值为（ ）
A．
e 4
B．
e 2
C． e
D． 2e
2．C
【解析】设切点
x0 , ln
ax0
b
，则由
f
x0
a ax0
b
2得
ax0
b
1 2
它们相互平行
又直线 AB 的斜率 k = -1，即可知：直线 AB 与两条切线同时垂直 ∴综上，知： PQ 最小时，A 即为 P 点，B 即为 Q 点，故| PQ |min | AB | ∴| PQ |min AB 12 12 2 故选：D
4．若曲线 y＝ax+2cosx 上存在两条切线相互垂直，则实数 a 的取值
因为 y a 2sin x 最小值为 a 2 0 ，最大值为 a 2 0 ，
所以 (a 2)(a 2)1 ，即 a23 ，
解得 3a 3 ．
故选：A．
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5．已知关于
x
不等式
aex
x
b
对任意
x
R
和正数 b
恒成立，则
a b
的最
小值为（ ）
A．
1 25．BFra biblioteka 0 时，
f x aex ，则 f x aex ，
设 f x0 aex0 1，解得 x0 ln a ，且 f x0 aex0 aelna 1， ∴当 f x aex 的切线斜率为 1 时，切点坐标为 ln a,1 ，
高中数学导数的几何意义求切线方程专题-解析版
导数的几何意义求切线方程专题题型一：切点已知求切线方程【例1】.函数f(x)=xe x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________．【答案】y=2ex−e【解析】因为f(x)=xe x，所以f(1)=e，f′(x)=e x+xe x，所以f′(1)=2e，所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即y=2ex−e．变式1.已知函数f(x)=x+alnx．当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；【答案】2x−y−1=0【解析】当a=1时，f(x)=x+lnx，f′(x)=1+1x(x>0)．所以f(1)=1，f′(1)=2，所以切线方程为2x−y−1=0．【备注】考查导数的几何意义，先由导数得到斜率，再根据点斜式得到切线方程．变式2.已知函数f(x)=(x+1)lnx−a(x−1)．当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；【答案】y=−2x+2．【解析】当a=4时，f(1)=0，函数f(x)的导函数f′(x)=lnx+1−3,因此f′(1)=−2，从而所求的切线方程为y=−2(x−1)，也即y=−2x+2．【备注】本小题是常规的利用导函数求函数的切线方程问题．题型二：切点未知求切线方程【例2】.【2018年浙江宁波高二下学期周测】过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为________【答案】y=ex【解析】y′=e x设切点的坐标为(x0,e x0)，切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)又切线过原点，∴−e x0=e x0(−x0)，∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．变式.已知函数f(x)=x3−3x，过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________【答案】3x+y=0或24x−y−54=0【解析】由f(x)=x3−3x，得f′(x)=3x2−3，设切点为(x0,x03−3x0)，则斜率k=3x02−3，∴切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，即y=(3x02−3)x−2x03．∵切线过点P(2,−6)，则−6=2(3x02−3)−2x03，解得：x0=0或x0=3．∴所求切线方程是y=−3x或y=24x−54．故答案为：3x+y=0或24x−y−54=0．题型三：已知切线方程求参数【例3】.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切，则m= ________【答案】1【解析】设切点为P(x0,y0)．易知y′|x=x=2x0．由{2x0=−2,y0=x02,得{x0=−1,y0=1,所以P(−1,1)．又P(−1,1)在直线2x+y+m=0上，所以2×(−1)+1+m=0，解得m=1．变式1.【2016年辽宁大连单元测试】设函数f(x)=x2-ln(x+a)+b，g(x)=x3．若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y=0，求实数a,b的值；【答案】a=1，b=0【解析】f′(x)=2x−1x+a依题意{f′(0)=−1a=−1 f(0)=−lna+b=0变式2.【2015年浙江舟山高二下学期月考】在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=√1−x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=−x2+mx相切于x=1处，则m=________【答案】2【解析】函数y=f(x)=2即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，即有在(0,1)处的切线为y=1，由题意可得直线l：y=1也是g(x)=−x2+mx的切线，所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g′(0)=−2∗0+m=0且g(1)=1,所以m=2题型四:公切线求参数问题【例4】.若直线y=kx+t是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则t=________ ．【答案】4−2ln2【解析】设y=kx+t与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为(x1,kx1+t)、(x2,kx2+t)．由导数的几何意义可得k=e x1=e x2+1，得x1=x2+1．再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+t=e x1+2，kx2+t=e x2+1．联立上述式子{k=e x1x1=x2+1 kx1+t=e x1+2 kx2+t=e x2+1解得k=2，x1=ln2，t=4−2ln2．故答案为4−2ln2．【备注】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可变式：函数f(x)=lnx+mxx+1与g(x)=x2+1有公切线y=ax(a>0)，则实数m的值为________ ．【答案】4【解析】设公切线y=ax与g(x)=x2+1的切点为(x0,x02+1)，g"(x)=2x，故切线斜率为2x0，则切线为y−(x02+1)=2x0(x−x0)，因为切线过原点(0,0)，所以−x 02−1=−2x 02，解答x 0=1或x 0=−1， 因为切线斜率a =2x 0>0，所以x 0=1，a =2， 设公切线y =2x 与f(x)=lnx +mxx+1相切与点(x 1,lnx 1+mx 1x 1+1)，f"(x)=1x +m (x+1)2，故斜率1x 1+m(x1+1)2=2①切线方程为y −(lnx 1+mx 1x1+1)=(1x 1+m(x 1+1)2)(x −x 1)，因为过(0,0)，所以−lnx 1−mx 1x1+1=−1−mx 1(x 1+1)2②联立①②解得x 1=1,m =4． 故答案为4．【备注】本题考查利用导数研究函数在某一点处的切线方程，根据条件设出切点，利用切线过原点且和两函数图象相切即可求出m 的值．针对训练1.曲线f(x)=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．−9 B ．−3 C ．9 D ．15【答案】C【解析】因为y ′=3x 2，切点为(1,12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为3x −y +9=0，令x =0，得y =9【备注】求在某点处切线2.【2018年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高二下学期期中考试数学试卷】已知直线y =−2x −23与曲线2f(x)=13x 3−bx 相切，则b =________． 【答案】3【解析】f(x)=13x 3−bx ，f ′(x)=x 2−b =−2，{x 2−b =−213x 3−bx =−2x −23，x =1，b =3．3.已知函数f(x)=ax2+(2a−1)x−lnx，a∈R．若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线经过点(2，11)，求实数a的值；【答案】a=2【解析】由题意得f′(x)=2ax+(2a−1)−1 x=2ax2+(2a−1)x−1x=(2ax−1)(x+1)x∴f′(1)=2(2a−1)∵f(1)=3a−1∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2(2a−1)(x−1)+3a−1代入点(2，11)，得a=2【备注】根据题意，对函数f(x)求导，由导数的几何意义分析可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程，代入点(2，11)，计算可得答案4.【2013年山西太原单元测试】设函数f(x)=x3−3ax+b,a≠0在点(2,f(2))处与直线y=8相切求实数a,b的值；【答案】a=4,b=24；【解析】f′(x)=3x2−3a，f′(2)=0,f(2)=8即12−3a=0,8−6a+b=8解得a=4,b= 245.函数f(x)=x2−2ax+lnx(a∈R)．函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y+ 1=0垂直，求a的值；【答案】a=52【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2a+1x，f′(1)=3−2a，由题意f′(1)⋅12=(3−2a)⋅12=−1，解得a=52．6.已知函数f(x)=alnx−bx2图像上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=−3x+2ln2+2，求a,b 的值【答案】a=2,b=1【解析】f′(x)=ax−2bx{k=f′(2)=a2−4b=−3y0=f(2)=aln2−4b=−6+2ln2+2解得：a=2,b=1【备注】若想解得参数a,b需要注意两点：1、切点是个很特殊的点，既在曲线上，又在切线上。
4过某点处的切线导数微专题
∴− 6
2 0
−
4
3 0
+4
=
2
⇒
2
3 0
+
3
2 0
−1=
0
解得
0 =− 1
或1，则切线方程为 = 6 + 8 或 = 3 + 7.
2
2
2
如何求解方程 2
3 0
+3
2 0
−
1
=
0？
方法一 拆项分组因式分解
方法二 待定系数法
先由方程特点猜出有一个解是 =− ,则可知 + 是 + − 的因式，设
+ − = ( + )( + − )，把右式展开易得 =− ，则 +
－ －1 + 2 ，函数在(－∞ , －2)上单调递减，在(－2 , －1)上单调递增，
在(－1 , + ∞)上单调递减，故得到 －2 <
<
－1
⇒−
3
2
<
<− 1.
【点拨】过某点作曲线的切线可以有多条，先求在曲线上一点处 的切线方程，把问题转化为方程解的个数.
【典题 2】 若过点 (－1 , )可以作三条直线与曲线 : =
范围是 .
相切，则 的取值
−= +
−−= +
− ∴ =− 或 =
【典题 2】 若过点 (－1 , )可以作三条直线与曲线 : = 相切，则 的取值
范围是 . 【解析】 ' = + 1 ， 设切点为( 0 , 0 0)，过点 P 的切线方程为 = ( 0 +
1) 0 − 0 + 0 0，代入点 坐标化简为 = ( − 02− 0 − 1) 0，即这个方 程有三个不等根即可，令 ( )= − 2 − −1 ，求导得到 ' =
专题突破卷03 导数中的公切线问题 (学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考通用)
专题突破卷03 导数中的公切线问题题型一 求在曲线上一点处的切线方程1．已知函数()[]()()23,0,2,22,2,,x x x f x f x x ¥ì-Îï=í-Î+ïî则()f x 在点()()5,5f 处的切线方程为（ ）A ．4280x y --=B ．4120x y +-=C ．4120x y --=D ．4220x y +-=2．若曲线e x y a =+在0x =处的切线也是曲线ln y x =的切线，则=a （ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．e3．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(3)f x f x -=-，当[0,1]Î时，2()f x x =，若6()log |1|g x x =-，下列命题：①()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象在72x =处的切线方程为44170x y +-=；③函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为12；④(2022)(2023)(2024)(2025)2f f f f +++=．其中正确命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1M 为抛物线E ：()220x py p =>上一点，若抛物线E 在点M 处的切线恰好与圆C ：()()2220x y b b +-=<相切，则b =（ ）A ．B ．2-C ．3-D ．4-5．若函数()3221f x x x =++，则()f x 在点()1,2P -处的切线方程为（ ）A ．10x y +-=B ．30x y ++=C ．250x y -+=D ．230x y +-=6．已知函数2()e x f x x =-，则下列结论中错误的是（ ）A ．e 1((0))ef f -=B ．()f x 为减函数C ．()2log 3(2)f f <D ．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(2e)1y x =--7．已知曲线211ln 22y x x =++在点()1,1处的切线与抛物线2x ay =也相切，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．0或18．已知曲线1:()sin()c f x A x w j =+与2π:()cos()0,0,||2c g x A x A w j w j æö=+>><ç÷èø，下面结论不正确的是（ ）A ．12,c c 有公切线B ．12,c c 在区间[,]a b 上均达到一个极大值点和极小值点，则3π2a b w-³C ．不等式()()f x g x >在π45π4,44j j w w ++æöç÷èø一定成立D ．记点π4,4P m j w -æöç÷èø处12,c c 9．设A ，B ，C ，D 为抛物线24x y =上不同的四点，A ，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设点D 到直线AB 和直线AC 的距离分别为1d ，2d ，已知12d d +=sin BAC Ð=（ ）A ．12B C ．1D 10．若过点(),a b 可以作曲线ln 1y x =+的两条切线，则（ ）A ．ln b a<B ．ln 1b a >+C ．0a <D ．e ab >11．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()32f x x x =+，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为（ ）A ．52y x =--B ．58y x =--C ．52y x =+D ．58y x =+12．曲线()e 3xf x x =-在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．1313．曲线ln 2y x =在点1,02æöç÷èø处的切线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．220x y -+=D ．220x y --=14．已知二次函数()y ax x b =-（0b ¹且1b ¹）的图象与曲线ln y x =交于点P ，与x 轴交于点A （异于点O ），若曲线ln y x =在点P 处的切线为l ，且l 与AP 垂直，则a 的值为（ ）A ．1e-B ．1-C ．D ．2-15．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 ()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为 ()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x L ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（ ）A ．1B ．12C ．23D ．34题型二 求过一点的切线方程16．已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．217．若过点(),(0)m n m >可以作两条直线与曲线1ln 2y x =相切，则下列选项正确的是（ ）A ．2ln n m <B ．2ln n m >C ．2ln 0m n >>D ．2ln 0m n <<18．若过点(),2a 可以作曲线ln y x =的两条切线，则a 的取值范围为（ ）A ．()2,e -¥B ．(),ln2-¥C ．()20,eD ．()0,ln219．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥20．已知函数()211ln ,0224ln ,0x x f x x x ìæöæö£ïç÷ç÷=íèøèøï>î，若函数()()g x f x mx =-有4个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．216e m m ìü³íýîþB ．{}2eln 2m m ³C ．2216eln 2e m m ìü<<íýîþD ．2216eln 2e m m m ìü==íýîþ或21．若过点()1,b 可以作曲线()ln 1y x =+的两条切线，则（ ）A ．ln22b <<B ．ln2b >C ．0ln2b <<D ．1b >22．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B ¢都落在边AD 上，记为B ¢；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB ¢=+uuur uuuu r uuu r ．以点B 为坐标原点建立坐标系，若曲线T 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，等腰梯形1111D C B A 的111111,,A B B C C D 分别与曲线T 切于点P 、Q 、R ，且11,A D 在x 轴上．则梯形1111D C B A 的面积最小值为（ ）A ．6B ．C ．D ．23．若曲线 1e xax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（ ）A ．14B C ．13D 24．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．若曲线()1log a f x x x=+（0a >且1a ¹）有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围为（ ）A ．æççèB ．ö÷÷øC ．(D ．)+¥26．已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,227．已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （ ）A ．斜率为2B ．斜率为2±C ．恒过点()0,2-D ．恒过点()1,2--28．已知点(),P x y 是曲线2y x = ）A B C D 29．设点P (异于原点)在曲线()4:0C y ax a =¹上，已知过P 的直线l 垂直于曲线C 过点P 的切线，若直线l 的纵截距的取值范围是34,éö+¥÷êëø，则=a （ ）A ．2B ．1C ．1-D ．1±30．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（ ）A B C ．1D )e 5+题型三 已知切线求参数问题31．函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥32．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4，C 的一条渐近线与曲线sin y x =在3π4x =处的切线垂直，M ，N 为C 上不同两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则2211OMON+=（ ）A ．14B ．4C ．12D ．233．已知直线y kx b =+恒在曲线()ln 2y x =+的上方，则bk的取值范围是（ ）A ．()1,+¥B ．3,4æö+¥ç÷èøC ．()0,¥+D ．4,5æö+¥ç÷èø34．已知 0m > ，0n >，直线 2e y x m =+ 与曲线 2ln 4y x n =-+ 相切，则 11m n+ 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．135．贝塞尔曲线（Beziercurve ）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数()f x 的图象是可由A ，B ，C ，D 四点确定的贝塞尔曲线，其中A ，D 在()f x 的图象上，()f x 在点A ，D 处的切线分别过点B ，C .若()0,0A ，()1,1B --，()2,2C ，()1,0D ，则()f x =（ ）A ．3254x x x --B ．333x x -C ．3234x x x-+D ．3232x x x--36．已知函数()1e xf x ax =++，曲线()y f x =在ln3x =处的切线与直线2ln50x y -+=平行，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．12C ．1-D ．32-37．若直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．21e B ．22e C ．1eD ．2e38．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ 和一段圆弧 QM组成，如图所示．在适当的坐标系下圆弧 QM所在圆C 的方程为()()22103128x y ++-=．若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45°且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，则该抛物线的方程为（ ）A ．()244x y =-+B ．2132y x =--C ．()2321x y =--D ．()2144y x =-+39．已知函数2()ln f x x m x =+的图象在点(1,1)P 处的切线经过点(0,1)Q ，则实数m 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．240．函数e x m y n +=-的图象与直线e y x =相切，则以下错误的是（ ）A ．若1m =，则e n =B ．若1n =，则1em =C ．en m =+D ．e n m=41．已知曲线e x y x =，过点()3,0作该曲线的两条切线，切点分别为()()1122,,,x y x y ，则12x x +=（ ）A ．3-B ．CD ．342．已知()ln f x x x =+，曲线()y f x =在点Q 处的切线l 与直线2140x y --=平行，则直线l 的方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y ++=D ．210x y +-=43．已知函数()()1e xf x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．344．若曲线()ln f x ax x =-与直线222ln20x y -+-=相切，则实数=a （ ）A ．1-B ．1C ．2D ．e45．函数()ln f x x a x =-在区间()1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围（ ）A ．()1,6B ．()1,3C ．()3,4D ．()4,6题型四 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题46．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()0,2P 处有相同的切线，则+a b c 的值为 .47．已知函数y =x y a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.48．已知函数()24e 2(0)x f x x x x -=->，函数()2233()g x x ax a a a =-+--ÎR ．若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q ，当P 、Q 两点不重合时，线段PQ 的长为 ．49．已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ìæö+>ïç÷=èøíï<î点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为 ．50．若两个函数()ln =+f x x a 和()()e ,R xg x b a b =Î存在过点12,2æöç÷èø的公切线，设切点坐标分别为()()()()1122,,,x f x x g x ，则()()()121222x x f x g x éù++=ëû.51．已知函数121y x =的图象与函数2xy a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则=a .52．曲线e x y =在()11,A x y 处的切线与曲线ln y x m =+相切于点()22,B x y ，若12x x <且2121111x x y y +=--，则实数m 的值为 .53．已知函数121y x =的图象与函数2(0xy a a =>且1)a ¹的图象在公共点处有相同的切线，则=a，切线方程为 .54．已知函数()1sin 22f x x =.若曲线()y f x =在点()()11,A x f x 处的切线与其在点()()22,B x f x 处的切线相互垂直，则12x x -的一个取值为.55．写出与函数()sin f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = .56．写出与函数()sin2f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = ．57．若曲线(),0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．22222;3sin 4cos ;310;10y x x y x x x xy x y x x =-=+-+=+---=①②③④．58．已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=)R m Î的最小值为 ．59．已知曲线()e xf x x =+在点()()0,0f 处的切线与曲线()ln 1y x a =-+相切，则=a.60．已知曲线()f x =()ln g x a x =（a R Î）相交，且在交点处有相同的切线，则=a .1．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++有且仅有一个公共点，则实数a 的值是（ ）A ．8-B ．0C ．0或8D ．82．直线2y x a =+与曲线()22ln f x bx x x =+-相切于点()()22f ,，则ab 的值为（ ）A ．12B ．2ln2-C ．ln2-D ．2ln2-3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =-+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为A ．33y x =+B ．33y x =-C ．3y x =+D ．3y x =-4．过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（ ）A ．3-B ．C D ．35．已知函数()g x 为奇函数，其图象在点(,())a g a 处的切线方程为210x y -+=，记()g x 的导函数为()g x ¢，则()g a ¢-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．点P 是曲线()f x =P 到直线20x y -+=的距离的最小值是（ ）A B ．74C D ．347．若函数()ln x f x x=与()e x ab g x -=-在1x =处有相同的切线，则a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．已知函数()f x 在点=1x -处的切线方程为10x y +-=，则()()11f f ¢-+-=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．若曲线33y x x =++在点()1,5处的切线与ln y x ax =+在点()1,a 处的切线平行，则=a （ ）A ．3B ．2C ．32D ．1210．若过点2(2,)P a a 可作3条直线与曲线3()f x x =相切，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,8)B ．1(,)8+¥C ．1(,0)(0,8-¥U D ．(,0)(8,)-¥È+¥11．对于函数()2e xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 恰有一个极值点B ．()f x 有最小值但没有最大值C ．直线()2y k x =+与曲线()y f x =的公共点个数最多为4D ．经过点()0,0可作曲线()y f x =的两条切线12．已知函数()b f x ax =的导函数为2()3f x x ¢=，则a b += ，过点(1,1)且与曲线()y f x =相切的直线方程为 .13．若函数()21ln 2f x x t x =-的图象在点()()1,1f 处的切线方程为y kx b =+，则k b += ；若方程()0f x =有两个不等的实根，则实数t 的取值范围为 .14．已知函数()21e xx x f x -+=.(1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的极值.15．已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．(1)若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)求()f x 的极值点；(3)若()f x 在[)0,¥+上的最大值是0，求a 的取值范围．16．已知函数()sin x x x j =-，()()ln 1e x f x a x =-+，其中a ÎR .(1)当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)证明：当[)0,x Î+¥时()306x x j +≥；(3)对任意[]0,πx Î，()()22f x x j ¢³+恒成立，求实数a 的取值范围.17．已知函数()2e e x f x ax =+-，R a Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（注：e 2.71828=×××是自然对数的底数）(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)讨论()f x ¢的单调性；(3)若()f x 无极值点，求实数a 的取值范围．18．已知函数()ln f x x x =-．(1)求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求证：()1f x £-；19．已知函数()()1e x f x ax a =-+.(1)若1a =，求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若关于x 的方程()1ef x =-恰有两个不同的实数解，求a 的取值范围.20．已知0a >，函数()()2ln ln e f x x a a x x =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.(2)已知R t Î，2()(2)ln g x tx t x x =+--时，讨论函数()g x 的单调性.(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.。
导数的几何意义(切线问题)
导导导导导导导导导导导导导一、单选题1. 函数f(x)=1x2在点A(12,4)处的切线与两坐标轴围成的图形面积是( )A. 12B. 9C. 34D. 922. 曲线y=x2上哪点处的切线的倾斜角为π4( )A. (0,0)B. (2,4)C. (12,14) D. (14,116)3. 已知曲线y=x3−2x在点P处的切线与直线y=x+8平行，则点P的坐标为( )A. (1,−1)B. (2,4)C. (1,−1)或(−1,−1)D. 以上都不对4. 曲线y=2x2+1在点P(−1,3)处的切线方程为A. y=−4x−1B. y=−4x−7C. y=4x−1D. y=4x+75. 若直线3x+y−a=0是曲线y=12x2−4lnx的一条切线，则实数a=( )A. 12B. 32C. 52D. 72二、填空题6. 曲线y=x−cosx在点(π2,π2)处的切线方程为________．7. 函数f(x)=e x+e在点(1,f(1))处的切线方程为______．8. 曲线y=x3−4x在点(1,−3)处的切线倾斜角为__________．三、解答题9. 已知函数f(x)=e x−lnx+1.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．10. 已知函数f(x)=x3+ax+b的图象是曲线C，直线y=kx+1与曲线C相切于点(1,3)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间．答案和解析1.解： ∵ f(x)=x −2，∴ f′(x)=−2x −3，∴f ′(12)=−16， ∴函数 y =f(x)在点A (12,4)处的切线的斜率为−16， ∴函数 y =f(x)在点A (12,4)处的切线方程为 16x +y −12=0，当x =0时，得y =12，当y =0时，得x =34， ∴与两坐标轴围成的图形面积是 12×12×34=92．故选D ． 2.解：因为函数的导数为：f′(x)=2x ，又因为切线的倾斜角为π4，所以切线的斜率k =tan π4=1，即f′(x)=1，所以2x =1，解得x =12．当x =12时，y =(12)2=14．即切点为(12,14)．故选C ． 3.解：由题意可知：函数y =x 3−2x 的导函数为y′=3x 2−2，∵过P 点的切线与直线y =x +8平行，∴3x 2−2=1，解得x =±1，当x =1时，y =−1，此时切线方程为y =x −2;当x =−1时，y =1，此时切线方程为y =x +2，所以点P 的坐标是(1,−1)或(−1,−1)．4.解：令y =f (x )，则f (x )=2x 2+1，所以f′(x )=4x ，所以f′(−1)=−4．由导数的几何意义可得k =f′(−1)=−4，又切点(−1,3)，所以切线方程为y −3=−4(x +1)． 即y =−4x −1．故选A ．5.解：因为y =12x 2−4lnx ，所以y ′=x −4x ，直线3x +y −a =0，即直线y =−3x +a 为是曲线y =12x 2−4lnx 的一条切线，则令x −4x =−3，即x 2+3x −4=0，得x =1或x =−4(舍去)，将x =1带入y =12x 2−4lnx 得y =12，所以切点是(1,12)，代入3x +y −a =0，得3+12−a =0，a =72．故选D ． 6.解：，则，所以 f ′ )=1+1=2， 所以曲线y =x −cosx 在点(π2,π2)处的切线方程为， 即y =2x −π2，故答案为y =2x −π2． 7.解：∵f (x )=e x +e ，f (1)=2e ，f′(x )=e x ，k =f′(1)=e ，∴切线的方程为：y −2e =e (x −1)，即y =ex +e ，故答案为：y =ex +e ．8.解：由题意可得y′=3x 2−4，可得y′|x=1=−1，故切线的斜率为−1，切线的倾斜角为34π． 9.解(1)由题意知函数f(x)=e x −ln x +1，则f′(x)=e x −1x ，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率f′(1)=e −1，又f(1)=e +1所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −(e +1)=(e −1)(x −1)， 即y =(e −1)x +2．(2)由(1)知曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =(e −1)x +2， 所以切线在x 轴、y 轴上的截距分别为21−e、2， 故曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2e−1×2=2e−1． 10.解：(1)因为切点坐标为(1,3)，所以k +1=3，所以k =2，因为f′(x)=3x 2+a ，所以f′(1)=3+a =2，所以a =−1，所以f(x)=x 3−x + b ，由f(1)=3，得b =3，所以f(x)=x 3−x +3．(2)因为f(x)=x 3−x +3，所以f′(x)=3x 2−1，令3x 2−1>0，解得x <−√33或x >√33， 所以函数f(x)的递增区间为(−∞,−√33)，(√33,+∞)．。
利用导数求切线方程(练习)
利用导数求切线方程【题组一 求切线斜率或倾斜角】1．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 .2．点P 在曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 .3．曲线34y x x =-在点()1,3-处的切线的倾斜角为 .4．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+ .5．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos(2)2πα+的值为 . 6．已知曲线234x y lnx =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为 。
7．点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是 。
8．若函数()3ln f x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是 。
9.已知函数()()21,.f x g x x x==若直线l 与曲线()f x ，()g x 都相切，则直线l 的斜率为 .【题组二 在某点处求切线】1．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________.2．函数3()2ln 2f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为______________________.3．已知函数()2()1x f x x x e =++，则()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为 .4．曲线()sin 1ln 1=+++y x x x 在0x =处的切线方程为__________．5．曲线()tan ln 11=+++y x x 在0x =处的切线方程为__________．6． 曲线cos 2x y x =-在点()0,1处的切线方程为__________.7．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是__________．8．若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为______________．9.已知()()221f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为 .【题组三 过某点求切线】1．过原点与曲线2x y e =相切的直线方程为______.2．已知点()1,2A 在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是 。
导数公切线练习题
导数公切线练习题导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
在数学中，我们经常遇到需要求函数在某一点的切线斜率或者求函数在某一点的切线方程的问题，而这些问题可以通过导数来解决。
在本文中，我们将介绍一些导数公切线的练习题，帮助大家更好地理解和应用导数概念。
1. 练习题一：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5，求函数f(x)在点x=2处的切线方程。
解答：首先，我们需要求出函数f(x)在点x=2处的导数f'(x)。
对于给定的函数f(x)，我们可以求出导数f'(x)为f'(x)=6x^2-6x+4。
接下来，我们根据导数的定义，可以得到函数f(x)在点x=2处的切线斜率为f'(2)。
带入x=2，我们得到切线斜率为f'(2)=6*2^2-6*2+4=20。
知道切线斜率后，我们可以利用点斜式或者斜截式来求切线方程。
这里，我们使用点斜式。
切线方程的点（x1，y1）为（2，f(2)）。
将该点和切线斜率代入点斜式的公式y-y1=k(x-x1)，我们可以得到切线方程的表达式为y-f(2)=20(x-2)。
所以，函数f(x)在点x=2处的切线方程为y-(-5)=20(x-2)。
2. 练习题二：已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求函数g(x)在点x=π/4处的切线方程。
解答：同样地，我们首先求出给定函数g(x)的导数g'(x)。
对于函数g(x)，我们可以得到导数g'(x)为g'(x)=cos(x)-sin(x)。
接下来，我们代入x=π/4，求出切线斜率为g'(π/4)。
带入x=π/4，我们得到切线斜率为g'(π/4)=cos(π/4)-sin(π/4)。
根据三角函数的性质，我们可以知道cos(π/4)=sin(π/4)=√2/2。
所以，切线斜率为g'(π/4)=√2/2-√2/2=0。
已知切线斜率为0，我们可以得出切线方程的表达式为y=g(π/4)。
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15．曲线 的一条切线的斜率为2，则切点坐标为_________．
16．设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ________.
三、解答题
17．求曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角形的面积.
18．已知曲线y = x3+ x－2在点P0处的切线 平行于直线
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
2．D
【分析】
由平均变化率的定义计算．
【详解】
.
故选：D．
3．D
【分析】
求得直线 的斜率，利用曲线 的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得 的值.
【详解】
直线 的斜率为 ，
对于 ，令 ，解得 ，故切点为 ，代入直线方程得 ，解得 或1.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
A．2B．0C．1D．－1
5．曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A．1B．2C．－1D．-2
6．曲线 在点 处的切线方程是（）
A． B． C． D．
7．如图所示的是 的图象，则 与 的大小关系是( )
A． B．
C． D．不能确定
8．过曲线 （ ）上横坐标为1的点的切线方程为( )
A． B．
C． D．
9．已知函数 在 处的切线与直线 平行，则 （）
导数中的切线问题专题练习
一、单选题
1．函数 的图象在点 处的切线斜率为（）
A．2B．-2C．4D．
2．一质点的运动方程是 ，则在时间 内相应的平均速度为（）
A． B． C． D．
3．已知直线 是曲线 的切线，则 （）
A． 或1B． 或2C． 或 D． 或1
4．已知函数 在 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
18．（1） （2）
【详解】
本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．
首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用 ，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论．
解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．
4．C
【解析】
分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可.
详解：由题可知：函数 在 处的切线的斜率为 ，直线 的斜率为-1，故 =-1得 1，故选C.
点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题.
5．C
【分析】
对 求导，然后把 代入导函数中，求出在点 处的切线斜率．
【详解】
，把 代入导函数中， ，
故答案为： ．
15．
【分析】
求出原函数的导函数，设切点坐标，由切点处的导数值为2求得切点的横坐标，进一步得到切点坐标．
【详解】
解：由 ，得 ，
设切点坐标为 ， ，
则 ，解得 ，
．
则切点坐标为 ．
故答案为： ．
16．4
【分析】
先对函数求导，再由题意可知在 处的导数值为3，从而可求得 的值
【详解】
解：由 ，得 ，
【详解】
， ， ， ，
所求切线方程为： ，即 .
故选： .
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程的问题，属于基础题.
11．A
【分析】
12．B
【分析】
根据切线斜率可得 ，将 代入切线方程求得 ，代入求得结果.
【详解】
由切线斜率可知：
又 在切线上
本题正确选项：
【点睛】
本题考查了导数几何意义的应用，关键是明确在曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：4
17．
【分析】
由题意利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与直线 和 的交点坐标，进而可得答案
【详解】
解：依题意得 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程是 ，即 .
直线 与 的交点坐标是 ，
直线 与x轴的交点坐标是 ，
故直线 和 所围成的三角形 的面积等于 .
考点：导数的几何意义
8．B
【解析】
∴该切线的斜率 故所求的切线方程为 ，即 ，故选B.
9．C
【分析】
先对函数求导 ，由题意可知 ，从而可求出 的值
【详解】
由函数的解析式可得： ，
函数 在 处的切线与直线 平行，则
故选：C
【点睛】
此题考查导数的几何意义的应用，属于基础题
10．A
【分析】
根据导数的几何意义可直接求解得到结果.
A．8B．9C．10D．11
10．函数 在 处的切线方程是（）
A． B．
C． D．
11．已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为．
A．3B．2C．1D．
12．函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则 （ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．与直线 平行且与抛物线 相切的直线方程是_______．
13．
【分析】
先设出切点，再根据导数的几何意义以及斜率为 求出切点，进而可以求出切线方程.
【详解】
解：设切点坐标为 ， ，
则由题意可得 ，
即 ．
故答案为： .
14．
【分析】
利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
由题意知，切线的斜率 ．
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
所以在点 处的切线斜率为 ，故本题选C.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义．
6．A
【分析】
计算导数，可得 ，然后利用点斜式可得切线方程.
【详解】
由题可知： ，则
所以曲线在点 的切线方程为：
即
故选：A
【点睛】
本题考查曲线在某点处的切线方程，重在导数几何意义的理解，属基础题.
7．B
【解析】
试题分析：由函数图像可知函数在A处的切点斜率比在B处的切线斜率要小，由导数的几何意义可知 成立
②已知 求 .
（2）求过点 的曲线 的切线方程.
22．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
参考答案
1．D
【分析】
首先求出函数的导函数，再代入求值即可；
【详解】
解：因为 ，所以 ， .
故选：D
4x－y－1=0，且点P0在第三象限,
⑴求P0的坐标;
⑵若直线 ,且l也过切点P0,求直线l的方程.
19．函数 在点 处的切线为 ．
（1）若 与直线 平行，求实数 的值；
（2）若 与直线 垂直，求实数 的值．
20．已知函数 .
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点 处的切线方程.
21．（1）①已知 ，求 .