高中数学导数的几何意义求切线方程专题-解析版

导数的几何意义求切线方程专题题型一：切点已知求切线方程【例1】.函数f(x)=xe x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________．【答案】y=2ex−e【解析】因为f(x)=xe x，所以f(1)=e，f′(x)=e x+xe x，所以f′(1)=2e，所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即y=2ex−e．变式1.已知函数f(x)=x+aln⁡x．当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；【答案】2x−y−1=0【解析】当a=1时，f(x)=x+ln⁡x，f′(x)=1+1x(x>0)．所以f(1)=1，f′(1)=2，所以切线方程为2x−y−1=0．【备注】考查导数的几何意义，先由导数得到斜率，再根据点斜式得到切线方程．变式2.已知函数f(x)=(x+1)ln⁡x−a(x−1)．当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；【答案】y=−2x+2．【解析】当a=4时，f(1)=0，函数f(x)的导函数f′(x)=ln⁡x+1−3,因此f′(1)=−2，从而所求的切线方程为y=−2(x−1)，也即y=−2x+2．【备注】本小题是常规的利用导函数求函数的切线方程问题．题型二：切点未知求切线方程【例2】.【2018年浙江宁波高二下学期周测】过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为________【答案】y=ex【解析】y′=e x设切点的坐标为(x0,e x0)，切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)又切线过原点，∴−e x0=e x0(−x0)，∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．变式.已知函数f(x)=x3−3x，过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________【答案】3x+y=0或24x−y−54=0【解析】由f(x)=x3−3x，得f′(x)=3x2−3，设切点为(x0,x03−3x0)，则斜率k=3x02−3，∴切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，即y=(3x02−3)x−2x03．∵切线过点P(2,−6)，则−6=2(3x02−3)−2x03，解得：x0=0或x0=3．∴所求切线方程是y=−3x或y=24x−54．故答案为：3x+y=0或24x−y−54=0．题型三：已知切线方程求参数【例3】.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切，则m= ________【答案】1【解析】设切点为P(x0,y0)．易知y′|x=x=2x0．由{2x0=−2,y0=x02,得{x0=−1,y0=1,所以P(−1,1)．又P(−1,1)在直线2x+y+m=0上，所以2×(−1)+1+m=0，解得m=1．变式1.【2016年辽宁大连单元测试】设函数f(x)=x2-ln⁡(x+a)+b，g(x)=x3．若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y=0，求实数a,b的值；【答案】a=1，b=0【解析】f′(x)=2x−1x+a依题意{f′(0)=−1a=−1 f(0)=−ln⁡a+b=0变式2.【2015年浙江舟山高二下学期月考】在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=√1−x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=−x2+mx相切于x=1处，则m=________【答案】2【解析】函数y=f(x)=2即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，即有在(0,1)处的切线为y=1，由题意可得直线l：y=1也是g(x)=−x2+mx的切线，所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g′(0)=−2∗0+m=0且g(1)=1,所以m=2题型四:公切线求参数问题【例4】.若直线y=kx+t是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则t=________ ．【答案】4−2ln⁡2【解析】设y=kx+t与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为(x1,kx1+t)、(x2,kx2+t)．由导数的几何意义可得k=e x1=e x2+1，得x1=x2+1．再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+t=e x1+2，kx2+t=e x2+1．联立上述式子{k=e x1x1=x2+1 kx1+t=e x1+2 kx2+t=e x2+1解得k=2，x1=ln⁡2，t=4−2ln⁡2．故答案为4−2ln⁡2．【备注】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可变式：函数f(x)=ln⁡x+mxx+1与g(x)=x2+1有公切线y=ax(a>0)，则实数m的值为________ ．【答案】4【解析】设公切线y=ax与g(x)=x2+1的切点为(x0,x02+1)，g"(x)=2x，故切线斜率为2x0，则切线为y−(x02+1)=2x0(x−x0)，因为切线过原点(0,0)，所以−x 02−1=−2x 02，解答x 0=1或x 0=−1， 因为切线斜率a =2x 0>0，所以x 0=1，a =2， 设公切线y =2x 与f(x)=ln⁡x +mxx+1相切与点(x 1,ln⁡x 1+mx 1x 1+1)，f"(x)=1x +m (x+1)2，故斜率1x 1+m(x1+1)2=2①切线方程为y −(ln⁡x 1+mx 1x1+1)=(1x 1+m(x 1+1)2)(x −x 1)，因为过(0,0)，所以−ln⁡x 1−mx 1x1+1=−1−mx 1(x 1+1)2②联立①②解得x 1=1,m =4． 故答案为4．【备注】本题考查利用导数研究函数在某一点处的切线方程，根据条件设出切点，利用切线过原点且和两函数图象相切即可求出m 的值．针对训练1.曲线f(x)=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．−9 B ．−3 C ．9 D ．15【答案】C【解析】因为y ′=3x 2，切点为(1,12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为3x −y +9=0，令x =0，得y =9【备注】求在某点处切线2.【2018年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高二下学期期中考试数学试卷】已知直线y =−2x −23与曲线2f(x)=13x 3−bx 相切，则b =________． 【答案】3【解析】f(x)=13x 3−bx ，f ′(x)=x 2−b =−2，{x 2−b =−213x 3−bx =−2x −23，x =1，b =3．3.已知函数f(x)=ax2+(2a−1)x−ln⁡x，a∈R．若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线经过点(2，11)，求实数a的值；【答案】a=2【解析】由题意得f′(x)=2ax+(2a−1)−1 x=2ax2+(2a−1)x−1x=(2ax−1)(x+1)x∴f′(1)=2(2a−1)∵f(1)=3a−1∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2(2a−1)(x−1)+3a−1代入点(2，11)，得a=2【备注】根据题意，对函数f(x)求导，由导数的几何意义分析可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程，代入点(2，11)，计算可得答案4.【2013年山西太原单元测试】设函数f(x)=x3−3ax+b,a≠0在点(2,f(2))处与直线y=8相切求实数a,b的值；【答案】a=4,b=24；【解析】f′(x)=3x2−3a，f′(2)=0,f(2)=8即12−3a=0,8−6a+b=8解得a=4,b= 245.函数f(x)=x2−2ax+ln⁡x(a∈R)．函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y+ 1=0垂直，求a的值；【答案】a=52【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2a+1x，f′(1)=3−2a，由题意f′(1)⋅12=(3−2a)⋅12=−1，解得a=52．6.已知函数f(x)=aln⁡x−bx2图像上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=−3x+2ln⁡2+2，求a,b 的值【答案】a=2,b=1【解析】f′(x)=ax−2bx{k=f′(2)=a2−4b=−3y0=f(2)=aln⁡2−4b=−6+2ln⁡2+2解得：a=2,b=1【备注】若想解得参数a,b需要注意两点：1、切点是个很特殊的点，既在曲线上，又在切线上。

2、给函数求导求得的是斜率。

所以根据题中参数有2个，索引我们需要列2个式子，解2个未知数。

第一步：把P(2,f(2))代入切线方程得切点；第二步：把切点P代入曲线得第一个式子；第三步：函数求导，代入f′(2)=−3，得第2个式子。

7.已知a,b为正实数，若直线y=x−a与曲线y=ln⁡(x+b)相切，则1a+1+2b+2的最小值是________．【答案】3+2√24【解析】y=ln⁡(x+b)的导数为y′=1x+b，y=x−a的切线斜率为1，可得切点坐标为(1−b,0)，代入得a+b=1，则14(1a+1+2b+2)(a+1+b+2)=14(3+b+2a+1+2(a+1)b+2)≥3+2√248.设已知曲线y=e x+a与y=(x−1)2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ________ ．【答案】 (−∞,2ln⁡2−3)【解析】y =(x −1)2的导数y ′=2(x −1)，y =e x+a 的导数为y ′=e x+a ， 设与曲线y =e x+a 相切的切点为(m,n)，y =(x −1)2相切的切点为(s,t)， 则有公共切线斜率为2(s −1)=e m+a =t−ns−m ， 又t =(s −1)2，n =e m+a ， 即有2(s −1)=(s−1)2−e m+as−m=(s−1)2−2(s−1)s−m即为s −m =s−12−1，即有m =s+32(s >1)，则有e m+a =2(s −1)，即为a =ln⁡2(s −1)−s+32(s >1)，令f(s)=ln⁡2(s −1)−s+32(s >1)，则f ′(s)=1s−1−12，当s >3时，f ′(s)<0，f(s)递减， 当1<s <3时，f ′(s)>0，f(s)递增．即有s =3处f(s)取得极大值，也为最大值，且为2ln⁡2−3， 由恰好存在两条公切线，即s 有两解， 可得a 的范围是a <2ln⁡2−3． 故答案为(−∞,2ln⁡2−3)．【备注】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力.分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得m =s+32(s >1)，则有a =ln⁡2(s −1)−s+32(s >1)，令f(s)=ln⁡2(s −1)−s+32(s >1)，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a 的范围.9.若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 3和y =ax 2+154x −9都相切，则a 等于( )A ．−1或−2564 B ．−1或214 C ．−74或−2564 D ．−74或7 【答案】A 【解析】由y =x 3⇒y"=3x 2，设曲线y =x 3上任意一点(x 0,x 03)处的切线方程为y −x 03=3x 02(x −x 0)，(1,0)代入方程得x 0=0或x 0=32①当x 0=0时，切线方程为y =0，此直线是y =x 3的切线，故ax 2+154x −9=0仅有一解，由△=0，解得a =−2564②当x 0=32时，切线方程为y =274x −274，由{y =ax 2+154x −9y =274x −274⇒ax 2−3x −94=0，△=32−4a(−94)=0⇒a =−1 ∴a =−1或a =−2564． 故选A10.(1) 曲线y =ln⁡(2x −1)上的点到直线2x −y +3=0的最短距离是( ) A ．√5 B ．2√5 C ．3√5 D ．0 【答案】A【解析】第一步：设2x −y +m =0与y =ln⁡(2x −1)相切，切点为(x 0,ln⁡(2x 0−1)) 第二步：切点横坐标代入导函数得斜率：22x0−1=2，得x 0=1第三步：切点也在切线上，代入2x −y +m =0，得m =2第四步：求两条平行直线的距离：d=√22=√5=√5(2) 若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=x3−3x2+2x和y=x2+a都相切，求a的值．【答案】164或1【解析】第一步：设y=kx与y=x3−3x2+2x相切，切点为(x0,y0)第二步：切点横坐标代入导函数得斜率：3x02−6x0+2=k第三步：切点也在切线上，代入y0=kx0，得x0=0或x0=32第四步：根据直线y=kx也为y=x2+a的切线，求出a的值164或1。