3.3求非线性目标函数的最值及逆向问题

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求非线性目标函数最值问题

7x 5y 23 0, 【自我矫正】不等式组 x 7y 11 0, 表示的平面区域为如图所示 4x y 10 0
△ABC的内部(包括边界),令z=x2+y2,则z即为点(x,y)到原点的距离的平方.
由
7x 5y 23 0,
x 7y 11 0,
为是求三点A,B,C到原点的距离的平方的最值.
【规避策略】
1.准确作图
在利用可行域求目标函数的最值时首先要利用约束条件作出可行域, 一定要准确,特别是边界一定要明确是否包含. 2.准确理解目标函数的几何意义在求非线性目标函数的最值时,一定要准确理解目标函数的几何意义, 利用其几何意义结合可行域准确解题.
此时z=x2+y2=(-3)2+22=13, 而在原点处,
x 0, y 0,
此时z=x2+y2=02+02=0,
x 1, 所以当时x2+y2取得最大值37, y 6 x 0, 当时x2+y2取得最小值0. y 0
答案:37 0
得A点坐标(4,1),
此时z=x2+y2=42+12=17,
7x 5y 23 0, 由 4x y 10 0,
得B点坐标(-1,-6), 此时z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,
x 7y 11 0, 由得C点坐标(-3,2), 4x y 10 0,
求非线性目标函数最值问题
7x 5y 23 0, 2+y2的最大值为【典例】(2015·保定模拟)已知则 x x 7y 11 0, 4x y 10 0,

高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案必修5

3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域，如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值．【思路探究】【自主解答】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值．【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方．由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】－3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】原不等式组表示的平面区域如图所示：其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)．作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小；当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小．【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8；当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]．【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个．代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值．【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。

求非线性目标函数的最值及逆向问题ppt正式完整版

z＝2x＋y ∴－a<kCD，即－a<－1.
非线性目标函数的最值问题
的最大值为
7，最小值为
1，求
b＋c
的值．即a的取值范围为(1，＋∞)．
[自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形ABCD(包括边界)．
第二步，设过整数最优解且平行于直线ax+by=0的直线方程为ax+by=m, 不妨设a,b是两个整数(否则, a,b是两个有理数, 可乘以适当的数
进行化归)，则m必是整数, 根据具体问题限制m ≥ax0+by0或m ≤ax0+by0
x≥1 点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距最大，解：如图，画出求线性目标函数z = ax+by (a,b是不全为零的常数) ，在给定线性约束条件下的最优整数解，使用调整夹逼法探求的思路如下： x＋y≤4 解：如例3中的图，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4平行，此时a＝1.
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，求a的取值范围．
解：如例3中的图，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4平行，此时a＝1.
点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距最大，求线性目标函数z = ax+by (a,b是不全为零的常数) ，在给定线性约束条件下的最优整数解，使用调整夹逼法探求的思路如下：第二步，设过整数最优解且平行于直线ax+by=0的直线方程为ax+by=m, 不妨设a,b是两个整数(否则, a,b是两个有理数, 可乘以适当的数进行化归)，则m必是整数, 根据具体问题限制m ≥ax0+by0或m ≤ax0+by0 ∴－a<kCD，即－a<－1. 即a的取值范围为(1，＋∞)． [自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形ABCD(包括边界)． [自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形ABCD(包括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距最大， ∴a>1. 点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距最大，求线性目标函数z = ax+by (a,b是不全为零的常数) ，在给定线性约束条件下的最优整数解，使用调整夹逼法探求的思路如下：在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，求a的取值范围．在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，求a的取值范围． ∴a>1. 求线性目标函数z = ax+by (a,b是不全为零的常数) ，在给定线性约束条件下的最优整数解，使用调整夹逼法探求的思路如下：

第一部分第三章 3.3 第二课时简单的线性规划问题

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5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为__________元．
3.3
第三章
二元一次不等式组
第二课时
简单
不等式
与简单的线性规划
的线性规划问题
问题
理解教材新知把握热点考向应用创新演练
考点一考点二考点三
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第二课时简单的线性规划问题返回
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现在是信息时代，广告可以给公司带来效益．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙两个电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．问题1：设在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟，y分钟，试ห้องสมุดไป่ตู้出满足条件的不等关系．
答案：9
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2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x－y，则使z取得最小值的点的坐标为____________．
解析：对直线y＝x＋b进行平移，注意b越大，z越小故，四个点中，过点A(1,1)时 z取最小值0. 答案：(1,1)
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[例 2]
0≤x≤1 (2011·苏北四市三调 )在约束条件 0≤y≤2 2y－x≥1
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[一点通] 解答线性规划应用题的一般步骤： (1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺． (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题． (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．

线性规划常见题型及解法均值不等式(含答案)

线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。

通常代特殊点（0，0）。

（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。

非线性目标函数

非线性目标函数
非线性目标函数是指目标函数中存在非线性项的优化问题。

非线性目标函数在许多实际问题中是常见的，如经济学、物理学、工程学等领域。

非线性目标函数可以表示为：
$$
\text{minimize} \quad f(x)
$$
其中，$f(x)$是一个关于变量$x$的非线性函数。

优化问题的目标是找到使得目标函数取得最小值的变量$x$。

非线性目标函数在优化问题中具有许多挑战。

与线性目标函数不同，非线性目标函数的导数可能难以计算。

此外，非线性目标函数可能存在多个局部极小值点，而不是全局极小值点。

因此，寻找非线性目标函数的全局最小值通常是一个困难的问题。

为了解决非线性目标函数的优化问题，可以采用多种方法。

其中一种是使用迭代算法，如梯度下降法或牛顿法。

这些算法通过反复迭代更新变量$x$的值，以逐渐接近目标函数的最小值。

另一种方法是使用约束优化方法，将非线性目标函数的优化问题转化为带有约束条件的优化问题。

通过引入约束条件，可以限制变量$x$的取值范围，从而更容易找到全局最小值。

非线性目标函数的优化问题有许多重要的应用。

在经济学中，非线性目标函数可以用于描述市场供求关系、消费者行为等问题。

在物理学中，非线性目标函数可以用于描述物质的力学性
质、电磁场的行为等问题。

在工程学中，非线性目标函数可以用于优化设计问题、控制问题等。

总之，非线性目标函数是优化问题中常见的问题，解决这类问题的方法有很多。

通过使用适当的优化算法或约束优化方法，可以找到非线性目标函数的全局最小值，从而解决实际问题。

非线性目标函数的最值问题

非线性目标函数的最值问题一、单选题1．若实数满足不等式组，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】D画出不等式组表示的平面区域如图2中阴影部分所示，的几何意义是阴影部分内的点到原点的距离的平方，显然，由可得，则，故的取值范围为．故选D．【点睛】2．已知变量满足，设，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C作可行域，P(4,3),因为表示可行域内点到定点A（-1，-1）距离的平方，所以的取值范围为,选C.【点睛】3．若变量x，y满足，则的最大值为A．2B．3C．D．【答案】C不等式组表示的可行域是以，，为顶点的三角形区域，由表示点到原点的距离，最大值必在顶点处取到，因为，，，所以的最大值为，故选C．4．已知实数满足条件，则的最大值是( )A．1B．2C．3D．4【答案】C由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），∵z=，如图所示，经过原点（0，0）与A的直线斜率最大为3，∴的最大值是3．5．已知实数，满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C作出表示的可行域，如图，目标函数，可看作可行域内的点与的距离的平方，由图可知，点到直线距离的平方，就是作可行域内的点与的距离的平方的最小值，为，点到距离的平方，就是作可行域内的点与的距离的平方的最小值，为，所以的取值范围为，6．已知实数，满足不等式组则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D由约束条件作出可行域如图，表示原点（，）到阴影区域的距离的平方，∴是原点（（，）到的距离的平方，则＝＝，x是原点（，）到点（，）的距离的平方，则＝＝，∴的取值范围是，故选：D．7．若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【、详解：画出约束条件表示的可行域，如图，由可得，即，将形为，表示可行域内的点与连线的斜率，由图知最小，最大最大值为，故答案为.故选B.8．已知实数，满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由题意得，目标函数，可看作可行域内的点与的距离的平方．结合图形可得，点到直线的距离的平方，就是可行域内的点与的距离的平方的最小值，且为，点到距离的平方，就是可行域内的点与的距离的平方的最大值，为，所以的取值范围为．故选C ．9．已知动点满足：，则的最小值为（） A ． B ． C ．－1 D ．－2 【答案】D根据指数函数的性质，由可得，即，动点满足：，该不等式组表示的平面区域如图：设，，表示以为圆心的圆的半径，由图形可以看出，当圆与直线相切时半径最小，则，，解得，即的最小值为 . 故选：D.10．若x ，y 满足，，，则的最大值为（）A ．B ．C ．D．【答案】B画出目标函数可行域如上图所示，目标函数即为（x，y）点（0，-1）连线斜率的取值，所以在点B处取得最优解联立直线方程解得B（1，1）所以所以选B11．若变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B详解：，原式表示可行域内的点与连线的斜率加1。

非线性目标函数的最值问题PPT课件

(-1,1)
连
线
的
斜
率
k
的
取
值
范
围
是
非线性目标函数的最值问题
如图1,已知
,
表示(x，y)与原点(0,0)连线的斜率_；__________，
的几何意义：
的几何意义
的最小值是_________-1_
表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.
表示(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
Y
如图1,已知
,
如果点P在平面区域
表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.
表示可行域内点
表示点(x，y)与原点如(0,0果)连点线的P斜在率平；面区域
的几何意义：
内，点Q在曲线
故的范围是
(2)
的范围
(论2)求得目标函数的的最几上值何，或意范义那围：么|PQ|的最小值为（ A ）
(2)
的范围
1故、了的解范非围线是性目标函A数、所表示的几何意义B、
__________, (x－1)2＋(y－1)2的取值范围是________．
A(1,1)
探究2
对形如目标函数的最值（斜率型）
y o
如图2 ，实数x,y满足不等式组
x
2
x
y，则0 可行域内的 y20
点 (x,y) 到点非线性目标函数的最值问题
若实数x,y满足 ,则的取值范围是_____________.
zx2(y5)2
x-y+2=0
Y C
M(0,5)
4
N
X
A
B
O Q
x+y-4=0 4
故的最小值为
-5 2x-y-5=0

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x≥1，已知 x，y 满足x＋y≤4， x＋by＋c≤0，
且目标函数
z＝2x＋y 的最大值为 7，最小值为 1，求 b＋c 的值．
x≥ 1 解：如图，画出 x＋y≤4
所表示的平面区域及直线 2x＋y＝7 与 2x＋y＝1，
可知直线 x＋by＋c＝0 过直线 2x＋y＝1 与直线 x＝1 的交点(1，－1)和直线 2x＋y＝7 与直线 x＋y＝4 的交点(3,1)，且 b＜0.
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[自主解答]
由约束条件画出可行域(如图所示)为矩
形ABCD(包括边界)．
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点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上
的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
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在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，求a的取值范围．
2
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1 y－－2 (2)z＝2· 表示可行域内任一点(x， y)与定点 Q(－ x－－1 1 7 3 1，－2)连线的斜率的两倍，且 kQA＝4，kQB＝8， 3 7 所以 z 的取值范围为[4，2]．
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[悟一法] y－ b (1)若目标函数为形如 z＝，可考虑(a，b)与(x，y)两 x－ a 点连线的斜率． (2)若目标函数为形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y) 与(a，b)两点距离的平方．（ 3 ）对于形如 z=| Ax+By+C| 的目标函数，可化为 z=
1－b＋c＝0，所以 3＋b＋c＝0， b＝－1，解得 c＝－2.
故 b＋c＝－3.
A B
2 2
Ax By C A B
2 2
形式，
A2 B2
求可行域内的点（ x ，y ）到直线 Ax+By+C =0 距离的倍的最值。
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[研一题]
1≤x＋y≤4，已知变量 x， y 满足约束条件－2≤x－y≤2，
[例 3]
若
目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，求 a 的取值范围．
பைடு நூலகம்
y
B
A
C
x
[例 2]
x－y＋2≥0，已知x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝的取值范围． x＋1
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[自主解答]
作出可行域如图，并求
出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3，1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 9 上，故 z 的最小值|MN| ＝2.
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解：如例3中的图，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4平行，此时a＝1.
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[悟一法] 已知目标函数的最值求参数，这是线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．
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[通一类] y≥x， 3．(2011· 湖南高考)设 m>1，在约束条件y≤mx， x＋y≤1
下，目
标函数 z＝x＋5y 的最大值为 4，则 m 的值为________．
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1 m 解：画出可行域如图，可知 z＝x＋5y 在点 A( ， ) 1＋m 1＋m 取最大值为 4，解得 m＝3.
非线性目标函数的最值问题
及逆向求参数问题
非线性目标函数的最值问题
x y 4 0 y 例已知变量x , y满足 x y 0 ，求的取值范围. x x 1
说明：
ay b 在线性规划中，对于形如 z= （ ac ≠ 0 ）的目标函数， cx d b y ( ) a a d b 可先变形 z= c 的形式，将问题化归为求点（，） d x ( ) a c c 与可行域内的点（ x ， y ）连线斜率的 a/c 倍的范围最值；