高中数学求非线性目标函数的最值知识点与解题规律技巧,求非线性目标函数的最值典型例题讲解及答案解析
求非线性目标函数最值问题
7x 5y 23 0, 【自我矫正】不等式组 x 7y 11 0, 表示的平面区域为如图所示 4x y 10 0
△ABC的内部(包括边界),令z=x2+y2,则z即为点(x,y)到原点的距离的平方.
由
7x 5y 23 0,
x 7y 11 0,
为是求三点A,B,C到原点的距离的平方的最值.
【规避策略】
1.准确作图
在利用可行域求目标函数的最值时首先要利用约束条件作出可行域, 一定要准确,特别是边界一定要明确是否包含. 2.准确理解目标函数的几何意义 在求非线性目标函数的最值时,一定要准确理解目标函数的几何意义, 利用其几何意义结合可行域准确解题.
此时z=x2+y2=(-3)2+22=13, 而在原点处,
x 0, y 0,
此时z=x2+y2=02+02=0,
x 1, 所以当 时x2+y2取得最大值37, y 6 x 0, 当 时x2+y2取得最小值0. y 0
答案:37 0
得A点坐标(4,1),
此时z=x2+y2=42+12=17,
7x 5y 23 0, 由 4x y 10 0,
得B点坐标(-1,-6), 此时z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,
x 7y 11 0, 由 得C点坐标(-3,2), 4x y 10 0,
求非线性目标函数最值问题
7x 5y 23 0, 2+y2的最大值为 【典例】(2015·保定模拟)已知 则 x x 7y 11 0, 4x y 10 0,
非线性规划问题的求解方法[优质ppt]
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4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （ 1） 给 定 初 始 内 点 x (0) S ， 允 许 误 差 e>0，
障 碍 参 数 (1) ， 缩 小 系 数 b (0 ,1) ， 置 k= 1 ；
（ 2） 以 x (k1) 为 初 始 点 ， 求 解 下 列 规 划 问 题 ：
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
（二）拉格朗日乘子法 （三）可行方向法与广义简约梯度法 （四）SQP方法
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
内点法框图 kk1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min
s.t.
f (x) kq(x) x S0
高一函数求最值总结知识点
高一函数求最值总结知识点函数是数学中的一种重要概念，而求解函数的最值问题则是高一数学中的一项重要内容。
下面将对高一函数求最值的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的最值在学习函数的最值问题之前，我们先来复习一下函数的最值概念。
对于函数f(x)，若存在x1和x2，使得对于任意的x∈定义域D，有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x2)，则f(x1)称为函数f(x)在D上的最大值，f(x2)称为函数f(x)在D上的最小值。
二、求函数最值的方法1. 寻找顶点法：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，可以使用顶点公式求解顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))。
当a>0时，该函数在顶点处取得最小值；当a<0时，该函数在顶点处取得最大值。
2. 寻找边界法：对于一些简单的函数，可以通过直接寻找定义域的边界值，然后逐个计算函数值并比较，来确定最值。
这种方法在定义域较为简单且函数形式较简洁时，常常使用。
3. 导数法：对于可导的函数，可以使用导数的性质来求解最值。
求解思路是先求得函数的导函数f'(x)，然后找到其导数为零的点，进而确定这些点是否为最值点。
这种方法常用于解决函数无解析式表达，或者函数形式较复杂的最值问题。
三、实例分析下面通过几个实例来进一步理解和掌握高一函数求最值的方法。
例一：求函数f(x)=2x²-4x+3在定义域[-1,3]上的最小值。
解：首先，我们可以通过顶点法来求解。
根据顶点公式，顶点坐标为(-(-4)/(2*2), f(-(-4)/(2*2)))=(1,1)。
所以函数f(x)=2x²-4x+3在[-1,3]上的最小值为1。
例二：求函数f(x)=3(x-2)²在定义域(-∞,+∞)上的最小值。
解：利用顶点法，顶点坐标为(2,0)。
根据二次函数开口向上的特点，该函数在顶点处取得最小值0。
例三：求函数f(x)=e^x在定义域(-∞,0]上的最大值。
求非线性目标函数的最值及逆向问题ppt正式完整版
z＝2x＋y ∴－a<kCD，即－a<－1.
非线性目标函数的最值问题
的最大值为
7，最小值为
1，求
b＋c
的值． 即a的取值范围为(1，＋∞)．
[自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形ABCD(包括边界)．
第二步，设过整数最优解且平行于直线ax+by=0的直线方程为ax+by=m, 不妨设a,b是两个整数(否则, a,b是两个有理数, 可乘以适当的数
进行化归)，则m必是整数, 根据具体问题限制m ≥ax0+by0或m ≤ax0+by0
x≥1 点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距最大， 解：如图，画出 求线性目标函数z = ax+by (a,b是不全为零的常数) ，在给定线性约束条件下的最优整数解，使用调整夹逼法探求的思路如下： x＋y≤4 解：如例3中的图，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4平行，此时a＝1.
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围．
解：如例3中的图，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值 的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4平行， 此时a＝1.
点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距最大， 求线性目标函数z = ax+by (a,b是不全为零的常数) ，在给定线性约束条件下的最优整数解，使用调整夹逼法探求的思路如下： 第二步，设过整数最优解且平行于直线ax+by=0的直线方程为ax+by=m, 不妨设a,b是两个整数(否则, a,b是两个有理数, 可乘以适当的数 进行化归)，则m必是整数, 根据具体问题限制m ≥ax0+by0或m ≤ax0+by0 ∴－a<kCD，即－a<－1. 即a的取值范围为(1，＋∞)． [自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形ABCD(包括边界)． [自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形ABCD(包括边界)． 点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距最大， ∴a>1. 点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上的截距最大， 求线性目标函数z = ax+by (a,b是不全为零的常数) ，在给定线性约束条件下的最优整数解，使用调整夹逼法探求的思路如下： 在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，求a的取值范围． 在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，求a的取值范围． ∴a>1. 求线性目标函数z = ax+by (a,b是不全为零的常数) ，在给定线性约束条件下的最优整数解，使用调整夹逼法探求的思路如下：
一、非线性规划问题的几种求解方法1.罚函数法(外点法)
一般要用到目标函数的导数。
第十九页，共五十九页。
（2）直接(zhíjiē)法
直接(zhíjiē)法是一种数值方法 这种方法的基本思想是迭代，通过迭代产生 一个点序列{ X(k) }，使之逐步接近最优点。 只用到目标函数。 如黄金分割法、Fibonacci、随机搜索法。
第二十页，共五十九页。
第三十一页，共五十九页。
三、Matlab求解(qiú jiě)有约束非线性规划
第三十二页，共五十九页。
1. 用fmincon函数求解(qiú jiě)形如下面的有约束
非线性规划模型 一般(yībān)形式：
第三十三页，共五十九页。
用Matlab求解(qiújiě)有约束非线性最小化问题 求 解 非 线 性 规 划 问 题 的 Matlab 函 数 为 ： fmincon
编写为一个Matlab函数，
nonlcon就是定义这些函数的程序文件名；
不等式约束 c(x)<=0 等式约束 ceq(x)=0. 如果nonlcon=‘mycon’ ; 则myfun.m定义如下(rúxià)
function [c,ceq] = mycon(x)
c = ... % 计算非线性不等式约束在点x处的函数值 ceq = ... %计算机非线性等式约束在点x处的函数值
（3）迭代法一般(yībān)步骤
（1） 选定初始点 X (0)，k=0 （2） 寻找一个合适的方向 P (k)，k=0，1，2，…
P (k)为第 k+1 步的搜索方向。
（3） 求出沿 P (k)方向前进的步长 (k )
（4） 得到新的点 X (k+1)， X (k1) X (k ) (k ) P(k )
x0=fminsearch('fun2min',x0);
非线性目标函数的最值问题
非线性目标函数 的最值问题
演讲人姓名
一．了解非线性目标 函数所表示的几 何意义
2. 能够通过对目 标函数进行变 形转化进而讨
论求得目标函数的 最值或范围
单击此处添加大标题内容
如何求线性目标函数z＝ax＋by最值(如最大值) 当b>0时，最大值是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交
___________， 的最小值是__________-1
Y
解析： (1)由图可知，斜率k的取值范围
为
P(-1,1) O
(2)因为
x-y=0
A(2, 2)
B(1,0)
X
所以
的取值范围也为
2x-y-2=0
小结2
一． 的几何意义：
表示点(x，y)与点(a， b)连线的斜率.
一． 的几何意义：
表示(x，y)与原点(0,0) 连线的斜率；
OA=
，
(3)由(2)知，
非线性规划最优解问题。求解
关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，
作出可行域，寻求最优解。
图1
小结1
的几何意义：
的几何意义
表示点(x，y)与(a，b)的距离
的几何意义：
表示点(x，y)与原点(0,0)的距离
所以，形如
的目标函数的几何意义：
表示平面区域内的点(x,y)与点(a,b)的距离的平方
点)的位置得到的； 当b<0时，则是向下方平移得到的.
○ 可知线性目标函数的最值是通过将目标函数直线上下平移得到.
探究1
对形如 目标函数的最值（距离型）
如图1,已知
,
解析：(1)
(1)求可行域内的点(x,y)到原点的距离ｚ的表达式
非线性的相关知识整理
非线性的相关知识整理1.线性与非线性定义及相关比较：线性”与“非线性”，常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。
线性函数即一次函数，其图像为一条直线。
其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。
满足f(ax+by)=af(x)+bf(y)的函数称为线性函数，不满足的为非线性函数。
其中a,b为常数。
线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
比如，普通的电阻是线性元件，电阻R两端的电压U，与流过的电流I，呈线性关系，即R=U/I，R是一个定数。
二极管的正向特性，就是一个典型的非线性关系，二极管两端的电压u，与流过的电流i不是一个固定的比值，即二极管的正向电阻值，是随不同的工作点(u、i)而不同的。
两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线，这样的两个变量之间的关系就是“线性关系”；如果不是一次函数关系的——图象不是直线，就是“非线性关系2.非线性函数的有界性：,如由双曲线类型函数均具有界性.另外,一些具有特殊解析式的函数也会存在有界性.判断时可令自变量趋向无穷来判断.3.非线性方程：就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等。
求解此类方程往往很难得到精确解，经常需要求近似解问题。
而非线性方程组：就是几个非线性方程组合在一起成为一个方程组4.非线性规划的求解很灵活：不像解线性规划问题有单纯形法表这一通用方法，每种方法都有自己特定的适用范围。
算法概述无约束非线性规划算法确定搜索方向有如下方法：(1)最速下降法；(2)牛顿法；(3)拟牛顿法；在实际应用中，真正无约束的情况是很少的。
5.约束非线性规划算法：（1）可行方向法；（2）罚函数法；（3）梯度投影法；（4）逐步二次规划法（SQP）（MATLAB软件中常用SQP算法。
）6.非线性规划的数学模型为：(1) minf(X)(2)Hi(X)=0, i=1,2,…,m(3)Gj(X)≥0,j=1,2…l7.非线性方程组的解法例题：（1.）已知某非线性方程组如下：ff(1)=(3-5*x(1))*x(1)+1-2*x(2)＝0for k=2:9ff(k)=(3-5*x(k))*x(k)+1-x(k-1)-2*x(k+1)＝0endff(10)=(3-5*x(10))*x(10)+1-x(9)＝0试求该方程组的解。
非线性规划问题的求解方法
（3） 求出沿 P (k)方向前进的步长 (k )
（4） 得到新的点 X (k+1)， X (k1) X (k ) (k ) P(k )
检验 X (k+1)是否最优，如果是最优，则迭代结束，
否则 k k 1，转到（2）执行。
注意：数值求解最优化问题的计算效率取决
a 1, b 1 ，a,b 为常数，通常取 a=b=2。
算法步骤
（1）给定初始点 x(0)，初始罚因子 (1) ， 放大系数 c>1；允许误差 e>0,设置 k=1；
（2）以 x(k-1)作为搜索初始点，求解无约束规划问题 min f (x) P(x) ，令 x(k)为所求极小点。
（3）当 P(x(k) ) e ，则停止计算，得到点 x(k)； 否则，令 (k1) c(k) ，返回（2）执行。
如何将此算法模块化:
罚项函数： P(x(k) ) 无约束规划目标函数： f (x) P(x)
求解非线性规划模型例子
min( x12 x22 ) s.t. (x1 1)3 x22 0
仅适合于不等式约束的最优化问题
其中 f (x), gi (x)(i 1,2,, m)
都是连续函数，将模型的定义域记为 S {x | gi (x) 0,i 1,2,, m}
构造辅助函数 为了保持迭代点含于可行域内部，我们定义
障碍函数 F(x, ) f (x) B(x)
没有用到目标函数的导数问题的转化技巧近似为一个无约束规划直接搜索法以梯度法为基础的间接法无约束规划的matlab求解函数数学建模案例分析截断切割飞机排队在非线性最优化问题当中如果目标函数能以解析函数表示可行域由不等式约束确定则可以利用目标函数和可行域的已知性质在理论上推导出目标函数为最优值的必要条件这种方法就称为间接法也称为解析法
高中数学-线性规划知识复习
高中必修5线性规划简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
33求非线性目标函数的最值及逆向问题 ppt课件
c＝－2. 故 b＋c＝－3.
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返回13
点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上 的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
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返回14
在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围．
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返回19
x≥1， 已知 x，y 满足x＋y≤4，
x＋by＋c≤0，
且目标函数
Байду номын сангаас
z＝2x＋y 的最大值为 7，最小值为 1，求 b＋c 的值．
解：如图，画出x≥1 x＋y≤4
所表示的平面区域及直线
2x＋y＝7 与 2x＋y＝1，
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可知直线 x＋by＋c＝0 过直线 2x＋y＝1 与直 线 x＝1 的交点(1，－1)和直线 2x＋y＝7 与直 线 x＋y＝4 的交点(3,1)，且 b＜0. 所以1－b＋c＝0，
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返回17
[通一类]
y≥x， 3．(2011·湖南高考)设 m>1，在约束条件y≤mx，
x＋y≤1
下，目
标函数 z＝x＋5y 的最大值为 4，则 m 的值为________．
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返回18
解：画出可行域如图，可知 z＝x＋5y 在点 A(1＋1 m，1＋mm) 取最大值为 4，解得 m＝3.
返回7
[自主解答] 作出可行域如图，并求 出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3，1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域 内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的 平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值|MN|2＝92.