2019届山西省太原市高三模拟(一)数学(理)试题(解析版)
选项 A ：
是钝角或平角，所以选项 A 是假命题；
选项 B: 选项 C: 命题 “
或者
，所以选项 B 是假命题；
是真命题 ” 中至少有一个为真命题，只有当
都是真命题时，
才是真命题，所以选项 C 是假命题；
选项 D; 根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，
“
，
”的否定是 “
5．已知函数
在 处的切线经过原点，则实数
（）
A． 【答案】 A
B．
C．1
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D．0
【解析】 对函数求导， 求出切线的斜率， 利用点斜式写出直线方程， 把原点的坐标代入，
求出 的值，最后求出
的值。
【详解】
，
把（ 0， 0）代入方程中，
， = ，故本题选 A 。
【点睛】 本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程。
6．已知等比数列
满足
，
A．5 【答案】 D
B． -5
【解析】 根据等比数列的性质，可以求出
则 C．7
（） D ． -7
的值，连同已知
，可以求出
的值，进而求出首项和公比，分类求出 【详解】
的值。
等比数列 有
，而
，
联立组成方程组，
或
，设公比为
当
时，解得
，
当
时，解得
，
【点睛】
本题考查了等比数列的性质、通项公式。
7．下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 为（ ）
，故本题选 D 。 1，则该几何体的体积
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A ． 12
B． 15
C．
D．
【答案】 D
【解析】 由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，
其高为 5，求出底面积，
用棱锥的体积公式求出体积。
【详解】
由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高
（ 为虚数单位） ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】 运用复数的除法运算法则，直接求出 . 【详解】
【点睛】 本题考查复数的除法运算 . 3．下列命题中的真命题是（
，故本题选 C. ）
A ．若
，则向量 与 的夹角为钝角
B ．若
，则
C ．若命题 “ 是真命题 ”，则命题 “ 是真命题 ”
已知
的展开式的所有项的系数和为 64，令
，得
，
二项展开式的通项公式为
，令
，
所以常数项为
。
【点睛】
本题考查了二项展开式中所有项系数和公式。重点考查了二项展开式中的常数项。
15．如图， 正方体
的棱长为 4，点 在棱 上，且
，
是面
内的正方形，且
， 是面
内的动点，且 到平面
的距
离等于线段 的长，则线段 长度的最小值为 __________.
二、填空题 13 ．抛物线
的准线方程为 _______.
【答案】 【解析】 由抛物线的标准方程为 x2=y ，得抛物线是焦点在 y 轴正半轴的抛物线， 2P=1，
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∴其准线方程是 y= ，
。
故答案为：
。
14 ．已知 【答案】 15 【解析】 令 【详解】
的展开式的所有项的系数和为 64，则其展开式中的常数项为 _______. ，可以求出 ，利用二项展开式的通项公式，求出常数项。
，由
得
，
由余弦定理得
，
，
:
（ 2）连接 ，如下图： 是 的中点，
，
，
， 第 10 页 共 18 页
在
中，由正弦定理得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， 【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式。
18 ．如图，在五面体
中，面
是直角梯形，
，
是菱形，
，
，
.
，面
（ I ）证明：
；
（ I ）已知点 在线段 上，且
，当
时，
第 8 天使用扫码支付的人次为 2447；
（ 2）由题意得 的所有取值为 0.5， 0.7， 0.9， 1，
， ，
，
，
，
，
的分布列为：
0.5
0.7
0.9
1
P
0.10
0.75
0.05
0.10
【点睛】 本题考查了线性回归方程、离散型随机变量公布列、数学期望。
20 ．已知椭圆 点 是椭圆 上任一点，且
本题考查了几何概型 ,解决本题的关键是对存在
，这句话的理解。
，使得点 的坐标 满足
9．已知数列
的前 项和 满足
，则
（）
A ． 196
B． 200
C．
D．
【答案】 B
【解析】 已知递推公式再递推一步，得到两个递推公式，相减，对这个式子分类讨论，
求出需要的项，然后求值。
【详解】
（ 1）
当 时，
（ 2），
D ．命题 “
，
【答案】 D
”的否定是 “
，
”
【解析】 对于选项 A ：当 真命题； 对于选项 B: 要注意
时，向量 与 的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为
成立时，
这个特殊情况， 对此可以判断是否
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为真命题； 对于选项 C: 命题 “ 是真命题 ” 中至少有一个为真命题， 不能确定 是真命题； 对于选项 D ：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判 断是否为真命题。 【详解】
（ 1） -（ 2）得 ;
,
当 为偶数时，
，当
时，
，
当 为奇数时，
，
时，
。 【点睛】 本题考查了数列的递推公式 ,重点考查了分类讨论思想。
10 ．已知双曲线
的左右焦点分别为 ， ，斜率为 2 直线过点
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与双曲线 在第二象限相交于点 ，若
，则双曲线 的离心率是（ ）
A．
B．
【答案】 B
【答案】 【解析】 过 作
,连接 ,则
,当 最
小时， 最小， 利用空间直角坐标系， 求出 度的最小值。 【详解】 建立如下图所示的空间直角坐标系：
的表达式， 求出最小值， 最后求出 长
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过作 最小。
,连接 ,则
因为 到平面
的距离等于线段 的长，
,当 最小时，
的最小值为 22，
表 1：
x
第 1天 第 2天 第 3天 第 4天 第 5天 第 6天 第 7天
y
7
12
20
33
54
90
148
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（ 1）由散点图分析后，可用
作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的
人次 关于活动推出天次 的回归方程，根据表 2 的数据，求此回归方程，并预报第 8 天使用扫码支付的人次（精确到整数） . 表 2：
为 5.
底面四边形可以分割成二个三角形，面积
，
体积
，故本题选 D。
【点睛】
本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积。
8．在平面区域
，内任取一点
，则存在
的概率为（
）
，使得点 的坐标
满足
A．
B．
C．
【答案】 A
【解析】 先求出平面区域的面积， 找到
概型的公式求解。 【详解】
D． 的成立条件， 利用几何
本题考查了双曲线的定义以及离心率。
11．已知定义在 上的函数 满足 是（ ）
，且
，则
的解集
A．
B．
C．
D．
【答案】 A 【解析】 先对对数换元，然后构造函数，结合已知，判断构造的函数的单调性，最后求
出不等式的解集。
【详解】
令
,构造函数
由已知可知：
当
时，
，所以
， 是 上的减函数，
，
，
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（ 1）证明：
是菱形，
，
，
， ， 面，
， ；.
，
，
，
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（ 2）由（ I）知以 为坐标原点，
图的空间直角坐标系
，
的方向为 轴的正方向，
为单位长，建立如下
由题设可得
，
，
，
.
，
，
，
设
是平面 DFP 的一个法向量，则
令
，则 =
由（ 1）可知 二面角
，
，
是平面 的大小为 60°，
的一个法向量，
4
52
3.5
140
2069
112
表中
，
.
（ 2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表
3.
表 3：
支付方式
现金
乘车卡
扫码
频率
10%
60%
30%
优惠方式
无优惠
按 7 折支付
随机优惠 (见下面统 计结果 )
统计结果显示，扫码支付中享受 5 折支付的频率为 ，享受 7 折支付的频率为 ，享受 9
，
点 是 的中点，
，交 于点 ，且
，
.
（ 1）求 ； （ 2）求
的面积 .
【答案】 (1)
(2)
【解析】（ 1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出
专题03导数及其应用（解析版）
专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点． （2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-. 由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-.令()0g'x =得0x =或83x =. (),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )x f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围． 注：e=…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦. 【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a ≤，得0a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x =．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=> ⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a ．综上所述，所求a 的取值范围是⎛⎝⎦． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==． 列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x 2−2lnx 的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,+∞)C ．(−∞,−1]∪(0，1]D ．[−1,0)∪(0,1]【答案】A【解析】f′(x)=2x −2x =2x 2−2x(x >0)，令f′(x)≤0，解得：0<x ≤1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16．【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知f(x)在R 上连续可导，f ′(x)为其导函数，且f(x)=e x +e −x −f ′(1)x ⋅(e x −e −x )，则f ′(2)+f ′(−2)−f ′(0)f ′(1)= A ．4e 2+4e −2 B ．4e 2−4e −2 C ．0D ．4e 2【答案】C【解析】∵()e e (1)()(e e ()x x x x f x f x f x --'-=+=---)， ∴()f x 是偶函数，两边对x 求导，得()()f x f x -'-='，即()()f x f x '-=-'， 则()f x '是R 上的奇函数，则(0)0f '=，(2)(2)f f '-=-'，即(2)(2)0f f '+'-=，则(2)(2)(0)(1)0f f f f ''''+--=. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=【答案】B 【解析】()()3321f x f x x x +-=++……①，()()3321f x f x x x ∴-+=--+……②，联立①②，解得()31124f x x x =--+，则()2312f x x '=--， ()11511244f ∴=--+=-，()351122f '=--=-，∴切线方程为：()55142y x +=--，即10450x y +-=. 故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e -B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()ln f x ax x '=+， ∴()0f x '>在x ∈()0+∞，上成立， 即ax+ln x ＞0在x ∈()0+∞，上成立，即a ln xx-＞在x ∈()0+∞，上成立． 令g （x ）ln x x =-，则g ′（x ）21ln xx -=-， ∴g （x ）ln xx =-在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，∴g （x ）ln x x =-的最小值为g （e ）=1e-，∴a ＞1e-． 故选B ．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f (e x )−e x >0的解集是 A ．(−∞,ln2) B ．(ln2,+∞) C ．(0,e 2)D ．(e 2,+∞)【答案】A 【解析】令g (x )=f (x )x,g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x 2<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )−e x >0等价为f (e x )e x>f (2)2，即g (e x )>g (2)，故e x <2,即x <ln2， 则所求的解集为(−∞,ln2). 故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题. 21．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a =ln √33，b =e −1，c =3ln28，则a,b,c 的大小关系为 A ．b <c <a B ．a >c >b C ．a >b >cD ．b >a >c【答案】D【解析】依题意，得ln33a ==，1lne e e b -==，3ln2ln888c ==.令f (x )=ln x x，所以f ′(x )=1−ln x x 2.所以函数f (x )在(0,e )上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以[f (x )]max =f (e )=1e =b ，且f (3)>f (8)，即a >c ， 所以b >a >c . 故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数()ln xf x x=是解题的关键，属于中档题.22．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知f (x )=lnx +1−ae x ，若关于x 的不等式f (x )<0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()0f x <恒成立得ln 1ex x a +>恒成立， 设()ln 1e x x h x +=，则()1ln 1e xx x h x -='-. 设()1ln 1g x x x =--，则()2110g x x x'=--<恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调递减，又∵g (1)=0，∴当0<x <1时，g (x )>g (1)=0，即ℎ′(x )>0； 当x >1时，g (x )<g (1)=0，即ℎ′(x )<0， ∴ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴ℎ(x)max =ℎ(1)=1e ，∴a >1e . 故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．-2 B ．3 C ．-2或3D ．-3或2【答案】B 【解析】()()()()32222113(3)(132)f x x a x a a f x x x a x a a '=++-=++-+-⇒+-，由题意可知(1)0f '=，即()212(1)303a a a a +-=+⇒-=+或2a =-，当3a =时，()222()2(1)389(9)(1)f x x a x a a x x x x +-'=++-=+-=+-，当1x >或9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f x x a x x x x +-=-++=-=+-≥'，所以函数()f x 是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去. 故3a =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 24．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上的奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦， 而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥，故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋即()()()22018+201842x f x f +<--， 即()()()22018+201842x f x f +<， 即()()20182g x g +<，所以20182x +<，解得2016x <-. 故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________. 【答案】12-【解析】因为21()ln 2f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=， 又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12a =-. 故答案为12-. 【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x =(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =()g t '= ∴当18t <<时，()0g t '>，g t 在()1,8上单调递增；当8t时，()0g t '<，g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】（1）6100x y --=；（2）当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞单调递增，在(单调递减，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【解析】（1）由题意3()f x x ax '=-，所以当1a =时，(2)2f =，(2)6f '=， 因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是26(2)y x -=-， 即6100x y --=.（2）因为2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--， 所以2()(22)e (22)e e '()x x g x x x x a f x '=-+-+--232()e e()()(e e )x x x a x ax x a x =---=--，令()e e x h x x =-，则()e e x h x '=-， 令()0h x '=得1x =，当(,1)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==， 也就说，对于x ∀∈R 恒有()0h x ≥. 当0a ≤时，2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0g x '=，可得x =当x <x >2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 单调递增，当x <<()0g x '<，()g x 单调递减，因此，当x =()g x 取得极大值2e(2)e4g a =+；当x =()g x 取得极小值2e (4g a =-+. 综上所述：当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=x 2，a ∈R .（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a ，无极小值点.（2）a ≥−1.【解析】（1）()ln f x x ax =-的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=1x −a ， 当a ≤0时，f ′(x )=1x −a >0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点；当a >0时，解f ′(x )=1x −a >0得0<x <1a ，解f ′(x )=1x −a <0得x >1a ， 所以f (x )在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，所以函数f (x )有极大值点，为1a ，无极小值点. （2）由条件可得ln x −x 2−ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln x x−x 恒成立，令ℎ(x )=ln x x−x(x >0)，则ℎ′(x )=1−x 2−ln xx 2，令k (x )=1−x 2−ln x(x >0)，则当x >0时，k ′(x )=−2x −1x <0，所以k (x )在(0,+∞)上为减函数. 又k (1)=0，所以在(0,1)上，ℎ′(x )>0；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0. 所以ℎ(x )在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数， 所以ℎ(x )max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx −xe x +ax(a ∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a =1，求f(x)的最大值.【答案】（1）a ≤2e −1；（2）f(x)max =−1.【解析】（1）由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0在[1,+∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1,+∞)上恒成立. 令g(x)=(x +1)e x −1x ，则g′(x)=(x +2)e x +1x 2>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)min =g(1)=2e −1， 所以a ≤2e −1.（2）当a =1时，f(x)=lnx −xe x +x(x >0). 则f′(x)=1x−(x +1)e x +1=(x +1)(1x−e x )，令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)=0，即e x 0=1x 0.当x ∈(0,x 0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0,+∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0， 因为e x 0=1x 0，所以x 0=−lnx 0，所以f(x 0)=−x 0−1+x 0=−1， 所以f(x)max =−1.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算并说明理由.【答案】（1）−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32p 2(1−p )+C 33p 3， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )=C 32p 2(1−p )+C 33p 3+C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]=3p 2(1−p )+p 3+3p (1−p )2[1−(1−p )2] =−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2.（2）设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500.P (X =1500)=C 31p (1−p )2， P (X =900)=1−C 31p (1−p )2， 所以E (X )=900×[1−C 31p (1−p )2]+1500×C 31p (1−p )2=900+1800p (1−p )2. 令g (p )=p (1−p )2,p ∈(0,1),g ′(p )=(1−p )2−2p (1−p )=(3p −1)(p −1). 当p ∈(0,13)时，g ′(p )>0，g (p )在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p )<0，g (p )在(13,1)上单调递减,所以g (p )的最大值为g (13)=427.所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800（万元）. 综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=m e x −x 2+3，其中m ∈R ．（1）当f(x)为偶函数时，求函数ℎ(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2；（2）−2e <m <13e 4或m =6e 3.【解析】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)， 即m e −x −(−x)2+3=m e x −x 2+3对于任意实数x 都成立， 所以m =0. 此时ℎ(x)=xf(x)=−x 3+3x ，则ℎ′(x)=−3x 2+3. 由ℎ′(x)=0，解得x =±1. 当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表所示：所以ℎ(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增. 所以ℎ(x)有极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2. （2）由f(x)=m e x −x 2+3=0，得m =x 2−3e x.所以“f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点”等价于“直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点”.对函数g(x)求导，得g ′(x)=−x 2+2x+3e x.由g ′(x)=0，解得x 1=−1，x 2=3. 当x 变化时，g ′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：所以g(x)在(−2,−1)，(3,4)上单调递减，在(−1,3)上单调递增. 又因为g(−2)=e 2，g(−1)=−2e ，g(3)=6e 3<g(−2)，g(4)=13e 4>g(−1)，所以当−2e <m <13e4或m =6e3时，直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点.即当−2e <m <13e 4或m =6e3时，函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.。
2019届山西省高三毕业班高考考前适应性训练测试一(一模)数学(理)试题(A卷)(解析版)
绝密★启用前山西省2019年高三毕业班高考考前第一次适应性训练测试（一模）数学(理)试题(A卷)（解析版）一、选择题：本题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（C R A）∩B＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求集合在中的补集，再求交集【详解】,所以【点睛】考查集合运算,解题的关键是先求出 ,属于简单题。
2.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性,需先判断定义域是否关于原点对称,再求【详解】C选项定义域,定义域关于原点不对称,故答案为C.【点睛】本题考查函数的奇偶性判断,奇函数定义域关于原点对称,偶函数定义域关于原点对称3.已知复数z满足为虚数单位）,则z＝（）A. 2＋B. 2－C. －2＋D. －2－【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则进行计算即可【详解】由题可得所以故选A。
【点睛】考查复数计算,属于简单题。
4.某人连续投篮6次,其中3次命中,3次未命中,则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数,再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数,计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率。
【详解】由题可得基本事件总数 ,第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是故选D.【点睛】本题考查计数原理及排列组合的应用,解题的关键是正确求出基本事件个数。
5.已知直线和抛物线C：,P为C上的一点,且P到直线l的距离与P 到C的焦点距离相等,那么这样的点P有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】先设出P点坐标,将点P到抛物线焦点的距离转化成到准线的距离,由P到直线l的距离与P 到C的准线距离相等列出方程求解。
山西省太原市2019届高三理数模拟试卷(一)
山西省太原市2019届高三理数模拟试卷（一)一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|log2x⩽1}，则A∩B=（）A．{1,2}B．(1,2]C．{0,1,2}D．(0,2] 2．（2分）已知复数z满足(2+i)z=5（i为虚数单位），则z=（）A．−2−i B．1−2i C．2−i D．1+2i 3．（2分）下列命题中的真命题是（）A．若a⃗⋅b⃗<0，则向量a⃗与b⃗的夹角为钝角B．若am2⩾bm2，则a⩾bC．若命题“ p∨q是真命题”，则命题“ p∧q是真命题”D．命题“ ∃x0∈R，2x0<x2”的否定是“ ∀x∈R，2x⩾x2”4．（2分）已知tanα=2,α∈(0,π)，则sin2αcos(π2+α)=（）A．−2√55B．2√55C．−4√55D．4√555．（2分）已知函数f(x)=xlnx+a在x=e处的切线经过原点，则实数f(1)=（）A．e B．1eC．1D．06．（2分）已知等比数列{a n}满足a5+a8=2，a6·a7=−8则a2+a11=（）A．5B．-5C．7D．-77．（2分）下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．12B．15C．403D．5038．（2分）在平面区域{x+y⩽2,2x−y⩾0,y⩾0,，内任取一点P(x,y)，则存在α∈R，使得点P的坐标(x,y)满足(x−2)cosα+ysinα−√2=0的概率为（）A ．1−3π16B ．3π16C ．43−π4D ．1−π169．（2分）已知数列 {a n } 的前 n 项和 S 满足 S n −(−1)n a n =2n −6+12n (n ∈N ∗) ，则 S 100=（ ） A ．196B ．200C ．194+12100D ．198+1210210．（2分）已知双曲线 C:x 2a 2−y 2b2=1 (a >0,b >0) 的左右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，斜率为2直线过点 F 1 与双曲线 C 在第二象限相交于点 P ，若 |OP|=|OF 2| ，则双曲线 C 的离心率是（ ） A ．√3B ．√5C ．2D ．√7211．（2分）已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 2f ′(x)−f(x)<0 ，且 f(ln2)=2 ，则 f(lnx)−√2x >0 的解集是（ ） A ．(0,2)B ．(0,√2)C ．(0,e)D ．(0,√e)12．（2分）已知函数 f(x)=sin(ωx +φ) （ ω>0 ， |φ|<π2 ）满足 f(π4−x)=−f(π4+x) ， f(−π2−x)=f(x) ，且在 (0,π8) 上是单调函数，则 ω 的值可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）抛物线 y =x 2 的准线方程为 .14．（1分）已知 (1x+√x)n 的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为 .15．（1分）如图，正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为4，点 Q 在棱 AA 1 上，且 AQ =3A 1Q ，EFGC 1 是面 BCC 1B 1 内的正方形，且 C 1E =1 ， P 是面 BCC 1B 1 内的动点，且 P 到平面 CDD 1C 1 的距离等于线段 PF 的长，则线段 PQ 长度的最小值为 .16．（1分）已知函数 f(x)=lnx −b ， g(x)=ax +(1−a) ，其中 a,b ∈R ，若 f(x)⩽g(x)恒成立，则当 b a取最小值时， a −b = .三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA+ (c−a)sinC=bsinB，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC=2，DE=√6.2（1）（5分）求B；（2）（5分）求△ABC的面积.18．（10分）如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是直角梯形，AB//CD，AD⊥CD，面CDEF是菱形，∠DCF=60°，CD=2AD=2AB，AE=√5AD.（1）（5分）证明：CE⊥AF；（2）（5分）已知点P在线段BC上，且CP=λCB，若二面角A−DF−P的大小为60°，求实数λ的值.19．（10分）为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中x（单位：天）表示活动推出的天次，y（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.表1：参考公式：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),⋯,(u n,v n)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=∑ni=1u i v i−nuv̅̅̅̅̅∑n i=1u i2−nu2,α̂=v−β̂u参考数据：e5.3=200.33，e5.5=244.69，e5.7=298.87.（1）（5分）由散点图分析后，可用y=e bx+a作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次y关于活动推出天次x的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.表2：表中z=lny，z̅=17∑7i=1z i.（2）（5分）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.表3：统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为13，享受7折支付的频率为12，享受9折支付的频率为16.已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量ξ为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求ξ的分布列和期望.20．（10分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A,B是其左右顶点，点P是椭圆C上任一点，且ΔPF1F2的周长为6，若ΔPF1F2面积的最大值为√3.（1）（5分）求椭圆C的方程；（2）（5分）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M,N两个不同点，证明：直线AM于BN的交点在一条定直线上.21．（10分）已知函数f(x)=lnx−ax2+(2−a)x，a∈R.（1）（5分）讨论函数f(x)的单调性；（2）（5分）当a<−12，时，若对于任意x1,x2∈(1,+∞)(x1<x2)，都存在x0∈(x1,x2)，使得f′(x0)=f(x2)−f(x1)x2−x1，证明：x1+x22<x0.22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{x=tcosαy=1+tsinα，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.（1）（5分）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）（5分）已知点A(0，1)，若曲线C1方程中的参数是t，{x=2cosα(1)y=tanα(2)，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求1|AP|+1|AQ|的最大值.23．（10分）已知函数f(x)=|2x−1|+2|x+1|.（1）（5分）求不等式f(x)⩽5的解集；（2）（5分）若存在实数x0，使得f(x0)⩽5+m−m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3+b3=M，证明：0<a+b⩽2.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】 log 2x ⩽1 ⇒log 2x ≤1=log 22⇒0<x ≤2 ， ∴B ={x|0<x ≤2} ，A ∩B ={1,2} ， 故答案为：A.【分析】对集合 B 化简，求出 A ∩B .2．【答案】C【解析】【解答】 z =52+i =5⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=5⋅(2−i)5=2−i ， 故答案为：C.【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出 z .3．【答案】D【解析】【解答】选项A ： a ⃗ ⋅b ⃗ <0⇒cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉<0⇒〈a ⃗ ,b⃗ 〉 是钝角或平角，所以选项A 是假命题； 选项B: am 2⩾bm 2⇒m =0,a,b ∈R 或者 {m ≠0a ≥b，所以选项B 是假命题； 选项C: 命题“ p ∨q 是真命题” p ，q 中至少有一个为真命题，只有当 p ，q 都是真命题时， p ∧q 才是真命题，所以选项C 是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“ ∃x 0∈R ，2x 0<x 02 ”的否定是“ ∀x ∈R ， 2x ⩾x 2 ”是真命题，故本题选D.【分析】对于选项A ：当 a ⃗ ⋅b⃗ <0 时，向量 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意 am 2⩾bm 2 成立时， m =0 这个特殊情况， 对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“ p ∨q 是真命题” p ，q 中至少有一个为真命题，不能确定 p ∧q 是真命题；对于选项D ：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题．4．【答案】A【解析】【解答】 sin2αcos(π2+α)=2sinαcosα−sinα = −2cosα, 又 tanα=2=sinαcosα,sin 2α+cos 2α=1 ,解 cosα=±√55又 α∈(0，π) ， tanα>0 ,故 α∈(0，π2)， 故 cosα=√55所以 sin2αcos(π2+α)=−2√55故选A【分析】由诱导公式及二倍角公式化简 sin2αcos(π2+α)=−2cosα ，由 2=sinαcosα 结合 sin 2α+cos 2α=1 得 cosα ，即可求解。
2019太原一模理科数学(解析版)
1 C．194
2100
1 D．198
2102
9．答案：B
1
解析：分别取
n
101,
102
，得
S101
a101
196
2101
S102
a102
S101
198
1 2102
①
，
②
1
1 1
① ② ，得 a101
2
2102
，所以 S100
198
2102
2
2102
200 ．
x2 y2
在左视图上，以
FG
中点 O
为坐标原点建立坐标系，则点
P
在抛物线
y2
2x
上，
M
7 2
,0，
2
2
设
P(2t2 , 2t)
，则
PM
2
2t
2
7
4t 2
4t 4
10t 2
49
4
t
2
5
6≥ 6 ，
2
4 4
所以 PQ2 QM 2 PM 2 ≥16 6 22 ，所以线段 PQ 长度的最小值为 22 ．
2．已知复数 z 满足 (2 i)z 5 （ i 为虚数单位），则 z （ ）
A． 2 i
2．答案：C
B．1 2i
5
5(2 i)
解析： z
2i
2 i (2 i)(2 i)
C． 2 i
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．若 a b 0 ，则向量 a 与 b 的夹角为钝角
D．1 2i
1 1 ax
h(x) a
，
x
太原市2019年高三年级第一次模拟理科数学试题含答案
第1页 （共4页）页）太原市2019年高三年级第一次模拟试题 数学（理科）2018-2019学年高三第一次模拟试题参考答案 数学（理科）一．选择题：1.A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.D 7.D 8.A 9.B 10. B 11.A 12.C 二.填空题: 13.14y =- 14.1515.22 16.1三．解答题：17.17.解（Ⅰ）解（Ⅰ）sin ()sin sin a A c a C b B +-=Q ，由sin sin sin a b cA B C==得222a c acb +-=， 由余弦定理得2221cos 22a c b B ac+-==，……………，……………44分 0B p <<Q ，60B \=°；……………；……………66分（Ⅱ）连接CE ，D Q 是AC 的中点，DE AC ^，AE CE \=，6sin 2sin DE CE AE AA \===，……………，……………77分在BCE D 中，由正弦定理得sin sin sin 2CEBC BC BBEC A==Ð，622sin sin 602sin cos A A A\=°，2cos 2A \=， 0A p <<Q ，45A \=°，…………………………99分 75ACB \Ð=°，30BCE ACB ACE \Ð=Ð-Ð=°，90BEC Ð=°，3CE AE \==，31AB AE BE =+=+，13322ABC S AB CE D +\=×=. ..............................1212分 18. (Ⅰ)证明证明: : CDEF Q 是菱形，2DE CD AD \==，CE DF ^，.........， (1)1分 5AE AD =Q ，22225AE AD DE AD \=+=，AD DE \^，AD CD ^Q ，AD \^面CDEF ，AD CE \^，………，………44分CE \^面ADF ，CE AF \^；.........； (6)6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，|DA |为单位长，建立如图的空间直角坐标系D xyz -，由题设可得(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,3)E -，(0,1,3)F ，∴)0,,(l l l -==CB CP∴)0,2,(l l -=+=CP DC DP ,设),,(z y x m =是平面DFP 的一个法向量的一个法向量,,则ïîïíì=×=×,0,0DP m DF m 30,(2)0,y z x y l l ì+=ï\í+-=ïî A BCD EFBACD PExyz令1z =-，则3,23(1),y x l ì=ïí=-ïî∴),1,3),21(3(--=l m ………………99分由(Ⅰ)可知)3,3,0(-=CE 是平面ADF 的一个法向量的一个法向量, ,Q 二面角P DF A --的大小为°60,∴cos60cos60°°214)2(332|34|||||||2=+-×-=××=lCE m CE m ，23l \=.………………1212分 19.19.解：解：（Ⅰ）由题意得ln ln bx az y e bx a +===+，71722177i ii i i x zxzb x x==-\=-åå$211274 3.50.514074-´´==-´， 3.50.54 1.5a z bx \=-=-´=$$，z \关于x 的线性回归方程为0.5 1.5z x =+，............， (3)3分 y \关于x 的回归方程为0.5 1.5x y e+=，当8x =时， 5.5244.69y e==，\第8天使用扫码支付的人次为2447；…………；…………66分 （Ⅱ）由题意得x 的所有取值为0.5,0.7,0.9,1，1(0.5)30%0.103P x ==´=，1(0.7)60%30%0.752P x ==+´=，1(0.9)30%0.056P x ==´=，(1)10%0.10P x ===，x \的分布列为：的分布列为：x 0.5 0.7 0.9 1 p 0.10 0.75 0.05 0.10……………………1010分0.50.100.70.750.90.0510.100.72E x \=´+´+´+´= (12)12分 20.解：（Ⅰ）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=ìïï´=íïï=+î (3)3分 1,3,2,c b a =ìï\=íï=î\椭圆C 的方程为13422=+y x ；…………；…………66分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0),(2,0)A B -，2(1,0)F ，设直线MN 的方程为1x my =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由221,143x mx x y =+ìïí+=ïî得22(43)690m y my ++-=，122643m y y m \+=-+，122943y y m =-+，12123()2my y y y \=+，…………，…………99分 Q 直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BN 的方程为22(2)2y y x x =--， 11(2)2y x x \++22(2)2y x x =--，2112(2)22(2)y x x x y x ++\=--12212133my y y my y y +==-， 4x \=，\直线AM 与BN 的交点在直线4x =上. (12)12分 21.(Ⅰ)解：由题意得1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-¢=-+-=-，0x >，………2分（1）当0a £时，()0f x ¢>在(0,)+¥上恒成立，()f x \在(0,)+¥上单调递增；上单调递增； （2）当0a >时，令()0f x ¢>则10x a <<；令()0f x ¢<则1x a>，()f x \在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+¥上单调递减；…………6分(Ⅱ)证明：当12a <-时，2122121211()()1ln ()(2)f x f x x a x x a x x x x x -=-++---Q ， 0001()2(2)f x ax a x ¢=-+-2212111ln ()x a x x x x x \-+-0012ax x =-，……………7分120()()2x x f f x +¢¢-=Q 21212()a x x x x -++001(2)ax x --212x x =+22111ln x x x x -- 211x x =-2122112()[ln ]x x x x x x --+211x x =-2122112(1)[ln ]1x x x x x x --+，……………9分 令21x t x =，2(1)()ln 1t g t t t -=-+，1t >，则22(1)()0(1)t g t t t -¢=-<+，()(1)0g t g \<=， 120()()02x x f f x +¢¢\-<，120()()2x x f f x +¢¢\<，……………11分 设1()()2(2)h x f x ax a x ¢==-+-，1x >，则21()2110h x a x¢=-->-+=，()()h x f x ¢\=在(1,)+¥上单调递增，1202x x x +\<. …………12分 22解：（Ⅰ）Q2cos r q =，\曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1x y \-+=，a Q 是曲线1cos ,:1sin x t C y t a a =ìí=+î的参数，\1C 的普通方程为222(1)x y t +-=，......， (2)2分 1C Q 与2C 有且只有一个公共点，||21t \=-或||21t =+，1C \的普通方程为222(1)(21)x y +-=-或222(1)(21)x y +-=+；………；………55分 （Ⅱ）t Q 是曲线1cos ,:1sin x t C y t a a =ìí=+î的参数，\1C 是过点(0,1)A 的一条直线，………的一条直线，………66分设与点,P Q 相对应的参数分别是12,t t ，把cos ,1sin x t y t a a=ìí=+î代入22(1)1x y -+=得 22(sin cos )10t t a a +-+=，121222sin(),41,t t t t p a ì+=--ï\íï×=î………………88分 1212121111||||||||||||||t t t t AP AQ t t \+=+=+=+22|sin()|224p a =-£，当34p a =时，24(sin cos )440a a D =--=>，11||||AP AQ +取最大值22.………………1010分 23（Ⅰ）解：()|21|2|1|5f x x x =-++£Q ，15|||1|22x x \-++£，由绝对值得几何意义可得32x =-和1x =上述不等式中的等号成立，…………3分\不等式()5f x £的解集为3[,1]2-；…………5分（Ⅱ）由绝对值得几何意义易得1()2(|||1|)2f x x x =-++的最小值为3，235m m \£+-，12m \-££，2M \=，233=+\b a ，…………7分33222()()a b a b a ab b =+=+-+Q ，022³+-b ab a ，0>+\b a ，…………8分222ab a b £+Q ，2)(4b a ab +£\，4)(2b a ab +£\，33222312()()()[()3]()4a b a b a ab b a b a b ab a b =+=+-+=++-³+Q ，2£+\b a ，\02a b <+£. …………10分。
山西省太原市2019届高三理数模拟试卷(一)
山西省太原市2019届高三理数模拟试卷（一)一、单选题（共12题；共24分）1.已知集合 A ={−1,0,1,2} ， B ={x |log 2x ⩽1} ，则 A ∩B = （ ） A. {1,2} B. (1,2] C. {0,1,2} D. (0,2]2.已知复数 z 满足 (2+i)z =5 （ i 为虚数单位），则 z = （ ） A. −2−i B. 1−2i C. 2-i D. 1+2i3.下列命题中的真命题是（ ） A. 若 a ⃗⋅b ⃗⃗<0 ，则向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为钝角 B. 若 am 2⩾bm 2 ，则 a ⩾bC. 若命题“ p ∨q 是真命题”，则命题“ p ∧q 是真命题”D. 命题“ ∃x 0∈R ， 2x 0<x 02 ”的否定是“ ∀x ∈R ， 2x ⩾x 2 ”4.已知 tanα=2,α∈(0,π) ，则 sin2αcos(π2+α)= （ ）A. −2√55B. 2√55C. −4√55D. 4√555.已知函数 f(x)=xlnx +a 在 x =e 处的切线经过原点，则实数 f(1)= （ ） A. e B. 1e C. 1 D. 06.已知等比数列 {a n } 满足 a 5+a 8=2 ， a 6·a 7=−8 则 a 2+a 11= （ ） A. 5 B. -5 C. 7 D. -77.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 12B. 15C. 403D. 5038.在平面区域 {x +y ⩽2,2x −y ⩾0,y ⩾0, ，内任取一点 P(x,y) ，则存在 α∈R ，使得点 P 的坐标 (x,y) 满足(x −2)cosα+ysinα−√2=0 的概率为（ ）A. 1−3π16 B. 3π16 C. 43−π4 D. 1−π169.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S 满足 S n −(−1)n a n =2n −6+12n (n ∈N ∗) ，则 S 100= （ ）A. 196B. 200C. 194+12100D. 198+1210210.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，斜率为2直线过点F1与双曲线C在第二象限相交于点P，若|OP|=|OF2|，则双曲线C的离心率是（）A. √3B. √5C. 2D. √7211.已知定义在R上的函数f(x)满足2f′(x)−f(x)<0，且f(ln2)=2，则f(lnx)−√2x>0的解集是（）A. (0,2)B. (0,√2)C. (0,e)D. (0,√e)12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）满足f(π4−x)=−f(π4+x)，f(−π2−x)=f(x)，且在(0,π8)上是单调函数，则ω的值可能是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共4题；共4分）13.抛物线y=x2的准线方程为________.14.已知(1x+√x)n的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为________.15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点Q在棱AA1上，且AQ=3A1Q，EFGC1是面BCC1B1内的正方形，且C1E=1，P是面BCC1B1内的动点，且P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，则线段PQ长度的最小值为________.16.已知函数f(x)=lnx−b，g(x)=ax+(1−a)，其中a,b∈R，若f(x)⩽g(x)恒成立，则当ba取最小值时，a−b=________.三、解答题（共7题；共70分）17.如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA+(c−a)sinC=bsinB，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC=2，DE=√62.（1）求B；（2）求△ABC的面积.18.如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是直角梯形，AB//CD，AD⊥CD，面CDEF是菱形，∠DCF=60°，CD=2AD=2AB，AE=√5AD.（1）证明：CE⊥AF；（2）已知点P在线段BC上，且CP=λCB，若二面角A−DF−P的大小为60°，求实数λ的值.19.为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中x（单位：天）表示活动推出的天次，y（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.表1：参考公式：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),⋯,(u n,v n)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=∑ni=1u i v i−nuv̅̅̅̅∑n i=1u i2−nu2,α̂=v−β̂u参考数据：e5.3=200.33，e5.5=244.69，e5.7= 298.87.（1）由散点图分析后，可用y=e bx+a作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次y关于活动推出天次x的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.表2：表中z=ln y，z̅=17∑7i=1z i.（2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.表3：统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为13，享受7折支付的频率为12，享受9折支付的频率为16.已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量ξ为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求ξ的分布列和期望.20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A,B是其左右顶点，点P是椭圆C上任一点，且ΔPF1F2的周长为6，若ΔPF1F2面积的最大值为√3.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M,N两个不同点，证明：直线AM于BN的交点在一条定直线上.21.已知函数f(x)=ln x−ax2+(2−a)x，a∈R.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a<−12，时，若对于任意x1,x2∈(1,+∞)(x1<x2)，都存在x0∈(x1,x2)，使得f′(x0)=f(x2)−f(x1) x2−x1，证明：x1+x22<x0.22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{x=tcosαy=1+tsinα，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.（1）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）已知点A(0,1)，若曲线C1方程中的参数是t，{x=2cosα(1)y=tanα(2)，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求1|AP|+1|AQ|的最大值.23.已知函数f(x)=|2x−1|+2|x+1|.（1）求不等式f(x)⩽5的解集；（2）若存在实数x0，使得f(x0)⩽5+m−m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3+b3=M，证明：0<a+b⩽2.答案解析部分一、单选题 1.【答案】 A【考点】交集及其运算【解析】【解答】 log 2x ⩽1 ⇒log 2x ≤1=log 22⇒0<x ≤2 ， ∴B ={x|0<x ≤2} ， A ∩B ={1,2} ， 故答案为：A.【分析】对集合 B 化简，求出 A ∩B . 2.【答案】 C【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】 z =52+i =5⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=5⋅(2−i)5=2−i ，故答案为：C.【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出 z . 3.【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】选项A ： a ⃗⋅b ⃗⃗<0⇒cos〈a ⃗,b ⃗⃗〉<0⇒〈a ⃗,b ⃗⃗〉 是钝角或平角，所以选项A 是假命题； 选项B: am 2⩾bm 2⇒m =0,a,b ∈R 或者 {m ≠0a ≥b，所以选项B 是假命题； 选项C: 命题“ p ∨q 是真命题” p ，q 中至少有一个为真命题，只有当 p ，q 都是真命题时， p ∧q 才是真命题，所以选项C 是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“ ∃x 0∈R ， 2x 0<x 02 ”的否定是“ ∀x ∈R ， 2x ⩾x 2 ”是真命题，故本题选D. 【分析】对于选项A ：当 a ⃗⋅b ⃗⃗<0 时，向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意 am 2⩾bm 2 成立时， m =0 这个特殊情况， 对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“ p ∨q 是真命题” p ，q 中至少有一个为真命题，不能确定 p ∧q 是真命题；对于选项D ：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题． 4.【答案】 A【考点】二倍角的正弦公式，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】sin 2αcos (π2+α)=2sinαcosα−sinα= −2cos α, 又 tan α=2=sinαcosα,sin 2α+cos 2α=1 ,解 cos α=±√55又 α∈(0，π) ， tan α>0 ,故 α∈(0，π2)， 故 cos α=√55所以sin 2αcos (π2+α)=−2√55故选A【分析】由诱导公式及二倍角公式化简 sin 2αcos (π2+α)=−2cos α ，由 2=sinαcosα结合 sin 2α+cos 2α=1 得cos α ，即可求解。
山西省2019届高三第一次联考理科数学(解析版)
5
1
B．
4
1
C．
3
1
D．
6
6．答案：D
解析： 由题意知，其中一个城市必须有 2 人去，即把 4 人分成 3 组，每组分别有 2 人，1 人，1 人，共有
C42 种分法，再将他们分到三个城市，共有 C42 A33 种分法．若 A 城市恰好只有甲 1 人，则把剩下的 3 人分成
2 组，每组分别有 2 人，1 人，共有 C32 种分法，再把他们分到 B, C 两个城市，共有 C32 A22 种分法，因此所
2
sin 2x
4
，
3
所以选项 A 正确，当 x 时， 2x ，所以选项 B 正确，
8
42
3
当 x
4
,
4
时，
2
x
4
4
,
4
，所以
y
g(
x)
在
4
,
4
上不单调，C
错误；
3
当 x 时， 2x ，故选项 D 正确．
8
4
26
10．在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面 ABC ， BC1 与底面所成角的正切值为
所以 A B {1} ．
3．已知数列{an}是递增的等比数列， Sn 是其前 n 项和，若 a1 a6 33, a2a5 32 ，则 S5 （ ）
A．62 3．答案：D
B．48
C．36
D．31
解析：
a1 a1a6
a6
a2
33, a5
32
a1 a6
1 32
或
a1 a6
32 1
．
25
14．答案：
山西太原2019高三上年末调研考试--数学(理)
山西太原2019高三上年末调研考试--数学（理）说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，答题时间120分钟，总分值150分。
第I 卷〔选择题 共60分〕本卷须知1、答第I 卷前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将姓名、考试证号填在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的考试证号和考试科目。
2、每题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案写在试题卷上无效。
参考公式：样本数据nx x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=ShV 31= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4RV R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，那么()SC T U =〔 〕 A 、{1，4，5} B 、{1，5}C 、{4}D 、{1，2，3，4，5}2、复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，那么“1a =”是“z 为纯虚数”的〔 〕A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件 3、假设2sin 2tan 3,cos ααα=则的值等于〔 〕A 、2B 、3C 、4D 、64、假设某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为12，那么该几何体的俯视图能够是〔 〕5、数列{}na ，假设点*(,)()n n a n N ∈在通过点〔5，3〕的定直线l 上，那么数列{}n a 的前9项和9S =〔 〕A 、9B 、10C 、18D 、27〔〕 A 、243,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数B 、0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点C 、,R αβ∃∈，使cos()cos cos αβαβ+=+D 、R ϕ∀∈，函数()sin()f x x ϕ=+都不是偶函数7、有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，那么这5盆花不同的摆放种数是 〔〕 A 、12 B 、24 C 、36 D 、488、如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是 边长为2的正三角形，侧棱长为3，那么BB 1与平面AB 1C 1所 成的角是 〔〕A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π9、输入12ln 0.8,,2ea b ec -===，通过以下程序运算后，输出a ，b 的值分别是〔〕A 、122,ea b e-==B 、ln 0.8,2e a b -==C 、12,2ea eb -==D 、12,ln 0.8a eb ==10、假设圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，那么由点〔a ，b 〕向圆C 所作切线长的最小值是 〔〕A 、2B 、3C 、4D 、611、设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-，假设在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)af x x a -+=>恰有3个不同的实数根，那么a 的取值范围是〔〕 A 、〔1，2〕 B 、〔2，+∞〕C 、D 、2)12、函数(1)y f x =-的图象关于点〔1，0〕对称，且当(,0)x ∈-∞时，()'()0f x xf x +<成立〔其中'()()f x f x 是的导函数〕，假设0.30.3(3)(3),(log 3)(log 3)a f b f ππ=⋅=⋅，3311(log )(log )99c f =⋅，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕 A 、a b c >> B 、c a b >>C 、c b a >>D 、a c b >>第II 卷〔非选择题共90分〕说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
【精选五套高考模拟卷】2019年山西省高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2019年山西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设复数z满足iz=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．12．已知实数集R，集合，则M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5] C．[﹣1，5）D．（0，8）3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x 轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C： +=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．78．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C 的方程为（）A．B．C．D．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．1 C．2 D．312．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{a n}满足，，n∈N*，等差数列{b n}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求b n；（2）记c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n，求c n；（3）求数列{a n b n}前2n项的和S2n．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A1C∥平面BC1D；（2）若A1A=A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．2019年山西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设复数z满足iz=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣iiz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知实数集R，集合，则M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5] C．[﹣1，5）D．（0，8）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】集合M与N中不等式变形后，分别求出解集确定出M与N，求出M与N补集的并集即可．【解答】解：M={x|0＜x＜27}，N={x|x＜﹣1或x＞5}，∁R N={x|﹣1≤x≤5}，∴M∪（∁R N）={x|0＜x≤5}，故选B．【点评】此题考查了交集及其运算，交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的单调性即可判断．【解答】解：由题意可得函数f（x）在R上为单调递增函数，∵f（2﹣x）≥f（x），∴2﹣x≥x，解得x≤1，故选：A【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，属于基础题．4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x 轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得=，即可求出渐近线方程．【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则=，∴=4，∴=，∴C的渐近线方程为y=±x，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为×+×+×=，其中比赛进行了3局的概率为×+×=，∴所求概率为=，故选B．【点评】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C： +=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即可得出结论．【解答】解：由于椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即加法与减法互为逆运算，∴猜想双曲线对应的点E的轨迹方程为，故选A．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，正确类比是关键．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【考点】二项式系数的性质．【分析】化（﹣+1）7=[1+（﹣）]7，利用展开式通项公式T r+1，求出（﹣）r展开式中x3项的系数即可．【解答】解：（﹣+1）7=[1+（﹣）]7的展开式通项公式为：T r+1=（﹣）r，对于（﹣）r，通项公式为：T m+1==（﹣2）m，令=3，得r=6+3m；根据0≤m≤r≤7，r、m为自然数，求得m=0，r=6；∴（﹣+1）7展开式中x3项的系数为（﹣2）0=7．故选：D．【点评】本题考查了二项式展开式中通项公式的灵活应用问题，是基础题．8．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C 的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将直线方程代入椭圆方程，由△=0，求得a2+b2=9，由题意的离心率公式，求得=，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意可知：，整理得：（a2+b2）x2+6a2x+9a2﹣a2b2=0，则△=0，则36a2﹣4（a2+b2）（9a2﹣a2b2）=0，整理得：a2+b2=9，①由题意的离心率e===，则=，②由①②，解得：a2=5，b2=4，∴椭圆C的方程：，故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数的图象求出T，利用周期公式求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，集合φ的范围，求出φ得到函数的解析式，进而可求g（x）解析式，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：由图象可知T=4π，从而ω=，将（，0），（0，﹣）在函数图象上，，|φ|＜，可得：φ=﹣，A=3，f（x）=3sin（﹣），可得：g（x）=3sin[（x+）﹣]=3cos．由x∈，可得：∈[，]，可得：3cos∈[﹣3，]．故选：C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，属于基础题．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P﹣BDC外接球半径R=，由此能示出该球的表面积．【解答】解：由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD=，O1D=1，及OB=OD，得OB=，∴外接球半径为R=，∴该球的表面积S=4πR2=4=7π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用．11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】程序框图．【分析】根据本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c表示其百位数；验证题目中的命题是否正确即可．【解答】解：本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c表示其百位数；对于①，“水仙花数”是三位数，即100≤m=i≤999，∴①正确；对于②，152是“水仙花数”，由13+53+23≠152，∴②不正确；对于③，407是“水仙花数”，即407=43+03+73，∴③正确；综上，正确的命题有2个．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是分析出程序的含义，是基础题．12．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关【考点】正弦函数的图象．【分析】函数f（x）零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，利用导数研究两个函数的单调性与交点个数，即可求出答案．【解答】解：函数f（x）=xcosx﹣sinx﹣sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）的零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，∵y1′=﹣xsinx，∴y1=xcosx﹣sinx在…，（﹣5π，﹣4π），（﹣3π，﹣2π），（﹣π，0），（0，π），（2π，3π），（4π，5π），…上单调递减；在…，（﹣4π，﹣3π），（﹣2π，﹣π），（π，2π），（3π，4π），…上单调递增；如图中实线所示；y2′=a，由y1=xcosx﹣sinx的图象可得：a＞0时，y2=sinx的图象，如图中虚线所示；则函数f（x）共有2k﹣1个零点；由函数图象的对称性可得，当a＜0时，函数f（x）零点个数仍为2k﹣1个．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点与方程根的应用问题，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤1【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用余弦定理可得BC，运用勾股定理逆定理，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，再由共线向量和向量的投影可得向量在上的投影为||cos＜，＞，计算可得．【解答】解：在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosA=4+1﹣2×2×1×=3，即有BC=，由AB2=AC2+BC2，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，D为AB的中点，可得=，即有向量在上的投影为||cos＜，＞=1（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查解三角形的余弦定理和勾股定理的运用，考查向量的投影的概念和求法，考查运算能力，属于中档题．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为 3 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得： sinAcosB=sinAsinB，由sinA≠0，可得tanB=，结合B∈（0，π）可求B，利用余弦定理，基本不等式可求12≥ac，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由sin（A+B）=sinC，及sinC=（sinA+cosA）sinB，可得： sinAcosB=sinAsinB，由于sinA≠0，可得：tanB=，结合B∈（0，π），可得：B=，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得：12=a2+c2﹣ac≥ac，可得：S△ABC=acsinB=ac≤3，又由S△ABC=bh=h≤3，可得：h≤3，即AC边上的高的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，分别计算体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，其直观图如图所示：四棱柱的底面面积为2，高为2，故体积为4；四棱锥的底面面积为2，高为，故体积为：，故组合体的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{a n}满足，，n∈N*，等差数列{b n}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求b n；（2）记c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n，求c n；（3）求数列{a n b n}前2n项的和S2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用二倍角公式化简a n，可得a n=．求出数列{b n}的首项和公差，则通项公式可求；（2）直接把{a n}、{b n}的通项公式代入求解；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（1）由=2+1+cosnπ=3+cosnπ=．于是，，b2=a2=4，∴等差数列{b n}的公差为3，则b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n=2[3（2n﹣1）﹣2]+4[3×2n﹣2]=36n﹣18；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，则S2n=a1b1+a2b2+…+a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n==．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，X的可能取值为6，24，54，0，分别求出相应的概率，从而能求出甲得分的期望；Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P （Y=i ）=，i=1，2，3，…，12．由此能求出乙得分的期望．（ii ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P （X=6，1≤Y ≤6）+P （X=24）+P （X=54），由此能求出结果．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，则事件A 包含3个基本事件，推导出B 事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k ∈{4，8，12}，由此进行分类讨论经，能求出k 的所有值．【解答】解：（1）（i ）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X ，Y ，则X 的可能取值为6，24，54，0，当X=6时，向上的点数为1，P （X=6）=，当X=24时，向上的点数为4，P （X=24）=，当X=54时，向上的点数为9，P （X=54）=，当X=0时，向上的点数为42，52，…，122，有种情况，P （X=0）=，∴X 的分布列为：∴甲得分的期望为E （X ）==7．Y 的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P （Y=i ）=，i=1，2，3， (12)∴Y 的分布列为：∴乙得分的期望为E （Y ）=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）=．（ii ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P （X=6，1≤Y ≤6）+P （X=24）+P （X=54）==．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”记事件B=“向上一面的点数不超过k （1≤k ≤12）”， 则事件A 包含3个基本事件，（1点，4点，9点），记n （AB ），n （B ）分别表示事件AB ，B 包含的基本事件个数， 由P （AB ）=P （A ）P （B ）及古典概率模型，得：=，∴n （B ）=4n （AB ），①∴B 事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k ∈{4，8，12}， 当k=4时，n （B ）=4，AB={1，4}，n （AB ）=2，不符合①， 当k=8时，n （B ）=8，AB={1，4}，n （AB ）=2，符合①， 当k=12时，n （B ）=12，AB={1，4，9}，n （AB ）=3，符合①，故k 的所有值为8或12．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率的求法，考查满足条件的整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意古典概率模型的合理运用．19．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D 为A 1B 1的中点．（1）证明：A 1C ∥平面BC 1D ；（2）若A 1A=A 1C ，点A 1在平面ABC 的射影在AC 上，且BC 与平面BC 1D 所成角的正弦值为，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结B 1C 交BC 1于点E ，连结DE ．DE ∥A 1C ，得A 1C ∥平面BC 1D ；（Ⅱ）取AC 的中点O ，连结A 1O ，∵点A 1在面ABC 上的射影在AC 上，且A 1A=A 1C ．则A 1O ⊥面ABC ，则可建立如图的空间直角坐标系O ﹣xyz ，设A 1O=a ．求出面BC 1D 的法向量，由BC 与平面BC 1D 所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B 1C 交BC 1于点E ，连结DE ．则E 是B 1C 的中点，又D 为A 1B 1，所以DE ∥A 1C 1，且DE ⊂面BC 1D ，A 1C ⊄BC 1D ，∴A 1C ∥平面BC 1D ；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A=A1C．∴A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O=a．∵AC=BC=2，∠ACB=120°，则B（﹣2，，0），C（﹣1，0，0），C1（﹣2，0，a），D（﹣，，a），，．设为面BC1D的法向量，，取y=﹣a，则，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【点评】本题考查了空间线面平行，向量法求空间角，空间想象能力、计算能力，属于中档题．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q的坐标；（2）先通过特例求出定点，再证明一般性结论．【解答】（1）解：设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q（，）；（2）证明：设直线方程为y﹣t=k（x+1）（k≠0），代入抛物线方程整理得ky2﹣4y+4t+4k=0，△=0，可得k2+kt﹣1=0．特别地，t=0，k=±1，这时切点为A（1，2），B（1，﹣2），AB过定点F（1，0）．一般地，k1+k2=t，k1k2=﹣1，切点为A（，），B（，），∴=（﹣1，），=（﹣1，），∴（﹣1）﹣=﹣1））=0，∴∥，∴AB过点F（1，0），综上所述，直线AB过点F（1，0）．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数g（x）的导数，根据g′（x）≤0，分离参数a，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，令y=ax2+x+1，通过讨论a的范围，令x0=，根据函数的单调性得到b≤﹣ax0﹣lnx0，a=﹣，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵g（x）=f（x）+=lnx+ax++b，x＞0，g′（x）=+a﹣，x＞0，∵g（x）为减函数，∴g′（x）≤0，即a≤﹣=﹣，∴a≤﹣；（2）证明：f′（x）=++a=，（x＞0），令y=ax2+x+1，a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增，不满足f（x）≤0恒成立，当a＜0时，△=1﹣4a＞0，由ax2+x+1=0，得x=＞0或x=＜0，设x0=，函数f（x）在（0，x0）上递增，在（x0，+∞）递减，又f（x）≤0恒成立，故f（x0）≤0，即lnx0+ax0﹣+b≤0，由上式得b≤﹣ax0﹣lnx0，由a+x0+1=0得a=﹣，∴a+b≤﹣ax0﹣lnx0﹣=﹣lnx0+﹣+1，令t=，t＞0，h（t）=lnt+t﹣t2+1，h′（t）=﹣，0＜t＜1时，h′（t）＞0，函数h（t）在（0，1）递增，t≥1时，h′（t）≤0，函数h（t）在（1，+∞）递减，h（t）≤h（1）=1，故a+b≤1，即a≤1﹣b．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）方程化为普通方程，即可讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，两曲线均关于x，y轴、原点对称，四边形也关于x，y轴、原点对称，即可求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），普通方程为+=1，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r＞0），直角坐标方程为x2+y2=r2，r=a或b时，两曲线有两个公共点；b＜r＜a时，两曲线有四个公共点；0＜r＜b或r＞a时，两曲线无公共点；（2）两曲线均关于x，y轴、原点对称，∴四边形也关于x，y轴、原点对称，设四边形位于第一象限的点为（acosθ，bsinθ），则四边形的面积为S=4acosθbsinθ=2absin2θ≤2ab，当且仅当sin2θ=1，即θ=45°时，等号成立．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查三角函数知识的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2019山西一模）已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，若m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，进而变形可得或，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由x∈[2，3]，将原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①，分m≤﹣2与m＞﹣2两种情况讨论，分别求出m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，等价于或，解可得x≥，故原不等式的解集为{x|x≥}；（2）当x∈[2，3]时，原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①当m≤﹣2时，m+2≤0，①式恒成立；当m＞﹣2时，即m+2＞0时，①式等价于x﹣m≥或x﹣m≤﹣，化简可得：x2﹣2≥m（x+1）或x2+2≤m（x+1），②又由x∈[2，3]，则有x+1＞0且x﹣1＞0，则②可以变形为m≤或m≥；又由=x﹣﹣1， =x﹣1++2；又由x∈[2，3]，则（）min=，（）max=6；则有m≤或m≥6；故m的取值范围是{m|m≤或m≥6}．【点评】本题考查绝对值不等式的运用以及解法，关键是熟练掌握绝对值三角不等式．数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2019-2020年太原一模：山西省太原市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题-附答案精品
A．[5,6)
B．[5,6]
C．(2,9)
D．[5,9]
7.七 巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七 巧板拼成的正方形，其中 1 号板与 2 号板为两个全等的等腰直角三角形，3 号板与 5 号板为两个全等的等腰直角三角形，7 号板为一个等腰直角三角形，4 号板为一个正方 形，6 号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概 率是（ ）
2
1 ，则使得 f ( x) f (2 x 1) 成立的 x 的取值范围是 x 1 2
（
） B． [1, )
1 C． ,1 3
1 D． , 1, 3
A． (,1]
11.设 F1 ， F2 分别为双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点，过 F1 作一条渐近线的 a 2 b2
A．
1 8
B．
1 4
C．
3 16
D．
3 8
8.已知函数 f ( x) sin( x ) 3 cos( x ) 0, 的最小正周期为 ，且 2
f x f ( x ) ，则（ 3
）
2 B ． f ( x) 在 , 6 3 2 D ． f ( x) 在 , 6 3 上单调递增 上单调递减
点 (1, 1) 处标数字-2，记为 a4 ；点 (1,0) 处标数字-1，记为 a5 ； 点 (1,1) 处标数字 0，记为 a6 ；点 (0,1) 处标数字 1，记为 a7 ； „ 以此类推，格点坐标为 (i, j ) 的点处所标的数字为 i j （ i ， j 均为整数） ，记