信号与系统课程作业

一、题目1.已知信号f(t)=sin(20πt)+sin(80πt)，用如图所示的采样频率为fs=100Hz，大小为1的信号对其进行采样，使用MATLAB编程，（1）绘制采样后的信号时域上的波形图；（2）对采样后的信号进行频谱分析，画出其幅度谱；（3）要从采样信号中恢复出原始信号f(t)，在MATLAB中设计滤波器，画出滤波后的幅度谱；（4）将信号f(t)加载到载波信号s(t)=cos(500πt)上，画出调制后信号的波形图和幅度谱。

二、原理1、信号的采样“取样”就是利用从连续时间信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。

这样得到的离散信号称为取样信号。

采样信号f(t)可以看成连续信号f(t)和取样脉冲序列s(t)的乘积。

其中取样脉冲序列s(t)也称为开关函数。

如果其各脉冲间隔时间相同，均为Ts，就称为均匀取样。

Ts称为取样周期，fs=1/Ts 称为取样频率或取样率，ωs=2πfs=2π/Ts称为取样角频率。

如果f(t)↔F(jω)，s(t)↔S(jω)，则由频域卷积定理，得取样信号fs(t)的频谱函数为本题的取样脉冲序列s(t)是周期为Ts=0.01s的冲激函数序列δTs，也就是冲激取样。

而冲激序列δTs（这里T=Ts，Ω=2π/Ts=ωs）的频谱函数也是周期冲激序列，即2、采样定理所谓模拟信号的数字处理方法就是将待处理模拟信号经过采样、量化和编码形成数字信号，再利用数字信号处理技术对采样得到的数字信号进行处理。

一个频带限制在(0,fc)Hz内的模拟信号m(t)，若以采样频率fs≥2fc对模拟信号m(t)进行采样，得到最终的采样值，则可无混叠失真地恢复原始模拟信号m(t)。

其中，无混叠失真地恢复原始模拟信号m(t)是指被恢复信号与原始模拟信号在频谱上无混叠失真，并不是说被恢复信号与原始信号在时域上完全一样。

由于采样和恢复器件的精度限制以及量化误差等存在，两者实际是存在一定误差或失真的。

奈奎斯特频率：通常把最低允许的采样频率fs=2fc称为奈奎斯特频率。

3、信号的重构设信号f(t)被采样后形成的采样信号为fs(t)，信号的重构是指由fs(t)经过内插处理后，恢复出原来的信号f(t)的过程。

因此又称为信号恢复。

在采样频率ωs≥2ωm的条件下，采样信号的频谱Fs(jω)是以ωs为周期的谱线。

选择一个理想低通滤波器，使其频率特性H(jω)满足：⎩⎨⎧><=cc jHωωωωω，，Ts)(式中的ωc称为滤波器的截止频率，满足ωm≤ωc≤ωs/2。

将采样信号通过该理想低通滤波器，输出信号的频谱将与原信号的频谱相同。

因此，经过理想滤波器还原得到的信号即为原信号本身。

通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为ωm的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/ωm,该取样间隔又称为奈奎斯特（Nyquist）间隔，最低允许取样频率fs=2fm就是奈奎斯特频率。

使用matlab的sinc(x)的函数，sinc(x) 代表的是 sin(pix)/(pix) 。

4、调制信号调制信号是原始信息变换而来的低频信号。

调制本身是一个电信号变换的过程。

调制信号去改变载波信号的某些特征值（如振幅、频率、相位等），导致载波信号的这个特征值发生有规律的变化，这个规律是调制信号本身的规律所决定的。

载波是被调制以传输信号的波形，一般为正弦波。

一般要求正弦载波的频率远高于调制信号的带宽，否则会发生混叠，使传输信号失真。

我们一般需要发送的数据的频率是低频的，如果按照本身的数据的频率来传输，不利于接收和同步。

使用载波传输，我们可以将数据的信号加载到载波的信号上，接收方按照载波的频率来接收数据信号，有意义的信号波的波幅与无意义的信号的波幅是不同的，将这些信号提取出来就是我们需要的数据信号。

二.源程序（附源程序说明）fy='sin(20*pi*t)+sin(80*pi*t)'; %原信号%第一问：对信号采样fs=100;%采样频率Ts = 1/fs;%采样周期tp=0.1;t1 = -tp:Ts:tp;%采样时间序列f1 = [fs*k2/m2,fs*k1/m1];%设置采样信号的频率数组t = t1;fz = eval(fy);%获取采样序列%画采样序列波形figuresubplot(111),stem(t,fz,'.');title('采样信号时域图')xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)')line([min(t),max(t)],[0,0]);grid on%第二问：画采样信号频谱FZ = fz*exp(-1j*(1:length(fz))'*w);%采样信号的离散时间傅里叶变换subplot(111),plot(f1,abs(FZ),'m');title('采样信号幅度谱谱')xlabel('f(Hz)'),ylabel('FZ')grid on%第三问：信号的恢复及频谱函数T = 1/fs;%采样周期dt = T/10; %时间间隔,在每个抽样点前面插入9个值tp = 0.1;%时间范围赋值t = -tp:dt:tp; %时间范围n = -tp/T:tp/T;%计算在重构的时间区间之内有多少个采样周期TMN = ones(length(n),1)*t-n'*T*ones(1,length(t));%生成TMN矩阵fh = fz*sinc(fs*TMN);%由采样信号恢复原信号k1 = 0:999; k2 = -999:-1;m1 = length(k1);m2 = length(k2);w = [-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];%频率变量FH = fh*exp(-1j*(1:length(fh))'*w);%恢复后的信号的离散时间傅里叶变换figure%画滤波后的频谱f = [10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1];%频率范围subplot(111),plot(f,abs(FH),'g')title('滤波后信号的幅度谱');xlabel('f(Hz)'),ylabel('FH');axis([-100 100 0 max(abs(FH))+2]);grid on%第四问：调制T = 1/fs;dt = T/10; tp = 0.1;t = -tp:dt:tp; n = -tp/T:tp/T;k1 = 0:999; k2 = -999:-1;m1 = length(k1);m2 = length(k2);ft = [10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1];%频率范围yc=cos(500*pi*t);%载波信号fc= eval(fy);y=fc.*yc;%调制后的信号FY = y*exp(-1j*(1:length(y))'*w);%已调信号的离散时间傅里叶变换%画调制后信号波形figuresubplot(211),stem(t,y,'.');title('已调信号')xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)')line([min(t),max(t)],[0,0]);grid on%画调制后信号频谱subplot(212),plot(ft,abs(FY),'m');title('已调信号幅度谱')xlabel('f(y)'),ylabel('FY')grid on四、运行结果与分析1、第一问分析：采样信号在时域的表示为无穷多冲激函数的线性组合，其权值为原始信号在对应采样时刻的定义值。

2、第二问分析：采样信号fs(t)的频谱就是将原始信号f(t)的频谱在频率轴上以采样角频率ωs为周期进行周期延拓后的结果（幅度为原频谱的1/Ts）。

由取样信号fs(t)的频谱可以看出，如果ωs>2ωm（即fs>2fm或Ts<1/2fm），那么各相邻频移后的频谱不会发生重叠。

3、第三问分析：采样信号在一定条件下可以恢复为原来的信号，只需用带宽为Ws/2的理想低通滤波器将各次谐波调制频谱滤去，保留不失真的基带频谱，从而不失真地还原出原来的信号。

4、第四问分析：按照载波的频率来接收数据信号，有意义的信号波的波幅与无意义的信号的波幅是不同的，提取出来的这些信号就是我们需要的数据信号。

一、题目2．离散的时间系统差分方程为：0.863y(k)-0.49y(k-1)+0.124 y(k-2)=1.328f(k)+0.572 f(k-1)+0.98 f(k-2)初始状态为y(-1)=-3.02，y(-2)=1.35，激励信号f(k)=cos(0.25πk+0.46π)U(k)(1)利用MATLAB画出系统单位序列响应h(k)的波形图；(2)分别画出系统的零状态响应和全响应的波形图。

二、原理1、求系统单位序列响应h(k)，可调用函数：impz功能：求解数字系统的冲激响应。

调用格式：[h,t]=impz(b,a); %求解数字系统的冲激响应 h，取样点数为缺省值。