郑州大学级微积分考试试题A
郑州大学微积分（下）测验试题（2）答案
高等数学（下册）高等数学（下册）测验试题（二） 一、填空题（每小题4分，共20分）分）1设L 由o （0，0）沿y 轴到)2,0(A ，再沿2=y 到处)2,2(B ，再沿y x 22=回到)0,0(o ，则()()dy xy dx xy x xL223-+-ò.2-=2.设S 为柱面422=+yx 介于61££z 的部分，法向量指向内部，则.0222=++òòSdxdy z y x3.设L 为下半圆周(),0222£=+y R y x 则().422R ds y x L-=+ò4.设S 为平面222=++z y x 被三个坐标面相截在第一卦限的部分，则().322=++òòSdS z y x （注意：边界条件可以代入）（注意：边界条件可以代入）5．设L 为沿曲线x x y 22-=上从)0,2(A 到)0,0(o 的弧段，则.p =+-òL xdy ydx 二 计算题（每小题7分，共70分）分）1。
求,||||dy x dx y I L +=ò其中L 是以o （0，0），)1,0(A ，)1,1(-B ，为顶点的三角形边界，方向为逆时针方向。
角形边界，方向为逆时针方向。
2．计算,22ò++-L y x xdyydx L 为1||||=+y x 所围区域边界的正向。
所围区域边界的正向。
3．计算()ds x L y òúûùêëé-+51232，L 为()22332+=x y 从2-=x 到1=x 的一段。
4．计算()(),z d xd y d z d x z y d y d z z x I +-+-=òòS其中S 是由曲线()21,0,££îíì==z xy z 绕z 轴旋转一周生成的曲面的内侧。
郑州大学高等数学考试题(完整版)
高等数学模拟题第一部分 客观题一、判断题1、 函数x x x f sin )(=在),(+∞-∞上有界。
( 错 B)2、错B3、函数的极值点一定是函数的驻点。
( 错 B )4、对A5、设)(x f 是一个连续的奇函数，则0)(11=⎰-dx x f 。
（ 对A ） 二、单项选择题6、 、定积分 dx x ⎰--2/2/2sin 1ππ的值是： （ D ）（A ）0； (B) 1； (C) 2-； (D) 2；7、在下列指定的变化过程中，（ C ）是无穷小量．(A) )(1sin ∞→x x x (B) )0(1sin →x x(C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1∞→x x8、设(ln )1f x x '=+，则()f x =（ C ）.(A) 22x x c ++ (B)22x xe e c ++ (C)x x e c ++ (D)ln (2ln )2x x + 9、.曲线2211x x ee y ---+=（ D ）(A) 无渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线，又有铅直渐近线 10 、 C第二部分 主观题一、求解下列各题 12、设()y y x =由方程组cos sin sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=-⎩确定，求dydx 。
解：3、求曲线 2(1)yx x =- 的凹凸区间。
解：Y=(x-1)²x 求二阶导数，再找零点 x= - (1/2) ，以所找零点将定义域区间划分为2个区间，(-∞，-(1/2))和((-1/2)，+∞)，在前一个区间，f ' ' <0 ,为凹区间，后一个区间为凸区间。
在x= - (1/2) 的左右，其二阶导数变号，故拐点为(-(1/2), 7/8)4、求4e ⎰。
5、设222()()4xx f t dtF xx=-⎰，其中)(xf为连续函数，求2lim()xF x→。
郑州大学2013级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案
dy dx
tan y
C1 .
④
④为可分离变量型，由④得到
tan
1 y
C1
dy
dx
即
ln siny C1 x ln C2
化简得
siny C1 C2e x
为①的通解.又注意到当 p 0 时，当 y 0 时，可得①的平凡解 y C .
10.求方程 y 2 y y xe x e x ① 的一个特解. 【解】与①对应的齐次方程的特征方程为 r 2 2r 1 0 ，解之得， r1 r2 1.
将②、③、④代入①有
e x 6ax 2b x 1e x ，即
6ax 2b x 1
⑤
第5页
郑州大学 2013—2014 学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案
比较⑤式知
6a 1, 2b 1,
，解之得
a
1 6
,
b
1 2
.
故
y*
x 2e x
1 6
x
1 2
.
二、求解下列各题（每题 10 分，共 20 分） 1．（1）设平面图形 A 由抛物线 y x2 ，直线及 x 轴所围成， 求平面图形 A 绕 x 轴旋转一周所形成的立体体积.
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
解： y
x2 1
x2 1 2
1； x2 1 3
郑州大学级微积分考试试题A
郑州大学2005级微积分考试试题A郑州大学2005级（上）理工科专业微积分试题（A卷）分数评卷人一、求极限：（每题 5 分，共20 分）1．2.3．4.分数评卷人二、求导数或微分：（每题 5 分，共20 分）1．2．设3.设y=y(x)由方程所确定，求y’(0)4．分数评卷人三、求下列积分：（每题 6 分，共30 分）1．2．3.4.5.求分数评卷人四、[本题10分] 设x 为实数，的单调性，凹凸性，奇偶性。
分数评卷人五、[本题12分]在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为，求1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。
2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
分数评卷人六、[本题8分] 设函数f(x)满足f ”(x) –f(x)=0 且曲线y=f(x) 在原点外与直线y=x相切，求f(x).郑州大学2005级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案一．求下列极限1．解：2．解：3．解：4．解：二．求下列函数的导数或微分1．，求解：2．，求解：两边取对数上式两边关于求导，得：所以，，3．设函数由方程确定，求解：方程两边同时关于求导，得：所以，故4．设求解：三．求下列积分1．解：2．解：3．解：4．已知是的一个原函数，求解：5．解：四．设。
（1）研究的单调性及上（下）凸性；（2）研究的奇、偶性。
解：（一） 1．因为，所以，在内单增；2．又因为故（1）当时，在内是下凸的；（2）当时，在内是上凸的。
（二）故为奇函数。
五．在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为，求1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。
2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：（一）设切点为，则切线方程为，即。
所以，解得：于是，切点为，切线方程为（二）切线与轴的交点为，则所求旋转体的体积为六．求微分方程在初始条件下的特解。
解：（一）微分方程的特征方程为其特征根为故方程通解为（二）代入初始条件后，得：，解得故原微分方程的特解为：。
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1） 求图形D 的面积；（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
郑州大学微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
郑州大学2012—2013学年度第一学期微积分期末考试试卷（A 卷）考试时间：2小时30分钟 考试方式：闭卷复查总分 总复查人一、求解下列各题（每题8分，共48分）1．求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31.解：⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31()()()2211113lim x x x x x x ++-++-=→()()()()211121lim x x x x x x ++-+-=→ 112lim21=+++=→x x x x .2．求x e y arctan =的导数. 解：()()'+='xxe ey 211()'+=x eexx.112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x e e x x 21.112()xxex e212+=.3．求由y e y x x sin 22=-①的函数()x y 的导数. 解：①式两边关于x 求导得'=-'+y y xe y x xy x .cos 2222即()()y e x xe y y xx x -=-'-2222cos 2所以 ()y x ye x y x c o s 222--='.4.求()dx x x x⎰+2ln ln 1.解：()dx x x x⎰+2ln ln 1()().ln 1ln ln 12C xx x x d x x +-==⎰ 5. 求⎰+e x x dx 1ln 1 .解：⎰+exx dx 1ln 1()().122ln 12ln 1ln 11|11-=+=++=⎰eex x d x6. 求⎰+∞++0284x x dx. 解：⎰+∞++0284x x dx ()()⎪⎭⎫⎝⎛-=+=+++=∞+∞+⎰422122arctan 212221|0022ππx x d x .8π=7.求一个以x xe y =为其特解的二阶常系数线性齐次微分方程. 解：设所求方程为 0=+'+''qy y p y ①根据题意知，方程的①的特征方程的根应为 121==r r ， 因此其特征方程应为 ()012=-r ，即 .0122=+-r r所以，所求方程为 .02=+'-''y y y8.设()x f 是以π2为周期的函数，它在[)ππ,-上的表达式为()⎩⎨⎧<≤+<≤-=.0,1,0,ππx x x x x f 求它的富里叶展开式.解：（一）()()1111000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==⎰⎰⎰--ππππππdx x xdx dx x f a ； ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==⎰⎰⎰--00cos 1cos 1cos 1ππππππnxdx x nxdx x nxdx x f a n其中 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰----0000sin sin 1sin 1cos |ππππnxdx nx x n nx xd n nxdx x()⎰⎰---=-=002sin 1sin 1ππnx nxd n nxdx n()()[]nnnx n 111cos 1202|--=--=-π； ①()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+⎰⎰⎰ππππ0000sin sin 11sin 11cos 1|nxdx nx x n nx d x n nxdx x ()⎰⎰-=-=ππ002sin 1sin 1nx nxd n nxdx n()()[]111cos 1202|--=--=nnnx n π.②故 ,...)2,1.(0==n a n （二） ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==⎰⎰⎰--0s i n 1s i n 1s i n 1ππππππn x d x x n x d x x n x d x x f b n 其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎰⎰⎰----0000cos cos 1cos 1sin |ππππnxdx nx x nnx xd n nxdx x ()⎰---=---=011]cos )1([1πππnnxdx n n n ； ①()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=+⎰⎰⎰ππππ0000cos cos 11cos 11sin 1|nxdx nx x n nx d x n nxdx x ()()[]()()[]nn n n n n 1111111111---++-=--+-=ππ②故 ()()[]1111121---++-=n n n n n b π()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=,...5,3,1,12,...,6,4,2,2n n n n ππ所以，所求富里叶展开式为()()().,....,3sin 3122sin sin 1221N n n x x x x x f ∈≠-++-++=πππππ 二、（12分）已知函数()()231-=x x x f ，求（1）函数()x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； （2）函数图形的凸性区间、拐点、渐进线；解：（一）()()+∞∞-=,11, D ；1.因为()()32lim lim1x x x f x x →∞→∞==∞-，所以无水平渐进线；2.因为函数在1=x 处无定义，且()()3211lim lim1x x x f x x →→==+∞-，故有垂直渐进线1=x ；3.因为()()22lim lim 1,1x x f x x a x x →∞→∞===-，()()()32222lim lim lim 211x x x x x x b f x ax x x x →∞→∞→∞⎡⎤-=-=-==⎡⎤⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎣⎦均存在， 所以，有斜渐进线2+=x y . （三）令()()()2123300, 3.1x x f x x x x -'==⇒==-；令()()4600.1xf x x x ''==⇒=-于是可得下表：（)0,∞- 0 ()1,01()3,1 3 ()+∞,3()f x ' + 0 + 不存在 — 0 + ()f x ''— 0 + 不存在 + + + ()x f 升 拐点 升 间断 降 升三、求解下列各题（每题8分，共32分）1．将()21ln arctan x x x x f +-=展开为x 的幂级数.解法一：()()21ln 21arctan x x x x f +-=()x x x x x x x f arctan 2.11.211arctan 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++='；()211x x f +=''. 由展式 ()n n nx x ∑∞=-=+0111，()1,1-∈x 得()()()()nn nnn nxx x x f 202021111∑∑∞=∞=-=-=+='' ，()1,1-∈x .①故 ()()()()dx x dx x f f x f xn n nx⎰∑⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=''+'='∞=0200100()()121112020+-=-=+∞=∞=∑⎰∑n x dx x n n nxnn n，[]1,1-∈x .② 所以 ()()()()dx n x dx x f f x f xn n n x⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+='+=+∞=012012100 ()()()()22121121220120++-=+-=+∞=+∞=∑⎰∑n n x dx xn n n nxn n n，[]1,1-∈x . 解法二：由()dx x dx x x x n n n x⎰∑⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=+=∞=02002111arctan ()121120+-=+∞=∑n x n n n，[]1,1-∈x .① ()()()()11111ln 1201202+-=+-=++∞=+∞=∑∑n x n x xn n nn n n，[]1,1-∈x ， ② 得()()21ln 21arctan x x x x f +-=()121120+-=+∞=∑n x x n n n()1121120+--+∞=∑n xn n n ()121220+-=+∞=∑n x n n n()()121120+--+∞=∑n xn n n()1202211211+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=∑n n n x n n()()()22121120++-=+∞=∑n n x n n n，[]1,1-∈x . 2．在某N 个人中推广新技术.已知在0=t 时，这N 个人中已有0X 个人掌握了这项技术.设在任意时刻t 已掌握这项技术的人数为()t x ，并认为()t x 是连续函数.如果()t x 的变化率与已掌握技术和未掌握技术的人数之积成正比，比例系数为)0(>k ，求()t x .解：根据题意知()x N kx dtdx-=..① 且()00|X t x t ==.②①为可分离变量型的一阶微分方程.由 ①得到()⎰⎰=-dt k dx x N x 1其中()⎰-dx x N x 1()x N x x N x dx x N x -=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰ln ln ln 11故①的通解为C kt x N x ln ln -=-③ 由③解得 ()ktCeNt x -+=1④ 将初始条件()00|X t x t ==代入④，解得X X N C -=⑤ 所以，将⑤代入④，有()kt kt kt e X X N e NX eX X N Nt x 00000.1+-=-+=-. 3．一台摄像机放置在距火箭发射塔4000米处，为了使摄像机的镜头始终对准火箭，摄像机的仰角应随火箭的上升而不断增加.火箭发射后，它与地面垂直距离随时间的变化率()t x 是可以测出的.若已知火箭垂直上升距离为m 3000时，其速度达到s m /600.求此时摄像机仰角的变化率. 解：设在时刻t 摄像机的仰角为()t α，则由题意知4000tan x=α① ①式两边关于t 求导得dt dx dt d .40001.sec 2=αα②将222240001tan 1sec x +=+=αα代入②式，得到dtdxx dt d .1600000040002+=α③ 将 600,3000==dtdxx 代入③式，解得 )/(09.0s m dtd =α. 即当火箭垂直上升距离为m 3000时，摄像机仰角的变化率为)./(09.0s m 4.在曲线2x y =上求一点，使过此点的切线与0,8==y x 所围成位于第一象限的三角形的面积最大.解：（一）在曲边2x y =上任取一点()2,t t ，则曲线在该点处切线斜率为()t x t y k tx 22|=='==.从而曲线在该点处切线方程为()t x t t y -=-.22① ①中令0=y ，解得 2tx =；令8=x ，解得 .162t t y -=②所以曲线在该点处的切线与两直角边8,0==x y 围成的三角形面积为()()()80.6484116.28.21232≤≤+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t t t t S ③（二） 令()()02566434164164322=+-=+-='t t t t t S ，④ 得.16=t （舍）或者.316=t又因为()()64641-=''t t S ，01296316<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛''S ，所以当316=t 时，()t S 取到最大 值.即所求点为⎪⎭⎫⎝⎛9256,316.四、（8分）就k 的不同情况讨论曲线k x y +=ln 4与 x x y 4ln 4+=交点的个数解：问题等价于讨论方程0ln 4ln 44=--+k x x x 有几个不同的根.令 ()k x x x x f --+=ln 44ln 4，()+∞∈,0x .①则 ()()xx x x x x x f 1l n 4144l n 433-+=-+='.② 由()0='x f ，解得唯一驻点1=x .【注意到：()01ln 03=-+⇔='x x x f .记 ()1ln 3-+=x x x g ，()+∞∈,0x .因为()01ln 32>+='xxx g ，故()x g 在()+∞,0上单调增加，故方程01ln 3=-+x x 至多有一个实根.】因为当10<<x 时，()0<'x f ；而当1>x 时，()0>'x f ，故()k f -=41为函数()x f 的最小值.又()()+∞=--+=++→→k x x x x f x x ln 44ln lim lim 4； ()()k x x x x f x x --+=+∞→+∞→ln 44ln lim lim 4+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+∞→x k x x x x x x 4334ln 1ln 14ln 1.ln 41ln lim . 根据以上分析可画出()x f y =的草图（略）.就此草图易作出以下判断 （1）当4<k 时，方程()0=x f 无实根，从而两曲线无交点；（2）当4=k 时，方程()0=x f 恰有一个实根，从而两曲线恰有一个交点； （3）当4>k 时，方程()0=x f 恰有两个实根，从而两曲线恰有两个交点.。
郑州大学2013级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
＝1
得分 评卷人
【解】
lim
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
0
f
sin
xdx .
【证明】
（1）
设
2 2
g u du
I .令 u t
则
I
2
g tdt
2
2
2
g
t
dt
2 2
g
u du
（因为
gu
为奇）
2
2
g u du
I
，
即得到
I I .因此必有
1 1 ex
dx
ex 1 ex
dx
1 1 ex
d
1
ex
ln 1 ex C ；
【解法二】
1 1 ex
dx
1
ex 1
ex
e
x
dx
dx
1
1 e
x
d
1
e
x
x ln 1 e x
C；
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 13. 曲线 \( y = x^3 \) 与 \( x \) 轴围成的面积是：A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 2/34. 函数 \( y = \sin(x) \) 的不定积分是：A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( \sin(x) \)D. \( \ln(\sin(x)) \)二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果 \( f'(x) = 6x \)，则 \( f(x) = _______ + C \)。
6. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 _______。
7. 定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \) 的值是 _______。
8. 曲线 \( y = e^x \) 与 \( x \) 轴围成的面积在 \( x = 0 \) 到 \( x = 1 \) 之间的值是 _______。
三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的导数。
10. 计算定积分 \( \int_{0}^{2} (2x + 1) dx \)。
11. 求曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 相交的点。
12. 求函数 \( y = \ln(x) \) 在 \( x = e \) 处的切线方程。
四、答案一、选择题答案1. B2. B3. B4. B二、填空题答案5. \( 3x^2 + C \)6. \( 1/x \)7. \( e^e - 1 \)8. \( e - 1 \)三、解答题答案9. \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)10. \( \int_{0}^{2} (2x + 1) dx = x^2 + x \bigg|_{0}^{2} = 4 + 2 = 6 \)11. 令 \( x^2 = 4x \)，解得 \( x = 0 \) 或 \( x = 4 \)，所以交点为 \( (0, 0) \) 和 \( (4, 16) \)。
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郑州大学2005级微积分考试试题A
郑州大学2005级（上）理工科专业微积分试题（A卷）
分数评卷人一、求极限：（每题 5 分，共20 分）
1．
2.
3．
4.
分数评卷人二、求导数或微分：（每题 5 分，共20 分）
1．
2．设
3.设y=y(x)由方程所确定，求y’(0)
4．
分数评卷人三、求下列积分：（每题 6 分，共30 分）
1．
2．
3.
4.
5.求
分数评卷人四、[本题10分] 设x 为实数，
的
单调性，凹凸性，奇偶性。
分数评卷人五、[本题12分]
在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为
，求
1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。
2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
分数评卷人六、[本题8分] 设函数f(x)满足f ”(x) –f(x)=0 且曲
线y=f(x) 在原点外与直线y=x相切，求f(x).
郑州大学2005级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案
一．求下列极限
1．
解：
2．
解：
3．
解：
4．
解：
二．求下列函数的导数或微分1．，求解：
2．，求
解：两边取对数
上式两边关于求导，得：
所以，，
3．设函数由方程确定，求
解：方程两边同时关于求导，得：
所以，
故
4．设求
解：
三．求下列积分
1．
解：
2．
解：
3．
解：
4．已知是的一个原函数，求解：
5．
解：
四．设。
（1）研究的单调性及上（下）凸性；
（2）研究的奇、偶性。
解：（一） 1．因为，所以，在内单增；
2．又因为故
（1）当时，在内是下凸的；
（2）当时，在内是上凸的。
（二）故为奇函数。
五．在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面
积为，求
1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。
2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：（一）设切点为，则切线方程为，
即。
所以，解得：
于是，切点为，切线方程为
（二）切线与轴的交点为，则所求旋转体的体积为
六．求微分方程在初始条件下的特解。
解：（一）微分方程的特征方程为其特征根为
故方程通解为
（二）代入初始条件后，得：
，解得
故原微分方程的特解为：。