关于向量求导的一些公式
导数公式大全范文
导数公式大全范文导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，也是许多数学应用的基础。
下面是一些常用的导数公式，可以帮助你更好地理解导数和应用它们进行计算。
1.基本导数公式：- 常数函数：如果y = C，其中C是一个常数，那么dy/dx = 0。
- 幂函数：如果y = x^n，其中n是一个实数，那么dy/dx = nx^(n-1)。
- 指数函数：如果y = e^x，那么dy/dx = e^x。
- 对数函数：如果y = ln(x)，那么dy/dx = 1/x。
- 三角函数：如果y = sin(x)，那么dy/dx = cos(x)；如果y =cos(x)，那么dy/dx = -sin(x)；如果y = tan(x)，那么dy/dx =sec^2(x)。
2.基本运算法则：- 常数乘法法则：如果y = C*f(x)，其中C是一个常数，那么dy/dx = C*f'(x)。
- 加法法则：如果y = f(x) + g(x)，那么dy/dx = f'(x) + g'(x)。
- 减法法则：如果y = f(x) - g(x)，那么dy/dx = f'(x) - g'(x)。
- 乘法法则：如果y = f(x)*g(x)，那么dy/dx = f'(x)*g(x) +f(x)*g'(x)。
- 除法法则：如果y = f(x)/g(x)，那么dy/dx = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/g(x)^23.链式法则：- 如果y = f(g(x))，那么dy/dx = f'(g(x))*g'(x)。
4.反函数的导数：-如果y=f(x)的导数存在且不为零，并且f(x)在其中一区间上是单调的、可逆的，那么y=f^(-1)(x)的导数为1/f'(f^(-1)(x))。
5.高阶导数：-如果y=f(x)的导数f'(x)存在，那么f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记作f''(x)，依此类推。
关于向量求导的一些公式
1 单因子幂对向量的导数
定理 1 设 x′ = ( x1 , …, x n ) 是 1 ×n 的变数向量 , a′ = ( a1 , …, a n ) 是 1 ×n 的常数向量 ,则对于任一 自然数 m ∈N ,有 9 ( a′ x) 9x 证明 用归纳法证 ( 1) 当 m = 1 时 9 ( a′ x) 9 ( n = 6 a x ) = ai 9xi 9x i j = i j j 9 ( a′ x) 9 = ( x′ a) = a 9x 9x 上式说明当 m = 1 时 , ( 111) 式成立
证毕 。
2 多因子幂对向量的导数
定理 3 设 x′ = ( x1 , …, x n ) 为 1 ×n 变数向量 , a′ = ( a1 , …, a n ) , b′ = ( b1 , …, bn ) , …, c′ = ( c1 , …,
cn ) 为有限个 1 ×n 常数变量 ,对任一自然数 m ,则有
=
( 212)
9 ( x′ Ax ) 9 ( x′ Bx) m m m ( x′ B x ) …( x′ Cx ) + ( x′ Ax ) ・ 9xi 9xi 9 ( x′ Cx ) 9xi
m
m
…
m m m ( x′ Cx ) + …+ ( x′ Ax ) ( x′ B x) …
= m ( x′ Ax )
k- 2 k- 1 k- 1 k- 1 k- 1 = ( k - 1) ( a′ x) ai ( a′ x ) + ( a′ x) ai = ( k - 1) ( a′ x) ai + ( a′ x) ai = k ( a′ x) ai
9 ( a′ x) k- 1 = k ( a′ x) a ,即当 m = k 时 , ( 111) 式成立 。 9x 综上可知对任一自然数 m ∈N , ( 111) 式成立 于是
向量函数求导
向量函数求导微积分是一门极其重要的学科，学习和掌握微积分的同学在进行不同的数学问题的求解时会用到各种求导公式，求导是微积分的基本操作。
本文将对向量函数求导这一求导技术进行详细的阐述，旨在能够帮助读者更加系统的掌握向量函数求导的基本概念和技术。
首先要解决向量函数求导问题，需要先掌握向量函数的定义以及相关概念，什么是向量函数？向量函数是一种特殊的函数，可以将一个实数区间上的每个点对应一个实数向量，也就是说，它的值都是实数向量。
比如，如果函数f(x)把x映射成一个二维向量（F(x) = (f1(x),f2(x))），那么就可以称f(x)为一个二维实向量函数。
向量函数的定义没有限制，可以是二维、三维甚至更多维度的实数向量，但它们都有一个共同特点，即每一个变量都可以独立被当做一个函数，而不仅仅是把其坐标向量看做一个整体。
解决向量函数求导问题要从慢慢理解它的定义入手，由于向量函数的值是实数向量，我们先来回顾一下实数向量的概念，实数向量就是可以把实数表示为多个维度的一组数据，体现在数学中就是向量，它的每一个变量都可以独立被当做一个函数，我们将用这种方法来求解向量函数的求导问题。
对于向量函数f(x)=(f1(x),f2(x))，在用矩阵的方式表示的话就是：F(x)=[f1(x),f2(x)]我们可以通过每一个变量分别求导，将f1(x),f2(x)这两个函数分别求导，这样就可以得到：F(x)=[f1(x),f2(x)]很明显，F(x)就是我们要求的向量函数的求导结果，我们用一个简单的例子来验证一下这个求导结果，假设我们有这样一个向量函数：f(x)=[3x^2,x^3]那么，求f(x)的求导结果为：f(x)=[6x,3x^2]可以看出，这两个求导结果是符合预期的，因此，这样的求导方式是正确的。
与一维函数求导不同，向量函数求导需要根据每个变量的导数情况分别求导，这个求导过程是非常繁琐的，而且容易出现错误，因此，学习向量函数求导的过程中，要把握其基本原理和求导方法，反复练习更加熟练，方能更加熟练的掌握向量函数求导的基本概念和技术，从而能够在解决实际问题时用上向量函数求导这一求导技术。
高二数学公式向量公式
高二数学公式向量公式
高二数学公式（向量公式）
高中各科目的学习对同学们提高综合成绩非常重要，大家一定要认真掌握，小编为大家整理了高二年级数学公式（向量公式），希望同学们学业有成!
1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|
2.P(x,y) 那么向量OP=x向量i+y向量j
|向量OP|=根号(x平方+y平方)
3.P1(x1,y1) P2(x2,y2)
那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝
|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]
4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝
向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cos=x1x2+y1y2
Cos=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|
(x1x2+y1y2)=根号(x1平方+y1平方)*根号(x2平方+y2平方)
5.空间向量：同上推论
(提示：向量a={x,y,z｝)
6.充要条件：
如果向量a向量b
那么向量a*向量b=0
如果向量a//向量b
那么向量a*向量b=|向量a|*|向量b|
或者x1/x2=y1/y2
7.|向量a向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方2向量a*向量b=(向量a向量b)平方。
向量求导运算法则
向量求导运算法则前⾔矩阵，向量的求导经常碰到和⽤到，但是⽼是忘记，在⽹上收集总结⼀下。
1.矩阵对元素的求导矩阵对元素的求导⽐较简单，就是对矩阵的每个元素分别进⾏求导。
若：Y= \begin{pmatrix} y_{11} &\cdots & y_{1n} \\\ \vdots &\cdots & \vdots \\\ y_{m1} &\cdots & y_{mn} \end{pmatrix}则：{\partial{Y} \over \partial{x}}= \begin{pmatrix} \partial{y_{11}} \over \partial{x} &\cdots & \partial{y_{1n}} \over \partial{x} \\\ \vdots &\cdots & \vdots \\\ \partial{y_{m1}} \over \partial{x} &\cdots & \partial{y_{mn}} \over \partial{x} \end{pmatrix}2.元素对矩阵求导{ \partial{x} \over \partial{Y}}= \begin{pmatrix} \partial{x} \over \partial{y_{11}} &\cdots & \partial{x} \over \partial{y_{1n}} \\\ \vdots &\cdots &\vdots \\\ \partial{x} \over \partial{y_{m1}} &\cdots & \partial{x} \over \partial{y_{mn}} \end{pmatrix}3.⾏向量对列向量求导若：Y= \begin{bmatrix} y_{1} &\cdots & y_{n} \end{bmatrix}， X= \begin{bmatrix} x_{1} \\\ \vdots\\\ x_{m} \end{bmatrix}则： { \partial{Y} \over \partial{X}}= \begin{pmatrix} \partial{y_1} \over \partial{x_{1}} &\cdots & \partial{y_n} \over \partial{x_{1}} \\\ \vdots&\cdots & \vdots \\\ \partial{y_1} \over \partial{x_{m}} &\cdots & \partial{y_n} \over \partial{x_{m}} \end{pmatrix}4.⾏向量对⾏向量求导若：Y= \begin{bmatrix} y_{1} &\cdots & y_{n} \end{bmatrix}， X= \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{p} \end{bmatrix}则得到⼀个超级⼤的⾏向量： { \partial{Y} \over \partial{X}}= \begin{bmatrix} \partial{Y} \over \partial{x_{1}} &\cdots & \partial{Y} \over\partial{x_{p}} \end{bmatrix}5.列向量对列向量求导若：Y^T= \begin{bmatrix} y_{1} &\cdots & y_{n} \end{bmatrix}， X^T= \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{p} \end{bmatrix}则得到⼀个超级⼤的列向量： { \partial{Y} \over \partial{X}}= \begin{bmatrix} \partial{Y} \over \partial{x_{1}} &\cdots & \partial{Y} \over\partial{x_{p}} \end{bmatrix}^T6.矩阵对⾏向量求导\⾏向量对矩阵求导若：Y= \begin{pmatrix} y_{11} &\cdots & y_{1n} \\\ \vdots &\cdots & \vdots \\\ y_{m1} &\cdots & y_{mn} \end{pmatrix} X= \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{p} \end{bmatrix}则： { \partial{Y} \over \partial{X}}= \begin{bmatrix} \partial{Y} \over \partial{x_{1}} &\cdots & \partial{Y} \over \partial{x_{p}} \end{bmatrix}^T\\\ { \partial{X} \over \partial{Y}}= \begin{pmatrix} \partial{X} \over \partial{y_{11}} &\cdots & \partial{X} \over \partial{y_{1n}} \\\ \vdots &\cdots &\vdots \\\ \partial{X} \over \partial{y_{m1}} &\cdots & \partial{X} \over \partial{y_{mn}} \end{pmatrix}7.矩阵对列向量求导\列向量对矩阵求导若：Y= \begin{pmatrix} y_{11} &\cdots & y_{1n} \\\ \vdots &\cdots & \vdots \\\ y_{m1} &\cdots & y_{mn} \end{pmatrix} X= \begin{bmatrix} x_{1} \\\ \vdots \\\ x_{p} \end{bmatrix}则： { \partial{Y} \over \partial{X}}= \begin{pmatrix} \partial{y_1} \over \partial{X} &\cdots & \partial{y_n} \over \partial{X} \\\ \vdots &\cdots &\vdots \\\ \partial{y_1} \over \partial{X} &\cdots & \partial{y_n} \over \partial{X} \end{pmatrix}\\\ { \partial{X} \over \partial{Y}}= \begin{bmatrix} \partial{X_1} \over \partial{Y} \\\ \vdots \\\ \partial{X_p} \over \partial{Y} \end{bmatrix}8.矩阵对矩阵求导若：Y= \begin{bmatrix} y_{11} &\cdots & y_{1n} \\\ \vdots &\cdots & \vdots \\\ y_{m1} &\cdots & y_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{1} \\\ \vdots \\\ y_{m} \end{bmatrix}; X= \begin{bmatrix} x_{11} &\cdots & x_{1q} \\\ \vdots &\cdots & \vdots \\\ x_{p1} &\cdots & x_{pq}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{m} \end{bmatrix}则:{ \partial{Y} \over \partial{X}}= \begin{bmatrix} \partial{Y} \over \partial{x_1} & \cdots & \partial{Y} \over \partial{x_q} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \partial{y_1} \over \partial{X} \\\ \vdots \\\ \partial{y_m} \over \partial{X} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \partial{y_1} \over\partial{x_1} & \cdots & \partial{y_1} \over \partial{x_q} \\\ \vdots & \cdots & \vdots \\\ \partial{y_m} \over \partial{x_1} & \cdots & \partial{y_m} \over \partial{x_q} \end{bmatrix}Processing math: 0%。
高二数学向量公式
高二数学向量公式?向量公式：1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号（x平方+y平方）3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|(x1x2+y1y2)根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）5.空间向量：同上推论（提示：向量a=｛x,y,z｝）6.充要条件：假如向量a⊥向量b那么向量a*向量b=0假如向量a//向量b那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|或者x1/x2=y1/y2“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”因此不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
7.|向量a±向量b|平方要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。
向量对矩阵求导公式
向量对矩阵求导公式好的，以下是为您生成的文章：在数学这个奇妙的世界里，向量对矩阵求导公式就像是一把神秘的钥匙，能打开许多复杂问题的大门。
但这把钥匙可不那么容易掌握，它需要我们用心去琢磨、去探索。
咱先来说说啥是向量和矩阵。
向量呢，就像是一支有方向的箭，它由一串数字组成，有大小也有方向。
比如说，在三维空间里，一个向量可能是 (1, 2, 3) ，这就表示它在三个方向上都有特定的分量。
而矩阵呢，就像是一个数字组成的表格，一排排一列列整齐排列。
那向量对矩阵求导是咋回事呢？简单来说，就是研究向量随着矩阵中的元素变化而变化的规律。
这可不是一件轻松的事儿，得有点耐心和技巧。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着回答他：“孩子，这用处可大了去啦！比如说，在机器学习中，我们要优化一些模型的参数，就得用到向量对矩阵求导。
还有图像处理、物理模型的建立等等，都离不开它。
”那孩子似懂非懂地点点头。
咱们来具体看看向量对矩阵求导的公式。
这公式啊，看起来有点复杂，一堆符号和表达式。
但别害怕，咱们一点点来。
比如说，对于一个向量函数 f(X) ，其中 X 是一个矩阵，那么它的导数可以表示为一个新的矩阵。
这里面涉及到对矩阵中每个元素分别求导，然后按照一定的规则组合起来。
要真正掌握这个公式，得多做练习题。
就像学骑自行车，光看别人骑不行，自己得上去多练练，摔几个跟头，才能找到平衡的感觉。
做练习题也是这样，刚开始可能会错得一塌糊涂，但别灰心，多做几道，慢慢就找到规律了。
我还碰到过一个学生，自己在课后做了好多向量对矩阵求导的题目，本子上密密麻麻写满了计算过程。
他拿给我看的时候，虽然还有一些小错误，但我能看到他的努力和用心。
我给他指出错误，他恍然大悟的表情让我特别欣慰。
其实，数学里的很多知识都是这样，看起来很难，但只要我们一步一个脚印，不怕犯错，总能攻克难关。
向量对矩阵求导公式也不例外。
偏导数公式大全范文
偏导数公式大全范文
1.定义域函数偏导公式
如果f(x,y)定义在R(x,y)上，那么f的偏导数在(x,y)处可以表示如下：
∂f(x,y)/∂x=对x求偏导数
∂f(x,y)/∂y=对y求偏导数。
2.向量偏导公式
向量函数的偏导数可以表示如下：
∇f(X)=[∂f(x)/∂x,∂f(x)/∂y,…]。
3.复合函数的偏导公式
若f为一元函数，g为二元函数，根据复合函数的定义，有：
f(g(x,y))=h(x,y)
则h(x,y)在(x,y)处的偏导数可以用链式求导法则表示：
∂h(x,y)/∂x=∂h(x,y)/∂g(x,y)·∂g(x,y)/∂x
4.偏导数的乘法法则
设f(x,y)和g(x,y)为定义在R(x,y)上的函数，则
h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)
则h(x,y)在处的偏导数可以用乘法法则表示：
∂h(x,y)/∂x=∂f(x,y)/∂x*g(x,y)+f(x,y)*∂g(x,y)/∂x
5.偏导数的除法法则
设f(x,y)和g(x,y)为定义在R(x,y)上的函数，则
h(x,y)=f(x,y)/g(x,y)
则h(x,y)在处的偏导数可以用除法法则表示：
∂h(x,y)/∂x=(∂f(x,y)/∂x*g(x,y)-f(x,y)*∂g(x,y)/∂x)/[g(x,y)]2
6.偏导数的复合法则
设f(x,y)和g(x,y)为定义在R(x,y)上的函数，则h(x,y)=f(g(x,y))则h(x,y)在处的偏导数可以用复合法则表示：
∂h(x,y)/∂x=∂f(x,y)/∂g(x,y)·∂g(x,y)/∂x。
向量求偏导公式
向量求偏导公式好的，以下是为您生成的关于“向量求偏导公式”的文章：在数学的奇妙世界里，向量求偏导公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂问题的大门。
咱们先来说说这偏导到底是个啥。
想象一下，你站在一个大大的数学花园里，面前有一座神秘的城堡，这座城堡就是一个多元函数。
而偏导呢，就像是你手里的小魔杖，能让你一步一步探索城堡里的秘密通道。
向量求偏导公式，它可不是那种随便就能搞定的小角色。
就拿我曾经教过的一个学生小明来说吧。
有一次课堂上，我刚讲到向量求偏导公式，小明那一脸迷茫的样子，就好像掉进了一个怎么也爬不出来的大坑。
我给他举了个例子，假设我们有一个函数 f(x, y) = x^2 + y^3，要分别对 x 和 y 求偏导。
这时候，对 x 求偏导，把 y 看成常数，那偏导就是 2x；对 y 求偏导，把 x 看成常数，就是 3y^2。
小明听了之后，眼睛瞪得大大的，好像有点明白了，但又不是完全明白。
我接着说：“小明啊，你想想看，这就好比你去超市买苹果和香蕉。
苹果的价格变化只和苹果自身的情况有关，和香蕉没关系，所以求苹果价格变化的时候，就把香蕉的价格当成不变的。
反过来也是一样。
” 这下小明终于露出了一丝笑容，点了点头。
向量求偏导公式在实际应用中那可是相当重要。
比如说在物理中的电磁场问题，要研究电场强度和磁场强度的变化，就得用到向量求偏导公式。
还有在经济学中，分析成本和收益的关系，也离不开它。
再深入一点，对于多元函数 f(X) = f(x1, x2,..., xn)，其中 X 是向量(x1, x2,..., xn)，它对 xi 的偏导数就是∂f/∂xi。
这个公式看起来简单，可要真正理解透，还得下一番功夫。
咱们再回到小明，后来做作业的时候，他一开始还是会出错，但经过不断地练习和琢磨，慢慢地掌握了向量求偏导公式的精髓。
有一次考试，正好考到了相关的题目，小明做得那叫一个顺溜，成绩出来后，他高兴得差点跳起来。
总之啊，向量求偏导公式虽然有点复杂，但只要咱们耐心去琢磨，多做练习，就一定能把它拿下。
标量对多个向量的链式求导法则
标量对多个向量的链式求导法则在微积分中，链式求导法则是一种重要的求导技巧，用于处理标量对多个向量的导数。
该法则是由复合函数法则和向量值函数的导数相结合得出的。
首先，让我们明确一下什么是标量和向量。
标量是一个只有大小没有方向的数，例如温度、时间或者质量。
而向量是一个具有大小和方向的量，例如速度、力或者位移。
考虑一个由向量值函数表示的多元函数，即输入为一个或多个向量，输出为一个向量。
假设有函数f，其输入为一个向量x，输出为另一个向量y。
我们想要求导数dy/dx，即求函数f相对于向量x的导数。
在链式求导法则中，我们要使用偏导数的概念。
偏导数是一个多元函数的导数，它表示函数在某个指定变量上的变化率。
简单来说，偏导数可以看作是将函数看作其他变量固定，只考虑一个变量对其影响的导数。
现在让我们来看看标量对多个向量的链式求导法则的表达式。
假设有一组向量x1, x2, ..., xn和一组向量y1, y2, ..., ym，其中m和n可以是任意整数。
我们要求导数df/dxk，即求函数f相对于向量xk的导数。
根据链式求导法则，df/dxk可以通过将函数f的导数df/dy1,df/dy2, ..., df/dym与向量yk相对于向量xk的导数(dyk/dxk)相乘，并将它们求和得到。
这可以用下面的公式表示:df/dxk = Σ (df/dyk) * (dyk/dxk)这个公式的意义可以理解为：导数df/dxk是函数f关于每个y向量的导数以及该y向量关于xk向量的导数的权重化和。
当我们使用链式求导法则时，我们需要注意一些细节。
首先，我们必须保证每一个dyk/dxk都存在，否则导数将不存在。
其次，我们要注意变量的顺序，因为导数的结果可能会因为变量的不同顺序而不同。
最后，我们还要考虑向量的维度问题，因为向量的维度可能会影响导数的计算结果。
通过使用链式求导法则，我们可以轻松地计算标量对多个向量的导数。
这对于许多实际问题是非常有用的，例如机器学习、优化问题和动力学模拟等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( 113)
( 113) 式得 现证当 m = k 时 , ( 111) 式成立 。由 ( 112) 、 k 9 ( a′ x) 9 ( ) k- 1 ( ) 9 ( ) k- 1 ( ) ( ) k- 1 9 ( ) = [ a′ x ・ a′ x ]= [ a′ x ] ・ a′ x + a′ x a′ x 9x i 9xi 9x i 9xi
( 2) 设式 ( 111) 当 m = k - 1 时成立 ,即有 ( 112)
m m- 1 = m ( a′ x) a
( 111)
9 ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ′ x) 9x
k- 1
k- 2 = ( k - 1) ( a′ x) ・ a
由上式可得
9 ( a′ x) 9xi
k- 1
k- 2 = ( k - 1) ( a′ x) ・ ai i = 1 , …, n
- 1
[2 aii x i + 6 ( aij + aji ) xj ]}
j ≠i
+ { ( x′ B x)
- 1
[2 bii xi + 6 ( bij + bji ) xj ]} + …+ { ( x′ Cx )
j ≠i
- 1
[ 2 cii x i + 6 ( cij + cji ) xj ]}
j ≠i
摘要 : 讨论了在不同条件下如何对变数向量求导 , 并得到了一些便于应用的计算公式 , 如 m 9 ( a′ x) m- 1 = m ( a′ x) a。 9x 关键词 : 向量 ; 矩阵 ; 导数 中图分类号 :0174155 文献标识码 :B 文章编号 :1006 28996 ( 2004) 03 20076 204 设 a是n× 1 的常数向量 ,其转置 a′ = ( a1 , … , a n ) , x 是 n × 1 变数向量 ,其转置 x′ = ( x1 , …, x n ) , A 9 ( a′ x) 9 [2 ] 与 ( x′ Ax ) 的计算公式 ,2002 年林孝贵 应用了 9x 9x m 9 ( a′ x) 上述公式得到了一些有应用价值的结论。本文对上述公式在不同条件下进行了推广 , 其中 = 9x m- 1 m ( a′ x) a 等公式从一次推广到 n 次 ,得到了一些便于应用的公式 。 是 n ×n 的常数矩阵 。张尧庭 、 方开泰 介绍了
k- 2 k- 1 k- 1 k- 1 k- 1 = ( k - 1) ( a′ x) ai ( a′ x ) + ( a′ x) ai = ( k - 1) ( a′ x) ai + ( a′ x) ai = k ( a′ x) ai
9 ( a′ x) k- 1 = k ( a′ x) a ,即当 m = k 时 , ( 111) 式成立 。 9x 综上可知对任一自然数 m ∈N , ( 111) 式成立 于是
收稿日期 :2004 - 03 - 01
) ,女 ,辽宁盖县人 ,讲师 。 作者简介 : 刘昌红 (1965 —
k
第 3 期 刘昌红 ,刘瑞元 : 关于向量求导的一些公式 77 定理 2 设 x′ = ( x1 , …, xn ) 是 1 ×n 变数向量 , A = ( aij ) n ×n 是 n ×n 常数矩阵 ,则对任一自然数 m ∈ N ,有 9( m m- 1 ( A + A′ )x x′ Ax ) = m ( x′ Ax ) 9x 证明 用数学归纳法证 ( 1) 当 m = 1 时 , 9 ( 9 ( n n x′ Ax ) = 6 6 a βxαxβ) = 2 aii x i + 6 ( aij + aji ) xj j ≠i 9xi 9xi α= 1β= 1 α 因此就有 9( ) x ,上式说明当 m = 1 时 , ( 114) 式成立 。 x′ Ax ) = ( A + A′ 9x 9( k- 1 k- 2 ( A + A′ )x x′ Ax ) = ( k - 1) ( x′ Ax ) 9x
m- 1
m m [ 2 aii xi + 6 ( aij + aji ) xj ] ( x′ B x ) …( x′ Cx ) j ≠i
m m- 1 m + ( x′ Ax ) m ( x′ B x) [ 2 bii x i + 6 ( bij + bji ) xj ] …( x′ Cx ) + … j ≠i m m m- 1 + ( x′ Ax ) ( x′ B x ) …m ( x′ Cx ) [ 2 cii x i + 6 ( cij + cji ) xj ] j ≠i m = m [ ( x′ Ax ) ( x′ B x ) …( x′ Cx ) ] { ( x′ Ax )
9 ( )( ) ( ) m m [ a′ x b′ x … c′ x ] = m [ ( a′ x ) ( b′ x ) ( c′ x ) ] [ a ( a′ x) 9x 证明 由 ( 111) 得 9 ( )m m- 1 a′ x = m ( a′ x) ai ,于是 9xi
- 1
+ b ( b′ x)
= k ( x′ Ax )
k- 1
[2 aii xi + 6 ( aij + aji ) xj ]
j ≠i
因此就有 9( m k- 1 ( A + A′ )x x′ Ax ) = k ( x′ Ax ) 9x 即当 m = k 时 , ( 114) 式成立 ,综上可知对任一自然数 m ∈N , ( 114) 式成立 ,证毕 。 推论 1 设 x′ = ( x1 , …, x n ) 为 1 ×n 变数向量 , a′ = ( a1 , …, a n ) 和 b′ = ( b1 , …, bn ) 均为 1 ×n 常数 变量 , m ∈N 是任一自然数 ,则 9 ( )( ) m m- 1 ( ab′ )x [ a′ x b′ x ] = m [ ( a′ x ) ( b′ x) ] + ba′ 9x 证明 由定理 2 有 9 ( ) ( ) m 9( ( ) m ( ab′ ) x ] m - 1 ( ab′ )x [ a′ x ・ b′ x ] = x′ ab′ x ] = m [ x′ + ba′ 9x 9x m- 1 ( ab′ )x = m [ ( a′ x ) ( b′ x) ] + ba′
m- 1
m
m
= m ( a′ x)
ai ( b′ x ) ( c′ x)
m
m
m m- 1 m m m m- 1 + ( a′ x ) m ( b′ x) bi ( c′ x ) + ( a′ x ) ( b′ x ) ( c′ x) ci
m m m = m ( a′ x ) ( b′ x ) ( c′ x ) [ ai ( a′ x)
第 22 卷 第3期 青海大学学报 ( 自然科学版) Vol . 22 No. 3 2004 年 6 月 Journal of Qinghai University J un. 2004
关于向量求导的一些公式
刘昌红 ,刘瑞元
( 青海师范大学数学系 ,青海 西宁 810008)
证毕 。
2 多因子幂对向量的导数
定理 3 设 x′ = ( x1 , …, x n ) 为 1 ×n 变数向量 , a′ = ( a1 , …, a n ) , b′ = ( b1 , …, bn ) , …, c′ = ( c1 , …,
cn ) 为有限个 1 ×n 常数变量 ,对任一自然数 m ,则有
[1 ]
1 单因子幂对向量的导数
定理 1 设 x′ = ( x1 , …, x n ) 是 1 ×n 的变数向量 , a′ = ( a1 , …, a n ) 是 1 ×n 的常数向量 ,则对于任一 自然数 m ∈N ,有 9 ( a′ x) 9x 证明 用归纳法证 ( 1) 当 m = 1 时 9 ( a′ x) 9 ( n = 6 a x ) = ai 9xi 9x i j = i j j 9 ( a′ x) 9 = ( x′ a) = a 9x 9x 上式说明当 m = 1 时 , ( 111) 式成立
9 ( 9 ( 9 ( k k- 1 k- 1 k- 1 9 ( x′ ( x′ x′ Ax ) = [ x′ Ax ) Ax ) ] = [ x′ Ax ) ] ( x′ Ax ) + ( x′ Ax ) Ax ) ] 9xi 9xi 9xi 9xi
k- 2 k- 1 = ( k - 1) ( x′ Ax ) [ 2 aii xi + 6 ( aij + aji ) x i ] ( x′ Ax ) + ( x′ Ax ) [ 2 aii x i + 6 ( aij + aji ) xi ] j ≠i j ≠i
( 116) ( 115) ( 114)
( 2) 设当 m = k - 1 时 , ( 114) 式成立 ,既有
由上式可得 9 ( k- 1 k- 2 x′ Ax ) = ( k - 1) ( x′ Ax ) [2 aii x i + 6 ( aij + aji ) xj ] j ≠i 9x i
( 116) 式得 现证当 m = k 时 , ( 114) 式成立 ,由 ( 115) 、
- 1
+ bi ( b′ x)
- 1
+ ci ( c′ x)
- 1
]
青海大学学报 第 22 卷 78 于是有 9 ( )( )( ) m m - 1 - 1 - 1 [ a′ x b′ x c′ x ] = m [ ( a′ x ) ( b′ x ) ( c′ x ) ] [ a ( a′ x) + b ( b′ x) + c ( c′ x ) ] ,证毕 。 9x 定理 4 设 x′ = ( x1 , …, x n ) 为 1 ×n 变数向量 , A , B , …, C 是 n ×n 常数矩阵 , 则对任一自然数 m ∈N ,有 9 ( m m [ x′ Ax ) ( x′ B x ) …( x′ Cx ) ] = m [ ( x′ Ax ) ( x′ B x ) …( x′ Cx ) ] 9x - 1 - 1 - 1 ) x + ( x′ ) x + …+ ( x′ ) x] [ ( x′ Ax ) ( A + A′ B x ) ( B + B′ Cx ) ( C + C′ 证明 由 ( 114) 式可得 9 ( m m- 1 [ x′ Ax ) ] = m ( x′ Ax ) [ 2 aii x i + 6 ( aij + aji ) xj ] j ≠i 9xi 9 ( 9 ( m m m m [ x′ Ax ) ( x′ B x ) …( x′ Cx ) ] = [ x′ Ax ) ( x′ B x ) …( x′ Cx ) ] 9xi 9xi