圆锥曲线中圆过定点问题
圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)
圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一 、 圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法： （1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．题型二、圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足2220e −+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l ．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．例6、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB 为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．.思路分析 (1)根据已知条件，求出a ，b 的值，得到椭圆C 2的标准方程．(2)①对直线OP 斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，并与椭圆C 1的方程联立，解得点A 横坐标，同理求得点P 横坐标，再通过弦长公式，求出PAPB 的表达式，化简整理得到定值．②设P(x 0，y 0)，写出直线l 1的方程，并与椭圆C 1联立，得到关于x 的一元二次方程，根据直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0，同理得到(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，从而说明k 1，k 2是关于k 的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆22:14x C y +=，F 为其右焦点，直线()0:k y x m l m k +<=与椭圆交于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，点,A B 在l 上，且满足,,PA PF QB QF OA OB ===.(点,,,A P Q B 从上到下依次排列)(I )试用1x 表示PF ：(II )证明：原点O 到直线l 的距离为定值.2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．3、(2019苏锡常镇调研）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD 为定值．4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；(2) ①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值；5、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (－65，0).设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求k 1k 2的值；(2) 记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3) 求证：直线AC 必过点Q .圆锥曲线中的定点、定值问题解析一、题型选讲例1【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +−=−，可得121227(3)(3)y y x x =−++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219x y +=得222(9)290.m y mny n +++−=所以12229mn y y m +=−+，212299n y y m −=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +−−++++=解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.例2、【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，l ∴的方程为2p y x =−.由2,22,p y x y px ⎧=−⎪⎨⎪=⎩得22304p x px −+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =−（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=−⎨=⎩得()22224840k x k x k −++=，()22222484464640k k k k ∆=+−⋅⋅=+>，212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a −=−，()222PNk x k x a−=−. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+−−+−−=−+++=−=⎡⎤⎣⎦， ∴2a =−时，此时()2,0P −.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P −，使直线PM ，PN 关于x 轴对称. 例3、【解析】（1）由抛物线2:2C x py =−经过点(2,1)−，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =−，其准线方程为1y =.（2）抛物线C 的焦点为(0,1)F −. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =−≠.由21,4y kx x y=−⎧⎨=−⎩得2440x kx +−=.设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =−. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =−，得点A 的横坐标11A x x y =−. 同理得点B 的横坐标22B x x y =−. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=−−−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++ 24(1)n =−++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n −++=，则1n =或3n =−. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)−.例4、【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a −=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++−=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k −+=−=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y −−+−−=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++−−++−+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k−+−−−+−+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++−=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +−≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =−−≠.所以直线MN 过点21(,)33P −.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y −.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y −−+−−−=.又2211163x y +=，可得2113840x x −+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P −.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP =. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.例5、【解析】（1）由2220e −+=解得2e =或e =，∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a −−==−a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =−，设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +−+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k −−⨯⨯+=216240k −> 232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k −+=+−=+，()()121222y y kx kx =−−()21212=24k x x k x x −++=224221k k −+， 直线BP 的方程为1111y y x x −=+，令0y =解得111x x y =−，则11,01x M y ⎛⎫⎪−⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪−⎝⎭， 12123411BOMBCNx x SSy y ∴=−−=()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =−−−++=22226321444212121k k k k +−++++=12， BOM BON S S∆∴为定值12． 例6、 (1) 规范解答 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，a ＝22，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，因此椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2)①1°当直线OP 斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PAPB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P ＝84k 2＋1.(6分)所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，从而PAPB＝|x P－x A||x P－x B|＝|x P－x A||x P＋x A|＝2－12＋1＝3－2 2.所以PAPB＝3－22为定值．(8分)②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k21＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k1t)2－4(4k21＋1)(4t2－4)＝0，即4k21－t2＋1＝0，将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，(x20－4)k21－2x0y0k1＋y20－1＝0，(12分)同理可得，(x20－4)k22－2x0y0k2＋y20－1＝0，所以k1，k2为关于k的方程(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－1＝0的两根，从而k1·k2＝y20－1x20－4.(14又点在P(x0，y0)椭圆C2：x28＋y22＝1上，所以y20＝2－14x20，所以k1·k2＝2－14x20－1x20－4＝－14为定值．(16分)二、达标训练1、【解析】(I) 椭圆22:14xC y+=，故)F，1 ||22FP x ====−.(II)设()33,A x y，()44,B x y，则将y kx m=+代入2214xy+=得到：()222418440k x kmx m+++−=，故2121222844,4141km mx x x xk k−−+==++，21241x xk−=+，OA OB=，故()3434343421k x x my yx x x x k+++==−++，得到34221kmx xk−+=+，PA PF=13122x x−=−42222x x−=−，由已知得：3124x x x x<<<或3124x x x x>>>，)()123421x x x x x+−+=−，2228241141km kmk k k−+=+++，化简得到221m k=+.故原点O到直线l的距离为1d==为定值.2、【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由241y xy kx⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x+−+=．依题意22(24)410k k∆=−−⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又P A，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（1）知12224kx xk−+=−，1221x xk=．直线P A的方程为1122(1)1yy xx−−=−−．令x=0，得点M的纵坐标为1111212211My kxyx x−+−+=+=+−−．同理得点N的纵坐标为22121Nkxyx−+=+−．由=QM QOλ，=QN QOμ得=1Myλ−，1Nyμ=−．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M Nkx x x x x x k ky y k x k x k x x kk λμ−+−−−++=+=+=⋅=⋅−−−−−−．所以11λμ+为定值．3、规范解答(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，ca＝32，则a2c－c＝33，c2＝a2－b2，(3分)解得a＝2，b＝1，c＝3，(5分)所以椭圆E的标准方程是x24＋y2＝1.(6分)(2) 解法1 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，因为PA ＝1＋k 21|x 1－t|，PB ＝1＋k 21|x 2－t|，(10分)所以PA·PB ＝(1＋k 21)|x 1－t||x 2－t|＝(1＋k 21)|t 2－(x 1＋x 2)t ＋x 1x 2| ＝(1＋k 21)|t 2－8k 21t 21＋4k 21＋4k 21t 2－41＋4k 21|＝（1＋k 21）|t 2－4|1＋4k 21，(12分) 同理，PC ·PD ＝（1＋k 22）|t 2－4|1＋4k 22，(14分) 所以PA·PB PC·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)解法2 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，直线l 2的方程为y ＝k 2(x －t)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分) 则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，同理则x 3＋x 4＝8k 22t1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，PA →·PB →＝(x 1－t ，y 1)(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t)(x 2－t)＋k 21(x 1－t)(x 2－t)＝(x 1－t)(x 2－t)(1＋k 21)， PC →·PD →＝(x 3－t ，y 3)(x 4－t ，y 4)＝(x 3－t)(x 4－t)＋k 22(x 3－t)(x 4－t)＝(x 3－t)(x 4－t)(1＋k 22)．(12分) 因为P ，A ，B 三点共线，所以PA →·PB →＝PA·PB ，同理，PC →·PD →＝PC ·PD.PA ·PB PC ·PD ＝PA →·PB →PC →·PD →＝（x 1－t ）（x 2－t ）（1＋k 21）（x 3－t ）（x 4－t ）（1＋k 22）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·（x 1－t ）（x 2－t ）（x 3－t ）（x 4－t ）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·x 1x 2－t （x 1＋x 2）＋t 2x 3x 4－t （x 3＋x 4）＋t 2.代入x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，x 3＋x 4＝8k 22t 1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，化简得PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21），(14分)因为是定值，所以PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)4规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍)，即M ⎝⎛⎭⎫837，17.(2分)连结BF ，则直线BF ：x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0，而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2＝2372＝37.故S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(4分)(2) 解法1(点P 为主动点) ①设P(m ，－2)，且m≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1m ， 则直线PM 的方程为y ＝－1m x －1，联立⎩⎨⎧y ＝－1m x －1，x 24＋y 2＝1化简得⎝⎛⎭⎫1＋4m 2x 2＋8m x ＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4，(6分)所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，(8分)所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值．(10分)5、规范解答 (1) 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.(4分)(2) 设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 2＋y 2＝4得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0，解得x P ＝2k 21－11＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x24＋y 2＝1得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，解得x B ＝24k 21－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，(8分) 所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y Px P ＋65＝－4k 11＋k 212k 21－11＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(10分) (3) 设直线AC 方程为y ＝k 2(x －2)，当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝⎛⎭⎫－65，－85，则P －65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4解得x Q ＝－216k 21－116k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 2121－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－216k 21－116k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q .(16分) (不考虑直线与x 轴垂直的情形扣1分)。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略摘要：近些年来圆锥曲线的定值定点问题成为了高考主要考查的内容之一，这类题型在解题之前无法确定定值和定点的计算结果，所以题目存在着一定的难度。
为了能够提高这类题目解题的准确率，教师需要积极探索这类题目一些有效的解题策略，让学生可以真正的吸收，进一步提升学生解题的质量。
本文就高中数学圆锥曲线定点问题解题策略展开探讨。
关键词：高中数学；圆锥曲线；定点问题在新课改背景下对于高中数学教学提出了新的要求，高中数学应该注重培养学生的数学核心素养，其中涉及到了学生建模思想、思维能力还有数学运算和数据分析能力的培养。
在数学教学中圆锥曲线定点问题是教学的重点。
而这类题目对培养学生上述能力有着重要的意义。
本文将针对圆锥曲线定点问题的解题策略进行探讨，找到一些有效的解决问题的办法，让学生可以有效的吸收，在这个基础上提升学生解决问题的准确率，促进学生数学核心素养的发展。
1.高中数学圆锥曲线定点问题解决现状在高中数学教学中圆锥曲线这部分知识是非常重要的，占据着不可替代的位置。
而且从每一年的高考题目可以看出圆锥曲线这部分的内容占比也较大。
但是目前我们通过分析学生的试卷不难发现学生在圆锥曲线这部分问题中的得分情况并不是特别的理想，甚至一些学生干脆直接放弃了这些题目的解答，尤其是在高考的时候情况更是比较糟糕。
这也从某种程度上说明了学生这部分内容掌握是十分不理想的。
通过调查我们了解到很多学生对于圆锥曲线的知识仅仅停留在了对于概念的理解上面，对于圆锥曲线相关的内容基本都是采取死记硬背的方式，根本不能深刻的理解圆锥曲线相关的定义和性质，那么自然无法灵活的应用相关的知识去解决实际问题。
其实学生这部分内容掌握不是特别的理想主要有这样的几个因素导致。
受到了其他学生的影响，会从意识里认为圆锥曲线这部分知识学习难度较大，所以还没有深入的学习就存在着放弃的念头。
课后也不会主动地进行这部分知识的学习。
另外有的学生在课堂中觉得自己掌握的已经非常到位了，但是真正自己去完成一些练习题的时候却存在着各个方面的问题，甚至遇到了一些计算量相对较大的题目的时候更是束手无策。
第20讲 圆过定点问题(原卷版)2023最新专题：圆锥曲线
第20讲圆过定点问题一、解答题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，椭圆上的点到右焦点F 的最近距离为2，若椭圆C 与x 轴交于A B 、两点，M 是椭圆C 上异于A B 、的任意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．2．已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，A 、B 分別为椭圆的左项点和上顶点， ABF 的面积为1+．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP 、AQ 分别与直线x ＝交于点M 、N ．以MN 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．3．已知定点(1,0)R ，圆22 S: 2150x y x ++-=，过R 点的直线1L 交圆于M ，N 两点过R 点作直线2L SN ∥交SM 于Q 点.（1）求Q 点的轨迹方程；（2）若A ，B 为Q 的轨迹与x 轴的左右交点，()()000,0P x y y ≠为该轨迹上任一动点，设直线AP ，BP 分别交直线l ：6x =于点M ，N ，判断以MN 为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由.4．已知圆22:1O x y +=和直线:3l x =，在x 轴上有一点(1,0)Q ，在圆O 上有不与Q 重合的两动点,P M ，设直线MP 斜率为1k ，直线MQ 斜率为2k ，直线PQ 斜率为3k ，（l ）若121k k =-①求出P 点坐标；②MP 交l 于'P ，MQ 交l 于'Q ，求证：以''P Q 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若232k k =：判断直线PM 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．5．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l ：0x y +-=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.（1）求椭圆T 的方程；（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.6．已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点．（1）若()4,2P -时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别是1F 、2.F 以1F 为圆心、以3为半径的圆与以2F 为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线()()10y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．8．已知椭圆G 22+22=1(>>0)1(−s 0),2(s 0)，其短轴长是23，原点到过点os 0)和o0,−p （1）求椭圆的方程；（2）若点s 是定直线=4上的两个动点，且1 •2 =0，证明：以B 为直径的圆过定点，并求定点的坐标.9．已知动圆M 与定圆221:(2)1C x y -+=相外切，又与定直线1: 1l x =-相切.（1）求动圆的圆心M 的轨迹2C 的方程，（2）过点()12,0C 的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，直线2: 2l x =分别交直线OA ，OB 于点E 和点F .求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点.10．已知动圆P 过定点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且和直线12x =-相切，动圆圆心P 形成的轨迹是曲线C ，过点()4,2Q -的直线与曲线C 交于,A B 两个不同的点.（1）求曲线C 的方程；（2）在曲线C 上是否存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.11．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为(0,1),(0,1)A B -，离心率为63．（1）求椭圆C 的方程及焦点的坐标；（2）若点M 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，过原点且与直线MA 平行的直线与直线3y =交于点P ，直线MB 与直线3y =交于点Q ，试判断以线段PQ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．12．已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点.（1）若MN =，求直线l 的方程；（2）若12MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>.左焦点()1,0F -，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF 的周长最大值为4+.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.14．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b ，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆相交于点C ，D （不与顶点重合），过右顶点B 分别作直线BC ，BD 与直线4x =-相交于N ，M 两点，以MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q 是椭圆M 上异于,A B 的任意一点，过点Q 且与椭圆M 相切的直线与x a =-，x a =分别交于,S T 两点，以ST 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且||2OP =，1234PF PF ⋅= (O 为坐标原点).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由.。
圆锥曲线中的定点问题及解决方法
圆锥曲线中的定点问题及解决方法1. 引言1.1 背景介绍圆锥曲线是几何学中一个重要的概念，指的是由一个平面与一个圆锥体相交而得到的曲线。
在数学中，圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
这些曲线在几何学和代数学中有着广泛的应用，涉及到许多重要的定理和性质。
圆锥曲线中的定点问题是指关于曲线上或曲线与其他几何图形的交点位置和性质的问题。
这些问题在实际应用中具有重要意义，例如在天文学中描述行星轨道的形状，或在工程学中设计湖面上的浮标位置等。
研究圆锥曲线中的定点问题不仅可以加深对这些曲线的理解，更可以拓展数学知识的应用范围。
通过研究不同的解决方法，可以进一步提高解决问题的能力和技巧，为数学领域的发展贡献力量。
深入探讨圆锥曲线中的定点问题具有重要的研究意义和价值。
1.2 问题提出圆锥曲线中的定点问题是一个重要而复杂的数学问题，其研究有着深远的理论和应用意义。
在圆锥曲线中，定点问题是指在已知曲线的情况下，找到曲线上满足一定条件的点的位置。
这种问题涉及到几何、代数和分析等多个数学领域，需要综合运用不同的数学方法来求解。
定点问题在圆锥曲线中具有广泛的实际应用。
比如在工程领域中，定点问题可以帮助我们确定某个位置的几何特性，从而设计出更加精确的结构。
在物理学中，定点问题可以帮助我们分析物体的运动轨迹和速度方向。
在计算机图形学和机器人领域中，定点问题也有着重要的应用价值。
研究圆锥曲线中的定点问题不仅有助于深化数学理论，还能推动相关领域的发展和创新。
在本文中，我们将介绍不同的解决方法来解决圆锥曲线中的定点问题，探讨其适用场景和未来研究方向，以期为相关领域的研究工作提供一定的参考和启发。
1.3 研究意义在圆锥曲线中，定点问题具有重要的研究意义。
通过对定点问题的研究，我们可以深入理解圆锥曲线的性质和特点，进一步探索其数学规律和几何意义。
定点是曲线上的固定点，对于圆锥曲线而言，定点的位置和性质对曲线的形状和特征具有决定性影响。
圆锥曲线中动圆恒过一类定点问题的研究
圆锥曲线中动圆恒过一类定点问题的研究林㊀蔓(福建省石狮市石光中学ꎬ福建石狮３６２７００)摘㊀要:笔者通过探究圆锥曲线中满足某些条件的动圆恒过定点的问题ꎬ得到的结论是这些问题中的动圆都恒过定点Ｏ１(－ｂ－ａꎬ０)ꎬＯ２(ｂ－ａꎬ０).关键词:圆锥曲线ꎻ圆ꎻ定点ꎻ切线ꎻ研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００２９－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:林蔓(１９８０.５－)ꎬ女ꎬ福建省石狮人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀圆锥曲线中动圆恒过定点问题ꎬ十年前的高考题考过几次ꎬ最近几年的模拟题也经常出现.笔者经过研究ꎬ发现不少的圆锥曲线问题中的动圆都恒过相同的定点ꎬ即都经过点Ｏ１(－ｂ－ａꎬ０)ꎬＯ２(ｂ－ａꎬ０).１预备知识引理１㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则以线段ＡＢ为直径的圆的方程为(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)＋(ｙ－ｙ１)(ｙ－ｙ２)＝０.证明㊀设Ｍ(ｘꎬｙ)是所求圆上的任一点ꎬ则ＡＭʅＢＭꎬ即ＡＭң ＢＭң＝０ꎬ即(ｘ－ｘ１ꎬｙ－ｙ１) (ｘ－ｘ２ꎬｙ－ｙ２)＝０ꎬ化简得(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)＋(ｙ－ｙ１)(ｙ－ｙ２)＝０.引理２㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上的一点ꎬ则椭圆在点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)处的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１[１].证明㊀当ｙ０＝０时ꎬ点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)处的切线的斜率不存在ꎬ其方程为ｘ＝ʃａ.当ｙ０ʂ０时ꎬ设椭圆在点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)处的切线方程为ｙ－ｙ０＝ｋ(ｘ－ｘ０)ꎬ代入椭圆方程化简得ꎬ(ｂ２＋ａ２ｋ２)ｘ２＋２ａ２ｋ(ｙ０－ｋｘ０)ｘ＋ａ２[(ｙ０－ｋｘ０)２－ｂ２]＝０[２].由题意ꎬә＝４ａ４ｋ２(ｙ０－ｋｘ０)２－４(ｂ２＋ａ２ｋ２)ａ２[(ｙ０－ｋｘ０)２－ｂ２]＝０ꎬ化简得ｋ２(ｘ２０－ａ２)－２ｋｘ０ｙ０＋(ｙ２０－ｂ２)＝０.因为点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆上ꎬ所以ｘ２０－ａ２＝－ａ２ｙ２０ｂ２ꎬｙ２０－ｂ２＝－ｂ２ｘ２０ａ２ꎬ代入上式化简得(ａ２ｙ０ｋ＋ｂ２ｘ０)２＝０ꎬ从而ｋ＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０.因此切线方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０)ꎬ即ｂ２ｘ０ｘ＋ａ２ｙ０ｙ＝ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０ꎬ等式两边同时除以ａ２ｂ２ꎬ得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２.又点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆上ꎬ所以ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬ故切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.引理３㊀设Ａ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１９２(ａ>０ꎬｂ>０)外一点ꎬ则由点Ａ作此双曲线的两切线的方程为(ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２－１)(ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２－１)＝(ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２－１)２.２主要结果及证明命题１㊀如图１ꎬ双曲线Γ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)ꎬ设直线ｌ平行于ｙ轴且与Γ相切ꎬＡ是ｙ轴上任一点ꎬ过Ａ且与Γ相切的两条直线分别交ｌ于ＰꎬＱꎬ以ＰＱ为直径作圆ꎬ此圆交ｘ轴于两点.求证:这两点是定点(记为Ｏ１ꎬＯ２).图１㊀命题１图证明㊀设Ａ(０ꎬｍ)ꎬＰ(０ꎬｙＰ)ꎬＱ(０ꎬｙＱ)ꎬ由引理３知过Ａ的两切线方程为(－ｍ２ｂ２－１)(ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２－１)＝(－ｍｙｂ２－１)２.令ｘ＝－ａꎬ得ｍ２＋ｂ２ｂ２ ｙ２ｂ２＝(ｍｙ＋ｂ２ｂ２)２⇒ｙ２－２ｍｙ－ｂ２＝０ꎬ故ｙＰｙＱ＝－ｂ２.由引理１知以ＰＱ为直径的圆为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｙＰ)(ｙ－ｙＱ)＝０ꎬ令ｙ＝０ꎬ得(ｘ＋ａ)２＋ｙＰｙＱ＝０⇒(ｘ＋ａ)２＝ｂ２⇒ｘ＝－ａʃｂꎬ所以圆与ｘ轴交于两个定点ꎬ其坐标为Ｏ１(－ｂ－ａꎬ０)ꎬＯ２(ｂ－ａꎬ０).命题２㊀如图２ꎬ设椭圆的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬＡꎬＢ为椭圆的左㊁右顶点ꎬ过ＡꎬＢ且与椭圆相切的直线分别为ｌꎬｌᶄꎬ再作椭圆的任一切线分别交ｌꎬｌᶄ于ＣꎬＤꎬＤＯ交ｌ于Ｅꎬ设以线段ＣＥ为直径的圆交ｘ轴于Ｏ１ꎬＯ２ꎬ求证:Ｏ１ꎬＯ２为定点[３].图２㊀命题２图证明㊀设切点Ｆｘ０ꎬｙ０()ꎬ则由引理２知切线ＣＤ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ又ｌ:ｘ＝－ａꎬｌᶄ:ｘ＝ａꎬ得Ｃ－ａꎬｂ２ｘ０＋ａ()ａｙ０æèçöø÷ꎬＤａꎬｂ２ａ－ｘ０()ａｙ０æèçöø÷ꎬ则Ｅ－ａꎬｂ２ｘ０－ａ()ａｙ０æèçöø÷ꎬ由引理１知以线段ＣＥ为直径的圆为ｘ＋ａ()２＋ｙ－ｂ２ｘ０＋ａ()ａｙ０æèçöø÷ｙ－ｂ２ｘ０－ａ()ａｙ０æèçöø÷＝０ꎬ令ｙ＝０ꎬ得ｘ＋ａ()２＝ｂ４ａ２－ｘ２０()ａ２ｙ２０＝ｂ４ａ２－ｘ２０()ｂ２ａ２－ｘ２０()＝ｂ２ꎬ⇒ｘ＝－ａʃｂꎬ故以线段ＣＥ为直径的圆过两定点Ｏ１－ｂ－ａꎬ０()ꎬＯ２ｂ－ａꎬ０().命题３㊀如图３ꎬ设椭圆的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬＡ为椭圆的下顶点ꎬＢ为椭圆上任一点ꎬ过Ａ的切线为ｌꎬ过Ｂ的切线交ｌ于Ｃꎬ过Ｏ且与ＢＡ平行的直线交ｌ于Ｅꎬ设以线段ＣＥ为直径的圆交ｙ轴于Ｏ１ꎬＯ２ꎬ求证:Ｏ１ꎬＯ２为定点.图３㊀命题３图证明㊀设切点Ｂｘ０ꎬｙ０()ꎬ则由引理２知切线ＢＣ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ又切线ｌ:ｙ＝－ｂꎬ则０３Ｃａ２ｙ０＋ｂ()ｂｘ０ꎬ－ｂæèçöø÷ꎬ因直线ＯＥ平行于ＢＡꎬ故直线ＯＥ的方程为ｙ＝ｙ０＋ｂｘ０ｘ.令ｙ＝－ｂꎬ则ｘ＝－ｂｘ０ｙ０＋ｂꎬＥ－ｂｘ０ｙ０＋ｂꎬ－ｂæèçöø÷ꎬ由引理１知以线段ＣＥ为直径的圆的方程为ｘ－ａ２ｙ０＋ｂ()ｂｘ０[]ｘ＋ｂｘ０ｙ０＋ｂæèçöø÷＋ｙ＋ｂ()２＝０.令ｘ＝０ꎬ得ｙ＋ｂ()２＝ａ２ꎬｙ＝－ｂʃａꎬ故以线段ＣＥ为直径的圆过两定点Ｏ１０ꎬ－ａ－ｂ()ꎬＯ２０ꎬａ－ｂ().命题４㊀如图４ꎬ设椭圆的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬＡꎬＢ为椭圆的上㊁下顶点ꎬ过ＡꎬＢ且与椭圆相切的直线分别为ｌꎬｌᶄꎬ再作椭圆的任一切线分别交ｌꎬｌᶄ于ＣꎬＰꎬＣＯ交ｌ于Ｑꎬ设以线段ＰＱ为直径的圆交ｘ轴于Ｏ１ꎬＯ２ꎬ求证:Ｏ１ꎬＯ２为定点.图４㊀命题４图证明㊀设切点Ｄｘ０ꎬｙ０()ꎬ则由引理２知切线ＣＰ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ又ｌ:ｙ＝ａꎬｌᶄｙ:＝－ａꎬ得Ｃａ２ｂ－ｙ０()ｂｘ０ꎬｂæèçöø÷ꎬＰａ２ｙ０＋ｂ()ｂｘ０ꎬ－ｂæèçöø÷ꎬＱ与Ｃ关于Ｏ对称ꎬ得Ｑａ２ｙ０－ｂ()ｂｘ０ꎬ－ｂæèçöø÷.由引理１知以线段ＰＱ为直径的圆的方程为ｘ－ａ２ｙ０－ｂ()ｂｘ０[]ｘ－ａ２ｙ０＋ｂ()ｂｘ０[]＋ｙ＋ｂ()２＝０.令ｘ＝０ꎬ得ｙ＋ｂ()２＝ａ４ｂ２－ｙ２０()ｂ２ｘ２０＝ａ４ｂ２－ｙ２０()ａ２ｂ２－ｙ２０()＝ａ２ꎬ即ｙ＝－ｂʃａ.故以线段ＰＱ为直径的圆过两定点Ｏ１０ꎬ－ａ－ｂ()ꎬＯ２０ꎬａ－ｂ().圆锥曲线内容是高中数学的难点ꎬ高中生要想突破这一块内容ꎬ需要有探索和研究的精神.掌握一些重要的结论是非常必要的ꎬ比如上文提到的３个引理.当然了ꎬ学生对于圆锥曲线的困难主要还是在运算上ꎬ那就需要我们平时多练ꎬ熟悉解题过程中设点或者设线的一些方法ꎬ这可以帮我们简化运算.有时结合同构思想㊁点差法或者对称思想ꎬ也可简化运算.追溯圆锥曲线的研究ꎬ最有影响力的还得属于阿波罗尼奥斯ꎬ他的著作«圆锥曲线论»揽尽了圆锥曲线几乎所有的性质ꎬ而且他是用几何方法给出的证明.后来笛卡尔创立了直角坐标系后ꎬ人们就可以利用坐标法来研究圆锥曲线问题了.再到后来ꎬ产生了射影几何ꎬ圆锥曲线的研究得到了新的突破.而最近十年的高考真题中ꎬ有不少题就是以射影几何中的极点㊁极线或者调和点列㊁调和线束为背景来命制的ꎬ这需要一线教师掌握一定的射影几何知识ꎬ这样才能居高临下ꎬ教学才能做到深入浅出.研究圆锥曲线是有意义的ꎬ有价值的.一线教师可以根据圆的性质ꎬ进行类比推广得到圆锥曲线的性质ꎬ也可以对高考中的圆锥曲线题进行一般化探究ꎬ还可以把射影几何中的经典结合初等化后ꎬ利用初等方法进行研究.圆锥曲线的性质是优美的ꎬ也是丰富的ꎬ很多高考圆锥曲线题就是命题人的最新研究成果.总而言之ꎬ不论是高中教师还是高中生ꎬ都很有必要去探索㊁去研究圆锥曲线的各种优美性质.参考文献:[１]刘海涛.极点极线视角下对一道模考题的探析㊁变式㊁推广[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０２３(１１):７－１０.[２]李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２(４).[３]陈传麟.圆锥曲线习题集[Ｍ].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社ꎬ２０１３(６).[责任编辑:李㊀璟]１３。
圆锥曲线过定点问题.doc
圆锥曲线过定点问题一、小题自测1. 无论 k 取任何实数，直线(1 4k) x (2 3k ) y (2 14k) 0 必经过一个定点，则这个定点的坐标为.2. 已知直线 l : 2ax by a b 0 ；圆 C : x 2 y 2 2x 1 0 ，则直线l与圆C的位置关系为.二、几个常见结论：满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。
1、过定点模型：A, B是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中, 分别为 MA , MB 的倾斜角，则有下面的结论：uuur uuur直线 AB 恒过定点；①、 MA MB 为定值②、 k MA k MB为定值直线 AB 恒过定点；③、(0 ) 直线 AB 恒过定点.2、抛物线中的过定点模型：A, B 是抛物线 y2 2 px( p 0) 上的两动点，其中, 分别为 OA,OB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：OA OB kOAkOB 1 直线 AB 恒过定点(2 p,0).23、椭圆中的过定点模型：x2 y21(a b 0) 上异于右顶点D的两动点，其中, 分别A, B 是椭圆b2a2为 DA, DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA DB k DA k DB 1 直线 AB 恒过定点( 2ac2 2,0).2 a b三、方法归纳：★参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量x， y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x， y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
★ 特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
★ 关系法：对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
圆锥曲线中圆过定点问题(高考)
（2）圆过定点解题思路的应用
题目中由于直线与椭圆相切，因此联立利用判别式可求出 k, m 之间的等式关系 1 且还能求出点 P 的坐标（含参数），此时将 PM PQ 向量化又可得到等式关系 2，因 此可以根据 1,2 求出点 M 的横坐标。
y kx m
设
P(
x0
,
y0
),
（1）圆过定点的总体思路
如果说以两个动点 M , N 为过圆心的直径与圆相交的两点，则 MN 所在直线的位置
不同，圆的位置也不同，假如证明圆恒过定点且定点非 M , N 两点，则此时会有一个等
量关系，若设定点为 P，则满足 PM PN ，这个等量关系有点类似于直线过定点问题 中需要用到的等式关系，另外若过 MN 的直线恒过定点，则当 MN 斜率不存在时和直线
,
y2
)
y
k
(x
x2
y2 2
1) 3 1
(k
2
2) x 2
2 3
k
2x
1 9
k
2
2
0
（2）圆过定点解题思路的应用
2 k2
1k2 2
x1
x2
3 k2
2
, x1x2
9 k2
2
uur
uur
uur uur
TA (x1 1, y1),TB (x2 1, y2) ，若斜率存在时应满足TATB 0
3
9
当斜率为零时，圆的方程为 x2 y2 1
联立
(x x2
1)2 y2 3
y2 1
16 9
x
y
1 在特殊情况下求得T (1, 0) 0
，也符合对称的猜想，
圆锥曲线过定点问题
圆锥曲线过定点问题一、小题自测1.无论k 取任何实数，直线0)142()32()41(=-+--+k y k x k 必经过一个定点，则这个定点的坐标为.2.已知直线02:=+-+b a by ax l ；圆012:22=--+x y x C ，则直线l 与圆C 的位置关系为. 二、几个常见结论：满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。
1、过定点模型：,A B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中,αβ分别为,MA MB 的倾斜角，则有下面的结论：①、MA MB ⋅为定值⇔直线AB 恒过定点；②、MA MB k k ⋅为定值⇔直线AB 恒过定点； ③、(0)αβθθπ+=<<⇔直线AB 恒过定点.2、抛物线中的过定点模型：,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两动点，其中,αβ分别为,OA OB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：12OA OB OA OB k k παβ⊥⇔⋅=-⇔-=⇔直线AB 恒过定点(2,0)p .3、椭圆中的过定点模型：,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于右顶点D 的两动点，其中,αβ分别为,DA DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论： 12DA DBDA DB k k παβ⊥⇔⋅=-⇔-=⇔直线AB 恒过定点222(,0)ac a b +.三、方法归纳：★参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
★特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
★关系法：对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
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解析：若动圆 M 过定点，则必定满足 MP MQ ，若转化为向量则需要知道 P,Q 两点 的坐标，另外注意一下假如存在这样的定点，则这个定点必定在 x 轴上，为什么？ 因为若 PQ 平行 x 时，此时线段 PQ 可上可下，且上下两个圆关于 x 对称且必定都 过同一点，因此这一点肯定是在 x 轴上，因此假如存在这样的定点 M，则定点 M
12
设 P(x0, y0) ，根据对称性可知，若圆过定点则该定点肯定在 x 轴上，设该定点为 E ( x1, 0)
kAP
y0 x0
2
AP
:
y
y0 x0
2
(x
2)
则
y x
y0 x0 6
2
(
x
2)
M
(6,
8 x0
y0 2
)
kBP
y0 x0
2
BP
:
y
y0 x0
2
(x
2)
则
y x
y0 x0 6
uur uur
TA (x1 1, y1),TB (x2 1, y2) ，若斜率存在时应满足TATB 0
uur TA
uur TB
(
x1
1)(
x2
1)
y1
y2
(k
2
1)
x1x2
(1 3
k
2
1)(x1
x2
)
1 9
k
2
1
(k
2
1)
1 9
k
2
2
(1
k
2
1)
2 3
k2
1
k
2
1
k2 2 3 k2 2 9
0
uur uur 所以满足TATB 0
定点，再者若 MN 所在的直线斜率存在且不为零时，如果此时也恒过这一点的话，那么
这一点应该满足垂直关系，若不满足垂直关系则不能说明动圆恒过定点。
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（2）圆过定点解题思路的应用
例 1：椭圆的方程为 x2 y2 1，设动直线l : y kx m 与椭圆有且只有一个公共点 P ， 43
2
(
x
2)
N
(6,
4 x0
y0 2
)
20（20/42/11）圆过定点C解or题po思ra路te 的Cu应ltu用re
13
uuuur uuur 若存在定点 E(x1,0) ，则必须满足 EM EN 0
(6
x1
,
8 x0
y0 2
)(6
x1,
4 x0
y0 ) 2
0
整理得：
(6
x1)2
32 x02
y02 4
3
0
x1
1
故恒过定点 (1,0)
20（20/42/11）圆过定点C解or题po思ra路te 的Cu应ltu用re
8
例 2：已知过点 S( 1 ,0) 的动直线交椭圆C : x2 y2 1于 A, B 两点，试问：在平面直
3
2
角坐标系内是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以 AB 为直径的圆 M
恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在请说明理由。
解析：相比于上个题，此时动直线是与椭圆相交于两点的，因此利用判别式只能得到一 个不等式，另外上个题目不需要考虑斜率不存在的情况，但是这个题目需要讨论 斜率是否存在，因此解决方法肯定和上题不同，即便假设存在这样的点，类似于 上题目这个定点猜测也应该是在 x 轴上，可是横坐标不知道，利用圆中的垂直关 系转化为向量也只能得到一个关于两个未知数 的等式关系，且无法求出定点的横 坐标。
0
……………………………….…………..①
因为
P(x0
,
y0
)
满足
x02 4
y02
1
，所以
x02
4
4 y02
……………②
将②代入①得 (6 x1)2 8 0 ，所以 x1 6 2 2 ，所以圆过定点 (6 2 2,0)
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谢谢大家！
为
y
k
(
x
1), 3
A(
x1,
y1),
B(
x2
,
y2
)
y k(x x2 y2
2
1) 3 1
(k
2
2)
x2
2 3
k
2
x
1 9
k
2
2
0
20（20/42/11）圆过定点C解or题po思ra路te 的Cu应ltu用re
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2 k2
1k2 2
x1
x2
k
3 2
2
,
x1x2
9 k
2
2
uur
uur
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设椭圆 C 的左右顶点分别是 A, B ，若 PA, PB 交直线 x 6 于 M , N 两点，问以 MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，说明理由。
解析：（1） x2 y2 1 4
（2）
20（20/42/11）圆过定点C解or题po思ra路te 的Cu应ltu用re
上次课说到了最传统的求或者证明动直线过定点 的处理方法，难度不大，计算量 稍大，今天提供两道特殊的定点问题，我们常见的都是证明定直线过定点的问题，今天 给出证明动圆过定点问题的证明，这两种问题较为少见，仅供参考。
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（1）圆过定点的总体思路
如果说以两个动点 M , N 为过圆心的直径与圆相交的两点，则 MN 所在直线的位置
不同，圆的位置也不同，假如证明圆恒过定点且定点非 M , N 两点，则此时会有一个等
量关系，若设定点为 P，则满足 PM PN ，这个等量关系有点类似于直线过定点问题 中需要用到的等式关系，另外若过 MN 的直线恒过定点，则当 MN 斜率不存在时和直线
斜率为零时都应该过这一点，因此此时两种情况下的圆联立即可求出特殊情况下恒过的
联立
y x
kx 4
m
Q(4,
4k
m)
，根据对称性，设
M
(
x1
,
0)
，
uuur uuuur 则可知 MP MQ 0
uuur MP
(
4k m
x1,
3 m
),
uuuur MQ
(4
x1,
4k
m)
代入上式整理得：
4k(x1 1) m(x12 4x1 3) 0 …………………………………………②
9
当斜率不存在时，圆的方程为 (x 1)2 y2 16
3
9
当斜率为零时，圆的方程为 x2 y2 1
联立
(x x2
1)2 y2 3 y2 1
16 9
x y
1 0
在特殊情况下求得
T
(1,
0)
，也符合对称的猜想，
那么接下来需要证明当斜率不存在且不为零时也恒过点T(1,0) ， 此时设直线方程
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圆锥曲线中圆过定点问题
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1 圆过定点解题思路
目 2 圆过定点解题思路的应 录用
3 例题解析
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（1）圆过定点的总体思路
综上所述，圆恒过点 T (1, 0)
20（20/42/11）圆过定点C解or题po思ra路te 的Cu应ltu用re
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例
3：已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 上动点
P
到两焦点
F1,
F2
的距离之和为
4，当点
P
运动到
椭圆 C 上的一个顶点时，直线 PF1恰与以原点 O 为圆心，e 为半径的圆相切。
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到目前为止①式是②式的大前提，也就是说对符合①式的所有 m, k 值都能保证② 恒成立，也就是说②式中的 m, k 值都能保证等式成立，也就是任意的 m, k 组合都能保证
式子有根，所以只需要令：
x1 1 0 x12 4x1
的纵坐标必定为零。
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题目中由于直线与椭圆相切，因此联立利用判别式可求出 k, m 之间的等式关系 1 且还能求出点 P 的坐标（含参数），此时将 PM PQ向量化又可得到等式关系 2，因 此可以根据 1,2 求出点 M 的横坐标。
因此这个题目不妨先假设存在这样的定点，先根据两种特殊形求出定点，再证
明即便是非特殊状态下这个点也是符合题意的即可，依旧根据对称可判断出点 T
肯定在 x 轴上，先考虑特殊情况，当动直线斜率为 0 或者不存在时，两个圆肯定
都会经过T 点。
20（20/42/11）圆过定点C解or题po思ra路te 的Cu应ltu用re
y kx m
设 P(x0,
y0
),
x2
4
y2 3
1
(4k 2