圆周运动的常见类型与应用

第5讲 圆周运动中常见的模型及应用

第一部分

知识点一 常见模型之一 1．火车转弯

如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供

r v m

mg 2

tan =ααtan gr v =⇒,v 增加，外轨挤压，如果v 减小，内轨挤压

2．圆锥摆

αωαsin tan 2l m mg =

3．圆锥问题

θωωθωθθtan tan cos sin 22r g

r

g

r m N mg

N =

⇒=

⇒==

典型例题：

例1 列车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是： （ ） ①当以速度v 通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力

②当以速度v 通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘侧弹向力的合力提供向心力 ③当速度大于v 时，轮缘侧向挤压外轨 ④当速度小于v 时，轮缘侧向挤压外轨

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

例2 用细线吊着一个小球，使小球在水平面内做半径为R 匀速圆周运动；圆周运动的水平面距离悬点h ，距离水平地面H ．若细线突然在A 处断裂，求小球在地面上的落点P 与A 的水平距离．

例3 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。

针对性练习：

1．在高速公路的拐弯处，路面要造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧要高一

N

mg

N

mg

些，路面与水平面的夹角为θ，设拐弯路段为半径为R 的圆弧，要使车速为V 时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于………… （ ）

A. B. C. D.

2．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是 ( ) A ．V A > V B B ． ωA > ωB C ．a A > a B D ．压力N A > N B

3．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员

做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30转/分，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7m/s 。g 取10m/s 2。求：

（1）女运动员做圆周运动的角速度及触地冰鞋做圆周运动的半径；

（2）若男运动员手臂与竖直夹角600，女运动员质量50kg ，则男运动员手臂拉力是多大？

4．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.

5．如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

知识点二 常见模型之二 1．汽车过拱桥

r v m

N mg 2

cos =-θ mg sin θ = f

B

A

如果在最高点，那么

r v m

N mg 2

=- 此时汽车不平衡，mg ≠N 说明：F ＝mv 2 / r 同样适用于变速圆周运动，F 和v 具有瞬时意义，F 随v 的变化而变化。

补充 ：r v m mg N 2

=- (抛体运动)

2．绳杆球

（1）如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用

v 临界＝Rg

②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。 ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。

（2）如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 ①能过最高点v 临界＝0，此时支持力N ＝mg

②当0＜v ＜Rg 时，N 为支持力，有0＜N ＜mg ，且N 随v 的增大而减小 ③当v ＝Rg 时，N ＝0

④当v ＞Rg ，N 为拉力，有N ＞0，N 随v 的增大而增大 3．临界情况问题 典型例题：

1．如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ） A ．a 处为拉力，b 处为拉力 B ．a 处为拉力，b 处为推力 C ．a 处为推力，b 处为拉力 D ．a 处为推力，b 处为推力

2．汽车以恒定的速率v 通过半径为r 的凹型桥面，如图6-8-4 所示，求汽车在最低点时对桥面的压力是多大？

R 绳

图 1

v 0

v

R

图 2

v

O

R 杆 图 3

b

O

图 4

3．如图，质量为0.5kg 的小杯里盛有1kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m ，小杯通过最高点的速度为4m/s ，g 取10m/s 2,求：(1) 在最高点时，绳的拉力？(2) 在最高点时水对小杯底的压力？(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点 时最小速率是多少?

4．如图5-4-6所示，细绳一端系着质量为M=0.6kg 的物体，静止在水平面上. 另一端通过光滑的小孔吊着质量为m=0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中心轴转动.问角速度ω在什么范围内M 处于静止状态？（g 取10m/s 2）

针对性练习：

1．长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ） A ．6.0N 的拉力 B ．6.0N 的压力 C ．24N 的拉力

D ．24N 的压力

2．一质量为m 的物体，沿半径为R 的向下凹的圆形轨行，如图6-8-7所示，经过最低点的速度为v ，物体与轨道之间的动摩檫因数为μ，则它在最低点时受到的摩檫力为：（ ） A ．μmg B ．μmv2/R C ．μm(g+v2/R) D ．μm(g -v2/R)

3．一辆质量m=2.0t 的小轿车，驶过半径R=90m 的一段圆弧形桥面， 重力加速度g=10m ／s 2．求：

(1)若桥面为凹形，汽车以20m ／s 的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大? (2)若桥面为凸形，汽车以l0m ／s 的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大? (3)汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力

O

M

m

r 图（5-4-6）

A

L O

m

图 5