[精选]异方差——怀特的一般异方差检验--资料
即用 来ei2表示随机误差项的方差。
1
Company Logo
Logo
❖ 怀特检验的基本思想与步骤（以三元为例）：
Yi 0 1X1i 2 X 2i 3 X 3i ui ; i 1,2, n
ei2
19975.98
2.1986X i
0.00015X
2 i
(0.2413) (2.7162) (0.83)
R2 0.2936 n 31
9
Company Logo
Logo
10
Company Logo
3
Company Logo
Logo
原假设 H0 :i 0, i 1,2, 9
备择假设 H0 :1, ,9 至少有一个不等于0.
如果原假设H0成立，相当于ei2是一个常数，则由 ei2表示的随机误差项的方差是一个常数，那么就认 为原模型不存在异方差性。反之，认为原模型存在 异方差性。
Logo
8
Company Logo
Logo
（2）构造辅助回归模型，并进行OLS估计
只有一个解释变量，因此，构造的辅助回归也比
较简单:
ห้องสมุดไป่ตู้
ei2
0
1X i
2
X
2 i
i
先生成解释变量的平方项：genr x2=x^2
使用OLS方法对辅助模型进行估计：输出结果见下页
White异方差检验的 统计量的值，即nR2.
White异方差检验 相应的伴随概率.
由检验的伴随概率Prob<0.05可以判断，在显著性水 平α=0.05的情况下，拒绝“模型不存在异方差性”的 原假设，认为回归模型具有明显的异方差性。
14
Company Logo
其中k为包含截距的解释变量个数 （4）查表得临界值
给定显著性水平α，查表得临界值 2 (k。1)
5
Company Logo
Logo
（5）比较，判断
若
WT (k
1)
nR2
2 k 1
，接受H0，认为原模型不
存在异方差性。
在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解 释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。
ei2
0
1X1i
2 X 2i
3 X 3i
4 X12i
5
X
2 2i
6
X
2 3i
7 X1i X 2i 8 X1i X 3i 9 X 2i X 3i i
检验原模型是否存在异方差就相当于检验此辅助
回归模型的回归参数，除常数项以外是否显著为0。
Logo
统计量的值 nR2 31 0.2936 9.1
给定α=0.05，
g
(k
1)(k 2
2)
1
(1
1)(1 2
2)
1
2
查卡方分布表，得α=0.05，自由度为2的临界值
2 0.05
(2)
6
比较： nR2
9.1
2 0.05
(2)
6
所以拒绝H0，认为回归模型当中存在异方差性。
在构造辅助回归模型以后，使用普通最小二乘法 （OLS）对这个辅助回归模型进行参数估计，从而 得到该辅助模型的可决系数R2。
4
Company Logo
Logo
（3）构造统计量，计算统计量的值 在原假设H0成立时，检验统计量
WT(k-1)=nR2服从自由度为k-1的 2分布。
11
Company Logo
Logo
❖Eviews中的White异方差性检验：
在Eviews中，有直接进行怀特White异方差检验的 命令。因此，怀特White异方差检验应用比较普遍。
在估计出的模型输出界面中: View→Residual Test →White Heteroskedasticity (no cross terms)(无交叉项) (cross terms有交叉项)
Logo
❖3.怀特(White)检验（1980年怀特提出）
怀特检验是异方差更一般的检验方法，这种检验方 法不需要对异方差的性质（形式、如递增等性质）做 任何假定，因此是目前应用比较普遍的异方差检验方 法。
这里用残差 来ei表示随机误差项ui的(近似)估计量 于是有 Var(ui ) E(ui2 ) ei2
（1）得到残差平方序列ei2 用普通最小二乘法(OLS)估计上述模型的参数，得
到残差平方序列ei2 。
2
Company Logo
Logo
（2）构造辅助回归模型，并进行OLS估计 在残差与解释变量线性关系的基础上，再加入解释
变量的平方项与交叉项，构造辅助回归模型。
6
❖案例：
Logo
检验这个使用 OLS估计出来的 回归模型是否具 有异方差性.
Yˆi 700.4110 0.08783Xi
7
Company Logo
❖回归模型只有一个解释变量X。
（1）得到残差平方序列ei2 对原模型进行OLS，使用命令
genr e2=resid^2得到残差平方序 列。
12
Company Logo
Logo
怀特异方 差检验表
这部分实际 上就是我们 前面构造的 辅助回归！
13
Company Logo
Logo
一般选择(no cross terms，无交叉项)的怀特White检 验就可以了。
异方差的检验PPT课件
第21页/共27页
5.对给定的显著水平α，查 分布表，得临界值2
，若
，则否定 ，表明原模型
的随机2 (项5)中存在异方差n R。2
2
(5)
H0
例5.3.5我们以例5.3.1中给出的数据表5.3.1为例， 检验随机项的异方差性。 首先建立方程LS y c x ，在此方程的窗口点击 View \ Residual Test \ White Heteroskedasticity , 便可直接给出结果如图5.3.7所示。
；
2.计算模型（5.3.15)的残差序列 ，并计算 ； ˆ 0 , ˆ1, ˆ 2
3. 用 代替模型（5.3.16）中的 ，再用OLS估计
模型（5.3.16），计算R2；
i
2 i
2 i
2 ui
4.计算统计量nR2。在假设 H0 :不存在异方差（也就 是模型5.3.16中的所有斜率都为零）条件下，nR2服 从自由度为k = 5 的分布；
第四步，对β进行t检验。如果β不显著，则表明 β的真值为0，此时 实际上与xi无关，即没有异
方差性。否则，表明有异方差性存u2i在。
(5.3.10) (5.3.11)
第2页/共27页
帕克检验法的优点是不但能确定有无异方差性，而且 一旦确定有异方差性时，还能给出异方差性的具体函 数结构。它的缺点是(5.3.9)中的随机项vi仍可能有异方 差性，因而使帕克方法的使用效果受到影响。
第11页/共27页
五、布罗特-帕甘检验(Breusch-Pagan test for heteroskeda-sticity, BP test )
基本思想：模型
y 0 1 x1 2 x2 k xk u
（5.3.12）
异方差定义及检验
4、帕克（Park)检验和戈里瑟(Glejser)检验
2 e x e i • Park检验的辅助模型为： i 2 • 求对数后为： ln(ei ) ln( ) ln xi
(4.1.2)
2 e • Glejser检验以 i 为被解释变量，以原模型的某一解释 变量 x j为解释变量，建立如下方程 ：
ei f x ji i (4.1.3) • • f x j 可有多种函数形式。（利用试回归法，选择关于 变量的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著 性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成 立，则说明原模型存在异方差性。） • 可利用Eviews软件实现。
2
第二节 异方差的修正
方式2：在方程窗口中点击Estimate\Options\Weighted, 并在权数变量栏输入权数变量；
3)利用White检验判断是否消除了异方差性 权数变量的确定：依据Pack检验和Gleiser检验的结 果，或直接取成1/ei
精品课件！
作业四：
• 第五章3/4/6/8。
步骤：1）将解释变量的样本值按从小到大排序，再利用
ห้องสมุดไป่ตู้ • 检验统计量：
• F服从分布
2 1
n c k 1 2 RSS 2 2 F (4.1.1) 2 2 RSS1 RSS1 n c k 1 2
nc nc F (k 1), (k 1) 2 2
2.戈德菲尔德—匡特(Goldfeld—Quant）检验
原理：适合递增型的异方差，利用方差与解释变量同步增
长的原理，通过检验小方差与大方差是否有明显差异，达 到检验异方差的目的。 OLS求出估计值和残差序列 ei 2）在所有样本点中删去中间的c个点，将余下的点分为两组， 每组样本为 n c 2 个。 3）将两组样本分别作OLS，求得各自的残差平方和，再设计 统计量检验两组残差平方和是否有显著差异，若有，异方 差存在。
异方差性的检验方法
而lnˆ 2 9.157326, 故ˆ 2 =0.000105444，
因此异方差的结构为
ˆ
2 ui
0.00010544
x3.056229 i
五、格莱泽检验法 格莱泽 (H.Glejser)检验法致力于寻找εi与xji之间 显著成立的关系，因而是用残差绝对值｜εi｜ 对xji的各种函数形式进行回归，将其中显著成立 的函数关系，作为异方差结构的函数形式。这种 检验的计算步骤是：
二、斯皮尔曼(Spearman)等级相关检验法 我们以一元线性回归模型为例，说明斯皮尔曼 等级相关检验法的步骤： 第一步，对原模型应用OLS法，计算残差 i yi yˆi ，i =1,2,…，n。 第二步，计算｜εi｜与xi的等级差di。将｜εi｜ 和自变量观察值xi按由小到大或由大到小的顺序 分成等级。
然后，计算｜εi｜与xi的等级差di
di = xi的等级-∣εi∣的等级
(5.3.2)
第三步，计算｜εi｜与xi的等级相关系数
rs
1
6 n(n2
di2 1)
其中n为样本容量。
(5.3.3)
第四步，对总体等级相关系数 s进行显著性检验 H 0 : s 0, H1 : s 0 。当H0成立时，可以证明统
由于不同的观察值随机误差项具有不同的方差因此检验异方差的主要问题是判断随机误差项的方差与解释变量之间的相关性下列这些方法都是围绕这个思路通过建立不同的模型和验判标准来检验异方差
§5.3 异方差性的检验方法
• 由于异方差的存在会导致OLS估计量的最佳性 丧失，降低精确度。所以，对所取得的样本数 据（尤其是横截面数据）判断是否存在异方差， 是我们在进行正确回归分析之前要考虑的事情。 异方差的检验主要有图示法和解析法，下面我 们将介绍几种常用的检验方法。
复习宝典!!!!!异方差、序列相关及检验
重点摘要
怀特（ 4、怀特（White）检验 ） 怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异 方差。 怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）： 怀特检验的基本思想与步骤
Yi = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + µ i
然后做如下辅助回归
2 ~ ei 2 = α 0 + α1 X 1i + α 2 X 2i + α 3 X 12i + α 4 X 2i + α 5 X 1i X 2i + ε i
640000 352836 1210000 407044 1960000 1258884 2890000 1334025 4000000 1982464 5290000 2544025 6760000 3876961 8410000 4318084 10240000 6682225 12250000 6400900 53650000 29157448
ln Y = β 0 + β1 ln X 1 + β 2 ln X 2 + µ
年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出相关数据（单位： 表 4.1.1 中国 2001 年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出相关数据（单位：元）
从事农业经营 人均消费 支出 地区 北 京 天 津 河 北 山 西 内蒙古 辽 宁 吉 林 黑龙江 上 海 江 苏 浙 江 安 徽 福 建 江 西 山 东 河 南 的收入 其他收入 人均消费 支出 地区 从事农业经营 的收入 其他收入
中的参数βj是否显著不为0。
可提出如下原假设与备择假设： H0： β1=β2= … =βk=0 H1： βj不全为0 F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： 检验的思想 TSS=ESS+RSS
05-异方差
5.2 异方差来源与后果
异方差来源： (1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序 列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
1.2E+12 1.0E+12
GDP of Philippin
8.0E+11
6.0E+11
4.0E+11
2.0E+11
RSS1 /(n1 k) RSS1
在H0成立条件下，F F(n2 - k, n1 - k)
④ 判别规则如下，
n1=n2=(T-m)/2
若 F F (n2 - k, n1 - k), 接受H0（ut 具有同方差） 若 F > F(n2 - k, n1 - k), 拒绝H0（递增型异方差） 注意：
5.5 异方差的修正方法（GLS）
（1）对模型 yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut
通常假假设定异方差形式是 Var(ut) = ( xt1)2。
（因为 Var(ut) = E(ut)2，相当于认为 uˆt = xt1）用 xt1 同除上式两侧得
yt xt1
=
0
xt1
+ 1+
uˆt
t
xtt122
最小的过程中给相应误差项分布方差小的观测值以更大
的权数。所以此法亦称为加权最小二乘法，是 GLS 估计法的一个特例。
5.5 异方差的修正方法（GLS）
以异方差形式 Var(ut) = 2 xt2 为例，用矩阵形式介绍克服异方差。
2
=
2
x12
...
0
。定义
M=
异方差检验
七、 异方差与自相关一、背景我们讨论如果古典假定中的同方差和无自相关假定不能得到满足,会引起什么样的估计问题呢？另一方面，如何发现问题，也就是发现和检验异方差以及自相关的存在性也是一个重要的方面，这个部分就是就这个问题进行讨论。
二、知识要点1、引起异方差的原因及其对参数估计的影响2、异方差的检验（发现异方差)3、异方差问题的解决办法4、引起自相关的原因及其对参数估计的影响5、自相关的检验（发现自相关)6、自相关问题的解决办法 （时间序列部分讲解） 三、要点细纲1、引起异方差的原因及其对参数估计的影响原因：引起异方差的众多原因中，我们讨论两个主要的原因,一是模型的设定偏误,主要指的是遗漏变量的影响.这样,遗漏的变量就进入了模型的残差项中.当省略的变量与回归方程中的变量有相关关系的时候,不仅会引起内生性问题，还会引起异方差.二是截面数据中总体各单位的差异。
后果:异方差对参数估计的影响主要是对参数估计有效性的影响。
在存在异方差的情况下，OLS 方法得到的参数估计仍然是无偏的，但是已经不具备最小方差性质.一般而言，异方差会引起真实方差的低估，从而夸大参数估计的显著性,即是参数估计的t 统计量偏大，使得本应该被接受的原假设被错误的拒绝.2、异方差的检验 （1）图示检验法由于异方差通常被认为是由于残差的大小随自变量的大小而变化,因此，可以通过散点图的方式来简单的判断是否存在异方差.具体的做法是，以回归的残差的平方2i e 为纵坐标，回归式中的某个解释变量i x 为横坐标，画散点图。
如果散点图表现出一定的趋势，则可以判断存在异方差。
(2）Goldfeld-Quandt 检验Goldfeld-Quandt 检验又称为样本分段法、集团法，由Goldfeld 和Quandt 1965年提出.这种检验的思想是以引起异方差的解释变量的大小为顺序，去掉中间若干个值,从而把整个样本分为两个子样本.用两个子样本分别进行回归,并计算残差平方和.用两个残差平方和构造检验异方差的统计量。
9第九章 异方差
七、案例—例9-2P207
现考虑工人的工资主要由受教育程度和工作年限所影响， 现收集了523个工人的工资、受教育程度、工作年限的数 据，详见表9-2。构建如下回归模型：
wagei B1 B2Edui B3Experi ui
一、异方差的性质---异方差举例
例图9-1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为
Yi=0+1Xi+i
Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入
高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小
i的方差呈现单调递增型变化
例9-1股票交易所经纪人佣金
• Y:佣金额；X：交易额； • Y对X的斜率：佣金率 • 结论：
如果存在异方差性，则表明确与解释变量的 某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有 较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。
当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中 可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有 时可去掉交叉项。
四、异方差的修正：补救措施1-加权最小二乘法wls
模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘 法（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。
X越大，对应的方差越小； X越小，对应的方差越大。 • 解读： 经纪公司对大机构投资者收取的佣金率差异小
对小机构投资者收取的佣金率差异大
例9-2 523个工人的工资等数据
• Y:工资；X1：教育程度；X2：工作年限 • 讨论： X1越大，Y的波动越大，扰动项的方差越大； X2越大， Y的波动越大，扰动项的方差越大。
或
Yi Xi
怀特检验详细报告
怀特检验详细报告背景怀特检验是一种常用的统计方法，用于检验数据中是否存在异方差性。
在许多统计分析中，假设方差是常数，但现实中数据往往呈现出不同的方差，这就需要对数据进行方差齐性检验。
本报告将详细介绍怀特检验的原理、假设、步骤和解释结果的方法。
原理怀特检验是利用方差齐性假设进行统计检验的一种方法。
在经典线性回归模型中，我们假设误差项的方差在不同的条件下是相同的。
然而，在现实数据中，方差往往是变化的。
怀特检验可以用来检验误差项的方差是否与某些解释变量相关。
假设怀特检验基于以下两个假设： 1. 假设零：方差齐性，即不同组别或条件下的方差是相同的。
2. 对立假设：方差异质性，即不同组别或条件下的方差是不同的。
步骤进行怀特检验的步骤如下： 1. 收集数据：收集需要进行方差齐性检验的数据。
2. 构建模型：根据研究问题和数据类型，选择合适的统计模型。
3. 拟合模型：使用拟合数据的方法来拟合模型，并获取残差。
4. 进行怀特检验：计算怀特统计量，并对怀特统计量进行显著性检验。
5. 判断结论：根据怀特统计量的显著性检验结果，判断数据的异方差性。
解释结果在进行怀特检验后，我们可以根据统计显著性来判断数据是否具有异方差性。
如果怀特统计量的p值小于显著性水平（通常为0.05），则存在异方差性。
反之，如果p值大于显著性水平，则不存在异方差性。
需要注意的是，即使存在异方差性，也不一定会对统计分析结果产生严重的影响。
但是，在存在异方差性的情况下，使用传统的统计方法可能会导致统计推断的错误。
总结怀特检验是一种用于检验数据异方差性的方法。
通过对数据进行怀特检验，我们可以得出数据是否存在异方差性的结论。
在统计分析中，方差齐性是一个重要的假设，如果假设不成立，需要采取相应的调整方法。
对于数据分析人员来说，掌握怀特检验的原理和应用方法，可以帮助他们更好地理解和解释数据，提高数据分析的准确性和可靠性。
希望本报告对读者理解怀特检验有所帮助，有助于他们在实际数据分析中的应用。
异方差
异方差异方差的性质● 经典回归的一个重要假定之一是：u i 的条件方差为常数， 即：E （2i u ）= 2σ● 异方差（heterscedasticity ）：E （2iu ）=2i σ， 不同的（heter ）分散程度（scedasticity ）● （图）消费和收入， 消费随收入的增加而增加，但变异也在增加● u i 变动的几个理由：- 按照边错边改学习模型（error-learning models ），人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少，如：打字出错的个数- 随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配他们的收入有更大的选择范围- 随着数据采集技术的改进，2iσ可能减少- 异方差性还会因为异常值的出现而产生。
包括一个异常值，尤其样本较小时，会在很大程度上改变回归分析的结果- 异方差性的另一来源来自CLRM 的假定9的破坏，即：回归模型的设定是不正确的。
● 异方差常见于横截面数据中，因为观测范围大小不一● 异方差的后果：仍然是无偏的，但不是最有效的了（1） 无偏性βββ=+==-- )](')'[(]')'[()ˆ(11U X X X X E Y X X X E E（2） 非有效性1121111)'(')'()'()'(')'(]'')'][(')'[()'ˆ)(ˆ(------Φ==--=--X X X X X X X X X UU E X X X Y X X X Y X X X E E σββββββ● 同方差性时，βˆ的协方差矩阵为: 12)'(-X X σ,会夸大或缩小真实的方差和协方差● 由此会导致β的相关检验和置信区间失效，进而引起预测失效● 以双变量模型为例：i i i u X Y ++=10ββ进行显著性检验时，构造的t 统计量)ˆ(ˆ11ββS t =)ˆ(1βS 变动，所以1ˆβ的置信区间也不稳定异方差性的侦察● 侦破异方差性并没有严明的法则，只有少数的经验规则● 因为除非我们知道对应于选定的X 值的整个Y 总体，否则2i σ是无从获知的●大多数的方法都基于对我们所能观测到的OLS残差i uˆ的分析，而不是对干扰u i的分析非正式的方法●问题的性质：-往往根据所考虑的性质就能判别是否会遇到异方差性-例如：围绕消费对收入的回归，残差的方差随收入的增加而增加●图解法：-可先在无异方差性的假定下做回归分析，然后对残差的平方2ˆi u作一事后检查，看看这些2ˆi u是否呈现任何系统性的样式-（图）-2ˆi u是对应于i Yˆ而描绘的，除此之外，还可将他们对解释变量之一描点-当我们考虑2个或多个X变量的模型时，可将2ˆi u 相对于模型中的任一个变量描点正式方法（1）帕克（park ）检验● 提出2i σ是解释变量X i 的某个函数，他建议的函数形式为：iv i ie X βσσ22=或：i i i v X ++=ln ln ln 22βσσ● 由于2iσ通常是未知的，帕克建议用2ˆi u 作为替代变量并作如下回归：ii i i v v X u++=++=i 22lnX ln ln ˆln βαβσ **● 如果β表现为统计上显著的，就表明数据中有异方差性● 帕克检验分两阶段：一是做回归，而不考虑异方差性问题，从这一回归获得i uˆ，然后在第二阶段作如** 的回归戈德菲尔德-匡特检验 （Goldfeld-Quandt test ）● 适用于异方差性方差2i σ同回归模型中的解释变量之一有正相关的情形● 步骤一：从最小X 值开始，按X 值的大小顺序将观测值排列步骤二：略去居中的C 个观测值，其中C 是预定的，并将其余的（n-c ）个观测值分成两组，每组(n-c)/2个步骤三：分别对头（n-c ）/2个观测值和末(n-c)/2 个观测值各拟合一个回归，并分别获得残差平方和RSS 1 和RSS 2步骤四：计算比值：dfRSS dfRSS //12=λ， 如果假定i uˆ是正态分布的，并且如果同方差性假定真实，则λ遵循分子和分母自由度各为（n-c-2k ）/2 的F 分布● C 个观测值是为了突出或激化小方差组（即RSS 1）与大方差组（即RSS 2 ）之间的差异● 通常当n=30 时，取c =4, 当n=60 时，取c=10为宜● 当模型中有多于1个X 变量时，在检验的步骤一中，就可按任一个X 的大小顺序将观测值排列● 例：消费支出 – 收入， 30 观测值，略去居中4 个观测值后，对开头的13个和末尾的13个观测值分别作OLS 回归：17.377RS S 6968.04094.3ˆ1=+=i i X Y 8.1536RS S 7941.00272.28ˆ2=+-=i iX Y得：07.411/17.37711/8.1536//12===df RSS df RSS λ怀特（white ）的一般异方差性检验● Goldfeld-Quandt 检验要求按照被认为是引起异方差性的X 变量把观测值重新排序● White 检验并不要求排序，而且易于付诸实施● 步骤一： 对给定的数据回归（两个解释变量），并获得残差i uˆ步骤二：再做如下（辅助）回归：ii i i i i i i v X X a X a X a X a X a a u ++++++=326235224332212ˆ从这个（辅助）回归中求得R 2步骤三：在无异方差性的虚拟假设下，2nR 渐进的遵循自由度等于辅助回归元（不包括常数项）个数的2χ分布步骤四：如果2χ值超过临界值，结论就是有异方差性，如果不超过，就没有，即：065432=====a a a a a● 例： Y= 贸易税收（进口与出口税收）与政府总收入之比，X 2 =进出口总和与GNP 之比，X 3 =人均GNP ， 假设Y 与X 2 正相关，Y 与X 3 成反比White test ：1148.0R ))(ln T rade 0.0015(ln )(ln 0491.0)(ln 4081.0 ln 6918.0ln 5629.28417.5ˆ2i 222=+--++-=i i i i i i GNP GNP Trade GNP Trade u7068.4)1148.0(41.2==R n● 如果模型有多个回归元，回归元的平方（或更高次方）项以及它们的交叉项就会耗掉许多的自由度● 遇到统计量显著的情形，原因也许不一定是异方差性异方差的修正方法 – 加权最小二乘法（广义最小二乘法）● 以消费-收入为例，消费异方差，设计一种估计方案：对来自变异较大的总体的观测值作较小的加权，而对来自较小的总体的观测值作较大的加权● OLS 方法对每一观测之同样重视或同等加权● 广义最小二乘法（generalized least square-GLS ）利用了异方差的信息，因而能产生ＢＬＵＥ估计量● 利用双变量模型：i i i i u X X Y ++=201ββ其中对每个ｉ， Ｘ０ｉ＝１● 假定相异的方差2i σ已知，用σ通除上式得：)()()(201iiiiiiiiu X X Y σσβσβσ++=为了易于阐述，将它写为：i i i i u X X Y ******201++=ββ● 转换原始模型中，转换干扰项i u *的方差，现在有了同方差性1)(1)(1)()*()*var(2222i22=====iiiiii i u E u E u E u σσσσ● ＯＬＳ应用到转换模型将产生ＢＬＵＥ估计量● ＧＬＳ是对满足标准最小二乘假定的转换变量的ＯＬＳ● 21*ˆ*ˆββ和的估计步骤是最小化： 220112)**ˆ**ˆ*(*ˆii i X X Y u ββ--=∑∑● *ˆ2β的GLS 估计量为： ∑∑∑∑∑∑∑--=222)())(())(())((*ˆi i i i i i i i i i i i i X w X w w Y w X w Y X w w β 其中2/1i i w σ=● ＯＬＳ和GLS 的差别：ＯＬＳ要求最小化：2212)ˆˆ(ˆii i X Y u ββ--=∑∑ ＧＬＳ要求最小化：2212)ˆˆ(ˆii i i i X Y w u w ββ--=∑∑● ＧＬＳ中最小化一个以2/1i i w σ=为权的加权残差平方和，而在ＯＬＳ中最小化一个无权或等权的残差平方和● 这种形式的GLS 被称为加权最小二乘法（weighted least square – WLS ）● 若i σ是已知的，异方差的问题似乎已经得到了解决，但大多数情况下，方差是未知的●加权最小二乘法至多只能用于未知方差容易被描述的那些情况●看一下课本中的例子。
怀特检验 (2)
怀特检验简介怀特检验（White’s test）是一种统计学上用来检验回归模型（尤其是线性回归模型）的异方差性的方法。
通过用残差的平方与自变量的平方作为回归方程的附加变量，怀特检验可以检测出模型中的异方差性问题。
异方差性是指残差的方差与自变量存在一定的关系，即随着自变量的变化，残差的方差也发生变化。
异方差性会导致参数估计不准确，误差项的标准误差不可靠，从而影响到统计推断的结果。
因此，通过进行怀特检验，可以检验回归模型是否存在异方差性问题，进而采取适当的调整措施。
怀特检验的原理怀特检验的原理是基于OLS（Ordinary Least Squares）估计方法的残差的特点。
在普通最小二乘法中，残差的方差是一个常数，即残差的平方与自变量之间不存在线性关系。
而如果存在异方差性，残差的平方与自变量之间就会呈现出一定的线性关系。
怀特检验基于以下零假设和备择假设： - 零假设（H0）：回归模型中不存在异方差性。
- 备择假设（H1）：回归模型中存在异方差性。
通过计算残差的平方与自变量的平方之间的相关系数，来判断残差是否与自变量存在线性关系。
若相关系数显著不为零，则拒绝零假设，认为模型存在异方差性。
怀特检验的步骤怀特检验的步骤如下：1.根据已有数据，拟合回归模型，并计算得到残差。
2.将残差平方作为因变量，将自变量平方作为自变量，重新拟合回归模型。
3.计算新回归模型的残差，并计算残差与自变量平方之间的相关系数。
4.根据计算得到的相关系数，在给定显著性水平下，判断是否拒绝零假设。
怀特检验的计算示例假设有以下数据，我们要拟合一个回归模型，并进行怀特检验：序号自变量因变量1 2 32 4 53 6 84 8 105 10 13首先，我们进行回归得到的模型为：因变量 = α + β * 自变量接下来，计算残差：序号自变量因变量预测值残差1 2 3 2.4 0.62 4 5 2.8 2.23 6 8 3.2 4.84 8 10 3.6 6.45 10 13 4.0 9.0将残差平方作为因变量，将自变量平方作为自变量，进行新的回归得到的模型为：残差平方= γ + δ * 自变量平方接下来，计算新回归模型的残差，并计算残差与自变量平方之间的相关系数：序号自变量平方残差平方1 4 0.362 16 4.843 36 23.044 64 40.965 100 81.00根据计算得到的相关系数，可以使用统计假设检验方法判断是否拒绝零假设。