《结构动力学》论文
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是一门研究结构受力、振动和变形的学科。
它是结构力学的一个重要分支，主要研究结构的静力学和动力学行为。
结构动力学的研究可以帮助工程师设计和分析结构的稳定性，预测结构的振动响应，以及提高结构的动力性能。
结构动力学的研究对象是各种类型的结构体系，包括建筑物、桥梁、塔类结构、航空航天器、汽车等。
这些结构在使用过程中会受到各种外部荷载的作用，会发生变形和振动，甚至会发生破坏。
因此，必须通过结构动力学的研究来评估结构的受力情况，以便保证结构的安全和可靠性。
结构动力学的理论基础是力学、振动学和数学分析等。
力学用来描述结构的受力情况，振动学用来描述结构的振动响应，而数学分析则是结构动力学理论的基本工具。
在结构动力学的研究中，常用的数学方法包括牛顿第二定律、拉格朗日方程、哈密顿原理等。
在结构动力学的研究中，需要对结构的质量、刚度和阻尼进行建模。
质量是指结构对外界力的响应情况，通常可以用结构的质量矩阵来描述；刚度是指结构对位移的响应情况，通常可以用结构的刚度矩阵来描述；阻尼是指结构损耗能量的能力，通常可以用结构的阻尼矩阵来描述。
通过对这些参数的建模，可以得到结构的动力学方程。
结构动力学的研究包括两个主要方面：一是结构的自由振动，即结构在没有外界荷载作用下的振动行为；二是结构的强迫振动，即结构在受到外界荷载作用下的振动行为。
通过对这两方面的研究，可以得到结构的振动特性和响应情况。
总的来说，结构动力学是一门重要的学科，它通过对结构受力、振动和变形的研究，可以帮助工程师设计和分析各种类型的结构体系。
同时，结构动力学也为其他学科的研究提供了基础和支持，促进了工程技术的发展和进步。
机械工程中的结构动力学研究
机械工程中的结构动力学研究机械工程在现代工业中起着重要的作用，而结构动力学是机械工程领域中的一个重要研究方向。
结构动力学涉及到结构物在受力条件下的运动规律，包括振动、冲击和动载荷等方面的研究。
本文将从悬挂系统、振动与稳定性、动载荷研究以及结构动力学与设计优化等几个方面论述机械工程中的结构动力学研究。
悬挂系统是机械工程中常见的应用之一，在汽车和铁路车辆中都有广泛的应用。
悬挂系统的目的是减少车辆在行驶过程中受到的冲击和振动，提高行驶的平稳性和乘坐的舒适性。
对于悬挂系统的优化设计，结构动力学研究起到了重要的作用。
通过研究车辆行驶时的振动模态及其频率，可以确定合适的悬挂系统参数，使得车辆在行驶时能够达到最佳的平衡状态。
振动与稳定性是结构动力学研究的核心内容之一。
在机械工程中，许多结构物都会在使用过程中受到外界的振动激励，因此研究结构物的振动与稳定性对于确保机械设备的正常运行至关重要。
结构物的振动与稳定性包括对结构物自身特性的研究以及对外界激励所引起的共振问题的研究。
通过研究结构物的振动特性，可以确定结构的固有频率和振动模态，从而为结构的设计和优化提供依据。
动载荷是机械工程中常见的另一个研究方向。
在机械设备的使用过程中，往往会受到动态载荷的作用，如风载荷、地震载荷和运动载荷等。
这些动载荷会对结构物产生影响，导致结构的振动和破坏。
因此，研究动载荷对结构物的影响及其传递规律是非常重要的。
通过研究动载荷的特性和传递规律，可以对结构物进行合理的设计和优化，提高其抗震和抗风能力。
结构动力学与设计优化是机械工程中的一个前沿研究领域。
在传统的结构设计中，通常采用一种固定的参数和结构形式，这种设计方法不够灵活和高效。
而结构动力学研究为优化设计提供了新的思路和方法。
通过结构动力学的分析，可以找到结构物的瓶颈和薄弱环节，并通过优化设计的手段来提高结构物的性能和可靠性。
通过结构动力学的研究，可以使结构物在使用过程中更加安全、稳定和经济。
结构动力学中的特征值反问题
南京航空航天大学博士学位论文结构动力学中的特征值反问题姓名：***申请学位级别：博士专业：一般力学与力学基础指导教师：***20060601南京航空航天大学博士学位论文摘要本文研究了结构动力学中的特征值反问题，包括弹簧-质点系统振动反问题、离散梁振动反问题、阻尼振动系统的振动反问题以及振动杆结构探伤问题。
全文主要包括以下内容：首先，研究了弹簧-质点系统的振动反问题。
对二自由度简单连接度弹簧-质点系统分别通过加刚性约束、弹性约束和质量摄动得到修改系统，研究了利用原系统和修改系统的两组特征值（频率）和修改量识别系统的物理参数问题，给出了解的表达式。
对于多自由度简单连接度弹簧-质点系统，研究了增容修改系统的频率反问题。
提出了由多自由度简单连接弹簧-质点系统的四个和五个特征对（频率和模态）识别系统物理参数的振动反问题，分别研究了解的存在性，给出了解的表达式、相应算法和算例。
提出并研究了一类混合连接弹簧-质点系统的振动反问题，提出了利用三个特征对（频率和模态）以及部分系统物理参数识别系统其它物理参数的振动反问题，研究了解的存在性，给出了解的表达式、相应算法和模型算例。
其次，研究了有限差分离散梁振动反问题，利用有限差分法得到振动梁的弹簧-质点-刚杆模型，质量矩阵为对角矩阵而刚度矩阵为对称五对角矩阵。
提出了基于三个特征对的频率模态反问题，研究了解的存在性，给出了解存在惟一的充要条件和解的表达式、数值算法和算例。
再次，研究了阻尼振动系统中的二次特征值反问题。
研究了阻尼弹簧-质点系统的物理参数识别，包括：由全部频率信息模态识别阻尼振动系统的结构物理参数；由部分频率模态信息识别比例阻尼振动系统的结构物理参数；由两对频率模态信息识别比例阻尼振动系统的结构物理参数；由频率模态信息识别非比例阻尼振动系统的结构物理参数。
对每种提法分别研究了问题解的存在性，给出了数值算法，并对每种问题给出了阻尼振动模型算例。
最后，研究了振动杆结构探伤的特征值反问题。
关于主振型正交性的思考-3页文档资料
《结构动力学》小论文关于多自由度体系主振型正交性的几点思考姓 名：×× 学 号：U2009158×× 专业班级: 土木工程0905班 指导老师：龙晓鸿完成时间：2012年3月21日 关于多自由度体系主振型正交性的几点思考教材中对于多自由度体系主振型的正交性证明过程中，经过简单的变形之后，得到下式：和不同频率相应的主振型相对于质量矩阵M 来说，是彼此正交的： 以及不同频率相应的主振型相对于刚度矩阵M 来说，是彼此正交的： 上述得到式①和式②的前提都是在不同频率k l ωω≠下，那么我们有必要讨论一下，当k l ωω=时，主振型还是否能保持这种正交性。
一、 在重频()k l ωω=情况下主振型的正交性在重频情况下，一般来说是不正交的，但由于之间是线性独立的，那么，可以通过一些正交化手段和线性组合的方式，来找到使式①及式②成立的向量。
设多自由度体系有多个相同频率，且假设为12ωω=，则计算对应的阵型时，由方程组可以令1,2,,i n =L ，可得出n 个向量方程，其中有两个是不独立的。
我们不妨将最后两个方程去掉，同时将方程中与对应的振型向量()i Y 的最后两个元素1,n n y y -有关的项移动到方程的右边化作：22221111111,211,221,111,111,11,2222,11,11,21,22,11,11,1,()()()() ()()()() n n n n n n n n n i i i n i n n i n i n n i n i n n k m y k m y k m y k m y k m y k m y k m y k m y ωωωωωωωω-------------++-=-----++-=----L L L 2222,112,112,212,222,112,1122,12, ()()() ()n n n n n n n n n n n n n n n n nk m y k m y k m y k m y ωωωω--------------⎫⎬-++-=----L L ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭④任意给定1,n n y y -两组线性独立的值()()111,n n y y -和()()221,n n y y -，例如可令对于给定的以上两组值，从方程组④解出其余2n -个()1,2,,2j y j n =-L的两组解，分别记作()1j y 和()2j y ，与⑤组合为第一主振型和第二主振型此组合的第一主振型和第二主振型显然不是唯一的，为保证它们之间满足正交性条件，将()2Y 改为(2)(1)Y cY +也是方程④的解，c 由以下正交性条件确定解出待定系数c从而得到相互独立且正交的第一主振型和第二主振型。
浅谈对结构动力学的认识
浅谈对结构动力学的认识摘要：简单地讲述了对结构动力学的整体认识，介绍了结构动力学的发展历程，结构动力问题的几大特点，结构动力问题的分类，结构系统的动力自由度及其离散方法（包括集中质量法、广义坐标法和有限单元法），建立运动方程的方法（包括利用达朗贝尔(d'Alermbert)原理的直接平衡法，虚位移原理建立振动方程，哈密顿(Hamilton)原理建立振动方程）。
关键词：结构动力学；质量；阻尼；运动方程On understanding of structure dynamics Abstract: This paper simply tells the overall understanding of structure dynamics, and introduces the development course of structure dynamics, a few big characteristics of structure dynamic problem , the classification of structure dynamic problem, the structure of the system and its dynamic freedom discrete method (including focus on quality method, generalized coordinates method and finite element method), the method for establishing the equations of motion (including the use of d'Alermbert principle direct balance method, vibration equation with imaginary displacement principle, establish vibration equation with Hamilton principle).Key words: structure dynamics; quality; damping; equations of motion1结构动力学发展简介结构动力学是研究结构体系的动力特性，及其在动力荷载作用下动力响应分析原理和方法的一门技术学科。
机械工程中的结构动力学研究
机械工程中的结构动力学研究导言在机械工程领域中，结构动力学是一个重要的研究方向。
它关注机械系统的振动特性、材料的力学性质以及结构的稳定性等问题。
本文将以机械工程中的结构动力学研究为主题，探讨其在工程实践中的应用和发展。
I. 振动特性的研究振动是机械系统中普遍存在的现象，而振动特性的研究可以帮助工程师更好地设计和优化机械结构。
结构动力学的一项重要任务就是研究机械系统的自由振动频率和模态形式。
首先，自由振动频率是指系统在没有外力作用下自发振动的频率。
通过对结构的材料特性、几何形状和边界条件等进行分析和计算，可以得到这些自由振动频率。
在设计过程中，了解自由振动频率有助于预测系统的固有频率，避免共振现象的发生。
其次，模态形式是指机械结构在自由振动过程中不同部位的振幅和相位差。
通过模态分析，工程师可以获得系统各个特征振动模态的振型、频率和耦合情况，从而判断结构的稳定性和振动特性。
模态分析多用于设计工程师考虑结构的可靠性和舒适性。
II. 力学性质的研究除了研究振动特性外，结构动力学还关注材料的力学性质。
在机械工程中，材料的力学性质包括弹性模量、屈服强度、韧性等等。
这些性质对于工程设计和结构分析至关重要。
首先，弹性模量是指材料在受力时发生弹性变形的能力。
在工程实践中，工程师需要选择合适的材料以满足设计要求。
弹性模量的研究可以帮助工程师了解材料的强度和刚度，从而选择合适的材料。
其次，屈服强度是指材料在受力时发生塑性变形的最大应力。
在机械工程中，要确保结构在使用过程中不发生塑性变形或断裂，因此需要了解材料的屈服强度。
力学性质的研究可以帮助工程师预测结构在不同载荷下的变形和破坏情况。
III. 结构稳定性的研究结构稳定性是指机械系统在受到外力作用后不发生失稳和破坏的能力。
在机械工程中，结构的稳定性是一个重要的设计指标。
通过结构动力学的研究，工程师可以评估和优化机械结构的稳定性。
一种常用的分析方法是杆件的整体弯曲稳定性分析。
结构动力学读书报告(张子明)
图1
简支梁
5
1.2.3 有限单元法
将实际结构用有限个在结点处相互连接的单元所组成的离散系 统代替，对每个单元给定插值函数，然后叠加单元在各个相应结点的 贡献建立系统的求解方程。 有限单元法根据基本未知量选取的不同可 分为，位移有限元法、应力有限元法和兼有应力、位移未知量的混合 有限元法。其中，以位移有限元法应用最为广泛。 上述三种结构的简化方法以集中质量法较为简便实用， 广义位移 法需要选择满足位移边界条件的函数族，故它仅适用于简单结构。有 限单元法适用于各种复杂结构，因而，在求解工程结构动力问题中应 用广泛。
1.2 弹性系统的动力自由度
结构系统的动力计算和静力计算一样，也需要选择计算简图。因 为要考虑质量的惯性力，所以必须明确结构的质量分布情况，并分析 结构可能产生的位移。在结构系统运动的任一时刻，确定其全部质量 位置所需的独立几何参变量的个数， 称为系统的动力自由度 （dynamic freedom）。 实际结构的质量都是连续分布的，因此，它们都是无限自由度系 统。对于无限自由度系统的动力计算，只有一些很简单的情况能给出 解答，而且计算复杂。为了简化计算，通常采用下列方法将实际结构 简化为有限自由度系统。
③
这道题目，采用直接平衡法很容易就能列出运动方程，如果采用 虚位移列平衡方程的话，过程就会及其复杂。 这里需要注意的是：J 是对形心的转动惯量，J 2 0 2 r 2
J
l
m d r ，则 l
ml 2 ，所以就可以 ，而 ；惯性矩 M J [2]；因为 v r ， a v 12 v r a r Y Y ，则 M J 。还需要注意的一点就是：材料力 r 3l
2.运动方程式的建立
建立运动方程一般有以下三种方法：1.直接平衡法（达朗贝尔原 理）；2.虚位移原理；3.哈密顿原理。以上三种方法中。直接平衡法
结构动力学论文范文
结构动力学论文范文标题：基于结构动力学方法的建筑结构分析研究摘要：本文采用结构动力学方法，对建筑结构进行了分析研究。
首先，通过建筑结构的静力分析，得出了该结构在正常工况下的内力分布。
然后，采用模态分析方法，研究了该结构的固有频率和振型，并对其进行了模态超静定分析。
最后，通过响应谱分析，研究了该结构在地震荷载下的动力响应情况，并进行了结构的抗震性能评估。
研究结果表明，在设计参数满足标准要求的情况下，该建筑结构具有良好的抗震性能。
1.引言建筑结构的分析研究是保障建筑结构安全性的重要手段之一、结构动力学方法是一种常用的分析方法，可以通过分析结构的动力响应，研究结构的抗震性能。
2.静力分析根据建筑结构的几何形状和结构材料的力学性质，可以进行静力分析，得出结构在正常工况下的内力分布。
通过分析结构的内力大小和分布规律，可以判断结构的受力性能是否满足设计要求。
3.模态分析模态分析是研究结构固有频率和振型的一种方法。
通过模态分析，可以得到结构的固有频率和振型，并对其进行模态超静定分析。
模态超静定分析可以帮助优化结构设计，并减小结构的动态响应。
4.响应谱分析响应谱分析是根据结构的动力响应计算其在地震荷载下的最大响应，可以为结构的抗震设计提供基础。
通过响应谱分析，可以分析结构的地震响应特性，如峰值加速度、峰值位移等指标，并评估结构的抗震性能。
5.结果与分析通过静力分析，得出了结构在正常工况下的内力分布情况。
通过模态分析，得到了结构的固有频率和振型，并进行了模态超静定分析。
通过响应谱分析，研究了结构在地震荷载下的动力响应情况，并进行了抗震性能评估。
6.结论本文采用结构动力学方法，对建筑结构进行了分析研究。
研究结果表明，在设计参数满足标准要求的情况下，该建筑结构具有良好的抗震性能。
通过本文的研究，可以为类似建筑结构的设计提供参考。
[1]张三,李四,王五.结构动力学基础[M].北京：科学出版社。
[2]张三,王五.建筑结构分析与设计[M].北京：人民交通出版社。
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《结构动力学》论文建工学院土木工程0901班1 引言结构动力学，作为一门课程也可称作机械振动，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。
作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。
质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。
此后另一个重要的发展时期，是与约翰·伯努利，欧拉，达朗贝和拉格朗日等人的名字分不开的。
1788年，即牛顿的《自然哲学的数学原理》问世一百年后，拉格朗日在总结了这一时期的成果之后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格朗日力学。
经典力学分析方法随后的发展主要归功于泊桑，哈密尔顿，雅克比，高斯等人。
他们提出新的观念，而这些观念却和哈密尔顿联系在一起，因为质点力学中的基本问题，在这里是用哈密尔顿正则方程来表达的，力学的这一个分支如今称为哈密尔顿力学。
也可以这样认为，牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。
经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，迄今已有150余年的历史。
但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。
因此，在很长一段时间内，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静力学的方法来解决工程实际问题。
随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。
也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。
重所周知，1946年在美国诞生了世界上第一台电子计算机。
在半个多世纪的时间里，计算机得到了超出人们想象的飞速发展。
计算机改变了人们的生活，完善了现代工业体系，也给工程领域带来了深刻的变革。
而结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。
由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。
目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。
总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。
作为一门课程，结构动力学的基本体系和内容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学（Single Degree of Freedom Systems）简称为SDOF；多自由度系统结构动力学（Multi Degree of Freedom Systems）简称为MDOF；连续系统结构动力学（Distributed Parameter Systems）。
此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。
在结构工程专业的硕士研究生阶段，已经学习了结构动力学这门课程。
在博士研究生阶段，所要求掌握的高等结构动力学的内容是在硕士阶段学习知识基础上的深入和提高，重点应在于能够熟练运用结构动力学的基本理论和方法建立大型复杂动力结构体系的数学模型并正确求解。
本课程报告将按照结构动力学的基本理论体系作概要性的介绍。
2 经典动力学理论2．1 基本概念和基本原理2. 1. 1基本概念下面列举几个在结构动力学中将反复出现的重要概念。
对这些概念的正确理解是深刻掌握结构动力学基本理论的必要前提。
1．自由度：自由度是给定力学系统的重要特征，自由度数等于总的坐标数目减去独立的约束方程数目。
2．广义坐标：任何一组能够明确表示系统位形(Configuration)的参数。
3．真实位移：系统实际所发生的位移，应当满足运动学方程，约束方程和初始条件。
4．可能位移：系统中满足约束方程的无穷小位移，不需满足运动学方程和初始条件。
5．虚位移：任意两个可能位移之差。
6．约束力：由约束物体作用在质点上的力。
7．主动力：除去约束力之外的其它的力。
8．虚功：主动力及约束力在虚位移上所作的功。
9．约束：假定系统相对位置在可能方向上运动的限制。
10．理想约束（无功约束）：是这样一种双面约束，对于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的总虚功为零。
2. 1. 2 虚功原理由约翰·伯努利在1717年首先作为力学的普遍原理提出，其重要应用是在力学系统的静平衡研究方面。
文字表述如下：对于受有理想约束而初始处于静止的定常系统，其静平衡的充要条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的总虚功为零。
公式表述为：∑==⋅=Nii i r FW10δδ(2.1)由于对于连续系统保守力所作功等于系统势能的改变量，故将真实力所作功分为保守力所作的功和非保守力所作的功是便于建立系统的平衡方程的，既有下列两式，这是虚功原理的另外一种表述形式，式中Vδ是系统势能的改变。
非保守力保守力真实力＋＝W W δδδW(2.2) Vδδ-＝保守力W(2.3)2. 1. 3 达朗贝原理达朗贝原理实质上是牛顿第二定律的另一种表述形式，即：作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之和（矢量和）等于零。
公式表述为： 0=-+i i i r m R F(2.4)利用这一原理，可以把一个动力学问题转化为一个静力学问题来求解，即所谓的动静法。
在结构动力学中更为普遍应用的是达朗贝原理的拉格朗日形式。
公式表述为： ∑∑===⋅-=⋅-N i N i i i i i i i r R r r m F 110)( δδ(2.5)2. 1. 4 拉格朗日方程牛顿力学是矢量力学，着重于系统各部分相关的力和运动，在建立动力学方程时需要考虑系统各部分之间的相互作用力且需考虑各约束力。
而拉格朗日力学是分析力学，是把系统作为一个整体来考虑，并利用动能，位能等标量函数来描述一个动力学系统。
对这些函数进行某些运算，往往就能求得一组完整的运动方程而毋需明显地解出作用于系统各部分的约束力。
由于假定动力系统所受到的约束通常都是理想约束，则利用拉格朗日方程在建立动力学方程时就不需要考虑约束力，比直接利用牛顿第二定律建立动力学方程要简洁得多。
若系统是完整的，并且系统的位形由一组独立的广义坐标诸q 来描述，则完整系统拉格朗日方程的标准形式为： ),,2,1(0n i q L q L dt d i i ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂(2.6)其中，L 叫做拉格朗日函数，表述为系统动能和位能的差。
()()()t q V t q q T t qq L ,,,,,-=(2.7)即(2.6)式也可表示为： ()n i Q q V q T qT dt d i i i i ,2,1==∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂(2.8)在导出上述公式时，所强加的限制是坐标i q 为独立的，因此对于非线性系统及线性系统都是正确的。
而对于广义坐标数目大于自由度数的完整系统或非完整系统，引入拉格朗日乘子之后也可得到其相应的方程：()M i Q g f g V g T g T dt d i C j i j j i i i ,2,11==∂∂-∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∑=λ(2.9)其中，i g 表示不独立的坐标，n M >。
2. 1. 5 哈密尔顿原理哈密尔顿原理是经典动力学中一个十分重要的变分原理，首次发表于1834年。
其表达为：在位形空间中完整动力学系统于固定的时间区间0t 到1t 内所经过的实际路径能使积分⎰=10t t Ldt I 对于路径变更来说取驻值，而在路径的端点上这些变更都为零。
从数学分析中可以得知，当()t qq L ,, 和()t q 具有所要求的平滑度时，而且诸q δ是独立时，则作为0=I δ的充要条件是：),,2,1(0n i q L q L dt d i i ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂上式实际上就是(2.6)拉格朗日方程。
因此哈密尔顿原理和拉格朗日方程对于所假定的系统是等价的，两者可以相互导出，从这个意义上来说，拉格朗日方程是哈密尔顿原理用微分方程来表达的一种形式。
哈密尔顿原理把力学的基本方程归结为一个物理概念明确的简单形式0=I δ，表现了自然定律的一种最完美的形式。
2．2 单自由度系统(SDOF)2. 2. 1 SDOF 系统的数学模型单自由度系统的数学模型可以由牛顿第二定律来建立，当然也可以由虚位移原理和拉格朗日方程来建立，SDOF 系统的动力学基本方程为：()t p ku u c u m r r r =++(2.10)方程(2.10)是简单的质—弹—阻尼系统的基本方程，该方程是一个二阶常系数线性非齐次常微分方程，可以很方便地求出其解析解。
如果考虑系统受到一定输入的支座激励，则具有支座激励的SDOF 系统动力学基本方程为：()z m t p kw w c w m -=++(2.11)2. 2. 2 SDOF 系统的自由振动SDOF 系统动力学基本方程(2.10)中，质量m 在一般情况下为常量，用m 除(2.10)可以得到一个二阶线性常系数非齐次常微分方程：()t p k u u u n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222ωωξω(2.12)式中， m k n =2ω； crc c =ξ 上式中， km k m c n n cr 222===ωω n ω称为无阻尼固有圆频率，单位为弧度/秒；ξ是一个无量纲的参量，称为粘滞阻尼因数；cr c 称为临界阻尼系数。
方程(2.12)的解即系统的总响应是由两个不同性质部分的线性组合。
一部分是强迫振动，直接与()t p 有关；另一部分是固有运动即自由振动。
二者叠加即为方程的解。
因此，SDOF 系统自由振动的基本方程即(2.12)的齐次部分：022=++u u u n n ωξω(2.13)对方程(2.13)求其解可得到无阻尼固有圆频率n ω。
根据线性粘滞阻尼因数ξ的大小，可以将粘滞阻尼系统分为三种情况：弱阻尼()10<<ξ，临界阻尼()1=ξ和过阻尼()1>ξ。
在弱阻尼的情况下，运动是幅值逐渐衰减的摆动；过阻尼的情况是不发生摆动，并且幅值慢慢地衰减；对于临界阻尼系统，则不发生摆动，并且幅值的衰减比弱阻尼和过阻尼的情况都快。
对于一般的工程结构均属于弱阻尼情况。
由于一个实际系统的阻尼通常是由节点的松度，材料的内阻尼等构成的，因此需要采用试验方法确定某些SDOF 系统的动力特性，如无阻尼固有圆频率和阻尼因数。