磁场能量的推导过程

V
J
(
x,
y, z) r2
er
dV
两边取散度
B(x, y, z) 0 4
V
J
(
x,
y, z) r2
er
dV
0
4
V
J( x, y,z )(
1 r
)dV
图3.2.1 计算体电流的磁场
矢量恒等式
( AC ) C A AC
0
0
则
J( x, y,z )(
1 r
)
(
1 r
) J( x, y,z ) J( x, y,z ) (
图3.2.9 两对上下放置传输线的磁场分布
图3.2.10 两对平行放置传输线的磁场分布
ex
0 K0 2
arctg
x y
ex
0K0 2
ex
0K 2
0
e
x
无限大电流片及 B 的分布
y0 y0
3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
3.2.1 磁通连续性原理 1. 恒定磁场的散度
可从 Biot-Savart Law 直接导出恒定磁场 B 的散度。
B(x, y, z) 0
4
磁感应强度。
解：元电流 Idl 在其轴线上P点产生的磁感应
强度为
dB 0 Idl er 4r 2
dB
0
Idl
s
in
2
4 (R2 x2 )
( Idl er )
根据圆环磁场对 P 点的对称性，
图3.1.3 圆形载流回路
dBx dBsin dBy 0
B
Bxex
4
(
0 I R2
x2
)
sin
dl
• B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。
图3.2.4 一载流导线 I 位于无限大铁板上 方的磁场分布（B 线）
图3.2.5 长直螺线管磁场的分布（B 线）
图3.2.6 一载流导线I位于无限大铁板内 的磁场分布（H 线）
图3.2.7 两根异向长直流导线的磁场分布
图3.2.8 布
两根相同方向长直流导线的磁场分
1 r
)
0
所以
B 0
表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立）
B 0 可以作为判断一个矢量场能否成为恒定磁场的必要条件。
2. 磁通连续性原理
B 0
BdV 散度定理 B dS 0
V
s
这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零，
称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律 (Gauss’s Law for the Magnetic field )。
l
ex
4
(
0 R2
I
x2
)
R R2
x2
2Rex
2(
0 IR2 R2 x2
)3 / 2
ex
图3.1.4 圆形载流回路轴线上的磁场分布
例 3.1.3 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 K K0ez , 求其所产生的磁感应强度。
解：在电流片上取宽度为 dx 的一条无限长线电流，
它在空间引起的磁感应强度为
3.1 磁感应强度
3.1.1 安培力定律 1820年, 法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用
力的规律,称为安培力定律 (Ampere’s force Law )。
电流 I ' 的回路对电流I回路的作用力 F
F 0 Idl (I 'dl' eR )
4 l l'
R2
式中真空中的磁导率0 4 107 H/m
式中 R r r '
磁感应强度 单位 T（wb/m2）特斯拉。
写成一般表达式，即
B 0
4
Idl (r r) l r r 3
毕奥——沙伐定律（Biot — Savart
Law )
1）适用条件：无限大均匀媒质 ( ) ，且电流分布在有限区域内。
2）由毕奥—沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B 的散度与旋度）。
• 恒定磁场的知识结构框图。
基本实验定律 (安培力定律） 磁感应强度（B）（毕奥—沙伐定律） H 的旋度 基本方程 B 的散度
磁位( m )（J=0） 数值法
分界面上衔接条件 边值问题
磁矢位（A） 解析法
有限差分法
有限元法
分离变量法
镜像法
电感的计算
磁场能量及力
磁路及其计算
图3.0 恒定磁场知识结构框图
3.1.2 毕奥——沙伐定律 • 磁感应强度 电流之间相互作用力通过磁场传递。
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
电荷之间相互作用力通过电场传递。
F Idl 0 I 'dl eR
l
4 l' R2
l Idl B
1 dV
F q
4 0
V
R2 eR
qE
定义： B 0
4
I 'dl eR l R2
图3.1.2
dl eR dzSine dzSine dze R
B
0 4
L1 L2
( 2
I z2
)3
2 dz
0 I 4
[
0 I 4
(
Sin1
Sin 2
)
L1 2 L12
L2 ] 2 L22
长直导线的磁场 当 L1 , L2
B
0 I 2
e
时，
例 3.1.2 真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的
第 3 章 恒定磁场
• 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围 的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场（Static Magnetic Field）。
• 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法 上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。
3）对于体分布或面分布的电流，Biot - Savart Law 可写成
B 0
4
V
J
(
r)( r r r
3
r
)dV
B 0
4
s
K
(
r
) r
( r
r 3
r
)
dS
例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。
解采用圆柱坐标系，取电流Idz， B 0
则 式中， R2 2 z2
4
Idl eR L R2
dB1
0 Idl e 2
0 K0dx sin 2
由于是无限大电流平面，所以选P点在 y 轴上。 根据对称性 , 整个面电流所产生的磁感应强度为
B Bxex
0 K0 sin
2
(x2

y
2
)
1 2
dxex
(sin
(x2
y
y2
1
)2
图3.1.5
0 K0 2
y
(
x
2
dx y
2
)
若要计算 B 穿过一个非闭合面 S 的磁通，则
sB dS (韦伯)
3. 磁力线 仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用 B 线描绘，
B 线的微分方程
Bdl 0
图3.2.2 磁通连续性原理
在直角坐标系中
Bx By Bz dx dy dz
图3.2.3 B 的通量
B 线的性质： • B 线是闭合的曲线; • B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； • 闭合的 B 线与交链的电流成 右手螺旋关系；