因式分解公式法
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数中常见的一种运算方法，它在解决多项式的因式分解、求解方程等问题中起着重要的作用。
在代数学习中，掌握好因式分解的方法对于提高解题效率和解题能力都是非常有帮助的。
因此，本文将介绍因式分解法的四种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学知识。
一、公因式提取法。
公因式提取法是因式分解中最基本的一种方法，它适用于多项式中存在公共因子的情况。
具体步骤如下：1. 将多项式中的公因式提取出来；2. 将提取出的公因式与剩下的部分分别相乘得到因式分解的结果。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以将公因式2提取出来，得到2(x+2y)，这就是多项式的因式分解结果。
二、配方法。
配方法是因式分解中常用的一种方法，它适用于一些特殊形式的多项式。
具体步骤如下：1. 将多项式中的各项按照特定的方式相加或相减，使得可以进行因式分解；2. 根据配方法的规则，将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2xy+y^2，我们可以将其写成(x+y)^2的形式，这就是多项式的因式分解结果。
三、分组法。
分组法是因式分解中常用的一种方法，它适用于四项式的因式分解。
具体步骤如下：1. 将四项式中的各项进行分组；2. 对每组进行因式分解；3. 将每组的因式分解结果进行合并，得到最终的因式分解结果。
例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其进行分组，得到x(x+2y)+2(x+2y)，然后再进行因式分解，最终得到(x+2y)(x+2)的因式分解结果。
四、公式法。
公式法是因式分解中常用的一种方法，它适用于一些特定的多项式。
具体步骤如下：1. 根据多项式的特定形式，使用相应的公式进行因式分解；2. 根据公式的规则，将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)的结果。
以上就是因式分解法的四种方法，它们分别适用于不同的多项式形式，能够帮助我们更好地进行因式分解运算。
公式法进行因式分解
公式法进行因式分解公式法是一种常用于因式分解的方法。
它通过利用特定公式对给定的表达式进行变形，从而找到其因式分解形式。
公式法涉及的公式主要有"二次差平方公式"、"三角恒等式"、"立方差公式"等等。
下面将详细介绍这些公式及如何应用它们进行因式分解。
一、二次差平方公式：二次差平方公式是因式分解中经常使用的一种公式，它可以将二次多项式分解成两个一次多项式的乘积。
该公式的形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，给定一个二次多项式x^2-4，我们可以将其因式分解为：x^2-4=(x+2)(x-2)二、三角恒等式：三角恒等式也是一种常用的公式法，它适用于因式分解中出现三角函数的情况。
例如，当出现sin^2(x)时，我们可以利用三角恒等式将其转化为更容易处理的形式。
常用的三角恒等式有：1.三角平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)2.三角和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cos AcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)例如，考虑一个包含sin^2(x)的表达式sin^2(x) - 1，我们可以通过应用三角平方和公式将其因式分解为：sin^2(x) - 1 = (sin(x) + 1)(sin(x) - 1)三、立方差公式：立方差公式适用于因式分解中出现立方的情况，它可以将两个立方数的差分解为一次多项式乘以二次多项式。
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)例如，给定一个立方差表达式x^3-1，我们可以利用立方差公式将其因式分解为：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)除了上述列举的公式，还有很多其他的公式可以用于因式分解，如求和公式、差积公式、分式分解公式等。
分解因式公式法
分解因式公式法分解因式是在代数学中经常用到的一种方法，它可以将一个复杂的代数式拆解成更简单的因式。
这种方法在解方程、简化代数表达式和求解多项式函数的零点等问题中都有着广泛的应用。
分解因式公式法是一种系统、高效的技巧，可以帮助我们更快地解决与因式相关的数学问题。
什么是分解因式公式法分解因式公式法是一种使用特定的公式和规则，将一个多项式因式分解为多个较简单的因子的方法。
它基于因式提取与配方法整理，通过拆分多项式为乘积的形式，将复杂的代数式简化为更容易处理的形式。
常见的分解因式公式在分解因式公式法中，有一些常见的公式被广泛应用，可以帮助我们快速分解因式。
下面是一些常见的分解因式公式：一、平方差公式平方差公式是一种将二次多项式因式分解的常用方法。
它的公式为：$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $这个公式可以将一个差的平方形式的多项式分解为两个因子的乘积。
例如，对于多项式 $ x^2 - 4 $，我们可以应用平方差公式得到： $ x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) $二、差平方公式差平方公式是平方差公式的逆运算，用于将一个求和形式的多项式因式分解。
它的公式为：$ a^2 + b^2 = (a + b)(a - b) $这个公式可以将一个和的平方形式的多项式分解为两个因子的乘积。
例如，对于多项式 $ x^2 + 4 $，我们可以应用差平方公式得到： $ x^2 + 4 = (x + 2i)(x - 2i) $，其中 $ i $ 是虚数单位。
三、完全平方公式完全平方公式是一种将一个二次多项式因式分解的方法。
它的公式为：$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $这个公式可以将一个完全平方形式的多项式分解为一个二次因子的平方。
例如，对于多项式 $ x^2 + 4x + 4 $，我们可以应用完全平方公式得到： $ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 $四、一元二次三项式因式分解公式一元二次三项式因式分解公式是一种将一个一元二次三项式因式分解的方法。
(完整版)因式分解——公式法教案
因式分解——公式法（1）一．教课内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材剖析分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后边的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。
所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。
三．教课目的知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公式分解因式过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能力和数学应企图识，浸透整体思想感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进而加强学好数学的梦想和信心四．教课重难点要点：会运用平方差公式分解因式难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不完全五．教课方案（一）温故知新1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？22（1）（ 2x - 1） = 4 x- 4x + 1;(2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1);(3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。
（1） a3b3 - 2a2 b - ab ;( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy.【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。
3.依据乘法公式进行计算：（1）（ x + 1）(x -1)；（2）（ x + 2 y）(x - 2 y).4.依据上题结果分解因式：（1） x2 - 1；（2） x 2 - 4 y 2 .由以上 3、 4 两题，你发现了什么？【设计企图】经过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解进而引出课题。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。
一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。
因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。
1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。
提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。
首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。
步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。
因式分解求根公式法
因式分解求根公式法
因式分解求根公式法是一种常用的求解一元二次方程的方法，它的基本思想是将一元二次方程进行因式分解，然后解出方程的根。
具体步骤如下：
1.将一元二次方程写成标准形式ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、
c为方程的系数。
2.对方程进行因式分解，得到(x - p)(x - q) = 0，其中p、q为
方程的两个根。
3.由乘积为零的性质可知，当且仅当x - p = 0 或x - q = 0 时，
方程成立。
因此，方程的两个根分别为p 和q。
下面以一个二次方程为例，进行因式分解求根的步骤：
假设有一个二次方程2x^2 + 3x - 5 = 0，那么：
4.将方程写成标准形式：2x^2 + 3x - 5 = 0
5.对方程进行因式分解：(x + 5)(2x - 1) = 0
6.由乘积为零的性质可知，当且仅当x + 5 = 0 或2x - 1 = 0 时，
方程成立。
因此，方程的两个根分别为x = -5 和x = 1/2。
因此，方程2x^2 + 3x - 5 = 0 的两个根分别为x = -5 和x = 1/2。
因式分解的五种方法
因式分解的五种方法一、提公因式法。
这就像是从一群小伙伴里找出那个共同的小头目一样。
比如说，对于式子3x + 6，3就是公因式呀。
我们就可以把它提出来，写成3(x + 2)。
你看，就这么简单，把公共的部分先拎出来，就像把大家共有的宝贝先拿出来放一边，剩下的部分放在括号里。
这是因式分解里最基础也是最常用的方法哦。
二、公式法。
这里面有平方差公式和完全平方公式呢。
平方差公式就是a^2 - b^2=(a + b)(a - b)。
就像两个数的平方相减，就能变成这样两个数的和与差的乘积。
比如说9x^2 - 16，这就是(3x)^2 - 4^2，那它就可以分解成(3x + 4)(3x - 4)啦。
完全平方公式有a^2+2ab + b^2=(a + b)^2和a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2。
要是看到式子长得像这样，那就可以直接用公式啦。
像x^2+4x + 4，这里a=x，b = 2，它就是(x +2)^2呢。
三、分组分解法。
这个方法就有点像给小伙伴们分组做游戏啦。
比如对于式子ax + ay + bx + by，我们可以把前面有a的放在一组，后面有b的放在一组，就变成了a(x + y)+b(x + y)，然后再提公因式(x + y)，最后得到(a + b)(x + y)。
是不是很神奇，就像把不同的小团队又组合成了一个大团队。
四、十字相乘法。
这个方法就像在玩一个十字交叉的小魔术。
对于二次三项式ax^2+bx + c（a≠0）。
比如说x^2+3x + 2，我们要找到两个数，它们相乘等于c（这里是2），相加等于b（这里是3），那就是1和2啦。
然后就可以写成(x + 1)(x + 2)。
就像把数字在一个十字框架里找到合适的搭配一样，特别有趣。
五、添项、拆项法。
这个方法就有点调皮啦。
比如说对于式子x^3 - 3x^2+4，我们可以把4拆成-x^2 + x^2+4，然后式子就变成x^3 - 3x^2 - x^2+ x^2+4，再分组变成(x^3 - 4x^2)+(x^2+4)，接着继续分解。
因式分解_公式法
4 4 (1)x －y ;
(2)
3 ab
– ab.
分解因式,必须 进行到每一个 多项式都不能 再分解为止.
4 2 x －x =X2(x2
－1)
=X2(X－1)(X+1) 因式分解:先提公因式法再用公式法
1、已知 m n 5，mn 4，求 m n mn 的值。
2 2
2、因式分解 : 1 x x1 x x1 x x1 x x1 x 2011
（2）两项都是平方项或是都能化为平方项。
（3）两项的符号相反.
例1：（1）4x2-9 (2)25x2-y2
(3)36a2-49b2
(5)a2b2-c2
(4)-64+9m2
例2
(1)
2 (x+p)
–
2 (x+q)
2 2 (2)(x+2) -y
2 2 (3)(x+m) -4(x+n)
例3 分解因式:
6、注意
⑴提取公因式后，另一个因式不能再含有公因式； （要将分解因式进行到底） ⑵另一个因式的项数与原多项式的项数一致。 （3）多项式的首项取正号
8a b 12a bc a b
3 2 2 2
2 2 7、 （a b） (b a)
(ab) (a b)
2
2
公式法——平方差
=(4x+3)2.
例:分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2－12(a+b)+36.
将a+b看作一个 整体，设a+b=m, 则原式化为完全 平方式m2－ 12m+36.
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读 万 卷 书 行 万 里 路 实用文档 精心整理 1 因 式 分 解
公式法 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。 1.利用平方差公式因式分解：bababa22 ①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22ba的形式，并弄清a、b分别表示什么。
2.利用完全平方公式因式分解：222
2bababa
注意： ①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2bababa公式原型，弄清a、b分别表示的量。
⑤在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号. ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止. 读 万 卷 书 行 万 里 路
实用文档 精心整理 2 典型例题分析： 利用平方差公式： 例1． 用平方差公式分解因式： （1）22)(9yxx
； （2）22331nm. 读 万 卷 书 行 万 里 路 实用文档 精心整理 3 例2．分解因式： （1）abba5； （2）)()(44
nmbnma
（3）2222)23()32(4yxmyxm； （4）baba2418321822
例3. 简算 （1） 226778 （2）22991001
例4. 解方程：.36)321()321(22
xx
【拓展提升】 例5. 分解因式：（1）88yx； (2) 22216)4(xx.
例6. 1)12()12)(12)(12(3232
的个位数字是 .
例7.若1248
能被60与70之间的两个整数整除，这两个数是 .
针对性训练： 1. 若)2)(2)(4(162xxxxn
，则n的值是（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 2. 把多项式222224)(baba分解因式的结果是（ ）
A. 222)4(abba B. 222)4(abba
C. )4)(4(2222
abbaabba
D. 22)()(baba
3. 分解因式：
（1）22536x； （2）2201.094nm； （3）62498116xy； （4）224)32(xyx 读 万 卷 书 行 万 里 路 实用文档 精心整理 4 (5) 22102398： (6) 2)23(64ba； （7） )()(22xybyxa；
（8）222)(68)(17abxba； （8）2222)23()32(bcabcbac ；
（9）)2()2(24xyxyxx ； （10）；22222
4)(baba；
（11）；22)(16)(81cbacba； （12）2222224)(bacba.
利用完全平方公式： 例1．（1）已知：9)3(164
xkx是一个完全平方公式求k的值.
（2）若25)4(22
xax是完全平方式，求a的值.
例2. 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？ （1）962aa； （2）982
xx；
（3）91242
xx； （4）223612yxxy.
例3.把下列各式分解因式： （1） 442xx； （2） 22914942yxxy （3）mnnm4422
例4. 分解因式： （1）22363ayaxyax. （2）22222)(624baba
例5．分解因式： 读 万 卷 书 行 万 里 路
实用文档 精心整理 5 （1）22)(9))(2(6)2(nmnmmnnm； （2） 4224168bbaa；
（3） 1)2(2)2(222
mmmm； （4） 63244914bbaa；
（5）1)2(6)2(92
baba.
例6．已知2ba，求22212
1baba的值.
例7．已知1yx，2xy，求32232xyyxyx的值.
例8.解方程：（1）091242
xx； （2）01)1(2)1(2xx
例9. 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.
例10.已知x和y满足方程组346423yxyx，求代数式2249yx的值。
【拓展提升】 例1. 如果paba42
是一个完全平方式，那么p的值为 .
例2. ∆ABC的三边满足,2222
abcbca
则∆ABC是（ ） 读 万 卷 书 行 万 里 路 实用文档 精心整理 6 A．等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 例3. 已知,20052002,20042002,20032002xcxbxa则多项式abcba222 cabc的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 例4. 要在二次三项式2x□x－6的□中填上一个整数，使它能按abxbax)(2型分解为))((bxax的形式，那么这些数只能是（ ）
A. 1,-1 B. 5,-5 C. 1,-1,5,-5 D. 以上答案都不对 例4. 分解因式： 1321363nnnxaxaax
例5. 求证：当x表示整数时，1)4)(3)(2)(1(xxxx是一个整数的完全平方数.
例6. 已知：,321,221,12
1
mcmbma求bccacbaba222222的值.
已知：,83,2
1
abba求32232abbaba
例7．求值：已知yzyxyx4812922
04422zz
，求x、y、z的值.
例8. 化简：20022001200119992001220012322 针对性训练： 1．若maba1842是一个完全平方式，则m等于（ ） A. 29b B. 218b C.281b D. 2481b
2．若22425ykxyx
可以分解为2)25(yx，则k的值是（ ）
A. －10 B. 10 C. －20 D. 20
3. 当6.5x，4.4y时，______212
122yxyx
4. 若rlRlS，当55R，45r，25l，14.3时，S=_________ 读 万 卷 书 行 万 里 路 实用文档 精心整理 7 5. 已知16)3(22
xkx是完全平方式，则k值为________
6. 若paba42
是一个完全平方式，则_____p
7．将下列因式分解因式： （1）42248168yyxx （2）3425882ababa
（3）mmmyxxyyx21222)3(4)3(4)3(（m为正整数） 8. 求多项式52222baa的值.
9. 已知34yx是方程组42152byabbyax的解; 10.分解因式： （1）1)3(2)3(222xx； （2）44222416121cbcbaa ； （3）22
)(4)2(9baba；
（4）22)1(161)1(41xyxy； （5）161)(21)(222mmmm
（6）43325)12()12(2)12(xxxxxx；（7）1)44()2(2422mmm
（8）2222)(4)(4)(yxyxyx ； （9）222322)(28)(7xybaxba
（10）)(128)(32)(224
xyayxayx
.