解析几何(经典题型)
高中数学解析几何公式
1、 两点间距离:若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-=
平行线间距离:若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++
则:2
2
21B
A C C d +-=
2、 点到直线的距离:0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为:2
2
B
A C
By Ax d +++=
3、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式:?
??=+=0)y ,x (F b
kx y
消y :02
=++c bx ax ,务必注意.0>?
若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x
则:2122))(1(x x k AB -+=
4、 若A ),(),,(2211y x B y x ,P (x ,y )。P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为λ,
则???
????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ,特别地:λ=1时,P 为AB 中点且???????
+=+=2221
21y y y x x x
变形后:y
y y y x x x x --=λ--=
λ21
21或 5、 (1)倾斜角α,),0(π∈α;
(2)]0[,π∈θθ→
→,,夹角b a ;
(3)直线l 与平面]2
0[π
∈ββα,,的夹角;
(4)l 1与l 2的夹角为θ,∈θ]2
0[π,,其中l 1//l 2时夹角θ=0; (5)二面角,θ],0(π∈α; (6)l 1到l 2的角)0(π∈θθ,, 6、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系
a) 每一条直线都有倾斜角α,但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k ,而倾斜角为α,则k=tan α。 7、 直线方程的五种形式
11、直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若2
2
B
A C Bb Aa d +++=
,0??>相离r d
0=???=相切r d 0>???<相交r d 12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21
条公切线外离421??+>r r d 条公切线外切321??+=r r d
条公切线相交22121??+<<-r r d r r 条公切线内切121??-=r r d 无公切线内含??-<<210r r d
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 (一)椭圆
定义Ⅰ:若F 1,F 2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ (a 为常数)则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ:若F 1为定点,l 为定直线,动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e (0 标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a 定义域:}{a x a x ≤≤-值域:}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2,短轴长=2b 焦距:2c 准线方程:c a x 2 ±= 焦半径:)(21c a x e PF +=,)(2 2x c a e PF -=,212PF a PF -=,c a PF c a +≤≤-1等(注意涉及焦 半径①用点P 坐标表示,②第一定义。) 注意:(1)图中线段的几何特征:=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ,222122b a B A B A += =等等。顶点与准线距离、焦点与准 线距离分别与c b a ,,有关。 (2)21F PF ?中经常利用余弦定理....、三角形面积公式....... 将有关线段1PF 、2PF 、2c ,有关角21PF F ∠结合 起来,建立1 PF +2PF 、1 PF ? 2PF 等关系 (3)椭圆上的点有时常用到三角换元:?? ?θ =θ =sin cos b y a x ; (4)注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上,请补充当焦点在y 轴上时,其相应的性质。 二、双曲线 (一)定义:Ⅰ若F 1,F 2是两定点,21212F F a PF PF <=-(a 为常数),则动点P 的轨迹是双曲线。 Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e (e>1),则动点P 的轨迹是双曲线。 (二)图形: (三)性质 方程:12222=-b y a x )0,0(>>b a 122 22=-b x a y )0,0(>>b a 定义域:}{a x a x x ≤≥或; 值域为R ; 实轴长=a 2,虚轴长=2b 焦距:2c 准线方程:c a x 2 ±= 焦半径: )(21c a x e PF +=,)(2 2x c a e PF -=,a PF PF 221=-; 注意:(1)图中线段的几何特征:=1AF a c BF -=2,=2AF c a BF +=1 顶点到准线的距离:c a a c a a 22+-或;焦点到准线的距离:c a c c a c 2 2+-或 两准线间的距离=c a 2 2 (2)若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:?=-02222b y a x x a b y ±= 若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x 若双曲线与122 22=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222b y a x (0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上) (3)特别地当?=时b a 离心率2= e ?两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲 线,可设为λ=-2 2 y x ; (4)注意21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1 PF 、2PF 、 21F F 和角结合起来。 (5)完成当焦点在y 轴上时,标准方程及相应性质。 二、抛物线 (一)定义:到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即:到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e (e=1)。 (二)图形: (三)性质:方程:焦参数-->=p p px y ),0(,22; 焦点: )0,2 ( p ,通径p AB 2=; 准线: 2 p x -=; 焦半径:,2p x CF += 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=21212 2 注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=2 p ;焦点到准线的距离=p ;通径长=p 2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 (2)抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2 =其中 解析几何新题型 【例题解析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程:椭圆22 162 x y +=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =,故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2.已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ,则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解:设直线AB 的方程为y x b =+,由22123 301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-? =+?,进而可求出AB 的中点11(,)22M b -- +,又由11 (,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =, ∴220x x +-=,由弦长公式可求出2 21114(2)32AB =+-?-=. 故选C 例3.如图,把椭圆2 2 12516 x y +=的长轴 AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点,F 是椭圆的一个焦点, 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程:由椭圆2 2 12516 x y +=的方程知225, 5.a a =∴= ∴1234567 7277535.2 a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 故填35. 考点3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e =a c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁); (2) 双曲线的离心率e =a c ∈(1, +∞) (e 越大则双曲线开口越大). 结合有关知识来解题. 例4.已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0)-,(4,0),则双曲线方程为 A .221412x y -= B .221124x y -= C .221106x y -= D .22 1610 x y -= 考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程: 2,4,c e c a = ==所以2 2,12.a b ∴==故选(A). 小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念,要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例5.已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) A. 2 B.3 32 C. 2 D.4 考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e =a c ∈(1, +∞) 的有关知识的应用能力. 解答过程:依题意可知 3293,322=+=+==b a c a . 考点4.求最大(小)值 求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. 例6.已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 12+y 22的最小值是 . 考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+= ()()122222222 122284160, 8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+??∴+=+=?=+≥ ??? 故填32. 考点5 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够熟练运用;常 用的解题技巧要熟记于心. 例7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆 C 与直线y =x 相切于坐标原点O .椭圆9 22 2 y a x + =1与 圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程; (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n) 则,222, m n n =-? ?? ?=?? 解得2,2. m n =-?? =? 所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得 210a = , 5a =. 椭圆的方程为 22 1259 x y += , 右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q 点() 222cos ,222sin θθ-++使QF OF =, ( )( ) 22 222cos 4222sin 4θθ -+-++=. 整理得 sin 3cos 22θθ=+, 代入 22sin cos 1θθ+=. 得:210cos 122cos 70θθ++= , 122812222cos 1θ-±-±==<-. 因此不存在符合题意的Q 点. 例8. 如图,曲线G 的方程为)0(22≥=y x y .以原点为圆心,以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B . 直线AB 与 x 轴相交于点C . (Ⅰ)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c 的关系式; (Ⅱ)设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证:直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ,考查运算能力与思维能力,综合分析问题的能力. [解答过程](I )由题意知,).2,(a a A 因为.2,||22t a a t OA =+=所以 由于.2,02a a t t +=>故有 (1) 由点B (0,t ),C (c ,0)的坐标知,直线BC 的方程为.1=+t y c x 又因点A 在直线BC 上,故有,12=+t a c a 将(1)代入上式,得,1) 2(2=++ a a a c a 解得 )2(22+++=a a c . (II )因为))2(22(++a a D ,所以直线CD 的斜率为 1) 2(2) 2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++= a a a a a a c a a k CD , 所以直线CD 的斜率为定值. 例9.已知椭圆22 22x y E :1(a b 0)a b +=>>,AB 是它的一条弦,M(2,1)是弦AB 的中点,若以点M(2,1)为焦点,椭 圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-,若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足 1ee 1=,求: (1)椭圆E 的离心率;(2)双曲线C 的方程. 解答过程:(1)设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y ), 则2 2 1122 x y 1a b +=,22 2222x y 1a b +=,二式相减得: 2 1212AB 2 1212y y (x x )b k x x (y y )a -+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24 ---===--, 所以2222a 2b 2(a c )==-,22a 2c =, 则c e a ==; (2)椭圆E 的右准线为2a x 2c c == ,双曲线的离心率11 e e = = 设P(x,y)是双曲线上任一点,则: |PM ||x 2c |-, 两端平方且将N(4,1)-代入得:c 1=或c 3=, 当c 1=时,双曲线方程为:22(x 2)(y 1)0---=,不合题意,舍去; 当c 3=时,双曲线方程为:22(x 10)(y 1)32---=,即为所求. 小结:(1)“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法; (2)求解圆锥曲线时,若有焦点、准线,则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题 利用向量给出题设条件,可以将复杂的题设简单化,便于理解和计算. 典型例题: 例10.双曲线C 与椭圆22 184 x y +=有相同的焦点,直线y =x 3为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程; (2)过点P (0,4)的直线l ,交双曲线C 于A,B 两点,交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合).当12PQ QA QB λλ==,且3 821-=+λλ时,求Q 点的坐标. 考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程:(Ⅰ)设双曲线方程为22 22 1x y a b -=, 由椭圆22 184 x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-, ∴对于双曲线:2C c =,又3y x =为双曲线C 的一条渐近线 ∴3b a = 解得 221,3a b ==, ∴双曲线C 的方程为2 213 y x -= (Ⅱ)解法一: 由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程:114,(,)y kx A x y =+,22(,)B x y ,则4(,0)Q k -. 1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y k k λ∴--=+. 1111111 14444()44x k k x k k y y λλλλ? =--??-=+?? ∴?????-==-??? 11(,)A x y 在双曲线C 上, ∴21211 11616()10k λλλ+--=. ∴222211161632160.3 k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3 k k λλ-++-= 同理有:2222216(16)32160.3 k k λλ-++-= 若2160,k -=则直线l 过顶点,不合题意.2160,k ∴-≠ 12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根. 122 328 163k λλ∴+= =--,24k ∴=,此时0,2k ?>∴=±. ∴所求Q 的坐标为(2,0)±. 解法二:由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程,11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+,则4(,0)Q k -. 1PQ QA λ=, Q ∴分PA 的比为1λ. 由定比分点坐标公式得 111111 1111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ??-==-+??+??→? ?+??=- =??+?? 下同解法一 解法三:由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程:11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+,则4(,0)Q k -. 12PQ QA QB λλ==, 111222444(,4)(,)(,)x y x y k k k λλ∴--=+=+. 11224y y λλ∴-==, 114y λ∴=-,22 4y λ=-, 又1283 λλ+=-, 12 1123 y y ∴+=,即12123()2y y y y +=. 将4y kx =+代入2 213 y x -=得222(3)244830k y y k --+-=. 230k -≠,否则l 与渐近线平行. 212122224483,33k y y y y k k -∴+== --. 222 244833233k k k -∴?=? --.2k ∴=± (2,0)Q ∴±. 解法四:由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零,设l 的方程:4y kx =+,1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k - 1PQ QA λ=,11144 (,4)(,)x y k k λ∴- -=+. ∴1114 444k kx x k λ- = =-++.同理 124 4 kx λ=- +. 1212448 443 kx kx λλ+=- -=-++. 即 2121225()80k x x k x x +++=. (*) 又 22413y kx y x =+?? ?-=?? 消去y 得2 2 (3)8190k x kx ---=. 当230k -=时,则直线l 与双曲线得渐近线平行,不合题意,230k -≠. 由韦达定理有: 12212283193k x x k x x k ? +=??-??=-?-? 代入(*)式得 24,2k k ==±. ∴所求Q 点的坐标为(2,0)±. 例11. 设动点P 到点A (-l ,0)和B (1,0)的距离分别为d 1和d 2, ∠APB =2θ,且存在常数λ(0<λ<1=,使得d 1d 2 sin 2θ=λ. (1)证明:动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程; (2)过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON =0,其中点O 为坐标原点. [考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. [解答过程]解法1:(1)在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-, 2212124()4sin d d d d θ=-+,即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<(常数) , 点P 的轨迹C 是以A B , 为焦点,实轴长2a = 方程为:22 11x y λλ -=-. (2)设11()M x y ,,22()N x y , ①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ,,(11)N -,在双曲线上. 即2111101λλλλ λ-=?+-=?-01λ<< ,所以λ=. ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-. 由22 11(1)x y y k x λλ ?-=? -??=-? 得:2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ??--+---+=??, 由题意知:2(1)0k λλ??--≠??,所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2 122 (1)()(1)k x x k λλλλ--+=--. 于是:22 21212 2 (1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--. 因为0=?ON OM ,且M N ,在双曲线右支上,所以 2121222 122212(1)0(1)210 11310 01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-?+=?-?=?>???+-+>??<<+--??????>+->>???-? . 由①② 23 λ<. 解法2:(1)同解法1 (2)设11()M x y ,,22()N x y ,,MN 的中点为00()E x y ,. ①当121x x ==时,221101MB λλλλλ=-=?+-=-, 因为01λ<< ,所以λ ②当12x x ≠ 时,002 2222 12111 11 1y x k y x y x MN ?-=????????=--=--λλλλλ λ. 又001 MN BE y k k x ==-.所以22 000(1)y x x λλλ-=-; 由2MON π=∠得2 22002MN x y ??+= ???,由第二定义得2 212()222MN e x x a ??+-??= ???? ??? 2 20001(1)21x x λλ ==+---. C B A o y x 所以22 2000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-. 于是由22 000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x λλλλλλλ?-=-??-=--+-?? 得20(1).23x λλ-=- 因为01x >,所以2 (1)123λλ ->-,又01λ<<, 23 λ<<.由①② 23 λ<. 考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何知识建立等量关系容易. 例12.设椭圆E 的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上, 过点C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点, 且CA 2BC =,求当AOB ?的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程. 222x 3y t(t 0)+=>,直线方程为my x 1=+, 由222x 3y t my x 1 ?+=?=+?得:22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=,设1122A(x ,y ),B(x ,y ), 则1224m y y 2m 3 +=+…………① 又CA 2BC =,故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---,即12y 2y =-…………② 由①②得:128m y 2m 3= +,2 24m y 2m 3 -=+, 则AOB 122 1m S |y y |6| |2 2m 3 ?=-=+ =632|m ||m | ≤ + 当23m 2 = ,即m =AOB ?面积取最大值, 此时2122 222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==- ++,即t 10=, 所以,直线方程为x 10+=,椭圆方程为222x 3y 10+=. 小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13 .已知PA (x y)= ,PB (x y)=,且|PA ||PB |6+=, 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值. 解答过程:设P(x,y) ,A( ,, 因为|PA ||PB |6+= ,且|AB |6=, 所以,动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点,长轴长为6的椭圆, 椭圆方程为22 x y 19 4 +=,令x 3cos ,y 2sin =θ=θ, 则|2x 3y 12|-- =|)12|4 πθ+-, 当cos()14 πθ+=-时,|2x 3y 12|-- 取最大值12+ 当cos()14 πθ+=时,|2x 3y 12|-- 取最小值12-小结:利用椭圆的参数方程,可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 解析几何中求变量的范围,一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例14.(2006年福建卷) 已知椭圆2 212 x y +=的左焦点为F , O 为坐标原点. (I )求过点O 、F ,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程; (II )设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考 查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力. 解答过程:(I )222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F , ∴圆心M 在直线12 x =-上. 设1(,),2 M t -则圆半径13()(2).22 r =---= 由,OM r = 3,2 解得t = ∴ 所求圆的方程为2219()(.2 4 x y ++= (II )设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠ 代入2 21,2 x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-= 直线AB 过椭圆的左焦点F ,∴方程有两个不等实根. 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则2 122 4,21 k x x k +=-+ AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k -=-- 令0,y =得 222002222211 . 2121212421 0,0, 2 G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<< ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2 - 例15.已知双曲线C :22 2 2x y 1(a 0,b 0)a b -=>>,B 是右顶点,F 是右焦点,点A 在x 轴正半轴上,且满足|OA |,|OB |,|OF |成等比数列,过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P , (1)求证:PA OP PA FP ?=?; (2)若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ,求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程:(1)因|OA |,|OB |,|OF |成等比数列,故22|OB |a |OA |c |OF | ==,即2 a A(,0)c , 直线l :a y (x c)b =--, 由2a y (x c)a ab b P(,)b c c y x a ? =--???? ?=?? , 故:22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-, 则:22 2a b PA OP PA FP c ?=-=?,即PA OP PA FP ?=?; (或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0?-=?-=?=,即PA OP PA FP ?=?) (2)由44422 222222222222 a y (x c)a a a c ( b )x 2cx (a b )0b b b b b x a y a b ?=--??-+-+=??-=? , 由42 222124 22 a c (a b ) b x x 0a b b -+=<-得:4422222b a b c a a e 2e >?=->?>?> (或由DF DO k k >?a b b a - >-?22222b c a a e 2e =->?>?> 小结:向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重,而要运用数量积,必须先恰当地求出各个点的坐标. 例16.已知a (x,0)=,b (1,y)=,(a 3b)(a 3b)+⊥-, (1)求点P(x,y)的轨迹C 的方程; (2)若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点,D(0,1)-,且|AD ||BD |=, 试求m 的取值范围. 解答过程:(1)a 3b +=(x,0)y)(x +=+, a 3 b -=(x,0)y)(x -=-, 因(a 3b)(a 3b)+⊥-,故(a 3b)(a 3b)0+?-=, 即22 (x (x x 3y 30+?=--=, 故P 点的轨迹方程为2 2x y 13 -=. (2)由22 y kx m x 3y 3 =+?? -=?得:222 (13k )x 6kmx 3m 30----=, 设1122A(x ,y ),B(x ,y ),A 、B 的中点为00M(x ,y ) 则2 2 2 2 2 (6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0?=----=+->, 1226km x x 13k += -,1202x x 3km x 213k +==-,002 m y kx m 13k =+=-, 即A 、B 的中点为22 3km m (,)13k 13k --, 则线段AB 的垂直平分线为:22m 13km y ()(x )13k k 13k -=----, 将D(0,1)-的坐标代入,化简得:2 4m 3k 1=-, 则由222 m 13k 04m 3k 1?+->??=-??得:2 m 4m 0->,解之得m 0<或m 4>, 又2 4m 3k 11=->-,所以1m 4 >- , 故m 的取值范围是1(,0) (4,)4 -+∞. P Q C B A x y O 小结:求变量的范围,要注意式子的隐含条件,否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题,其一般解法是先假设命题存在,用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标,再根据合理的推理,若能推出题设中的系数,则存在性成立,否则,不成立. 例17.已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点,点A 是长轴的一个顶点,BC 过椭圆的中心O ,且AC BC 0?=, |BC |2|AC |=, (1)求椭圆的方程; (2)如果椭圆上的两点P ,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ,是否总存在实数λ,使得PQ λAB =?请说明理由; 解答过程:(1)以O 为原点,OA 所在直线为x 轴建立 平面直角坐标系,则A(2,0), 设椭圆方程为 22 2x y 14b +=,不妨设C 在x 轴上方, 由椭圆的对称性,|BC |2|AC |2|OC ||AC ||OC |==?=, 又AC BC 0?=AC OC ?⊥,即ΔOCA 为等腰直角三角形, 由A(2,0)得:C(1,1),代入椭圆方程得:24b 3 = , 即,椭圆方程为22 x 3y 144 +=; (2)假设总存在实数λ,使得PQ λAB =,即AB//PQ , 由C(1,1)得B(1,1)--,则AB 0(1)1 k 2(1)3 --= =--, 若设CP :y k(x 1)1=-+,则CQ :y k(x 1)1=--+, 由22 222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044 y k(x 1)1?+ =??+--+--=??=-+? , 由C(1,1)得x 1=是方程2 2 2 (13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根, 由韦达定理得:2P P 23k 6k 1x x 113k --=?=+,以k -代k 得2Q 2 3k 6k 1 x 13k +-=+, 故P Q P Q PQ P Q P Q y y k(x x )2k 1 k x x x x 3 -+-= = = --,故AB//PQ , 即总存在实数λ,使得PQ λAB =. 评注:此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等,是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题,一般情况下,是把直线的方程和曲线的方程组成方程组,进一步来判断方程组的解的情况,但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18.设G 、M 分别是ABC ?的重心和外心,A(0,a)-,B(0,a)(a 0)>,且GM AB =λ, (1)求点C 的轨迹方程; (2)是否存在直线m ,使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点,且OP OQ 0?=?若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由. 解答过程:(1)设C(x,y),则x y G(,)33 , 因为GM AB =λ,所以GM//AB ,则x M(,0)3 , 由M 为ABC ?的外心,则|MA ||MC |= = 整理得:22 22x y 1(x 0)3a a +=≠; (2)假设直线m 存在,设方程为y k(x a)=-, 由22 22y k(x a)x y 1(x 0) 3a a =-???+=≠??得:22222 (13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=, 设1122P(x ,y ),Q(x ,y ),则21226k a x x 13k +=+,221223a (k 1) x x 13k -=+, 2 2 2 12121212y y k (x a)(x a)k [x x a(x x )a ]=--=-++=22 2 2k a 13k -+, 由OP OQ 0?=得:1212x x y y 0+=, 即 2222 22 3a (k 1)2k a 013k 13k --+=++,解之得k = 又点(a,0)在椭圆的内部,直线m 过点(a,0), 故存在直线m ,其方程为y a)=-. 小结:(1)解答存在性的探索问题,一般思路是先假设命题存在,再推出合理或不合理的结果,然后做出正确的判断; (2)直线和圆锥曲线的关系问题,一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1.如果双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是1y x 3 =±,那么双曲线方程是() A .22 x y 1369 -= B .22x y 1819-= C .22x y 19-= D .22x y 1183-= 2.已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线22 22x y 12m 3n -=有公共的焦点,那么双曲线的的渐近线方程为( ) A.x = B. y = C. x = D. y = 3.已知12F ,F 为椭圆22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的焦点,M 为椭圆上一点,1MF 垂直于x 轴, 且12FMF 60∠=?,则椭圆的离心率为( ) A.12 B.2 4.二次曲线22x y 14m +=,当m [2,1]∈--时,该曲线的离心率e 的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.直线m 的方程为y kx 1=-,双曲线C 的方程为22x y 1-=,若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点, 则实数k 的取值范围是( ) A.( B. C.[ D. 6.已知圆的方程为22x y 4+=,若抛物线过点A(1,0)-,B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为( ) A. 22 x y 1(y 0)34 +=≠ B. 22x y 1(y 0)43+=≠ 解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从 的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最短距离。 图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y=-1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地, 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为() 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为() A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|=|QP|, 而|QM|=|OM|-|OQ|=2-|OQ| 即|OQ|+|QP|=2>|OP|= 故Q的轨迹是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5,已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围 0 180 (2)经过两点的直线的斜率公式是 (3)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ,其斜率分别为k1, k2 ,则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地, 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时,l1与l2 的关系为平行。 (2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在,设为k1, k2 ,则l1 l2 k1 k2 1 注:两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率 之积为 -1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时, l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点,k 为斜率 斜截式k 为斜率, b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距, b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或 线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ,B,C 为系数无限制,可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是,两条 直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条 直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平 行;反之,亦成立。 2.几种距离 (1 )两点间的距离平面上的两点间的距离公式 (2)点到直线的距离 点到直线的距离; (3)两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注:(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; (2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用 公式计算 (二)直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法: 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ,则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。 解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最短距离。 图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y=-1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|=|QP|, 而|QM|=|OM|-|OQ|=2-|OQ| 即|OQ|+|QP|=2>|OP|= 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。 解析几何解答题 1、椭圆G :)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2,短轴两端点B 1、B 2,已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆,且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为.25 (1)求此时椭圆G 的方程; (2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ,Q 为EF 的中点,问E 、F 两点能否关于 过点P (0, 3 3)、Q 的直线对称若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由. ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、,动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . (Ⅰ)求k 的取值范围,并求21x x -的最小值; (Ⅱ)记直线11P A 的斜率为1k ,直线22P A 的斜率为2k ,那么,12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ,点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (1)求抛物线 C 的方程。 ~ (2)证明:点F 在直线BD 上; (3)设8 9 FA FB ?=,求BDK ?的面积。. { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率为1 2 ,点P (2,3)、A B 、在该椭圆上,线段AB 的中点T 在直线OP 上,且A O B 、、三点不共线. (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率; (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值. - 、 三、解答题 26.(江苏18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点, 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k (1)当直线PA 平分线段MN ,求k 的值; (2)当k=2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解:(1)由题设知,),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -,由于直线PA 平分线段MN ,故直线PA 过线段MN 的中点,又直线PA 过 坐标 原点,所以 .22122 =-- = k (2)直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线 . 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 (3)解法一: 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二: 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ,AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上,所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 数学解析几何经典例题~ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.双曲线x 22-y 21 =1的焦点坐标是( ) A .(1,0),(-1,0) B .(0,1),(0,-1) C .(3,0),(-3,0) D .(0,3),(0,-3) 解析: c 2=a 2+b 2=2+1,∴c = 3. ∴焦点为(3,0),(-3,0),选C. 答案: C 2.“a =1”是“直线x +y =0和直线 x -ay =0互相垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析: 当a =1时,直线x +y =0与直线x -y =0垂直成立; 当直线x +y =0与直线x -ay =0垂直时,a =1. 所以“a =1”是“直线x +y =0与直线x -ay =0互相垂直”的充要条件. 答案: C 3.(2010·福建卷)以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A .x 2+y 2+2x =0 B .x 2+y 2+x =0 C .x 2+y 2-x =0 D .x 2+y 2-2x =0 解析: 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为(1,0),故以(1,0)为圆心,且过坐标原点的圆的半径为r =12+02=1,所以圆的方程为(x -1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x =0,故选D. 答案: D 4.方程mx 2+y 2=1所表示的所有可能的曲线是( ) A .椭圆、双曲线、圆 B .椭圆、双曲线、抛物线 C .两条直线、椭圆、圆、双曲线 D .两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析: 当m =1时,方程为x 2+y 2=1,表示圆;当m <0时,方程为y 2-(-m )x 2=1,表示双曲线;当m >0且m ≠1时,方程表示椭圆;当m =0时,方程表示两条直线. 答案: C 5.直线2x -y -2=0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2 所得的直线方程是( ) A .-x +2y -4=0 B .x +2y -4=0 C .-x +2y +4=0 D .x +2y +4=0 解析: 由题意知所求直线与直线2x -y -2=0垂直. 又2x -y -2=0与y 轴交点为(0,-2). 故所求直线方程为y +2=-12 (x -0), 即x +2y +4=0. 答案: D 6.直线x -2y -3=0与圆C :(x -2)2+(y +3)2=9交于E 、F 两点,则△ECF 的面积为 ( ) A.32 B.34 C .2 5 D.355 高中数学解析几何公式 1、 两点间距离:若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-= 平行线间距离:若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则:2 2 21B A C C d +-= 2、 点到直线的距离:0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为:2 2 B A C By Ax d +++= 3、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式:? ??=+=0)y ,x (F b kx y 消y :02 =++c bx ax ,务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则:2122))(1(x x k AB -+= 4、 若A ),(),,(2211y x B y x ,P (x ,y )。P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为λ, 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ,特别地:λ=1时,P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后:y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 5、 (1)倾斜角α,),0(π∈α; (2)]0[,π∈θθ→ →,,夹角b a ; (3)直线l 与平面]2 0[π ∈ββα,,的夹角; (4)l 1与l 2的夹角为θ,∈θ]2 0[π,,其中l 1//l 2时夹角θ=0; (5)二面角,θ],0(π∈α; (6)l 1到l 2的角)0(π∈θθ,, 6、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系 直线和圆的方程 一、知识导学 1.两点间的距离公式:不论A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在坐标平面上什么位置,都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-,特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2-x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x ,y )之间数量关系的一个公式,其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点, B 为终点,P 为分点,则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时,λ=1,此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率. (2)斜率存在的直线,其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多,但必须注意各种 5.两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时,tan θ= 2 11 21k k k k +-, 当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到:“到角”公式与“夹角”公式的 区别. 6.怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断. (1)斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=, l 2∶22b x k y +=,有以下结论: ①l 1∥l 2?1k =2k ,且b1=b2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 (2)对于直线l 1∶0111=++C y B x A ,l 2 ∶0222=++C y B x A ,当A 1,A 2,B 1, B 2都不为零时,有以下结论: ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7.点到直线的距离公式. (1)已知一点P (00,y x )及一条直线l :0=++C By Ax ,则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++; (2)两平行直线l 1: 01=++C By Ax , l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 (1)圆的标准方程:222)()(r b y a x =-+-,其中(a ,b )是圆心坐标,r 是圆的半径; (2)圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x (F E D 42 2-+>0),圆心坐标 为(-2D ,-2 E ),半径为r =2422 F E D -+. 1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上, 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。(3分) 2 .已知m >1,直线2:02 m l x my --=,椭圆2 22:1x C y m +=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设 直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F ,12BF F 的重心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范 围.(6分) 3已知以原点O 为中心,)5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =。 (I ) 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程; (II ) 如题(20)图,已知过点 ()11,M x y 的 直线111:44 l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直线 222:44l x x y y +=的交点E在双 曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分 别交与G、H 两点,求OGH ?的面 积。(8分) 4.如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12·1k k =;(Ⅲ)是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.(7分) 上海高二数学解析几何经典例题轨迹方程 1、已知反比例函数y 1 的图像 C 是以x轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线.x (1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标; (2)设A1、A2为双曲线C的两个顶点,点M ( x0, y0)、N ( y0, x0)是双曲线C上不同的两个动点.求直线A1 M 与 A2 N 交点的轨迹E的方程; ( 3)设直线l过点P ( 0, 4),且与双曲线C交于A、B两点,与x轴交于点Q.当PQ1 QA2QB,且 128 时,求点 Q 的坐标. 2、在平面直角坐标系xOy 内,动点P到定点 F ( 1 , 0)的距离与 P 到定直线 x4的距离之比为 1 . ( 1)求动点P的轨迹C的方程; 2( 2)若轨迹C上的动点N到定点M (m , 0)(0m 2 )的距离的最小值为1,求m的值. ( 3)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、 B1,且直线OA、 OB 的斜率之积等于3 ,问四边形 ABA1 B1的面积S是否为定值?请说明理由.4 3、动点P与点F (0,1)的距离和它到直线l : y1的距离相等,记点P 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2) 设点A 0,a (a 2 ) ,动点T在曲线C上运动时,AT 的最短距离为a 1 ,求a的值以及取到最小值时点 T 的坐标; (3) 设P1, P2为曲线C的任意两点,满足OP1OP2(O为原点),试问直线 P1P2是否恒过一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由. 4、 已知椭圆C : a2b21(a b0) 的右焦点为 F 1,0 ,且点 P(1,2) 在椭圆 C 上.x2y23 (1)求椭圆C的标准方程; ( 2)过椭圆 x2y2 1上异于其顶点的任意一点Q 作圆 O : x2y24的两条切线,切点分别为C1 :2 5 a b23 3 M , N (M , N 不在坐标轴上),若直线MN在 x 轴, y 轴上的截距分别为m, n, 证明:11 为定值; 3m2n2 (3)若 P1 , P2是椭圆 C2 : x2 3 y2 1上不同的两点, PP12x 轴,圆E过 P1 , P2 , 且椭圆 C 2上任意一点都不a2b2 在圆 E 内,则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆. 试问:椭圆C2 是否存在过左焦点 F 1 的内切圆?若存在,求出圆 心 E 的坐标;若不存在,请说明理由. 平面解析几何(经典)练习题 一、选择题 1.方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 ( ) A .2条重合的直线 B .2条互相平行的直线 C .2条相交的直线 D .2条互相垂直的直线 2.直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称,l 1的方程为y = ax + b ,那么l 2的方程为 ( ) A .a b a x y -= B .a b a x y += C .b a x y 1 += D .b a x y += 3.过点A (1,-1)与B (-1,1)且圆心在直线x+y -2=0上的圆的方程为 ( ) A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .4(x +1)2+(y +1)2=4 D .(x -1)2+(y -1)2= 4.若A(1,2),B(-2,3),C(4,y )在同一条直线上,则y 的值是 ( ) A .2 1 B .23 C .1 D .-1 5.圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 ( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .随a 值变化而变化 6.已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y -++=相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A .22(5)(7)25x y -++= B .22(5)(7)3x y -++= 或22(5)(7)15x y -++= C .22(5)(7)9x y -++= D .22(5)(7)25x y -++= 或22(5)(7)9x y -++= 7.直线kx -y +1=3k ,当k 变动时,所有直线都通过定点 ( ) A .(0,0) B .(0,1) C .(3,1) D .(2,1) 8.下列说法的正确的是 ( ) A .经过定点() P x y 000,的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B .经过定点()b A ,0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C .不经过原点的直线都可以用方程 x a y b +=1表示 D .经过任意两个不同的点() ()222111y x P y x P ,、,的直线都可以用方程 ()()()()y y x x x x y y --=--121121表示 9.已知两定点A (-3,5),B (2,15),动点P 在直线3x -4y +4=0上,当PA +PB 取 最小值时,这个最小值为 ( ) A .513 B .362 C .155 D .5+102 平面解析几何式卷七 一、选择题 1、从点P (m , 3)向圆(x + 2)2 + (y + 2)2 = 1引切线, 则一条切线长的最小值为 A . B .5 C . D . 2、若曲线x 2-y 2 = a 2与(x -1)2 + y 2 = 1恰有三个不同的公共点, 则a 的值为 A .-1 B .0 C .1 D .不存在 3、曲线有一条准线的方程是x = 9, 则a 的值为 A . B . C . D . 4、参数方程 所表示的曲线是 A .椭圆的一部分 B .双曲线的一部分 C .抛物线的一部分, 且过点 D .抛物线的一部分, 且过点 5、过点(2, 3)作直线l , 使l 与双曲线 恰有一个公共点, 这样的直线l 共有 A .一条 B .二条 C .三条 D .四条 6、定义离心率为 的椭圆为“优美椭圆”, 设(a > b > 0)为“优美椭圆”, F 、A 分别是它的左焦点和右顶点, B 是它的短轴的 一个端点, 则D ABF 为 A .60°B .75°C .90°D .120° 7、在圆x 2 + y 2 = 5x 内, 过点 有n 条弦的长度成等差数列, 最小弦长为数列的首项a , 最大弦长为a n , 若公差, 则n 的 取值集合为 A . B . C . D . 8、直线与圆x 2 + y 2 = 1在第一象限内有两个不同的交点, 则m 的取值范围是 A .1 < m < 2 B . C . D . 二、填空题 1若直线过点(1,2),(3,24 ),则此直线的倾斜角是 2、已知直线l 的斜率[] 3,1-∈k ,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 。 3、设直线过点()a ,0,其斜率为1,且与圆22 2=+y x 相切,则a 的值为 。 4、若过点A (4,0)的直线l 与曲线()1222=+-y x 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 。 5、“1=a ”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的 条件。(在① 充分不必要;② 必要不充分;③ 充要;④ 既不充分也不必要中选一个填空) 6、 已知圆M 经过直线l :042=-+y x 与圆C : 01422 2=+-++y x y x 的两个交点,并且有最小面积,则圆M 的方程为 。 7、 在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有 条。 8、 如果点()a ,5在两条平行直线05430186=+-=+-y x y x 和之间,且a 为整数,则=a 41log 。 三、解答题 1、求经过点)2,1(A 且到原点的距离等于1的直线方程. 2、已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为 21的点的轨迹,则求此曲线的方程. 3、求垂直于直线0743=--y x ,且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程 4、.自点A(-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切,求光线L 所在直线的方程. 5、已知三点A(1,-1),B(4,2m),C(2m ,0)共线,求m 的值. 6、已知直线(a+2)x+(a 2-2a-3)y-2a=0在x 轴上的截距为3,求直线在y 轴上的截距. 7、.求经过点A(-3,4),且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程. 8、求经过两点A(-1,4)、B(3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程. 参考答案 选择1、A2、B3、D4、D5、D6、C7、A 8、A 填空1、6π2、????????????πππ,433,0Y 。3、 2± 4、1- 5、③ 6、545145322=??? ??-+??? ??-y x 7、2 8、 ?? ????-3333, 典型例题 双曲线定义与几何性质 例1 -3,0),F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是到两定点F 1( [ ] A.椭圆B.线段 C.双曲线D.两条射线答案: D 评注 在椭圆和双曲线的定义中,仅是“和”与“差”一字的区别,其它完全一致.但它们的图象却完全不同了.此题易忽略双曲线条件,而选D 例2 [ ] A.k>5 B.k>5或-2<k<2 C.k>2或k<-2 D.-2<k<2 略解 ∵方程的图形是双曲线,∴(k-5)(|k|-2)>0 解得k>5或-2<k<2,故选B. 例3 [ ] A.四个焦点共圆 B.互为共轭双曲线 C.都是等轴双曲线 答案: D 注意: 两双曲线有共同的渐近线是两双曲线互为共轭双曲线的必要不充分条件. 例4 设θ是第四象限的角,那么方程x2sinθ+y2=sin2θ所示的曲线是 [ ] A.焦点在x轴上的椭圆; B.焦点在y轴上的椭圆; C.焦点在x轴上的双曲线; D.焦点在y轴上的双曲线. 解: ∴sinθ<0,且2θ∈(4nπ-π,4nπ),(n∈Z),sin2θ<0, 双曲线的实轴在x轴上,故应选(C). 评注: 1.本题涉及的知识点是:双曲线的标准方程. 2.判断ax2+by2=c的曲线,首先按ab>0与ab<0划分为两大类:ab>0时,为椭圆;ab<0时,为双曲线.再在每一类中,按ac的正负及bc的正负进行讨论, 其结论可列表如下: 3.对方程ax2+by2=c的曲线的判断,需正确掌握椭圆、双曲线的标准方程和把握划分的标准. 例5 交点个数为 [ ] A.1;B.2; C.3;D.0. 解: 过右焦点(5,0),倾角为45°的直线方程为y=x-5. 评注: 1.本题涉及的知识点是:双曲线方程、焦点坐标、直线方程和直线与二次曲线的交点. 2.直线与双曲线交点的个数,一般可以从直线方程与双曲线方程构成的方程组的实数解的个数来判断. 空间解析几何例题公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 第4章 向量代数与空间解析几何习题解答 习题 一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()2 22)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 3.设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小. 解:因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--= 力矩()()k j i k j i F M 53232++-?-+-=?= k j i k j i k j i 41614321 2523253315 32312-+=--+-----=---= 所以,力矩的大小为 ()136416142 22=-++=M 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()052525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以 ()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π () 30 3 25110cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?++= -++?++?= =z y x z y x a x 整理得 10 3 222= ++z y x (3) 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为?? ? ??-51,21,101 5.用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平 分, 则该四边形为平行四边形. 证明:如图所示,因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分,则有 MA CN ND BM ==, 由矢量合成的三角形法则有MA BM BA += MA BM BM MA MD CM CD +=+=+= 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角 的范围0 180 (2)经过两点的直线的斜率公式是 (3)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线 12,l l ,其斜率分别为 12,k k ,则有1212//l l k k 。特别地, 当直线12,l l 的斜率都不存在时, 12l l 与的关系为平行。 (2)两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ,则1212 1 l l k k g 注:两条直线 12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为 -1,这句话不正确;由两直线的斜率 之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中 有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相垂直。 二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式 已知条件 局限性点斜式为直线上一定点, k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线斜截式k 为斜率,b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距, b 是直 线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或 过原点的直线 一般式A,B,C为系数无限制,可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是,两条 直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条 直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平 行;反之,亦成立。 2.几种距离 (1)两点间的距离平面上的两点间的距离公式 (2)点到直线的距离 点到直线的距离; (3)两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注:(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; (2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用 公式计算 (二)直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法: 已知112233 (,),(,),(,), x x x k k 或,则有A、B、C三点共 A x y B x y C x y若123AB AC 线。 注:斜率变化分成两段,0 90是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。解析几何经典例题
平面解析几何经典题(含答案)
解析几何经典例题
高中数学解析几何大题专项练习
解析几何大题带规范标准答案
数学 解析几何 经典例题 附带答案
解析几何(经典题型)
高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)
高考解析几何压轴题精选(含答案)
上海高二数学解析几何经典例题
平面解析几何(经典)习题
高中平面解析几何习题(含答案与解析)
解析几何典型例题
空间解析几何例题
平面解析几何-经典题(含答案)