上海高二数学解析几何经典例题

上海高二数学解析几何经典例题轨迹方程

1、已知反比例函数y 1

的图像 C 是以x轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线．x

（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；

（2）设A1、A2为双曲线C的两个顶点，点M ( x0, y0)、N ( y0, x0)是双曲线C上不同的两个动点．求直线A1 M 与 A2 N 交点的轨迹E的方程；

（ 3）设直线l过点P ( 0, 4)，且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．当PQ1 QA2QB，且

128 时，求点 Q 的坐标．

2、在平面直角坐标系xOy 内，动点P到定点 F ( 1 , 0)的距离与 P 到定直线 x4的距离之比为 1 ．

（ 1）求动点P的轨迹C的方程；

2（ 2）若轨迹C上的动点N到定点M (m , 0)（0m 2 ）的距离的最小值为1，求m的值．

（ 3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、 B1，且直线OA、

OB 的斜率之积等于3

，问四边形 ABA1 B1的面积S是否为定值？请说明理由．4

3、动点P与点F (0,1)的距离和它到直线l : y1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线 C ．

(1)求曲线 C 的方程；

(2) 设点A 0,a (a 2 ) ,动点T在曲线C上运动时，AT 的最短距离为a 1 ，求a的值以及取到最小值时点 T 的坐标；

(3) 设P1, P2为曲线C的任意两点，满足OP1OP2(O为原点)，试问直线 P1P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．

4、

已知椭圆C : a2b21(a b0)

的右焦点为

F 1,0

，且点

P(1,2)

在椭圆

上．x2y23

（1）求椭圆C的标准方程；

（ 2）过椭圆

x2y2

1上异于其顶点的任意一点Q 作圆 O : x2y24的两条切线，切点分别为C1 :2

a b23

M , N (M , N 不在坐标轴上），若直线MN在 x 轴， y 轴上的截距分别为m, n, 证明：11

为定值；

3m2n2

（3）若

P1 , P2是椭圆 C2 :

x2 3 y2

1上不同的两点， PP12x 轴，圆E过 P1 , P2 , 且椭圆 C 2上任意一点都不a2b2

在圆

E 内，则称圆

为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆C2

是否存在过左焦点

1 的内切圆？若存在，求出圆

心 E 的坐标；若不存在，请说明理由．

5、曲线C是平面内到直线l1 : x1和直线 l2 : y 1的距离之积等于常数k2 (k 0) 的点的轨迹，设曲线C的轨迹方程 f ( x, y)0 ．

（1）求曲线C的方程 f (x, y)0 ；

（2）定义：若存在圆M 使得曲线 f ( x, y) 0 上的每一点都落在圆M 外或圆 M 上，则称圆 M 为曲线

f (x, y) 0 的收敛圆．判断曲线 f ( x, y)0 是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明

理由．

1、已知反比例函数 y

1 的图像 C 是以 x 轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线．

（ 1）求双曲线 C 的顶点坐标与焦点坐标；

（ 2）设 A 1 、 A 2 为双曲线 C 的两个顶点，点 M ( x 0 , y 0 ) 、 N ( y 0 , x 0 ) 是双曲线 C 上不同的两个动点．求直

线 A 1 M 与 A 2 N 交点的轨迹 E 的方程；

（ 3）设直线 l 过点 P ( 0, 4) ，且与双曲线 C 交于 A 、 B 两点，与 x 轴交于点 Q ．当 PQ

1 QA

2QB ，

且 1

8 时，求点 Q 的坐标．

解：（ 1）顶点： A 1 ( 1, 1) 、 A 2 (1,1) ，焦点： F 1 ( 2, 2) 、 F 2( 2, 2) 为焦点

（2）解一： A 1M ： y

1 y 0

1) ， A 2 N ： y 1

x 0

1( x 1)

--------------2 分

x 0

y 0 1

两式相乘，得 y

y 0 1 x 0 1

( x 2

1) ．将 y 0

1 代入上式，得 y

2 1 ( x 2

1) ，即 x 2

y 2 2 ．

x 0 1 y 0 1

x 0

即直线 A 1 M 与 A 2 N 交点的轨迹

E 的方程为 x 2

y 2 2 （ x

1 ）． --------------------1 分

x 0

x x y y 2 ,

解二：联立直线方程，解得

2 .

y 0 x y

y 0

1 ，即 x

y 2 y x 2 1，化简，得 x 2 y 2 2 ．

x 0 x y x y

所以，直线 A M 与 A N 交点的轨迹 E 的方程为 2 2

2（ x

）．

x y

（3）直线 l 斜率不存在或为 0 时显然不满足条件； 4 设直线 l ： y kx 4 ， ( 1 , 1 ) ， 2 2 ，则

A x y B( x , y ) Q( ,0)

，得 kx 2

， x 1 x 2

1 ．

将 y

kx 4 代入 y

4x 1 0 ， x 1

x 2

1 QA

2QB ，

, 4

1 x

, y 1

2 x

, y 2 ，

8 ，即 k ( x 1

x 2 ) 8 2(kx 1

4)(kx 2 4) ，解得 k

2 ，

Q( 2,0) ．

kx 1

4 kx 2 4

解二：将

y 4 代入 y

1 ，得 y

2 4 y k 0 ， y 1

y 2 4 ， y 1 y 2

1 QA

2 QB

, 4

, y 1

, y 2

，

， 2

．

y 1

y 2

又 1

8 ，

1 2 ，即 y 1 y 2 2 y 1 y 2 ．

y 1

y 2

4 2( k ) k 2 ，

Q(2,0) ．

面积

2、在平面直角坐标系 xOy 内，动点 P 到定点 F ( 1 , 0) 的距离与 P 到定直线 x

4 的距离之比为 1 ．

（ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；

（ 2）若轨迹 C 上的动点 N 到定点 M (m , 0) （

0 m 2 ）的距离的最小值为 1，求 m 的值．

（ 3）设点 A 、 B 是轨迹 C 上两个动点，直线 OA 、OB 与轨迹 C 的另一交点分别为

A 1 、

B 1 ，且直线 OA 、

OB 的斜率之积等于

3 ，问四边形 ABA 1 B 1 的面积 S 是否为定值？请说明理由．

（1）设 P( x , y) ，由题意，

( x 1)2 y 2

，化简得 3x 2 4 y 2 12 ，

| x 4 | 2

所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为

x 2

y 2 1．

（2）设

，则

2 2

x 2

2 2

N (x , y)

|MN |

y (x

3 1

4xmx

( x 4m)2 3(1 m 2 ) ， 2 x 2 ．

①当 0 4m

2，即 0 m 时，当 x 4m 时， | MN |2 取最小值 3(1 m 2 )

1，

解得 m 2

2 ， m

6 ，此时 x 4 6 2 ，故舍去．

②当 4m

2 ，即 1

m 2时，当 x 2

m 1

m 3

时，

|MN |

取最小值

m 4m 4 1

，解得

，或

（舍）．

综上， m

1 ．

（3）解法一：设 (

, y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，则由 k OA

3 y 1 y 2 3

，（1 分）

A x 1

，得

x 1x 2

| AB|

( x 1 x 2 )2 ( y 1 y 2 )2 ，因为点 A 、 B 在椭圆 C 上，所以 y 12

3 1 x 12 ， y 22 3 1 x 22 ，

4 所以， 9x 12 x 22 16 y 12 y 22 9(4 x 12 )( 4 x 22 ) ，化简得 x 12 x 22 4 ．

①当 x 1

x 2 时，则四边形 ABA 1 B 1 为矩形， y 2

y 1 ，则

y 12

3 ，

x 12 4

由 y 12

3 1 x 12

，得 3

x 12 3

1 x 12

，解得 x 12 2 ， y 12 3 ， S

|AB| | A 1B | 4 | x 1 || y 1 |

4 3 ．

4 4 4

②当 x 1

x 2 时，直线 AB 的方向向量为 d ( x 2 x 1 , y 2 y 1) ，直线 AB 的方程为

( y 2 y 1 ) x ( x 2

x 1 ) y

x 2 y 1 x 1y 2 0 ，原点 O 到直线 AB 的距离为 d

| x 1 y 2 x 2 y 1 |

( x 2

x 1)

( y 2 y 1 )

所以，△

AOB 的面积 S AOB

| AB | d

| x 1 y 2 x 2 y 1 |，根据椭圆的对称性，四边形 ABA 1B 1 的面积

AOB

2 | x 1 y 2 x 2 y 1 |，所以， S 2 4( x 1 y 2 x 2 y 1) 2 4( x 12 y 22 2 x 1 x 2 y 1 y 2 x 22 y 12 ) 4 3x 12

1 x 22

x 12 x 22 3x 22 1

x 12

12( x 12 x 22 ) 48 ，所以 S

4 3 ．

所以，四边形 ABA 1 B 1 的面积为定值 4 3 ．

解法二：设 A(x 1

y 1 )

， B(x 2 , y 2 ) ，则 A 1 ( x 1 ,

y 1) ， B 1 ( x 2 , y 2 ) ，由 k OA k OB

3 ，得 y 1 y 2 3 ，

4 x 1x 2

因为点 A 、 B 在椭圆 C 上，所以 y 12

3 1 x 12 ， y 22

3 1 x 22 ，

4 4

所以， 9x 12 x 22 16 y 12 y 22 9(4 x 12 )( 4 x 22 ) ，化简得 x 12 x 22 4 ．

直线 OA 的方程为 y 1 x

x 1 y 0 ，点 B 到直线 OA 的距离 d

| x 1 y 2

x 2

y 1 |

，

x 12

y 12

△ ABA 1的面积 S ABA

1 | AA 1 | d | x 1 y

2 x 2 y 1 | ，根据椭圆的对称性，四边形 ABA 1B 1

的面积

ABA 1

2 | x 1 y 2 x 2 y 1 | ，所以， S 2 4(x 1y 2

x 2 y 1 )2

4( x 12 y 22

2x 1x 2 y 1 y 2 x 22 y 12 )

4 3x 12

1 x 22

x 12 x 22 3x 22 1

x 12

12( x 12 x 22 ) 48 ，所以 S

4 3 ．

解法三：设 ( ,

y 1 )

， B(x 2 , y 2 ) ，则 A 1 ( x 1 , y 1) ， B 1( x 2 , y 2 ) 由 k OA k OB

，得 y 1 y 2 3 ，

A x 1 4 x 1x 2

因为点 A 、B 在椭圆 C 上，所以 y 12

3 1 x 12 ，y 22 3 1 x 22 ，所以，9x 12 x 22

16 y 12 y 22 9(4

x 12 )(4 x 22 ) ，

x 1

x 2

ABA 1

x 1

y 1 1 | x 1 y 2 x 2 y 1 |

化简得

4 ．

△ 的面积 S ABA

2 1 1 ，根据椭圆的对称性，四边 2

1 x

x 1 y 1 1

形

ABA 1B 1

的

面积

ABA 1

2 | x 1 y 2 x 2 y 1 | ，

所

以，

所

以

，

S 2 4( x 1 y 2 x 2 y 1 )2

4( x 12 y 22 2x 1 x 2 y 1 y 2 x 22 y 12 )

4 3x 12

1 x 22

x 12 x 22 3x 22 1

x 12 12( x 12 x 22 ) 48 ，所以 S

4 3 ．

424

3、动点P与点F (0,1)的距离和它到直线l : y1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线 C ．

(1)求曲线 C 的方程；

(2) 设点A 0,a (a 2 ) ,动点T在曲线C上运动时，AT 的最短距离为a 1 ，求a的值以及取到最小值

时点 T 的坐标；

(3) 设P1, P2为曲线C的任意两点，满足OP1OP2(O为原点)，试问直线 P1P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．

22．（本题满分16分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分4 分，第 2 小题满分 6 分，第3 小题满分 6 分．

(1) 根据抛物线的定义可知, 动点P的轨迹是抛物线所以曲线 C 的方程为 x2=4y；

(2) 设点 T(x0, y0), x02=4y0 (y0≥ 0)， |AT|= ( x00)2( y0a)2=[ y0(a 2)] 24a 4 ，

a 1 ，2a 1 =a–1,2–6a+5=0 ， a=5 或 a=1 ( 舍去 )，

a–2>0 ，则当 y =a–2 时， |AT|取得最小值为 2a 所以 y0=a–2=3， x0= 2 3，所以 T坐标为 (23,3)；

(3) 显然直线 OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，1，k

y kx442 x2 4 y ，解之得P1( k, k2 )，同理 P2(–4k, 4k)，

直线 P1 2的斜率为 1 k2，直线 P1 2方程为：

y4k 21k

)

k P k

整理得： k(y–4)+( k2–1)x=0，所以直线 P1P2恒过点 (0, 4)????????????16 分

4、

已知椭圆 C : a 2 b 2 1(a b 0) 的右焦点为 F 1,0 ，且点 P(1, 2 )

在椭圆 C 上．

x 2 y 2 3 （1）求椭圆 C 的标准方程；

（ 2）过椭圆 x 2

y 2

1上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O : x 2 y 2

4 的两条切线，切点分别为 C 1 :

b 2

M , N (M , N 不在坐标轴上），若直线 MN 在 x 轴， y 轴上的截距分别为 m, n, 证明：

1 1 为定值；

3m 2 n 2

（3）若

P 1 , P 2 是椭圆 C 2 : x 2

3 y 2 1 上不同的两点， PP 12

x 轴，圆 E 过 P 1 , P 2 , 且椭圆 C 2 上任意一点都不

b 2

在圆

E 内，则称圆

E 为该椭圆的一个内切圆 . 试问：椭圆 C 2

是否存在过左焦点

的内切圆？若存在，求出圆

心 E 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（ 1）由题意得， c

1.所以 a

1,又点 P(1, 3

) 在椭圆 C 上，所以 1

9 1, 解得 a 2 4, b 2 3, 所

2 a 2

4b 2

以椭圆 C 的标准方程为

x 2 y 2 1.

4 3

（2）由（ 1）知， C 1 :

x 2

3 y 2 1, 设点 Q (x 1, y 1 ), M (x 2 , y 2 ), N ( x 3 , y 3),

则直线 QM 的方程为 x 2 x

y 2 y 4 , ① 直线 QN 的方程为 x 3 x

y 3 y 4 , ②

x 2 x 1

y 2 y 1 4

把点 Q 的坐标代入①②得

3 ,

, 令

所以直线 MN 的方程为 x 1x y 1 y , 令 y

0, 得 m

x 3 x 1 y 3 y 1

3x 1

x 0, 得 n

, 所以 x 1

4 , y 1

,又点 Q 在椭圆 C 1上，所以 ( 4 )2 3(4)2

4, 即 1 1

, 为

3y 1

3m 3n 3m 3n

3m 2 n 2

定值．

（ 3）由椭圆的对称性，不妨设

P 1 (m, n), P 2 (m, n), 由题意知，点 E 在 x 轴上，设点 E(t ,0), 则圆 E 的方程为

(x t )2 y 2 (m t)2 n 2 .由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点

E 的距离的最小值是 PE 1

设点 M (x, y) 是椭圆 C 2 上任意一点，则

2 ( x t )

3 x 2

2tx t

1, ME

当 x m 时， ME 2

最小，所以 m

①

3 .

又点 P1在椭圆 C2上，所以 n21 m2. ③-

由①②③得t 3

3,或 t

当 t3时， m 4t43

不合题意，舍去，且经验证， t

2,符合题意 .

综上，椭圆 C2存在过左焦点 F 的内切圆，圆心 E 的坐标是(3 ,0). 2

新定义

曲线

C 是平面内到直线

l1 : x

(k0) 的点的轨迹，设曲线C

5、1和直线 l2 : y 1的距离之积等于常数 k

的轨迹方程 f (x, y)0 ．

（1）求曲线C的方程 f (x, y) 0 ；

（2）定义：若存在圆M 使得曲线 f ( x, y)0 上的每一点都落在圆M外或圆M上，则称圆M为曲线

f (x, y)0 的收敛圆．判断曲线 f ( x, y)0 是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．

解：（ 1）设动点为( x, y)，则由条件可知轨迹方程是x 1 y 1 k 2； 3 分

（2）设P为曲线C上任意一点，可以证明

则点 P 关于直线 x1、点 (1,1)及直线 y1对称的点仍在曲线 C 上 6 分

根据曲线 C 的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆，

则该收敛圆的方程是( x1)2( y1)2r 2 (r0)7 分

讨论： x1, y

(x 1)( y1)k2(1)

最多一个有一个交点r 满足条件8 分1 时

1)2( y1)2r 2 (2)

（1）代入（ 2）得r2(x1)2k42k 210 分

( x1)2

曲线 f ( x, y)0 存在收敛圆11 分收敛圆的方程是( x1)2( y 1)2r 2 (0r2k)13 分

解析几何经典例题

解析几何经典例题圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。图1 解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3 解析：易知抛物线的准线l：，作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是（） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ；（2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ；（3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ；（4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点

抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：0≥x ，R y ∈；（2）顶点：坐标原点)0,0(O ；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ；（4）开口方向：向右；（5）焦参数：p ；（6）焦点： )0,2(p F ；（7）准线： 2p x - =；（8）焦准距：p ；（9）离心率：1=e ；（10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =；（11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=

(完整版)高二数学归纳法经典例题

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地，当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式不包括垂直于x 轴的直线为直线上一定点，k 为斜率斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点直线截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或

线在 y 轴上的非零截距过原点的直线一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离（1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。

高中数学解析几何中的基本公式

解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴，则=AB 。 y //AB 轴，则=AB 。 2、平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

高中数学必修二-知识点、考点及典型例题解析

高中数学必修二各章知识点总结完整版第一章空间几何体知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222 c b a l ++=；正方体的对角线长 a l 3= 3、球的体积公式：3 3 4 　R V π=，球的表面积公式： 24　R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=31，锥体截面积比：2 2 2 1 21h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面典型例题：

★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（） A 21 倍 B 4 2倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 ★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆（x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为（ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案（1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析（1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0），则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝ 26，所以（|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为

(完整word版)高中数学解析几何大题精选

解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程，整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ．由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?．显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意．综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围．【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．

高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ．（1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（3）证明： 3()2 f x ≥．例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值（2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围题型三：利用导数研究方程的根例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.

解析几何经典例题

解析几何经典例题圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。图1 解析:易知故在中, 则点M的轨迹方程为。二、双曲线定义的深层运用例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|＝4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|＝|QP|, 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5、如图5,已知三点A(－7,0),B(7,0),C(2,－12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。

高中解析几何知识点

解析几何知识点一、基本内容（一）直线的方程 1、直线的方程确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围． 2、两条直线的位置关系两条直线的夹角，当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠ 外注意到角公式与夹角公式的区别． (2)判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断．但若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断． 3、在学习中注意应用数形结合的数学思想，即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义．（二）圆的方程 (1)圆的方程 1、掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若

已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化． 2、圆的标准方程为(x －a )2+(y －b )2＝r 2；一般方程x 2+y 2+Dx+Ey +F =0,圆心坐标 (,)22D E -- 3、在圆(x －a )2+(y －b )2＝r 2，若满足a 2+b 2 = r 2条件时，能使圆过原点；满足a=0，r ＞0条件时，能使圆心在y 轴上；满足b r =时，能使圆与x 轴相切；r =条件时，能使圆与x －y ＝0相切；满足|a |=|b |=r 条件时，圆与两坐标轴相切． 4、若圆以A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)为直径，则利用圆周上任一点P (x ，y )， 1PA PB k k =-求出圆方程(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)＝0 (2) 直线与圆的位置关系 ①在解决的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用△＞0，△=0，△＜0，而用圆心到直线距离d ＜r ，d=r ，d ＞r ，分别确定相关交相切，相离的位置关系．涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形，当然，不失一般性弦长式 ③已知⊙O 1：x 2+y 2 = r 2，⊙O 2：(x -a )2+(y -b )2＝r 2；⊙O 3：x 2+y 2+Dx+Ey +F =0则以M (x 0，y 0)为切点的⊙O 1切线方程为xx 0+yy 0＝r 2；⊙O 2切线方程条切线，切线弦方程：xx 0+yy 0=r 2． (三)曲线与方程 (1)在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对x 、y 表示，这就是动点的坐标(x ，y )．当点按某种规律运动而形成曲线时，动点坐标(x ，y )中的变量x ，y 存在着某种制约关系．这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x ，y 方程F (x ，y )＝0．曲线C 和方程F (x ，y )＝0的这种对应关系，还必须满足两个条件： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，这时，我们才能把这个方程叫做曲线的方程，

高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版

圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ；（ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<

（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 2 2=+b y a x （0>>b a ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）. 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。（1）注 2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 2 2=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；（2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ， ),0(2b B -；（4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2；

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。又k y y x x y x = --=--12121 2 ，代入得2402 2 x y x y --+=。当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ；（2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

(完整版)高中数学必修一必修二经典测试题100题

A C P B 高中数学必修一必修二经典测试题100题（二）一、填空题：本题共25题 1、设集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =I ，则：a= b= 2、对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的倍 3. 已知函数2log (0)()3 (0)x x x f x x >?=?≤?，则1 [()]4f f 的值是 4. 设1,01,x y a >><<则下列关系正确的是 ○ 1a a y x -->○2 ay ax <○3y x a a <○4 y x a a log log > 5. 函数()23x f x =-的零点所在区间为： 6. 函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则 ()f x 在(,)a b 上是函数（增或减） 7. 在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为 8. 设点M 是Z 轴上一点，且点M 到A （1，0，2）与点B （1，－3，1）的距离相等，则点M 的坐标是 9、如图所示，阴影部分的面积S 是h (0)h H ≤≤的函数，则该函数的图象是 . 10. 将直线:210l x y +-=向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线l '，则直线l l '与之间的距离为 11. 函数2 ()lg(21)5 x f x x -= +++的定义域为 12. 已知0>>b a ，则3,3,4a b a 的大小关系是 13.函数3 ()3f x x x =+-的实数解落在的区间是 14.已知(1,2),(3,1),A B 则线段AB 的垂直平分线的方程是 15. 下列条件中,能判断两个平面平行的是 a 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; b 一个平面内的两条直线平行于另一个平面； c 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； d 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=900 ，P 为△ABC 所在平面外一点 PA ⊥平面ABC ，则四面体P-ABC 中共有个直角三角形。 17.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 18 .在圆2 2 4x y +=上，与直线43120x y +-=的距离最小的点的坐标为 19．用符号“∈”或“?”填空

高二数学解析几何专项测试题

一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．． 1. (2017 年 11 月月考)已知双曲线的方程为22 164x y -= ，则该双曲线的焦距为 . 2. (2018 年 01 月期末)抛物线 x 2 = 2 y 的焦点到其准线的距离为 . 3. (2017 年 11 月月考)已知抛物线 x 2 = 2 py (p > 0)的准线方程为 y = -1，则实数 p 的值为 . 4. (2017 年 11 月月考)已知点 F 为双曲线22 142 x y -=的左焦点，则点 F 到双曲线的右准线的距离为 . 5. (2017 年 11 月月考)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线 y 2 = 4 x 的准线上，则双曲线的方程是 . 6. (2018 年 01 月期末)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为 2，则该双曲线的渐近线方程为 . 7. (2017 年 11 月月考)设 F 1 ， F 2 分别为椭圆 C : 22 193 x y +=的左、右焦点，若点 P )在椭圆上，则 ?PF 1 F 2 的面积为 . 8. (2017 年 11 月月考)已知抛物线经过点 P (-2,4)，则该抛物线的标准方程是 . 9. (2018 年 01 月期末)已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 上一点 p 到焦点的距离为 5，到 y 轴的距离为 3，则 p = . 10. (2016 年 09 月月考)若关于 x = x + b 有两个不同解，则实数 b 的取值范围是 . 11. (2018 年 01 月期末)设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C : 22 12516 x y +=的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且点 P 到左焦点的距离是其到右准线25 倍，则 P F 2 = . 12. (2017 年 11 月月考)已知椭圆的方程为22 1169 x y +=，则椭圆内接正方形的周长为 .

高中数学必修2解析几何公式知识点总结

高中数学必修2解析几何知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0

高二数学典型例题一

典型例题一例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（）． A ．异面直线 B ．相交直线 C ．平行直线 D ．相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //．若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面．故选D ．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置关系是相交、平行或异面．类似地；a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．典型例题二例2 已知直线a 和点A ，α?A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．因此，这是否定性．．．命题，常用反证法．证明：（1）存在性． ∵ a A ?，∴ a 和A 可确定一个平面α，由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线．（2）惟一性假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与A c b = 矛盾， ∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．典型例题三