高中数学--正态分布
高中数学正态分布
高中数学正态分布正态分布是高中数学中一个重要的概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中具有广泛的应用，可以描述许多随机变量的分布情况。
正态分布具有许多独特的特性，包括对称性、钟形曲线、均值和标准差等。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质以及它在实际问题中的应用。
一、基本概念正态分布是一种连续型的概率分布，它的概率密度函数可以用一个钟形曲线来表示。
钟形曲线关于均值对称，左右两边的面积相等。
正态分布的概率密度函数可以用数学公式表示，但在本文中我们不涉及具体公式。
二、性质1. 对称性：正态分布的钟形曲线关于均值轴对称，即曲线左右两侧的面积相等。
2. 峰度：正态分布的峰度较高，表示数据相对集中，没有明显的长尾巴。
3. 均值和标准差：正态分布的均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
三、应用举例正态分布广泛应用于各个领域，下面举几个例子说明其具体应用：1. 身高分布：人类的身高大致符合正态分布，均值是一定范围内的平均身高，标准差则决定了身高的变化范围。
2. 考试成绩：在一次考试中，学生的成绩往往呈现出正态分布的特点。
均值代表了班级的平均水平，标准差则反映了学生成绩的离散程度。
3. 生产质量控制：正态分布在生产过程中的质量控制中发挥重要作用。
通过对产品尺寸、重量等特征的测量，可以判断产品是否符合正态分布，从而进行质量控制和改进。
四、正态分布的应用思考正态分布的应用思考是高中数学中常见的问题类型之一。
通过理解正态分布的基本概念和性质，我们可以解决一些实际问题，例如：1. 求解概率：已知某一正态分布的均值和标准差，我们可以求解某个范围内的概率，从而回答一些关于随机事件的概率问题。
2. 参数估计：通过样本数据对总体的均值和标准差进行估计，从而推断总体的特征。
3. 假设检验：通过正态分布的性质，可以进行关于总体均值的假设检验，从而判断总体是否满足某种条件。
高中数学中的正态分布是一种重要的概率分布，具有广泛的应用。
高中数学 正态分布
是反映随机变量取值的平均水平的特征数， 可以用样本均值去估计；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可 以用样本标准差去估计.
现实生活中的正态分布
• 长度测量误差 • 某一地区同年人的身高、体重、肺活量 • 一定条件一生长的小麦的株高、穗长、单位
面积产量 • 正常生产条件下各种产品的质量指标 • 某地每年七月份的平均气温、平均温度、降
互平行但相互错开的圆柱 形小
木块,小木块之间留有适当的 空
隙作为通道, 前面挡有一块玻璃.
让一个小球从高尔顿板 上方的
通道口落下,小球在下落过 程中
图2.4 1
与层层小木块碰撞, 最后掉入高尔顿板下方 的某一球槽内.
频率分布直方图
y
曲线图
曲线就是(或近似是)
下列函数的图像
O
x
, x
1
2
e
e
2 2
, x , 的图象
正 态
正态分布 密度曲线
① ②
分
正态曲线特点 ③
布
④
3原则
⑤
⑥
作业
课本习题2.4A组1,2题
复习
随机变量的方差
性质
意义
D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则DX=p(1-p)
若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)
高尔顿板 英国生物统计学家高尔顿设计的用 来研究随机现象的模型，称为高尔顿钉板。
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 1
所示的就是一块高尔顿 板示意
图.在一块木板上钉上若干 排相
3原则
通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变 量X只取(-3,+3)之间的值.
例1 商场经营的某种包装的大米质量（单位：kg） X~N(10,0.12), 任选一袋这种大米，质量在9.7~10.3 kg的概率是多少？
高中数学必修三正态分布知识点
高中数学必修三正态分布知识点正态分布为高中数学必修三课本的新增内容之一，有哪些知识点需要我们学习呢?下面是店铺给大家带来的高中数学正态分布知识点，希望对你有帮助。
高中数学必修三正态分布知识点正态分布的定义：如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。
当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。
叫标准正态曲线。
正态曲线x∈R的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x轴;(3)曲线在x=μ处达到最高点;(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。
在标准正态总体N(0，1)中：高中数学必修三二项分布知识点二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。
高中数学---正态分布
练习：
一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现从中抽 测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果机床生产零
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
5、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
( 3由当 ,于a这 33些概)时之率正内值态,很其总小他体（区的间一取取般值值不几几超乎乎过总不5取％可值能）于.，区 在通实间常 际称运这用些中情就况只发考生虑为这小个概区率间事,件称。为 3 原则.
例1、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个 正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2 X 2) = 0.9544 .
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
高中数学正态分布
指数分布与正态分布关系
指数分布是一种连续型概率分布 ，用于描述两个连续事件之间的 时间间隔。
在某些情况下，指数分布可以近 似为正态分布。具体来说，当指 数分布的参数 $lambda$ 足够大 时，指数分布 $Exp(lambda)$ 可以用正态分布 $N(frac{1}{lambda}, frac{1}{lambdasqrt{2}})$ 来近似 。然而，这种近似通常不如二项 分布和泊松分布逼近正态分布那 样准确。
多元正态分布的定义
多元正态分布是指多个随机变 量组成的向量服从正态分布的 情况。
多元正态分布的性质
多元正态分布具有一些重要的 性质，如联合分布、边缘分布 、条件分布和独立性等。
多元正态分布在统计学中 的应用
多元正态分布广泛应用于多元 统计分析中，如多元线性回归 、主成分分析、因子分析等。
多元正态分布的参数估计 和假设检验
对于多元正态分布的参数估计 和假设检验，可以使用最大似 然估计、协方差矩阵的估计和 多元t检验等方法进行。
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THANKS
对两个正态总体均值或方差进行 比较的假设检验，如t检验和F检 验的两样本版本。
置信区间构建
利用样本数据构造总体均值的置 信区间，以估计总体均值可能落 入的范围。
01
02
单样本假设检验
对单个正态总体均值或方差进行 假设检验，如t检验和F检验。
03
04
配对样本假设检验
对配对观测值之差的均值进行假 设检验，如配对t检验。
智商分布
智商测试的结果也符合正态分布，大 部分人的智商处于中等水平，极高和 极低的智商相对较少。
生产过程中质量控制
产品质量分布
在生产线上，产品质量往往呈现 正态分布，大部分产品符合质量 标准，极少数产品存在严重缺陷
高三数学正态分布知识点
高三数学正态分布知识点正文：正态分布是概率论和统计学中经常应用的一种重要分布。
其特点是在均值附近的概率较高，而在离均值较远处的概率较低。
在高中数学的学习中，正态分布也是一个重要的知识点。
本文将介绍高三数学正态分布的相关知识。
一、正态分布的定义正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
对于一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / sqrt(2 * π * σ^2)) * exp(-(x - μ)^2 / (2 * σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。
二、正态分布的性质1. 对称性：正态分布是以均值为对称轴，两侧面积相等的曲线。
2. 峰度：正态分布的峰度是指曲线的陡峭程度，峰度值为3。
3. 切点：正态分布曲线与均值之间会有两个切点，也即均值加减标准差的位置。
三、标准正态分布标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
它是对正态分布进行标准化后的结果。
对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - μ) / σ四、正态分布的应用正态分布在实际生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 质量控制：正态分布可以帮助企业在生产过程中进行质量控制，通过控制产品的均值和标准差，来确保产品的质量稳定。
2. 统计分析：正态分布在统计学中扮演了重要角色，可以用于分析和描述大量数据的分布情况，从而得出结论或进行预测。
3. 考试评分：在考试评分过程中，教师常常采用正态分布来确定分数段及相应的等级，从而更公平地进行评价。
4. 实验设计：科学实验中常常会涉及到测量误差和数据分布的问题，正态分布可以作为参考，帮助科研人员进行实验设计和数据分析。
五、常用的正态分布应用题1. 求解概率：给定正态分布的均值和标准差，可以求解指定区间的概率。
2. 求解分位数：给定正态分布的均值和标准差，可以求解给定概率下的分位数，即求解落在该概率下的随机变量取值。
高中正态分布知识点
高中正态分布知识点正态分布（Normal distribution）在高中数学中起着重要的作用，它具有许多特点和应用。
正态分布是一种连续概率分布，其特征是以均值为中心对称，并且呈钟型分布。
它在统计学、概率论、自然科学等领域都有广泛的应用。
一、正态分布的特点正态分布的特点主要有三个方面：对称性、均值、标准差。
1. 对称性：正态分布的曲线以均值为中心对称，即曲线两侧的面积相等。
这意味着在正态分布中，均值附近的数值出现的概率较大，而离均值较远的数值出现的概率较小。
2. 均值：正态分布的均值是曲线的中心位置，也是分布的期望值。
在正态分布中，均值的取值是有用的参考，可以帮助我们了解数据集的中心倾向。
3. 标准差：正态分布的标准差决定了曲线的宽度，标准差较小意味着数据集的值相对集中，标准差较大意味着数据集的值相对分散。
标准差还可以用来衡量数据的离散程度。
二、正态分布的应用正态分布在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的场景：1. 身高和体重：人类的身高和体重通常服从正态分布。
这使得我们可以通过计算均值和标准差来了解人群的平均身高和体重，也能够判断某个个体身高和体重是否在正常范围之内。
2. 考试成绩：考试成绩常常呈正态分布。
通过对成绩分布的分析，教师可以了解学生的表现情况，设计适合学生的教学方案。
3. 生物学实验数据：生物学实验中的许多测量结果，如细胞数量、药物浓度等，往往服从正态分布。
通过对实验结果的分析，科研人员可以评估实验的准确性和稳定性。
4. 财经领域：股市收益率、商品价格等经济指标常常符合正态分布。
金融机构和投资者可以利用正态分布来进行风险评估和预测。
三、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中几个常见的性质：1. 中心极限定理：中心极限定理是正态分布的一个重要应用。
它表明，当样本容量足够大时，样本均值的分布会接近于正态分布。
2. 正态分布的标准化：对于给定的正态分布，我们可以通过标准化处理将其转化为标准正态分布。
高中数学-正态分布
m 的意义
产品 尺寸 (mm)
x1
x2
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
பைடு நூலகம்
x3
x4
平均数
x= μ
产品 尺寸 (mm)
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
总体标准差反映总体随机变量的
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
3、正态曲线的性质
（4）曲线与x轴之间的面积为1
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
X=μ
σ=1
σ=2
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
产品 尺寸 (mm)
总体密度曲线
高尔顿板
11
总体密度曲线
0
Y
X
导入
产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象：
1 、正态曲线的定义：
函数
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为正态曲线
c
d
a
b
平均数
X
Y
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:
集中与分散的程度
平均数
s的意义
正态总体的函数表示式
当μ= 0，σ=1时
标准正态总体的函数表示式
0
1
2
-1
-2
x
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• (2)若尺寸在24mm~26mm间的零件
• 为不合格，则不合格的零件大约有多少 个？
四、小结
本节课我们主要学习了正态曲线的若干 性质，要求大家知道正态曲线大致形状 及从图象上直观得到正态分布的性质， 并能利用3σ原理及相关公式进行计算。
五、作业
例1:给出下列三个正态密度曲线的函数表
达式，请找出其均值μ和标准差σ。
（１）f (x)
1
x2
e 2 , x (,)
0，1
2
（２） f (x)
2
1
2
( x1)2
e 8 x (,)
1，2
（ 3 ） f (x)
2 e2(x1)2 , x (,)
-1，0.5
例2:已知正态总体的函数是
f (x)
正 态分布
一、直方图:
频率 组距
频率分布直方图
产品尺寸 (mm）
25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
总体密度曲线
频率 组距
产品 尺寸
ab
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内的取值概率）。
二、基本知识点:
1.正态函数的定义
f (x)
5：正态总体N(μ，σ2) 在区间三个特殊区间的 概率
P（μ-σ，μ+σ）=0.6826，
P（μ-2σ，μ+2σ）=0.9544，
P（μ-3σ，μ+3σ）=0,9974
实际应用中,通常认为服从正态分 布N(μ，σ2) 的随机变量只取区间
（μ-3σ，μ+3σ）上的概率，否则就 不正常，这就是3σ原则
1
( x )2
e 2 2 , x (,)
2
( 式中的实数 、 〉0）是参数,分别表示总
体的平均数与标准差。函数f(x)称为正态函数。
Байду номын сангаас
函数f(x)的图象称为正态曲线
2.正态曲线及性质
若总体密度曲线就是或近似的是函数
f (x)
1
(x)2
e 2 2 , x (,)
2
的图象,则其分布叫正态分布, 常记 作 N (, 2 )
1一投资者在两个投资方案中选择一个，这两 个投资方案的利润x万元分别服从正态分布N （8，32）和N（6，22），投资者要求利润超 过5万元的概率尽量的大，那么他应该选择哪 一个方案?
2某厂生产的圆柱形零件的外径服从正态分布 N(4,0.25)，质检人员从该厂生产的1000件零 件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
研究中占有重要地位。任何正态分布
N (, 2 )的归纳问题均可转化成标准
总体分布的概率问题。
4.标准正态分布
对于标准正态总体N（ 0 ，1 ），如图：ｙ
P(x x0 ) 1 P(x x0 )
O
ｘ0
ｘ
练习：正态总体N（0，1）在区间（-2，-1）
和（1，2）内的概率分别为P1、P2，则（ C ） （A）P1＜P2 （B）P1＞P2 （C） P1=P2 （D）不能确定
曲线的对称轴为 x 0
• 例3.设一次数学考试中满分为150 分，某班学生的分数服从正态分布 N（110，202），如果这个班有54 人，估计这个班的及格人数（不小 于90分）和130分以上的人数
• 例4.有一种精密零件，其尺寸X（单位 mm)服从N（20，4）。若这批零件共有 5000个，试求：
样本标准差公式是
(1)σ=
1 n [( x1
x)2
(x2
x)2
(xn
x)2]
(2) σ=[(x1 Eξ)2 P1 (x2 Eξ)2 P2 (xn Eξ)2 Pn]
总体平均值：
（1）x x1 x2 xn n
（2）Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn
1
x2
e 2 , x (,)
2
（１）求 f (x)的最大值；
（２）利用指数函数的性质说明 其单调区间，以及曲线的对称 轴。
解：（1） x2 0,x2 0
ex2 e0 1
f (x)max
，
2 2
（2）当 x 0 时，f (。 x) 为增函数；
当 x 0 时， f (x)为减函数；
f(x)的图象称为正态曲线.
产品尺寸、学生的学习成绩气象中的平均温度、平均 湿度等等，都服从或者近似服从正态分布。
3当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准 正态总体，其相应的函数表达式是
f (x)
1
x2
e 2 , x (,)
2
，其相应的曲线称为标准正态曲线。
标准正态总体N（0，1）在正态总体的