13绝对值和相反数
相反数与绝对值
相反数与绝对值相反数是指两个数值绝对值相等，但符号相反的数。
在数学中，相反数的概念广泛应用于代数、几何和物理等领域。
绝对值则表示一个数距离原点的距离，无论该数是正数还是负数，其绝对值总是非负的。
相反数与绝对值的概念常常被同时介绍，因为它们之间存在一定的关联。
在本文中，我们将探讨相反数和绝对值的定义、性质以及在实际生活中的应用。
一、相反数的定义和性质相反数是指两个数值的绝对值相等，但符号相反。
如果一个数为a，那么其相反数为-b，即-a与b满足以下条件：1. 绝对值相等：|a| = |b|2. 符号相反：若a > 0，则b < 0；若a < 0，则b > 0例如，数值3与-3便是相反数。
它们的绝对值都是3，但一个是正数，另一个是负数。
相反数的性质也包括以下几点：1. 两个相反数相加等于0：a + (-a) = 02. 相反数与原数相乘等于-1：a * (-a) = -1这些性质在代数运算中经常被使用，在解方程、求根和简化复杂表达式等过程中都是必不可少的。
二、绝对值的定义和性质绝对值表示一个数距离原点的距离，它忽略了该数的正负，将其转化为非负数。
对于实数a来说，其绝对值表示为|a|。
其定义如下：1. 若a >= 0，则|a| = a2. 若a < 0，则|a| = -a例如，|4| = 4，|-4| = 4。
无论正数还是负数，绝对值总是非负的。
绝对值具有以下几个重要性质：1. 非负性质：对任意实数a，|a| >= 0，绝对值为非负数。
2. 正数性质：对任意正数a，|a| = a，绝对值与原数相等。
3. 负数性质：对任意负数a，|a| = -a，绝对值为原数的相反数。
4. 三角不等式性质：对任意实数a和b，有|a + b| <= |a| + |b|，绝对值的加法满足三角不等式。
绝对值在解决不等式、求解模型和统计分析等问题中具有广泛的应用。
三、相反数与绝对值的应用相反数和绝对值在实际生活中有许多应用，下面我们来看几个例子：1. 温度计：温度计可用来测量环境温度，其刻度分为正负两个方向。
初中数学_《绝对值与相反数 》教学设计学情分析教材分析课后反思
《绝对值与相反数》教学设计内容：《义务教育课程标准实验教科书》青岛版七上第二章第三节<相反数与绝对值>一．教学目标1.知识与技能：1.理解相反数的概念，会求一个数的相反数。
2.理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值。
3.会利用绝对值比较两个负数的大小。
2.过程与方法：（1）经历观察、操作、交流等探究过程，体会由具体到抽象、由特殊到一般的认知规律，培养学生发现问题、提出问题的能力；（2）经历探索有理数加法法则的过程，深刻感受分类讨论、数形结合的思想方法．3.情感态度与价值观：（1）在动手操作以及探索的过程中，培养学生的问题意识和严谨科学的态度，从而提高学习的积极性；（2）在探索和交流的过程中，培养学生主动参与探索获得数学知识意识；（3）在探索和交流的过程中，培养善于观察、勤于思考的学习习惯，进一步体会数学源于生活并服务于生活．二．教学重点：经历探索发现“相反数与绝对值”概念的过程，发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
教学难点：从数轴上发现数与数的不同之处；借助教具探索相反数的概念;探索绝对值的概念和代数意义。
三．复习回顾：1、数轴的三要素；2、比较两个数的大小（目的：一是让学生结合自己已有的学习经验，尝试探索相反数,绝对值的概念。
二是通过利用数轴比较两个数的大小为引出利用绝对值比较两个负数的大小打下基础。
）四．教学过程：一、交流与发现教师引导语预设：教师适时的引导，学生合作学习，有利于培养学生的观察和概括能力；充分体现了教师为主导，学生为主体的教学思想。
1．观察数轴上的两对点A与A′,B与B′它们分别表示什么数,它们有怎样的位置关系?根据学生的观察发现，讨论数-4与4有什么相同点和不同点?2.5与-2.5呢?你还能说出几对具有为种特征的两个数吗?【设计意图】:引入互为相反数的概念．2．看谁反应快 1.分别说出下面各数的相反数2.(1)-3.2的相反数是____,____的相反数是2.6;(2)11和____ 互这相反数,0的相反数是____【设计意图】给出相反数的描述性定义后，要让练习以巩固概念． 活动一：实验与探索(1)数轴上表示有理数5, 的点到原点的距离各是多少? (2)数轴上表示有理数-5, 的点到原点的距离各是多少?(3)数轴上表示0的点到原点的距离是多少?【设计意图】是将数学问题，建立数学模型，在此，引导学生独立阅读思考．活动二：实验与探索从上面的填空,你发现一个数和它的绝对值有什么关系?【设计意图】归纳出绝对值的代数意义活动三：实验与探索9818,,0,17.2,519---1212-2___;5___;0___=-==【设计意图】互为相反数的两个数的绝对值相等.活动四：小试牛刀1 .在数轴上，距离原点3个单位长度的点表示的是什么数？2.一个数的绝对值是12，那么这个数是：3. 若|x|=15,那么x=【设计意图】是为了巩固会求一个数的绝对值活动五：实验与探索【设计意图】通过利用数轴比较两个数的大小,寻找归纳比较两个负数大小的特殊方法活动五：例题讲解【设计意图】进一步巩固本节的重点，培养应用所学知识解决问题的能力，为本章以后的学习夯实基础五、课堂小结()()()()1-3 -1 2-0.5 -211353- - 4- -422234.45比较－和－的大小问题:本节课主要学习了哪些内容?我们一起来梳理一下，我们可以从哪些方面来总结我们的收获呢？要求：以小组为单位进行交流，学生分工明确：1人组织，1人记录，2人展示，要求组内人人参与，积极发言。
绝对值与相反数的计算
绝对值与相反数的计算绝对值和相反数是数学中两个常见的概念，它们在数学运算和解题过程中经常被用到。
本文将详细介绍绝对值和相反数的含义以及计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、绝对值的概念与计算方法绝对值是表示一个实数或者复数与零的距离的非负值。
在数学表示中，绝对值通常用两个竖线符号来表示，如|a|。
对于一个实数a，它的绝对值可以根据以下两种情况来计算：1. 若a大于等于零，则|a|等于a本身。
2. 若a小于零，则|a|等于a的相反数。
例如，对于实数-3和5，它们的绝对值分别为| -3 | = 3和| 5 | = 5。
对于复数，其绝对值的计算方法稍有不同。
复数的绝对值等于它的模。
复数的模可以通过复数的实部和虚部的平方和再开平方得到。
假设有一个复数z = a + bi，其中a为实部，b为虚部，则其绝对值表示为|z| = √(a² + b²)。
二、相反数的概念与计算方法相反数是指与某个数的和为零的数。
对于一个实数a，它的相反数通常用符号-a来表示。
相反数与原数的和等于零，即a + (-a) = 0。
相反数可以通过将原数取负来计算得到。
例如，实数3的相反数为-3，而实数-5的相反数为5。
对于复数，其相反数表示为将实部和虚部都取负。
假设有一个复数z = a + bi，其中a为实部，b为虚部，则其相反数表示为-z = -a - bi。
三、绝对值与相反数的应用绝对值和相反数在数学运算和解题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 绝对值可以用于计算到原点的距离。
例如，在平面坐标系中，某个点P的坐标为(x, y)，则点P到原点(0, 0)的距离可以表示为√(x² + y²)，即点P的模。
2. 绝对值可以用于计算误差值。
在实际测量或计算中，我们经常需要比较一个近似值与精确值之间的误差。
绝对值可以将误差值转化为非负值进行比较和分析。
3. 相反数可以用于解方程。
整数的绝对值和相反数
整数的绝对值和相反数在数学中，整数是由自然数以及它们的相反数和零组成的。
整数具有一些特殊的性质，其中包括绝对值和相反数。
本文将介绍整数的绝对值和相反数的概念，并探讨它们在数学中的应用。
一、整数的绝对值绝对值是一个数的非负值，表示该数与零的距离。
对于整数来说，绝对值是该整数和零之间的距离。
如果一个整数为正数，则其绝对值等于该整数本身；如果一个整数为负数，则其绝对值等于该整数取负数（即去掉负号）后的值。
例如，整数-5的绝对值为5。
绝对值在数学中有广泛的应用。
在解决绝对值不等式、距离和速度等问题时，我们常常需要使用绝对值来表示数值的大小关系。
通过绝对值，我们可以消除负号对数值大小比较所带来的影响，简化计算和推导的过程。
二、整数的相反数整数的相反数是指与该整数绝对值相等，但符号相反的整数。
例如，整数5的相反数为-5，整数-7的相反数为7。
相反数可以通过改变整数的符号来得到。
相反数在数学中也具有重要的作用。
在代数运算中，相反数的概念在数的减法、求相反数、消去法则等运算中起着关键作用。
通过使用相反数，我们可以将减法转化为加法，简化运算过程，提高计算的效率。
三、整数的应用举例1. 绝对值的应用：在计算中，我们常常需要确定数值的大小关系，而绝对值是一个重要的工具。
比如，求两个整数中的最大值或最小值、确定数轴上两点的距离等问题都可以通过绝对值来解决。
2. 相反数的应用：在有向数的加减运算中，相反数的概念扮演着重要角色。
通过加上数的相反数，我们可以实现减法运算，从而简化计算过程。
此外，在解方程、证明数学定理等问题中，相反数的运用也能起到辅助推导的作用。
四、小结整数的绝对值和相反数是数学中两个基本概念，它们在数的大小比较、运算和问题求解中发挥着重要作用。
掌握和理解整数的绝对值和相反数的概念，能够帮助我们更好地理解整数运算和解决实际问题。
通过本文的介绍，我们了解了整数的绝对值是一个数与零的距离，通过去掉负号获得；整数的相反数与该整数绝对值相等，但符号相反。
数的相反数与绝对值
数的相反数与绝对值在数学中，相反数和绝对值是基本的概念和运算符号。
相反数表示一个数与其对立的数，而绝对值则表示一个数的大小。
一、相反数相反数是指在数轴上与一个数距离相等但方向相反的数。
例如，对于任意一个实数a，它的相反数记作-a。
两个相反数之和等于0，即a+(-a)=0。
相反数可以用于解决一些同向相反的数的计算问题，或者表示负数的情况下。
例如，对于数轴上的点A和点B，它们分别表示两个实数a和b。
那么A和B之间的距离为|a-b|。
而若要计算A与B之间的相反数之和，可以写作|a-(-b)|，再简化为|a+b|。
相反数可以应用于实际问题中，比如财务收支问题。
对于存款和取款这两个操作，在数轴上可以表示为正数和负数，它们的相反数一定程度上反映了资金的流动情况。
二、绝对值绝对值是指一个数离原点的距离，不考虑方向，总是非负数。
给定一个实数a，它的绝对值记作|a|。
绝对值可以用于表示一个数的距离或者大小，而不考虑其正负。
绝对值的计算有以下几种情况：1.若a大于等于0，则|a|=a。
2.若a小于0，则|a|=-a。
通过求绝对值，我们可以忽略数的正负号，而只专注于数值的大小。
这在比较大小、解决绝对值的方程或不等式等问题时十分有用。
例如，当我们需要比较两个数a和b的大小时，可以比较|a|和|b|的值。
这样做能够避免因为正负号导致的比较复杂化。
绝对值还可以应用于模量、距离和误差等问题中。
在物理学、工程学和统计学等学科中，绝对值经常出现在各类公式和方程中，扮演着重要的角色。
三、数的相反数与绝对值的联系数的相反数和绝对值有一定的联系。
当一个实数a的绝对值大于另一个实数b的绝对值时，它们的相反数也满足相反的关系。
具体来说，如果|a|>|b|，那么-a<-b。
这是因为，如果一个数的绝对值比另一个数的绝对值大，那么它的相反数与另一个数的相反数之间的关系也是相反的。
这个联系在数轴上也可以直观地表示出来。
将两个实数的相反数画在数轴上，它们的位置与原数的位置是相反的。
【举一反三系列】相反数、绝对值(十大题型)2023-2024学年七年级数学上册(苏科版)(解析版)
相反数、绝对值【十大题型】【苏科版】【题型1 相反数与绝对值的概念辨析】 (1)【题型2 相反数的几何意义的应用】 (3)【题型3 绝对值非负性的应用】 (5)【题型4 化简多重符号】 (6)【题型5 化简绝对值】 (8)【题型6 利用相反数的性质求值】 (9)【题型7 解绝对值方程】 (11)【题型8 绝对值几何意义的应用】 (13)【题型9 有理数的大小比较】 (15)【题型10 应用绝对值解决实际问题】 (17)【知识点1 相反数与绝对值】相反数：1.概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.2.性质：若a与b互为相反数，那么a+b=0.绝对值：1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.2.性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【题型1 相反数与绝对值的概念辨析】【例1】（2023秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）与-4的和为0的数是（）A．14B．4C．-4D．−14【答案】B【分析】与-4的和为0的数，就是-4的相反数4．【详解】解：与-4的和为0的数，就是求出-4的相反数4，故选：B．【点睛】此题考查相反数的意义，掌握互为相反数的两个数的和为0的性质是解决问题的基础．【变式1-1】（2023·江苏·七年级假期作业）将符号语言“|a|=a(a≥0)”转化为文字表达，正确的是（）A．一个数的绝对值等于它本身B．负数的绝对值等于它的相反数C．非负数的绝对值等于它本身D．0的绝对值等于0【答案】C【分析】根据绝对值的含义及绝对值的性质逐项判断即可解答．【详解】解：∵一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，∴A项不符合题意；∵a≥0，表示的是非负数的绝对值，不是负数的绝对值，∴B不符合题意；∵一个非负数的绝对值等于它本身，∴C符合题意；∵a≥0，表述的是非负数的绝对值，不只是0的绝对值，∴选项D不符合题意；故选：C．【变式1-2】（2023·江苏·七年级假期作业）下列各对数中，互为相反数的是（）A．−(+1)和+(−1)B．−(−1)和+(−1)C．−(+1)和−1D．+(−1)和−1【答案】B【分析】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可．【详解】解：A、−(+1)=−1，+(−1)=−1，不是相反数，故此选项不符合题意；B、−(−1)=1，+(−1)=−1，是相反数，故此选项符合题意；C、−(+1)=−1，不是相反数，故此选项不符合题意；D、+(−1)=−1，不是相反数，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了相反数．先化简再求值是解题的关键．【变式1-3】（2023秋·江苏盐城·七年级江苏省响水中学阶段练习）绝对值小于2016的所有的整数的和________．【答案】0【详解】绝对值小于2016的所有整数为：−2015，...，0，1， (2015)故-2015+(-2014)+(-2013)+…+2013+2014+2015=(-2015+2015)+( -2014+2014)+( -2013+2013)+…+(-1+1)+0=0；故答案为0.点睛：由于数比较多，不可能挨个求和，故考虑用“互为相反数的两个数的和等于0”这个性质.【题型2 相反数的几何意义的应用】【例2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？【答案】(1)-1(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；（2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．【详解】（1）由点A、B故点C表示的数是-1．（2）由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5．【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴，解题的关键是根据题意找出原点的位置．【变式2-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（）A．6B．﹣6C．0D．无法确定【答案】B【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出点A表示的数即可.【详解】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点B表示的数为6，∴点A表示的数为﹣6，故选：B.【点睛】此题考查数轴与有理数，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键.【变式2-2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b均为有理数，且a+b=0，则它们在数轴上的位置不可能落在()A．线段AB上B．线段BC上C．线段BD上D．线段AD上【答案】A【分析】根据相反数的性质，数轴的定义可知，a,b位于原点两侧，据此即可求解．【详解】解：∵a，b均为有理数，且a+b=0，∴a,b位于原点两侧，∴a,b在数轴上的位置不可能落在线段AB上，故选：A．【变式2-3】（2023秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a⇒b）＝﹣b，（a⇐b）＝﹣a，如（2⇒3）＝﹣3，则（2023⇒2018）⇐（2023⇒2015）＝__________【答案】2018．【分析】根据题意，（a⇒b）=-b，（a⇐b）=-a，可知（2023⇒2018）=-2018，（2023⇒2015）=-2015，再计算（-2018⇐-2015）即可．【详解】解：∵（a⇒b）=-b，（a⇐b）=-a，∴（2023⇒2018）⇐（2023⇒2015）=（-2018⇐-2015）=2018．故答案为：2018．【点睛】本题这是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律．【题型3 绝对值非负性的应用】【例3】（2023秋·云南昭通·七年级校考阶段练习）已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，求a+b的值.【答案】5.【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列非常求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】∵|a-2|与|b-3|互为相反数，∴|a-2|+|b-3|=0，∴a-2=0，b-3=0，解得a=2，b=3，所以，a+b=2+3=5．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式3-1】（2023秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）对于任意有理数a，下列式子中取值不可能为0的是（）A．|a+1|B．|−1|+a C．|a|+1D．−1+|a|【答案】C【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．【详解】解：A．当a=−1时，a+1=0，则|a+1|=0，故A选项不符合题意；B．当a=−1时，|−1|+a=1−0，故B选项不符合题意；C．|a|≥0，则|a|+1≥1，不可能为0，故C选项符合题意；D．当a=±1时，−1+|a|=−1+1=0，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数．【变式3-2】（2023秋·山东潍坊·七年级统考期中）若|a−1|+|b+2|=0，求a+|−b|．【答案】3【分析】根据绝对值的非负性求解即可．【详解】解：∵|a−1|+|b+2|=0，∴a−1=0，b+2=0，解得：a=1，b=−2，故a +|−b |=1+2=3．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，准确的计算是解决本题的关键．【变式3-3】（2023秋·七年级课时练习）对于任意有理数m ，当m 为何值时，5−|m −3|有最大值？最大值为多少？【答案】5【分析】根据绝对值的非负性得到|m −3|≥0，得到当m =3时，|m −3|最小，代入求解即可；【详解】解：由绝对值都是非负数，得|m −3|≥0．当m =3时，|m −3|最小，最小值为0，此时5−|m −3|有最大值，最大值是5．【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用，准确计算是解题的关键．【题型4 化简多重符号】【例4】（2023秋·全国·七年级专题练习）化简下列各数：(1)−(−23)=________ ；(2)−(+45)=________；(3)−{+[−(+3)]}=________．【答案】 23 −45 3【分析】根据多重符合化简的法则，化简结果的符合由符号的个数决定，确定符号后可得结果．【详解】解：−(−23)=23，−(+45)=−45，−{+[−(+3)]}=3，故答案为：23，−45，3．【点睛】本题考查了化简多重符号，多重符号的化简是由“−”的个数来定，若“−”个数为偶数个时，化简结果为正；若“−”个数为奇数个时，化简结果为负．【变式4-1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列化简正确的是（ ）A ．+(−6)=6B ．−(−8)=8C ．−(−9)=−9D ．−[+(−7)]=−7 【答案】B【分析】根据化简多重符号的方法逐项判断即可求解．【详解】解：A. +(−6)=−6，原选项计算错误，不合题意；B. −(−8)=8，原选项计算正确，符合题意；C. −(−9)=9，原选项计算错误，不合题意；D. −[+(−7)]=7，原选项计算错误，不合题意．故选：B．【点睛】本题考查有理数的多重符合化简，化简多重符号就是看数字前负号的个数，如果负号的个数是奇数个则最终符号为负号，如果负号个数为偶数个则最终符号为正号．【变式4-2】（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）在−(+2.5)，−(−2.5)，+(−2.5)，+(+2.5)中，正数的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据多重符号化简原则逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：∵−(+2.5)=−2.5，−(−2.5)=2.25，+(−2.5)=−2.5，+(+2.5)=2.5，∴正数的个数是2个，故选B．【点睛】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握多重符号化简的原则：若一个数前有多重符号，则看该数前面的符号中，符号“−”的个数来决定，即奇数个符号则该数为负数，偶数个符号，则该数为正数．【变式4-3】（2023·全国·七年级假期作业）化简下列各式的符号：（1）﹣（＋4）；（2）＋（﹣37）；（3）﹣[﹣（﹣325）]；（4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}．化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？【答案】（1）-4；（2）−37；（3）−325；（4）π；最后结果的符号与﹣的个数有着密切联系，如果一个数是正数，当﹣的个数是奇数，最后结果为负数，当﹣的个数是偶数，最后结果为正数【分析】根据已知数据结合去括号的法则化简各数，进而得出结果的符号与原式中的“-”号的个数的关系．【详解】解：（1）﹣（+4）＝﹣4；（2）+(−37)=−37；（3）﹣[﹣（﹣325）]＝﹣325；（4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}＝π．最后结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，如果一个数是正数，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数．【点睛】本题考查了相反数的意义，正确发现数字变化规律是解题的关键．【题型5 化简绝对值】【例5】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b+c|+ |a−c|=_______．【答案】a−b−2c【分析】先由数轴判断a，b，c与0的大小关系，其中a>0,b<0,c<0，则b+c<0，a−c>0，再根据绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，进而得出结果．【详解】解：∵a>0,b<0,c<0，∴b+c<0，a−c>0，∴b+c+a−c=−(b+c)+a−c=−b−c+a−c=a−b−2c故答案为：a−b−2c．【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及绝对值的意义，其中正确掌握正负数的绝对值是解题的关键．【变式5-1】（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期中）如果|m|=|n|，那么m，n的关系（）A．相等B．互为相反数C．都是0D．互为相反数或相等【答案】D【分析】利用绝对值的代数意义化简即可得到m与n的关系．【详解】解：∵m=n，∴m=n或m=−n，即互为相反数或相等，故选：D．【点睛】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．【变式5-2】（2023·浙江·七年级假期作业）化简：(1)|−(+7)|；(2)−|−8|；【答案】(1)7(2)−8【分析】（1）先化简括号的符号，然后再根据绝对值的性质化简即可；（2）直接化简绝对值即可．【详解】（1）解：|−(+7)|=|−7|=7（2）−|−8|=−8．【点睛】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．【变式5-3】（2023·全国·七年级假期作业）求下列各数的绝对值：(1)−38；(2)0.15；(3)a(a<0)；(4)3b(b>0)；【答案】(1)38(2)0.15(3)−a(4)3b【分析】根据正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解．【详解】（1）|−38|=38；（2）|0.15|=0.15；（3）∵a<0，∴|a|=−a；（4）∵b>0，∴3b>0，∴|3b|=3b【点睛】本题考查了绝对值的性质，准确把握“正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数”是解题的关键．【题型6 利用相反数的性质求值】的相反数是x，－5的相反数是y，z的相反数是0，求x＋y 【例6】（2023·全国·七年级专题练习）已知－213＋z的相反数．【答案】－713【分析】根据相反数的概念求出x ，y ，z 的值，代入x+y+z 即可得到结果．【详解】解：∵－213的相反数是x ，－5的相反数是y ，z 相反数是0，∴x=213，y=5，z=0，∴x+y+z=213+5+0=713. ∴x+y+z 的相反数是－713 ． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键．【变式6-1】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期中）在数轴上表示整数a 、b 、c 、d 的点如图所示，且a +b =0，则c +d 的值是________．【答案】−4．【分析】根据题意先确定原点的位置，然后得到c 、d 表示的数，再进行计算即可．【详解】解：∵a +b =0，∴a 与b 互为相反数，由数轴可知，如图：∴a =−2，b =2，c =−8，d =4，∴c +d =−8+4=−4；故答案为：−4．【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．【变式6-2】（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）若 a +b =0，则 a b 的值是 ( ) A ．−1B ．0C ．无意义D ．−1或无意义【答案】D 【分析】分b =0，b ≠0两种情形计算即可．【详解】当b ≠0时，∵a +b =0，∴a=−b，∴a b =−bb=−1；当b=0时，∵a+b=0，∴a=0，∴ab无意义，∴ab的值是−1或无意义，故选D．【点睛】本题考查了相反数的意义，及其商的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．【变式6-3】（2023秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知a，b互为相反数，则a+2a+3a+⋯+49a+50a+ 50b+49b+⋯+3b+2b+b=________．【答案】0【分析】根据相反数的概念，得到a+b=0，继而可得出答案．【详解】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0.∴a+2a+3a+...+49a+50a+50b+49b+...+3b+2b+b=(a+b)+2(a+b)+3(a+b)+50(a+b)=0．故答案为：0．【点睛】本题考查了相反数的概念，属于基础题，注意掌握相反数的概念是关键．【题型7 解绝对值方程】【例7】（2023秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）若|−m|=|−12|，则m的值为（）A．±2B．−12或12C．12D．−12【答案】B【分析】根据绝对值的性质，进行化简求解即可．【详解】解：|−m|=|−12||−m|=12，∴m=±1，2故选：B．【点睛】本题考查了绝对值方程问题，解题的关键是掌握绝对值化简的性质，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数．【变式7-1】（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）如果|x|−2=2，那么x是（）A．4B．-4C．±2D．±4【答案】D【分析】根据绝对值意义进行解答即可．【详解】解：∵|x|−2=2，∴|x|=4，∴x=±4，故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值表示该数在数轴表示的点距原点的距离．【变式7-2】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期中））已知|a+1|=2,|2b−1|=7,a<b,求|a|+|b|．【答案】5或7【分析】根据绝对值的意义以及a与b的关系求出a和b的值，代入计算即可．【详解】解：∵|a+1|=2,|2b−17,∴a=1或-3，b=4或-3，∵a<b，∴a=1，b=4，或a=-3，b=4，|a|+|b|=5或7．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握已知一个数的绝对值，求这个数．【变式7-3】（2023秋·江苏·七年级专题练习）解方程：3x−|x|+5=1．【答案】x=−1【分析】根据绝对值的意义，分类讨论求解即可．【详解】解：当x≥0时，3x−x+5=1，解得：x=−2（不符合题意，舍去），当x<0时，3x+x+5=1，解得：x=−1，综上所述：x=−1，∴原方程的解为：x=−1．【点睛】本题考查了绝对值方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．【题型8 绝对值几何意义的应用】【例8】（2023秋·全国·七年级专题练习）|x−1|+|x−2|+|x−3|+⋅⋅⋅+|x−2021|的最小值是（）A．1B．1010C．1021110D．2020【答案】C【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可．【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020；当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；…当x=1011时，|x-1011|有最小值0．综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值，最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|=1010+1009+…+0+1+2+…+1010=1011×1010=1021110．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键．【变式8-1】（2023秋·七年级单元测试）小亮把中山路表示成一条数轴，如图所示，把路边几座建筑的位置用数轴上的点，其中火车站的位置记为原点，正东方向为数轴正方向，公交车的1站地为1个单位长度（假设每两站之间距离相同）回答下列问题：(1)到火车站的距离等于2站地的是和．(2)到劝业场的距离等于2站地的是和．(3)在数轴上，到表示1的点的距离等于2的点有个，表示的数是．(4)如果用a表示图中数轴上的点，那么|a|表示该点到火车站的距离，当|a|=2时，a=2或−2．请你结合图形解释等式|a−1|=2表达的几何意义，并求出当|a−1|=2时，a的值．【答案】(1)烈士陵园，北国商城(2)人民商场，博物馆(3)2，−1或3(4)表达的几何意义见解析，a的值为3或−1【分析】（1）由图即可直接得出结论；（2）由图即可直接得出结论；（3）结合数轴即可直接得出结论；（4）结合图形可知|a−1|=2的几何意义为：该点到劝业场的距离等于2，进而可直接得出a的值．【详解】（1）解：由图可知到火车站的距离等于2站地的是人民商场和劝业场．故答案为：烈士陵园，北国商城；（2）解：由图可知到劝业场的距离等于2站地的是人民商场和博物馆．故答案为：人民商场，博物馆；（3）解：在数轴上，到表示1的点的距离等于2的点有2个，分别是−1和3．故答案为：2，−1或3；（4）解：该题中|a−1|=22，且为人民商场或博物馆．即到表示1的点的距离等于2的点．结合图形可知当|a−1|=2时，a的值为3或−1．【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义．利用数形结合的思想是解题关键．【变式8-2】（2023春·浙江·七年级期末）方程|x|+|x−2022|=|x−1011|+|x−3033|的整数解共有（）A．1010B．1011C．1012D．2022【答案】C【详解】根据绝对值的意义，方程表示整数x到0与2022的距离和等于到1011与3033的距离的和，进而得出x为1011与2022之间的整数，据此即可求解．【分析】解：方程的整数解是1011至2022之间的所有整数，共有1012个．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点的距离，理解绝对值的意义是解题的关键．【变式8-3】（2023秋·七年级单元测试）阅读材料：因为|x|=|x−0|，所以|x|的几何意义可解释为数轴上表示数x的点与表示数0的点之间的距离．这个结论可推广为：|x1−x2|的几何意义是数轴上表示数x1的点与表示数x2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：(1)等式|x−2|=3的几何意义是什么？这里x的值是多少？(2)等式|x−4|=|x−5|的几何意义是什么？这里x的值是多少？(3)式子|x−1|+|x−3|的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？【答案】(1)几何意义为数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离等于3，x=−1或5(2)几何意义是点P到点A的距离等于点P到点B的距离，x=412(3)几何意义是点P到点M的距离与点P到点N的距离的和，最小值为2【分析】（1）根据|x1−x2|的几何意义求解可得；（2）先去绝对值，再解方程即可求解；（3）由题意知|x−1|+|x−3|表示数x到1和3的距离之和，当数x在两数之间时式子取得最小值．【详解】（1）解：等式|x−2|=3的几何意义为数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离等于3，这里x=−1或5．（2）解：设数轴上表示数x，4，5的点分别为P，A，B，则等式|x−4|=|x−5|的几何意义是点P到点A的距离等于点P到点B的距离，即PA=PB，所以x=41．2（3）解：设数轴上表示数x，1，3的点分别为P，M，N，则式子|x−1|+|x−3|的几何意义是点P到点M的距离与点P到点N的距离的和，即PM+PN．结合数轴可知：当1≤x≤3时，式子|x−1|+|x−3|的值最小，最小值为2．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．【题型9 有理数的大小比较】这四个数中，绝对值最小的数是（）【例9】（2023·湖北孝感·七年级统考期中））在1，−2，0，32A．1B．−2C．0D．32【答案】C【分析】先求绝对值，然后根据有理数大小比较即可求解．【详解】解：∵1，−2，0，32这四个数的绝对值分别为1，2，0，32∴绝对值最小的数是0，故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的定义，有理数的大小比较是解题的关键．【变式9-1】（2023秋·广东河源·七年级校考开学考试）已知下列有理数，在数轴上表示下列各数，并按原数从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．−5，+3，−|−3.5|，0，−(−2)，−1【答案】数轴见解析，−5<−|−3.5|<−1<0<−(−2)<+3【分析】先去括号，去绝对值符号，把各数在数轴上表示出来，按原数从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来即可．【详解】解：−|−3.5|=−3.5，−(−2)=2，如图，故−5<−|−3.5|<−1<0<−(−2)<+3．【点睛】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示及大小比较是解题的关键．【变式9-2】（2023·浙江·七年级假期作业）（1）试用“<”“ >”或“=”填空：①|+6|−|+5| |(+6)−(+5)|；②|−6|−|−5| |(−6)−(−5)|；③|+6|−|−5| |(+6)−(−5)|；（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数a 、b 的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为|a|−|b| |a −b|；（3）请问，当a 、b 满足什么条件时，|a|−|b|=|a −b|？【答案】（1）①=；②=；③＜；（2）≤；（3）①当a >b >0，②a <b <0，③a =b ，④b =0，时|a|−|b|=|a −b|．【分析】（1）先计算，再比较大小即可；（2）根据（1）的结果，进行比较即可；（3）根据（1）的结果，可发现，当a 、b 同号时，|a|−|b|=|a −b|．【详解】解：（1）①|+6|−|+5|=1，|(+6)−(+5)|=1，∴|+6|−|+5|=|(+6)−(+5)|；②|−6|−|−5|=1，|(−6)−(−5)|=1，∴|−6|−|−5|=|(−6)−(−5)|；③|+6|−|−5|=1，|(+6)−(−5)|=11，∴|+6|−|−5|<|(+6)−(−5)|；故答案为：=,=,<；（2）|a|−|b|⩽|a−b|；故答案为：≤；（3）①当a>b>0，②a<b<0，③a=b，④b=0，时|a|−|b|=|a−b|．【点睛】本题考查了有理数的大小比较及绝对值的知识，解题的关键是注意培养自己由特殊到一般的总结能力．【变式9-3】（2023秋·湖北黄冈·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列关系正确的是（）A．|a|＞|b|B．a＞﹣b C．b＜﹣a D．﹣a=b【答案】C【分析】先根据各点在数轴上的位置得出b﹤-c﹤0﹤a﹤c，再根据绝对值、相反数、有理数的大小逐个判断即可．【详解】从数轴可知：b﹤-c﹤0﹤a﹤c，∴∣a∣﹤∣b∣,a﹤-b，b﹤-a，-a≠b，所以只有选项C正确，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的大小比较、相反数、绝对值、数轴的应用，解答的关键是熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法．【题型10 应用绝对值解决实际问题】【例10】（2023·浙江·七年级假期作业）某汽车配件厂生产一批圆形的零件，现从中抽取6件进行检查，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下表：(1)找出哪件零件的质量相对好一些？(2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米的产品为合格产品；则这6件产品中有哪些产品不合格？【答案】(1)第4件质量最好；(2)第1件、第2件产品不合格．【分析】（1）根据绝对值越小质量越好，越大质量越差即可知道哪件零件的质量相对来讲好一些；（2）按绝对值由大到小排即可．【详解】（1）解：∵|+0.5|=0.5，|-0.3|=0.3，|+0.1|=0.1，|0|=0，|-0.1|=0.1，|+0.2|=0.2，∵0＜0.1=0.1＜0.2＜0.3＜0.5，∴|0|＜|+0.1|=|-0.1|＜|+0.2|＜|-0.3|＜|+0.5|，∴第4件质量最好；（2）解：∵|+0.5|=0.5＞0.2，|-0.3|=0.3＞0.2，∴第1件、第2件产品不合格．【点睛】本题主要考查绝对值的意义，可以结合绝对值的意义进行解答．【变式10-1】（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，为了检测4个足球质量，规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．下列选项中最接近标准的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据绝对值最小的最接近标准，可得答案．【详解】解：|−1.4|=1.4,|−0.5|=0.5,|0.6|=0.6,|−2.3|=2.3，0.5<0.6<1.4<2.3，则最接近标准的是−0.5．故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义是解题关键．【变式10-2】（2023秋·山东济南·七年级校考阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是_____．【答案】甜味【分析】找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得．【详解】解：|+10|=10，|−8.5|=8.5，|+5|=5，|−7.3|=7.3，因为5<7.3<8.5<10，所以最符合标准的一种食品是甜味，故答案为：甜味．【点睛】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键．【变式10-3】（2023秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下：（1）指出哪件样品的直径最符合要求；（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18~0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？【答案】（1）第4件样品的直径最符合要求；（2）第1，2，4件样品是正品；第3件样品为次品；第5件样品为废品．【分析】（1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好；（2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品．【详解】解：（1）∵|−0.05|<|+0.10|<|−0.15|<|+0.20|<|+0.25|，∴第4件样品的直径最符合要求．（2）因为|+0.10|=0.10<0.18,|−0.15|=0.15<0.18，|−0.05|=0.05<0.18．所以第1，2，4件样品是正品；因为|+0.20|=0.20,0.18<0.20<0.22，所以第3件样品为次品；因为|+0.25|=0.25>0.22，所以第5件样品为废品．【点睛】考查了绝对值，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据．。
初中数学 正数和负数的相反数是什么
初中数学正数和负数的相反数是什么在初中数学中，我们经常会遇到正数和负数的相反数的概念。
相反数是指一个数与它的对称位置的数之间的关系，它们具有相同的绝对值但符号相反。
下面我将详细解释正数和负数的相反数的定义、性质以及应用。
1. 正数的相反数：对于一个正数a，它的相反数是一个与它绝对值相等但符号相反的数，记作-a。
例如，正数3的相反数是-3，正数5的相反数是-5。
2. 负数的相反数：对于一个负数b，它的相反数是一个与它绝对值相等但符号相反的数，记作-b。
例如，负数-2的相反数是2，负数-7的相反数是7。
3. 相反数的定义：相反数表示了一个数的对称位置的数，它们具有相同的绝对值但符号相反。
相反数的定义可以用如下的数学表达式表示：如果a > 0，那么-a 是一个负数，且|-a| = a；如果a < 0，那么-a 是一个正数，且|-a| = -a。
4. 相反数的性质：-绝对值相等：正数和它的相反数的绝对值相等，即|a| = |-a|。
-符号相反：正数和它的相反数的符号相反，即如果a > 0，则-a < 0；如果a < 0，则-a > 0。
-零的相反数是零：零的相反数仍然是零，即-0 = 0。
-相反数的相反数等于原数：正数和它的相反数的相反数等于它本身，即-(-a) = a。
5. 相反数的应用：相反数在数学中和实际生活中都有广泛的应用，例如：-计算：相反数可以用于计算中，例如在加法和减法运算中，我们可以利用相反数的性质简化计算过程。
-建模问题：相反数可以用于建模问题，例如在物理学中，正数和负数可以用来表示物体的方向和速度。
-几何问题：相反数可以用于几何问题中，例如在坐标平面上，正数和负数可以用来表示点的位置和方向。
总结起来，正数和负数的相反数是一个与它绝对值相等但符号相反的数。
相反数具有绝对值相等、符号相反的性质，并且在数学和实际生活中具有广泛的应用。
它们可以用于简化计算、建模问题以及表示方向和位置等几何问题。
《1.3绝对值与相反数》
练一练
1.填空
(1)绝对值等于0的数是___, 0
(2)绝对值等于5.25的正数是_____, 5.25 (3)绝对值等于5.25的负数是______, -5.25 (4)绝对值等于2的数是_______. 2或-2
2.判断下列说法是否正确. （1）一个数的绝对值是4 ，则这数是-4. ×
（2）|3|＞0. √
3 5
5
－5 －4
3
3 5
3
1 2 3 4
5
5
－3 －2 －1
0
（2）观察各点在数轴上的位置，得到
3 3 3 3 |3|=3，|-3|=3；|5|=5，|-5|=5； | | ,| | . 5 5 5 5
二 相反数
观察与思考
观察例1中的三组数在数轴上的位置和绝对值的大小， 想一想这三组数的共同特点是什么？ 符号不同
课后作业
见教材本课时习题
x x 3x 5. 的相反数是_____ ，-3x的相反数是___. 2 2
6.判断并改错： （1） 相反数等于它本身的数只有0; ﹙ （2） 符号不同的两个数互为相反数;﹙ ﹚ ﹚ ( )
（3）一个数的绝对值等于本身,则这个数一定是正数；
（4）一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数;(
（5）如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值一定不等;(
（7）有理数的绝对值一定是非负数. ( )
)
7. 化简下列各数,并求出它们的绝对值. (1)-(+10) (2)+(-0.15) (3)+(+3)
(4)-(-12)
解：
(5)+[-(-1.1)]
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|４|＝４
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
说一说
利用数轴上点到原点的距离口答：
|5|= 5 |3.5|= 3.5 |-3|= 3 |-4.5|= 4.5 |0|= 0
-3 -4.5
0
5
0 3.5 0
0
01
典例精析
例1 （1）用数轴上的点表示下列各组数： ?3，-3；?5，-5；? 3 ，- 3 . 55
二 相反数
观察与思考
观察例1中的三组数在数轴上的位置和绝对值的大小， 想一想这三组数的共同特点是什么？
符号不同
| ? 3 |? 3 | ? 3 |? 3
绝对值相等
知识要点
像3和-3，5和-5这样，符号不同，绝对值相等的 两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数， 这两个数互为相反数.
0的相反数规定为0. 表示一个数的相反数时，可以在这个数的前面添
际意义是什么？
B
O
A－10010在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫 做这个数的绝对值，用“| |”表示.
-5到原点的距离是5, 所以-5的绝对值是5, 记作|-5|=5
0到原点的距离是0, 所以0的绝对值是0, 记作|0|=0
4到原点的距离是4,所以 4的绝对值是4,记作 |4|=4
|-５|＝５
a是__正___数．
5. x 2
的相反数是_?__2x__，-3x的相反数是_3_x_.
6.判断并改错：
（1） 相反数等于它本身的数只有0; ﹙ ﹚
（2） 符号不同的两个数互为相反数;﹙ ﹚
（3）一个数的绝对值等于本身,则这个数一定是正数； ( )
典例精析
例2 化简下列各数： -(-11),-(+2),-(-3.75), ? (? 8 ) 13
解：因为-11的相反数是11，所以-（-11）= 11. 因为+2的相反数是-2，所以-（+2）= -2. 同理，-（-3.75）= +3.75. ? (? 8 ) ? ? 8 . 13 13
方法归纳
当堂练习
1．-1.6是_1_._6_的相反数，_-0_._3_的相反数是0.3．
2．下列几对数中互为相反数的一对为（ C ）．
A．? (? 8) 和 ? (? 8) B．? (? 8) 与? (? 8)
C．? (? 8) 与 ? (? 8)
3．5的相反数是__-5__；a的相反数是_-_a_；
4．若a是负数，则-a是_正____数；若-a是负数,则
加一个“-”，因此，数a的相反数可以表示为-a，这
里a表示任意一个数，即它可以是正数、负数或者0.
想一想
1.如果a 表示有理数，那么a的相反数是－a ,－a一定
是负数吗？
解：不一定，可以是正数、负数，也可以是0.
2.数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？ ?表示互为相反数的两个数的点在数轴上分别位于原点的两 侧（0除外）； ?表示互为相反数的两个数的点与原点的距离相等.
1.3 绝对值与相反数
学习目标
1.理解绝对值的定义，会求一个有理数的绝对值；（重点） 2.理解相反数的定义，会求一个有理数的相反数；（重点） 3.掌握绝对值的性质.（难点、重点）
画一条数轴，并在数轴上标出表示下 列各数的点：
1， -2， -3.5, 2.5, 0.
导入新课
情境引入
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
（2) 观察表示上述各组数的点在数轴上的位置，写出
这些数的绝对值.
解：（1）如下图：
?5
?3
?3
3
5
5
3
5
－5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
（2）观察各点在数轴上的位置，得到
?|3|=3，|-3|=3；?|5|=5，|-5|=5；?| 3 |? 3 ,| ? 3 |? 3 . 55 55
练一练
1.填空 (1)绝对值等于0的数是__0_, (2)绝对值等于5.25的正数是_5_._2_5_, (3)绝对值等于5.25的负数是_-_5_._2_5_, (4)绝对值等于2的数是__2_或__-2__.
2.判断下列说法是否正确. （1）一个数的绝对值是4 ，则这数是-4. × （2）|3|＞0. √ （3）|-1.3|＞0. √ （4）有理数的绝对值一定是正数. × （5）若a＝-b，则|a|＝|b|. √ （6）若|a|＝|b|，则a＝b. × （7）若|a|＝-a，则a必为负数. × （8）互为相反数的两个数的绝对值相等. √
讲授新课
一 绝对值的意义
合作探究
甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向
东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行
驶10km到达A处，记作 +10 km，乙车向西行驶10km到达B处，
记做 -10 km.
以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出
A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多少？它们的实
对于数字前面含有多个符号的数的化简，只要观察“－” 号的个数即可．如果有奇数个“－”号，结果的符号就 是“－”号；如果有偶数个“－”号，结果的符号就是 “＋”号．
三 绝对值的性质
观察与思考
|5|=5
|3.5|= 3.5
|-3|=3
|-4.5|=4.5
|0|=0
…
|-10|=10 |-3.5|=3.5 |50|=50 |+4.5|=4.5
互为相反数的两个 数的绝对值相等.
例4 若|a|+|b|=0，求a,b的值. 解析：由绝对值的性质可得|a|≥0，|b|≥0. 解：由题意得|a|≥0，|b|≥0，又因为|a|+|b|=0， 所以|a|=0，|b|=0，所以a=0,b=0.
方法归纳：如果几个非负数的和为0，那么这几个非 负数都等于0.
思考： 一个正数的绝对值是什么？ 一个负数的绝对值是什么？ 0的绝对值是什么？
结论
一个正数的绝对值是它本身.
一个负数的绝对值是它的相反数. 0 的绝对值是0.
一般地，如果a表示一个有理数，则
（1）当a是正数时，| a |= a ；
（2）当a是负数时，| a |= - a ；
（3）当a=0时，| a |= 0
.
|a|≥0
典例精析
例3 求下列各数的绝对值：
? 3 , 3 , -2.5，+2.5 88
[解析] 判断该数的符号，再根据正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即可求
解． 解：| ? 3 |? 3 ,| ?2.5 |? 2.5, 88
| 3 |? 3 ,| 2.5 |? 2.5 88