模拟退火算法
模拟退火算法解决优化问题
模拟退火算法解决优化问题模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种基于模拟固体退火过程的全局优化算法，被广泛应用于解决各种优化问题。
它的基本思想源于固体退火过程中的原子热运动，通过模拟原子在退火过程中的状态变化，寻找全局最优解。
本文将介绍模拟退火算法的基本原理、算法流程以及在解决优化问题中的应用。
一、模拟退火算法的基本原理模拟退火算法的基本原理来自于固体物理学中的固体退火过程。
在固体退火过程中，固体在高温下加热后逐渐冷却，原子会随着温度的降低而逐渐趋于稳定状态。
类比到优化问题中，算法在搜索过程中允许一定概率接受比当前解更差的解，以避免陷入局部最优解，最终达到全局最优解。
二、模拟退火算法的基本步骤1. 初始化：随机生成初始解，并设定初始温度和终止条件。
2. 选择邻域解：根据当前解生成邻域解。
3. 接受准则：根据一定概率接受邻域解，更新当前解。
4. 降温策略：根据降温策略逐渐降低温度。
5. 终止条件：达到终止条件时停止搜索，输出最优解。
三、模拟退火算法的应用模拟退火算法在解决各种优化问题中都有广泛的应用，包括组合优化、函数优化、图像处理等领域。
下面以组合优化问题为例，介绍模拟退火算法的具体应用。
1. 旅行商问题（TSP）：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条最短路径经过所有城市并回到起点。
模拟退火算法可以通过不断调整路径来寻找最优解。
2. 排课问题：在学校排课过程中，需要合理安排老师和班级的上课时间，避免冲突和空闲时间过长。
模拟退火算法可以优化排课方案，使得课程安排更加合理。
3. 装箱问题：在物流领域中，需要将不同大小的物品合理装箱，使得装箱空间利用率最大化。
模拟退火算法可以帮助优化装箱方案，减少空间浪费。
四、总结模拟退火算法作为一种全局优化算法，具有较好的全局搜索能力和收敛性。
通过模拟退火算法，可以有效解决各种优化问题，得到较优的解决方案。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点调整算法参数和策略，进一步提高算法的效率和准确性。
模拟退火
模拟退火算法什么是模拟退火算法模拟退火算法（Simulate Anneal Arithmetic，SAA）是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。
模拟退火是S.Kirkpatrick, C.D.Gela tt和M.P.Vecchi在1983年所发明。
而V.Černý在1985年也独立发明此演算法。
模拟退火算法是解决TSP问题的有效方法之一。
模拟退火来自冶金学的专有名词退火。
退火是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。
材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。
退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。
模拟退火的原理也和金属退火的原理近似：将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。
演算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。
模拟退火算法的模型[1]模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想:o(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数Lo(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：o(3) 产生新解S′o(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数o(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.o(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
o(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：o第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
五大常用算法 模拟退火算法
五大常用算法模拟退火算法
模拟退火算法是一种常用的求解优化问题的算法，它可以用于解决各种实际问题。
本文将介绍模拟退火算法及其应用，同时还会介绍其他四种常用的算法。
一、模拟退火算法
模拟退火算法是一种启发式算法，适用于求解复杂的优化问题。
它源于固体物理学中的退火过程，通过模拟退火过程来寻求最优解。
模拟退火算法通过随机跳出局部最优解的过程，寻找全局最优解。
二、其他四种常用算法
1.遗传算法
遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化方法。
它通过对可行解进行适应度评价、选择、交叉和变异等操作，将优秀的个体遗传给下一代，从而不断优化解的质量。
2.蚁群算法
蚁群算法是一种模拟蚂蚁寻找食物的行为而发展出来的算法。
它通过模拟蚂蚁在搜索过程中的信息素沉积和信息素挥发，不断优化搜索路径，从而找到最优解。
3.粒子群算法
粒子群算法是一种模拟粒子在空间中移动的算法。
它通过模拟粒子在搜索空间中的移动和互相协作，不断优化搜索路径，从而找到最优解。
4.人工神经网络
人工神经网络是一种模拟人脑神经元工作原理的算法。
它通过构建神经元之间的连接和权重来实现对输入信息的处理和输出结果的预测，可以用于分类、回归等问题的求解。
三、总结
以上介绍了五种常用的算法，它们都可以用于解决不同类型的优化问题。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的算法。
模拟退火算法是其中一种常用算法，具有较为广泛的应用。
模拟退火算法
模拟退火算法模拟退火是一种通用概率算法，目的是在固定时间内在一个大的搜寻空间内寻求给定函数的全局最优解。
它通常被用于离散的搜索空间中，例如，旅行商问题。
特别地，对于确定的问题，模拟退火算法一般是优于穷举法。
这是由于我们一般只需得到一个可接受的最优解，而不是精确的最优解。
退火一词来源于冶金学。
退火（见图1）是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。
材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。
退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。
因此，我们将热力学的理论应用到统计学上，将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。
而模拟退火算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。
模拟退火原理最早是 S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和 M. P. Vecchi 在1983年所创造的。
而 V . Černý 在1985年也独立发明了此算法。
1. 问题描述数学上的最优化问题一般描述为如下形式：()()minimize()g 0,1,2,,subject to 0,1,2,,i i f x x i m h x i p≤=⎧⎪⎨==⎪⎩ 其中，():R n f x R →称作问题的目标函数，()g 0i x ≤称作问题的不等式约束条件，()0i h x =称作问题的等式约束条件。
寻求上述问题的最优解的过程就类似于从热动力系统的任意一个初始状态向内能最小的状态转移的过程，即退火过程。
2. 模拟退火算法基本思想模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有图1 物理退火原理图序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。
模拟退火算法及其改进算法
模拟退火算法及其改进算法模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）是一种基于概率的全局优化算法，它模拟了金属冶炼过程中的“退火”过程。
退火过程是指将高温物质逐渐降温，使之逐渐固化形成晶态结构。
同样地，模拟退火算法通过随机和接受不太好的解决方案的策略，以找到全局最优解。
算法的基本思路是在一个空间中随机生成一个起始解，然后通过一系列的变换和评估过程逐步更新当前解，直到找到满足优化目标的解决方案。
在每次迭代中，算法会通过采样邻域解决方案来将当前解转移到新的状态，并计算相应的目标函数值。
如果新的状态比当前解更优，则接受新的解作为当前解，并在下一次迭代中继续。
如果新的状态不是更优的解，则以一定的概率接受新的解，概率的大小与两个解之间的差距以及当前温度有关。
温度逐渐降低，使得算法在开始时可以接受较差的解决方案，但随着迭代次数的增加逐渐降低接受较差解决方案的概率，最终使算法收敛到一个较好的解。
尽管模拟退火算法在全局优化问题中表现优秀，但仍存在一些问题，例如收敛速度慢、易陷入局部最优解等。
因此，研究者提出了一些改进算法来提高模拟退火算法的性能。
一种改进算法是自适应模拟退火算法（Adaptive Simulated Annealing, ASA），它利用负自适应参数来调整算法自身的控制参数，从而提高收敛速度。
通过对负自适应参数进行精确建模和合适的调整，能够使算法自动地根据当前状态的差距和目标函数值的变化来调整的速度和方向。
另一种改进算法是量子模拟退火算法（Quantum Simulated Annealing, QSA），它引入了量子位操作和量子态演化来提高效率。
QSA利用一种特殊的迭代方式来更新解决方案，将随机排列算法与量子信息处理技术相结合，通过量子态的演化来寻找最优解，并避免陷入局部最优解。
此外，还有一些其他的改进算法，如多重爬山算法（Multi-startHill Climbing）、禁忌算法（Tabu Search）等，它们在模拟退火算法的基础上增加了一些启发式方法和约束条件，从而进一步提高性能。
模拟退火算法详解
车间调度问题求解
总结词
模拟退火算法在车间调度问题求解中具有较好的应用 效果，能够提高生产效率。
详细描述
车间调度问题是一个复杂的优化问题，旨在合理安排生 产任务和资源分配，以提高生产效率。模拟退火算法通 过随机搜索和接受不良解的概率，能够找到较为满意的 调度方案。在车间调度问题中，模拟退火算法可以与其 他启发式方法结合使用，以获得更好的性能。此外，模 拟退火算法还可以应用于其他生产调度问题，如作业车 间调度、装配线平衡等。
旅行商问题求解
总结词
模拟退火算法在旅行商问题求解中具有较好的性能， 能够找到高质量的解。
详细描述
旅行商问题是一个NP难问题，旨在寻找一条旅行路线 ，使得一个旅行商能够访问一系列城市并返回到起始 城市，且总旅行距离最短，同时满足每个城市恰好经 过一次。模拟退火算法通过随机搜索和接受不良解的 概率，能够探索更广阔的解空间，从而找到高质量的 解。在旅行商问题中，模拟退火算法可以与其他启发 式方法结合使用，以获得更好的性能。
迭代更新
重复产生新解、计算能量差和降低温度的 过程，直到满足终止条件。
终止条件
达到最大迭代次数
当达到预设的最大迭代次数时，算法终止。
温度低于阈值
当温度低于一个预设的阈值时，算法终止。
解的质量满足要求
当当前解的质量满足预设的要求或与最优解 的差距在可接受范围内时，算法终止。
03
模拟退火算法参数设置
温度衰减率
总结词
温度衰减率是模拟退火算法中温度变化的速率，它决定了算法的收敛速度和全局搜索能 力。
详细描述
温度衰减率决定了算法在迭代过程中温度下降的速度。较小的衰减率可以使算法在迭代 过程中有更多的时间来探索解空间，但可能会导致算法收敛速度较慢；而较大的衰减率 则可以使算法更快地收敛到最优解，但可能会牺牲一些全局搜索能力。因此，选择合适
模拟退火算法公式
模拟退火算法公式模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，最早由美国物理学家，冯·诺依曼奖得主，以及诺贝尔物理学奖得主南部-安丘因于1953年提出。
它模拟了固体物质退火时的行为，通过对潜在解空间的搜索，寻找全局最优解。
在固体退火过程中，物质从高温到低温逐渐冷却，通过不断调控温度，使系统的能量逐渐减少。
模拟退火算法的核心思想正是基于这一过程，通过一系列接受概率较低的状态转移，来跳出局部最优解，最终找到全局最优解。
模拟退火算法具体流程如下：1. 随机初始化初始解，并设定初始温度和终止温度。
2. 在每个温度下，通过随机扰动当前解，产生一个新解。
3. 计算新解的函数值和当前解的函数值之差△E。
4. 如果△E ≤ 0，则接受新解作为当前解。
5. 如果△E > 0，则以一定概率接受新解。
该概率由Metropolis 准则决定，概率公式为 P = e^(-△E/T)。
6. 逐渐降低温度，根据设定的降温速率进行迭代搜索，直到达到终止温度。
值得注意的是，温度决定了接受不良解的概率，随着退火过程的进行，温度逐渐降低，接受不良解的概率减小，使得算法更加倾向于收敛到全局最优解。
模拟退火算法在全局优化问题中有着广泛的应用。
例如，在旅行商问题中，通过模拟退火算法可以找到最优的旅行路径，从而使得旅行商的行程最短。
在网络设计中，模拟退火算法可以优化网络拓扑结构，提高数据传输效率。
在机器学习中，模拟退火算法可以用于参数调优，帮助优化模型的性能。
然而，模拟退火算法也存在着一定的局限性。
首先，算法的运行时间较长，需要大量的迭代次数和计算资源。
其次，在应对高维问题和非凸问题时，算法可能会陷入局部最优解，无法得到全局最优解。
因此，在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的算法，并结合其他优化方法来提高解的质量。
综上所述，模拟退火算法是一种具有指导意义的全局优化算法。
通过模拟退火过程，可以在搜索解空间时避免陷入局部最优解，并找到全局最优解。
模拟退火算法
模拟退火算法（Simulated Annealing）是一种随机优化算法，其基本思想是将问题转化为能量最小化问题，在解空间中以概率形式进行搜索空间，从而达到全局优化的目的。
一、算法原理的原理源于冶金学中的“模拟退火”过程。
在冶金学中，模拟退火是一种将材料加热到足够高的温度，使得原子以无序方式排列，并随着温度逐渐下降，原子逐渐重新排列成为有序状态的过程。
类似地，在算法中，模拟退火过程由三个参数组成：初始温度、降温速率和停止温度。
算法从一个初始解开始，随机产生新解，并计算新解与当前解之间的能量差。
如果新解的能量小于当前解的能量，则直接接受新解，如果新解的能量大于当前解的能量，则以一定的概率接受新解，以避免过早陷入局部最优解。
通过不断降温的过程，在搜索空间中进行随机跳跃，并慢慢收敛到全局最优解。
二、算法流程的流程如下：1. 设定初始温度、降温速率和停止温度。
2. 随机生成一个初始解，并计算其能量。
3. 生成一个新解，并计算新解与当前解之间的能量差。
4. 如果新解的能量小于当前解的能量，则接受新解。
5. 如果新解的能量大于当前解的能量，则以一定的概率接受新解。
6. 降温，更新温度。
7. 判断算法是否收敛，如果未收敛则返回步骤2。
三、应用场景广泛应用于组合优化问题、图论问题、生产调度问题等领域。
例如：1. 旅行商问题：在旅行商问题中，可以通过搜索空间中随机跳跃的方式找到最短路径，从而达到全局最优解。
2. 排课问题：在学校的排课问题中，可以帮助学校最优化考虑不同的课程安排，得到最优化的课程表。
3. 生产调度问题：在生产调度问题中，可以帮助生产企业在限制资源的条件下找到最优化的生产方案，提高生产效率。
四、优缺点作为一种优化算法，具有以下优点：1. 全局搜索能力强：能够在搜索空间中进行全局搜索，并趋向于全局最优解。
2. 算法收敛性好：在算法搜索到解后，能够很快地达到最优解，收敛速度较快。
3. 收敛到局部最优解的可能性较小：由于算法在跳跃过程中具有随机性，因此收敛到局部最优解的可能性较小。
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二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想
爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最 优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算 法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来
接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达 到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A 后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最 优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。
一. 爬山算法 ( Hill Climbing )
介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简Байду номын сангаас的贪心 搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当 前解，直到达到一个局部最优解。
爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一 定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜 索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小 幅度移动都不能得到更优的解。
if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动 Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动 else { // 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T ) 也 if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) ) Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动 } T = r * T ; //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小， 降温越快 /* * 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也 就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部 最优值 */ i ++ ; }
五. 算法评价
模拟退火算法是一种随机算法，并不一定能找到全局的最优解， 可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当，模拟退火 算法搜索效率比穷举法要高。
模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能 走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。 这就是模拟退火。
下面给出模拟退火的伪代码表示。
三. 模拟退火算法伪代码
代码 /* * J(y)：在状态y时的评价函数值 * Y(i)：表示当前状态 * Y(i+1)：表示新的状态 * r： 用于控制降温的快慢 * T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态 * T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索 */ while( T > T_min ) { dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ;
随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。
我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率 P(dE)来接受这样的移动。
关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：
爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高 山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证 局部最优值就是全局最优值。
根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率 为P(dE)，表示为：
P(dE) = exp( dE/(kT) )
其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了 就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越 低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火 了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。
模拟退火算法描述：
若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解)，则总是接 受该移动
若J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差)，则以 一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降 低才能趋向稳定）
这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模 拟退火算法名称的由来。
四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题
旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N个 城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城 市，求最短的路线。
旅行商问题属于所谓的NP完全问题，精确的解决TSP只能通过穷 举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!) 。 使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。 （使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决 TSP的思路： 1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) ) 2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退 火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温 3. 重复步骤1，2直到满足退出条件 产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种： 1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。 2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。 3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点 k后面。