模拟退火算法
模拟退火算法解决优化问题
模拟退火算法解决优化问题模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种基于模拟固体退火过程的全局优化算法，被广泛应用于解决各种优化问题。
它的基本思想源于固体退火过程中的原子热运动，通过模拟原子在退火过程中的状态变化，寻找全局最优解。
本文将介绍模拟退火算法的基本原理、算法流程以及在解决优化问题中的应用。
一、模拟退火算法的基本原理模拟退火算法的基本原理来自于固体物理学中的固体退火过程。
在固体退火过程中，固体在高温下加热后逐渐冷却，原子会随着温度的降低而逐渐趋于稳定状态。
类比到优化问题中，算法在搜索过程中允许一定概率接受比当前解更差的解，以避免陷入局部最优解，最终达到全局最优解。
二、模拟退火算法的基本步骤1. 初始化：随机生成初始解，并设定初始温度和终止条件。
2. 选择邻域解：根据当前解生成邻域解。
3. 接受准则：根据一定概率接受邻域解，更新当前解。
4. 降温策略：根据降温策略逐渐降低温度。
5. 终止条件：达到终止条件时停止搜索，输出最优解。
三、模拟退火算法的应用模拟退火算法在解决各种优化问题中都有广泛的应用，包括组合优化、函数优化、图像处理等领域。
下面以组合优化问题为例，介绍模拟退火算法的具体应用。
1. 旅行商问题（TSP）：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条最短路径经过所有城市并回到起点。
模拟退火算法可以通过不断调整路径来寻找最优解。
2. 排课问题：在学校排课过程中，需要合理安排老师和班级的上课时间，避免冲突和空闲时间过长。
模拟退火算法可以优化排课方案，使得课程安排更加合理。
3. 装箱问题：在物流领域中，需要将不同大小的物品合理装箱，使得装箱空间利用率最大化。
模拟退火算法可以帮助优化装箱方案，减少空间浪费。
四、总结模拟退火算法作为一种全局优化算法，具有较好的全局搜索能力和收敛性。
通过模拟退火算法，可以有效解决各种优化问题，得到较优的解决方案。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点调整算法参数和策略，进一步提高算法的效率和准确性。
模拟退火
模拟退火算法什么是模拟退火算法模拟退火算法（Simulate Anneal Arithmetic，SAA）是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。
模拟退火是S.Kirkpatrick, C.D.Gela tt和M.P.Vecchi在1983年所发明。
而V.Černý在1985年也独立发明此演算法。
模拟退火算法是解决TSP问题的有效方法之一。
模拟退火来自冶金学的专有名词退火。
退火是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。
材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。
退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。
模拟退火的原理也和金属退火的原理近似：将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。
演算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。
模拟退火算法的模型[1]模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想:o(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数Lo(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：o(3) 产生新解S′o(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数o(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.o(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
o(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：o第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
模拟退火算法原理
模拟退火算法原理模拟退火算法是一种基于统计力学原理的全局优化算法，它模拟了固体物质退火过程中的原子热运动，通过不断降低系统能量来寻找全局最优解。
该算法最初由Kirkpatrick等人于1983年提出，被广泛应用于组合优化、神经网络训练、图像处理等领域。
模拟退火算法的原理基于一个基本的思想，在搜索过程中允许一定概率接受劣解，以避免陷入局部最优解。
其核心思想是通过随机扰动和接受概率来逐渐减小系统能量，从而逼近全局最优解。
算法流程如下：1. 初始化温度T和初始解x；2. 在当前温度下，对当前解进行随机扰动，得到新解x'；3. 计算新解的能量差ΔE=E(x')-E(x)；4. 若ΔE<0，则接受新解x'作为当前解；5. 若ΔE>0，则以一定概率P=exp(-ΔE/T)接受新解x'；6. 降低温度T，重复步骤2-5，直至满足停止条件。
在模拟退火算法中，温度T起着至关重要的作用。
初始时，温度较高，接受劣解的概率较大，有利于跳出局部最优解；随着迭代次数的增加，温度逐渐降低，接受劣解的概率减小，最终收敛到全局最优解。
模拟退火算法的关键参数包括初始温度、降温速度、停止条件等。
这些参数的选择对算法的性能和收敛速度有着重要影响，需要根据具体问题进行调整。
总的来说，模拟退火算法通过模拟物质退火过程，以一定概率接受劣解的方式，避免了陷入局部最优解，能够有效地寻找全局最优解。
它在解决组合优化、参数优化等问题上表现出了很好的性能，成为了一种重要的全局优化算法。
通过对模拟退火算法原理的深入理解，我们可以更好地应用该算法解决实际问题，同时也可以为算法的改进和优化提供理论基础。
希望本文的介绍能够对大家有所帮助。
模拟退火算法
模拟退火算法模拟退火是一种通用概率算法，目的是在固定时间内在一个大的搜寻空间内寻求给定函数的全局最优解。
它通常被用于离散的搜索空间中，例如，旅行商问题。
特别地，对于确定的问题，模拟退火算法一般是优于穷举法。
这是由于我们一般只需得到一个可接受的最优解，而不是精确的最优解。
退火一词来源于冶金学。
退火（见图1）是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。
材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。
退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。
因此，我们将热力学的理论应用到统计学上，将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。
而模拟退火算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。
模拟退火原理最早是 S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和 M. P. Vecchi 在1983年所创造的。
而 V . Černý 在1985年也独立发明了此算法。
1. 问题描述数学上的最优化问题一般描述为如下形式：()()minimize()g 0,1,2,,subject to 0,1,2,,i i f x x i m h x i p≤=⎧⎪⎨==⎪⎩ 其中，():R n f x R →称作问题的目标函数，()g 0i x ≤称作问题的不等式约束条件，()0i h x =称作问题的等式约束条件。
寻求上述问题的最优解的过程就类似于从热动力系统的任意一个初始状态向内能最小的状态转移的过程，即退火过程。
2. 模拟退火算法基本思想模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有图1 物理退火原理图序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。
模拟退火算法及其改进算法
模拟退火算法及其改进算法模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）是一种基于概率的全局优化算法，它模拟了金属冶炼过程中的“退火”过程。
退火过程是指将高温物质逐渐降温，使之逐渐固化形成晶态结构。
同样地，模拟退火算法通过随机和接受不太好的解决方案的策略，以找到全局最优解。
算法的基本思路是在一个空间中随机生成一个起始解，然后通过一系列的变换和评估过程逐步更新当前解，直到找到满足优化目标的解决方案。
在每次迭代中，算法会通过采样邻域解决方案来将当前解转移到新的状态，并计算相应的目标函数值。
如果新的状态比当前解更优，则接受新的解作为当前解，并在下一次迭代中继续。
如果新的状态不是更优的解，则以一定的概率接受新的解，概率的大小与两个解之间的差距以及当前温度有关。
温度逐渐降低，使得算法在开始时可以接受较差的解决方案，但随着迭代次数的增加逐渐降低接受较差解决方案的概率，最终使算法收敛到一个较好的解。
尽管模拟退火算法在全局优化问题中表现优秀，但仍存在一些问题，例如收敛速度慢、易陷入局部最优解等。
因此，研究者提出了一些改进算法来提高模拟退火算法的性能。
一种改进算法是自适应模拟退火算法（Adaptive Simulated Annealing, ASA），它利用负自适应参数来调整算法自身的控制参数，从而提高收敛速度。
通过对负自适应参数进行精确建模和合适的调整，能够使算法自动地根据当前状态的差距和目标函数值的变化来调整的速度和方向。
另一种改进算法是量子模拟退火算法（Quantum Simulated Annealing, QSA），它引入了量子位操作和量子态演化来提高效率。
QSA利用一种特殊的迭代方式来更新解决方案，将随机排列算法与量子信息处理技术相结合，通过量子态的演化来寻找最优解，并避免陷入局部最优解。
此外，还有一些其他的改进算法，如多重爬山算法（Multi-startHill Climbing）、禁忌算法（Tabu Search）等，它们在模拟退火算法的基础上增加了一些启发式方法和约束条件，从而进一步提高性能。
模拟退火算法详解
车间调度问题求解
总结词
模拟退火算法在车间调度问题求解中具有较好的应用 效果，能够提高生产效率。
详细描述
车间调度问题是一个复杂的优化问题，旨在合理安排生 产任务和资源分配，以提高生产效率。模拟退火算法通 过随机搜索和接受不良解的概率，能够找到较为满意的 调度方案。在车间调度问题中，模拟退火算法可以与其 他启发式方法结合使用，以获得更好的性能。此外，模 拟退火算法还可以应用于其他生产调度问题，如作业车 间调度、装配线平衡等。
旅行商问题求解
总结词
模拟退火算法在旅行商问题求解中具有较好的性能， 能够找到高质量的解。
详细描述
旅行商问题是一个NP难问题，旨在寻找一条旅行路线 ，使得一个旅行商能够访问一系列城市并返回到起始 城市，且总旅行距离最短，同时满足每个城市恰好经 过一次。模拟退火算法通过随机搜索和接受不良解的 概率，能够探索更广阔的解空间，从而找到高质量的 解。在旅行商问题中，模拟退火算法可以与其他启发 式方法结合使用，以获得更好的性能。
迭代更新
重复产生新解、计算能量差和降低温度的 过程，直到满足终止条件。
终止条件
达到最大迭代次数
当达到预设的最大迭代次数时，算法终止。
温度低于阈值
当温度低于一个预设的阈值时，算法终止。
解的质量满足要求
当当前解的质量满足预设的要求或与最优解 的差距在可接受范围内时，算法终止。
03
模拟退火算法参数设置
温度衰减率
总结词
温度衰减率是模拟退火算法中温度变化的速率，它决定了算法的收敛速度和全局搜索能 力。
详细描述
温度衰减率决定了算法在迭代过程中温度下降的速度。较小的衰减率可以使算法在迭代 过程中有更多的时间来探索解空间，但可能会导致算法收敛速度较慢；而较大的衰减率 则可以使算法更快地收敛到最优解，但可能会牺牲一些全局搜索能力。因此，选择合适
模拟退火算法公式
模拟退火算法公式模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，最早由美国物理学家，冯·诺依曼奖得主，以及诺贝尔物理学奖得主南部-安丘因于1953年提出。
它模拟了固体物质退火时的行为，通过对潜在解空间的搜索，寻找全局最优解。
在固体退火过程中，物质从高温到低温逐渐冷却，通过不断调控温度，使系统的能量逐渐减少。
模拟退火算法的核心思想正是基于这一过程，通过一系列接受概率较低的状态转移，来跳出局部最优解，最终找到全局最优解。
模拟退火算法具体流程如下：1. 随机初始化初始解，并设定初始温度和终止温度。
2. 在每个温度下，通过随机扰动当前解，产生一个新解。
3. 计算新解的函数值和当前解的函数值之差△E。
4. 如果△E ≤ 0，则接受新解作为当前解。
5. 如果△E > 0，则以一定概率接受新解。
该概率由Metropolis 准则决定，概率公式为 P = e^(-△E/T)。
6. 逐渐降低温度，根据设定的降温速率进行迭代搜索，直到达到终止温度。
值得注意的是，温度决定了接受不良解的概率，随着退火过程的进行，温度逐渐降低，接受不良解的概率减小，使得算法更加倾向于收敛到全局最优解。
模拟退火算法在全局优化问题中有着广泛的应用。
例如，在旅行商问题中，通过模拟退火算法可以找到最优的旅行路径，从而使得旅行商的行程最短。
在网络设计中，模拟退火算法可以优化网络拓扑结构，提高数据传输效率。
在机器学习中，模拟退火算法可以用于参数调优，帮助优化模型的性能。
然而，模拟退火算法也存在着一定的局限性。
首先，算法的运行时间较长，需要大量的迭代次数和计算资源。
其次，在应对高维问题和非凸问题时，算法可能会陷入局部最优解，无法得到全局最优解。
因此，在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的算法，并结合其他优化方法来提高解的质量。
综上所述，模拟退火算法是一种具有指导意义的全局优化算法。
通过模拟退火过程，可以在搜索解空间时避免陷入局部最优解，并找到全局最优解。
模拟退火算法
模拟退火算法（Simulated Annealing）是一种随机优化算法，其基本思想是将问题转化为能量最小化问题，在解空间中以概率形式进行搜索空间，从而达到全局优化的目的。
一、算法原理的原理源于冶金学中的“模拟退火”过程。
在冶金学中，模拟退火是一种将材料加热到足够高的温度，使得原子以无序方式排列，并随着温度逐渐下降，原子逐渐重新排列成为有序状态的过程。
类似地，在算法中，模拟退火过程由三个参数组成：初始温度、降温速率和停止温度。
算法从一个初始解开始，随机产生新解，并计算新解与当前解之间的能量差。
如果新解的能量小于当前解的能量，则直接接受新解，如果新解的能量大于当前解的能量，则以一定的概率接受新解，以避免过早陷入局部最优解。
通过不断降温的过程，在搜索空间中进行随机跳跃，并慢慢收敛到全局最优解。
二、算法流程的流程如下：1. 设定初始温度、降温速率和停止温度。
2. 随机生成一个初始解，并计算其能量。
3. 生成一个新解，并计算新解与当前解之间的能量差。
4. 如果新解的能量小于当前解的能量，则接受新解。
5. 如果新解的能量大于当前解的能量，则以一定的概率接受新解。
6. 降温，更新温度。
7. 判断算法是否收敛，如果未收敛则返回步骤2。
三、应用场景广泛应用于组合优化问题、图论问题、生产调度问题等领域。
例如：1. 旅行商问题：在旅行商问题中，可以通过搜索空间中随机跳跃的方式找到最短路径，从而达到全局最优解。
2. 排课问题：在学校的排课问题中，可以帮助学校最优化考虑不同的课程安排，得到最优化的课程表。
3. 生产调度问题：在生产调度问题中，可以帮助生产企业在限制资源的条件下找到最优化的生产方案，提高生产效率。
四、优缺点作为一种优化算法，具有以下优点：1. 全局搜索能力强：能够在搜索空间中进行全局搜索，并趋向于全局最优解。
2. 算法收敛性好：在算法搜索到解后，能够很快地达到最优解，收敛速度较快。
3. 收敛到局部最优解的可能性较小：由于算法在跳跃过程中具有随机性，因此收敛到局部最优解的可能性较小。
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LOREM IPSUM DOLOR
导论
• 模拟退火算法（Simulated Annealing，SA)是一种通用的优化算法。 目前，已在：生产调度、控制工程、计算机视觉、神经网络、图像 处理等工程领域中得到了广泛应用。
• 最早的思想是由N.Metropolis等人于1953年提出。1983年,S. Kirkpatrick等成功地将退火思想引入到组合优化领域。它是基于 Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物 理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。模拟 退火算法从某一较高初温出发，伴随温度参数的不断下降,结合概率 突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，即在局部最 优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。
模拟退火算法的流程图
初使化设定
随机产生一个初始解
扰动产生一个新解 No
是否接受? Yes
修改目前解 Yes
降温
缩减温度
No
No 是否达到中止条件?
Yes 最佳解
算法的关键参数和操作的设定
➢状态产生函数： ➢原则：设计状态产生函数（邻域函数）的出发点应该是 尽可能保证产生的候选解遍布全部的解空间。通常，状 态产生函数由两部分组成，即产生候选解的方式和候选 解产生的概率分布 ➢方法：在当前状态的邻域结构内以一定概率方式（均匀 分布、正态分布、指数分布等）产生
高温
缓慢下降
高能状态
低温
低能状态
模拟退火算法的思想
物理退火过程
➢加温过程——增强粒子的热运动，消除系统原先可能存在的非均匀态； ➢等温过程——对于与环境换热而温度不变的封闭系统，系统状态的自发变化 总是朝自由能减少的方向进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态； ➢冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统能量逐渐下降，从而得到 低能的晶体结构。
模拟退火算法具体步骤
Step1 设定初始温度t = tmax, 任选初始解r = r 连续若干步的目标
Step2.1 从r的邻域中随机选一个值解变r化t,较计小算r和rt对应目标函 数值, 如rt
对应目标函数值较小，则令r = r3t.;固否定则的抽若样步数
exp(-(E(rt)-E(r))/t)>random(0,1), 则令r=rt. Step2.2 不满足内循环停止条件时12..，达达重到到终迭复止代S温次te度数p2.1
Step3 外循环
3. 最优值连续若干步
Step3.1 降温t = decrease(t)
保持不变
Step3.2 如不满足外循环停止条件，则转Step2；否则算法结束
退火的作用
(1) 降低硬度，改善切削加工性. (2)消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向； (3)细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。 (4)均匀材料组织和成分，改善材料性能或为以后热处理做组织准备。
数学描述
• 在同一个温度T，选定两个能量E1<E2，有： >0
P{E E1} P{E E2}
影响优化结果的主要因素
给定初温t=t0，随机产生初始状态s=s0，令k=0； Repeat Repeat 产生新状态sj=Genete(s)； if min{1,exp[-(C(sj)-C(s))/tk]}>=randrom[0,1] s=sj; Until 抽样稳定准则满足； 退温tk+1=update(tk)并令k=k+1； Until 算法终止准则满足； 输出算法搜索结果。
最低能态？
降温图像
离散函数图像
组合优化与物理退火的相似比较
• 从某一初始温度开始，伴随温度的不断下降，结合概率突跳特性在 解空间中随机寻找全局最优解
组合优化问题
金属物体
解 最优解 设定初温 Metropolis抽样过程 控制参数的下降 目标函数
粒子状态 能量最低的状态
熔解过程 等温过程
冷却 能量
模拟退火算法原理
• 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其 徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大， 而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常 温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时 趋于平衡的概率为exp（-ΔE/(kT)），其中E为温度T时的内能，ΔE 为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将 内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合 优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当 前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并 逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于 蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却 进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子 Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
• 模拟退火算法是通过赋予搜索过程一种时变且最终趋于零的概率突 跳性，从而可有效避免陷入局部极小并最终趋于全局最优的串行结 构的优化算法。
模拟退火算法的思想
• 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其 徐徐冷却；加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大， 而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常 温时达到某种稳定状态，基态，内能减为最小。
基本步骤
给定初温t=t0，随机产生初始状态s=s0，令k=0； Repeat Repeat 产生新状态sj=Genete(s)； if min{1,exp[-(C(sj)-C(s))/tk]}>=randrom[0,1] s=sj; Until 抽样稳定准则满足； 退温tk+1=update(tk)并令k=k+1； Until 算法终止准则满足； 输出算法搜索结果。
1 exp
E(
j)
exp
E1 KT
1
exp
E2 E1 KT
jS KT
• 在同一个温度，分子停留在能量小的<1状态的概率比停留在 能量大的状态的概率要大。
模拟退火算法的设计与原理猜想
• 物质自动趋向的最低能态与函数最小值之间有相似性！！！ • 我们能不能设计一种算法求函数最小值，就像物质”自动”地趋向