理论力学课件07第七章 刚体的简单运动

av v a av 2 2 2 r 2 2 r 2 r av2 3 2 r
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（例2）
升降机装置由半径R＝50cm的鼓轮带动，被升降物体M 的运动方程为x=5t2（t：时间，秒；x：高度，米），求： （1）鼓轮的角速度和角加速度； （2）任一时刻轮缘上一点的全加速度大的大小。
R
若两个齿轮分别用1、2表示，则有：
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
有时为了区分轮系中各轮的转向， 这时角速度可取代数值（都规定统一的 转动正向），从而传动比也取代数值：
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
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2.内啮合 因为是作纯滚动(即没有相对滑动)
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B 2 2 ( rA rAB ) 2 a A dt dt dt
drAB ( 0) dt
∴
v A vB a A aB
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结论： 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相 同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相 同。
逆时针为正
顺时针为负
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三、定轴转动的角速度和角加速度
1.角速度：
d dt
2.角加速度:
d d 2 2 dt dt
ω的单位: rad/s α 的单位:rad/s2
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工程中常用单位：n = 转/分(r / min) 则n与的关系为:
2n n n (rad/s ) 60 30 10
一.刚体平动的定义:
如果在物体内任取一条直线，在运动过程中这条直线 始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称 平动。
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影片：701
影片：702
OB作定轴转动
CD作平动 AB、凸轮均作平动
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二.刚体平动时内部各点的轨迹、速度和加速度
rB rA rAB
drB d drA drAB vB ( rA rAB ) vA dt dt dt dt
n1 1450 n4 117 i14 12.4 (r / min)
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变速器的应用
27
变速器的应用
小汽车手动变速箱的工作原理
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§7－5 角速度和角加速度的矢量表示
点的速度和加速度的矢量表示
一. 角速度和角加速度的矢量表示 按右手定则规定

， 的方向。
d | dt
α
大小 :| ||
α an
a r v
又 a a an
α
而 | r | r sin R a o 2 | v | v sin 90 R | an |
v r a r
a r
an v
v A OA vB OB
v A vB (OA OA)
v A vB 50 10 2 OA OB 20
vB
B
vA
O
( rad / s )
50 OA 25 2 d 2 OA 50
vA
(cm) (cm)
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§7 －4
解： (1) 轮缘上任一点的速度和切向加速度分别为：
dx v 1 0t dt dv aτ 10 dt (m / s) (m / s 2 )
o x v
M
R
所以鼓轮的角速度和角加速度分别为：
v 1 0t 20t R 0.5 d 20 dt ( ra d/s ) ( ra d/s 2 )
θ
a2
ω
α

③ a3 θ
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〔例1〕画点的速度和加速度 试画出图中刚体上Ｍ、Ｎ两点在图示位置时的速度和 加速度。 (O1 A O2 B , O1O2 AB)
ω为常数 αα
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ω为常数
α
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〔习题7－8求解〕（P168） 已知纸厚为a，纸盘中心不动，拉纸速度为v。求纸盘的 角加速度（以半径 r的函数表示）。 解法一：通过纸盘面积的变化 ，寻找半径与时间的关系。 a v 设 t=0时纸盘的半径为R，则经 过时间t后，纸盘的圆面积为： r
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动。
3.匀速转动和匀变速转动 当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
常用公式
0 t 1 2 0 t t 2
与点的运动相类似。
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§7 －3
一、速度
转动刚体内各点的速度和加速度
A(t ) r 2 R2 avt
即：
r R avt
2 2
dr 2r av 两边求导： dt dr av dt 2r
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dr v 2 v av av dt 2 ( ) 2 r r 2r 2r 3
解法二：通过每转一圈（角度为2π）半 径减小a，寻找半径与转角的关系。 a 设 t ＝0时纸盘的半径为R，纸盘转 过角度θ时的半径为r，则有：
第六章
★ 第七章
点的运动学
刚体的简单运动
第八章
第九章
点的合成运动
刚体的平面运动
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第七章 刚体的简单运动
§7–1 刚体的平行移动 §7–2 刚体绕定轴的转动 §7–3 转动刚体内各点的速度与加速度 §7–4 轮系的传动比
§7–5 以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示点的速度和加速度
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§7－1刚体的平行移动(平动)
轮系的传动比
我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速, 它们变速的基本原理是什么呢? 一.齿轮传动
1.外啮合
vC vD
C RC
D RD
C RD D RC
设C主动轮，D从动轮，定义齿轮传动比
iCD
C D
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iCD
2R 其中： 齿数 Z t
C RD zD D RC zC
x
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(2) 轮缘上任一点的法向加速度为：
v2 an R 2 200 t2 R
(m / s 2 )
任一时刻轮缘上一点的全加速度大的大小为：
a
a
2
an 10 1 400 t4
2
(m / s 2 )
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（例3）课内作业
已知皮带轮边缘上A点以50cm/s的速度运动，轮上另一 点B以10cm/s的速度运动。该两点到轮轴的距离差为20cm， 求皮带轮的角速度和直径。 A 解： A、B两点的速度分别为：
vF vE v F v E
F rF E rE
齿轮传动比：
或
i EF
E rF Z F F rE Z E
i12
1 r2 Z 2 2 r1 Z1
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二.带轮传动
vA vB
(而不是
vA vB
，方向不同 )
ArA B rB
所以，带轮传动的传动比为：
dS d v R dt dt
ω φ R s v M
z
S R
v R
（7－8）
M0
R
v
ω
各点速度分布图
二、加速度
dv d d a (R) R R, dt dt dt v 2 (R ) 2 an R 2 R
∴
R
θ
a R an R 2
i AB
A rB B rA
或 i12
1 r2 2 r1
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（例4）
减速箱由四个齿轮构成。齿轮2和3安装在同一轴上， 与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为：Z1 = 36，Z2 = 112， Z3 = 32，Z4 = 128 。如主动轮1的转速为 n1=1450 r/min。 试求从动轮4的转速n4。 2
解： 利用外啮合的传动比 公式，有：
1 3
4
i12 i34
n1 Z2 n2 Z1 n3 Z4 n4 Z3
n1
两式相乘，得：
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n1n3 Z2Z4 n2 n4 Z1Z 3
因 n2= n3 ，所以有：
n1 Z 2 Z 4 112128 i14 12.4 n4 Z1Z 3 36 32
α
a | a全 || an a | an a R
2 2 2 4
α
a
(7－ 11)
ω
a R t g 2 2 （7－ 12 ） an R
各点加速度的分布图
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在每一瞬间，ω和α都只是一个确定的数值，所 以式（7－8、11、12）表明： （1）. 在每一瞬间，转动刚体内所有各点的速度 和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距 离成正比； （2）. 在每一瞬间，刚体内所有各点的加速度a 与半径间的夹角θ都有相同的值。 a1 ② ① θ
方向如图 k
d d k k dt dt
α
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二 定轴转动刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示
1.点的速度的矢积表示
v R
| r | r sin R
v r
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2.点的加速度的矢积表示
dv d ( r ) d dr a r dt dt dt dt
v d d v ( ) 又因为： r ， dt dt r
R 0
r
θ
r ( R a) a 2 2 a 即：r R 2
2π
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a 上式两边对时间求导， 得：r 2
v vr 2 又 ＝ , r r
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因此，研究刚体的平动，可以归结为研究 刚体内任一点（如质心）的运动。