2018学年高中数学第2章 1离散型随机变量及其分布列课时作业 北师大版选修2-3
2.1《离散型随机变量及其分布列》课件(北师大版选修2-3)(2)
(D)第4次击中目标
【解析】选C.“X=5”表示射击次数为5次，依题意击中时就 停止射击，故前4次均未击中目标.
3.一产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三 级品是二级品的 , 从这批产品中随机抽取一个检验质量，其 级别为随机变量X，则P(X＞1)的值是（ ）
1 2
(A) 4
7
(B)
3 7
【解析】选D.由于抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1，2，3，
4，5，6这6种情况之一，而X表示抛掷两颗骰子所得点数之和， 所以X=4=1+3=2+2,表示的随机试验结果是：一颗是1点，另一
颗是3点，或者两颗都是2点.
2.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止
射击，射击次数为X，则“X=5”表示的试验结果是（ (A)第5次击中目标 (B)第5次未击中目标 (C)前4次均未击中目标 ）
4 24 24
7.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6， 现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大号码，求X的分 布列. 【解题提示】随机取出3个球的最大号码X的所有可能取值 为3，4，5，6.而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式 和排列组合知识来解，从而获得X的分布列.
（2）求P（X≥
【解题提示】（1）先求出X的分布列，再根据分布列的性 质确定a.（2）、（3）中的概率利用互斥事件的概率公式结合 分布列求解.
【解析】依题意，随机变量X的分布列为
（1）由a+2a+3a+4a+5a=1,得 a=
1 . 15
1，2，3，4，5号球中的2个”.
从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为 C3 ,事件 6 “X=3”包含的基本事件总数为 C3 , 事件“X=4”包含的基本 3
2017-2018学年高中数学 第二章 概率 5 第二课时 离散型随机变量的方差教学案 北师大版选修
第二课时 离散型随机变量的方差[对应学生用书P33][例1]若EX ＝23，求DX 的值．[思路点拨] 解答本题可先根据∑i ＝1nP i ＝1求出p 的值，然后借助EX ＝23求出x 的取值，最后代入相应的公式求方差．[精解详析] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又EX ＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.∴DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝59. [一点通] 求离散型随机变量的方差的方法： (1)根据题目条件先求分布列．(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差．1．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：252．已知随机变量X 的分布列为试求DX 和D (2X －解：EX ＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1 ＝1.8.所以DX ＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.2X －1的分布列为所以E (2X －1)＝所以D (2X －1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.[例2] 4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[思路点拨]确定X的取值→计算概率 →列出分布列 →求EX ，DX[精解详析] X 可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX ＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[一点通] (1)求离散型随机变量X 的均值和方差的基本步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值时的概率； ③写X 的分布列； ④求EX ，DX .(2)若随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )， 则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．3．一批产品中次品率为13，现在连续抽查4次，用X 表示次品数，则DX 等于( )A.43 B.83 C.89D.19解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13， ∴DX ＝np (1－p )＝4×13×23＝89.答案：C4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．求X 的分布列，均值和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝320，P (X ＝4)＝420＝15.故X 的分布列为所以EX ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.DX ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[例3] 所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．[思路点拨] 解本题的关键是，一要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即数学期望，二要看出次品数的波动情况，即方差值的大小．根据数学期望与方差值判断两名工人的技术水平情况．[精解详析] 工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX ＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝分)工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为EY ＝0×510＋1×510＋2×210＝0.7，DY ＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝分)由EX ＝EY 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX ＞DY ，可见乙的技术比较稳定．分)[一点通] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析．5．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X ，Y 的分布列为求：(1)a ，b 的值；(2)计算X ，Y 的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． 解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3.同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)EX ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，EY ＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，DX ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，DY ＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于EX >EY ，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX >DY ，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势．6．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案： 第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利与亏损的概率均为12.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，也可能损失10%，还可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15.第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由． 解：若按方案一执行，设收益为X 万元，则其分布列为EX ＝4×12＋(－2)×12＝1(万元)．若按方案二执行，设收益为Y 万元，则其分布列为EY ＝2×35＋0×15＋(－1)×5＝1(万元)．若按方案三执行，收益z ＝10×4%×(1－5%)＝0.38(万元)， ∴EX ＝EY >z .又DX ＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9.DY ＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85. 由上知DX >DY ，说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥． ∴建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．[对应课时跟踪训练十四1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数，则随机变量X 的方差为( )A.65 B.1825 C.625D.18125解析：由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，∴DX ＝3×25×35＝1825. 答案：B2．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝13(k ＝1,2,3)，则D (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：EX ＝(1＋2＋3)×13＝2，∵Y ＝3X ＋5可能取值为8,11,14，其概率均为13，∴EY ＝8×13＋11×13＋14×13＝11.∴DY ＝D (3X ＋5)＝(8－11)2×13＋(11－11)2×13＋(11－14)2×13＝6.答案：A3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的均值与方差分别为( )A ．EX ＝0，DX ＝1B ．EX ＝12，DX ＝12C ．EX ＝0，DX ＝12D ．EX ＝12，DX ＝1解析：EX ＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，DX ＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.答案：A4．若随机变量X 的分布列为P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝b .若EX ＝13，则DX 等于( )A.13B.23C.19D.29解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b ＝13，∴a ＝23，b ＝13.DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132×23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－132×13＝29. 答案：D5．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴EX ＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.56．变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若EX ＝3，则DX 的值为________．解析：由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c . 又∵a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23.又∵EX ＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12.∴DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12 ＝59. 答案：597．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16(n ∈N )．(2)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7.X 的分布列为X 的数学期望为EX ＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为DX ＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.8．(浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E η＝53，D η＝59，求a ∶b ∶c .解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13， P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为(2)由题意知η11所以E η＝a a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3， D η＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ， 故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.。
高中数学北师大版选修2-3课时作业2.5.1 离散型随机变量的均值(1) Word版含解析
选修第二章§课时作业一、选择题．设随机变量ξ的分布列为(＝)＝，＝，则的值为( )．．．．解析：＝×＋×＋×＋×＝×＝.答案：．若，是离散型随机变量，且＝＋，其中，为常数，则有＝＋.利用这个公式计算(－)＝( )．．．．不确定解析：∵是常数，∴(－)＝＋(－)＝－＝.答案：．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为，现有发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )．．．．解析：＝表示第(－)次命中目标，(＝)＝，(＝)＝×，(＝)＝×，(＝)＝×(＋)，∴＝×＋××＋××＝.答案：．有张卡片，其中张标有数字张标有数字，从中任意抽出张卡片，设张卡片上的数字之和为，则的数学期望是( )．．．．解析：的取值为，(＝)＝＝，(＝)＝＝，(＝)＝＝.＝×＋×＋×＝.答案：二、填空题．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则ξ＝.解析：所以，解得＝－.于是，ξ的分布列为所以ξ＝(－)×＋×(答案：－．在一次商业活动中，某人获利元的概率为，亏损元的概率为，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是．解析：设此人获利为随机变量，则的取值是，－，其概率分布列为：所以＝×＋(－)×＝.答案：．从这个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是．解析：从中任取不同的两个数，其乘积的值为，取每个值的概率都是，∴＝×(＋＋＋＋＋＋＋＋＋)＝.答案：三、解答题．已知随机变量的分布列，求：()；()若＝－，求.解：由分布列的性质得＋＋＋＋＝，解得＝.()＝(－)×＋(－)×＋×＋×＋×＝－.()法一：因为＝－，所以的分布列为所以＝(－)×＋(。
【高中数学】离散型随机变量及其分布列+练习题
离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η…表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式P(X ＝x i )＝pi ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．X x 1x 2…x i …x nPp 1P 2…p i …p n三、离散型随机变量分布列的性质：1.i P ≥0，i ＝1,2，…，n ；211ni i p ==∑.四、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布X 01P 1－p p如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p ＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率为(),0,1,2,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== .其中m ＝min{M ，n}，且n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*.称分布列X 01…mP00n M N Mn NC C C --11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．例1：设随机变量X 的分布列如下：则p 为()X 1234P 161316pA.16B.13C.23D.12解：由16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是()A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解：X ＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．例3：若随机变量X 的分布列P (x ＝i )＝i2a(i ＝1、2、3)，则P (x ＝2)＝()A.19B.16C.13D.14解：由12a ＋22a ＋32a ＝62a ＝1，得a ＝3.∴P (x ＝2)＝22×3＝13.＝0.3，那么n ＝________.解：1n×3＝0.3，∴n ＝10.例5：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为X 012P解：P (X ＝0)＝1C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310.1．对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．分布列正误的检验方法对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．例6：设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －101P 121－2q q 2则q 等于()A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22解：由分布列的性质知1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22.ξ123…nP k n k n k n …k n则k 的值为()A.12B ．1C ．2D ．3解：由k n ＋k n ＋…＋kn＝1，∴k ＝1.ξ－2－10123P112312412112212112若P (ξ2<x )＝1112，则实数x 的取值范围是__________．解：由P (ξ2<x )＝1112且结合分布列得4<x ≤9.i i ＝1,2….2．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率.例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．解：X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i4C 48(i ＝0,1,2,3,4)，即X 01234P170167036701670170例10：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球解：得分ξ的取值为－3，－2，－1,0,1,2,3.ξ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P (ξ＝－3)＝C 33C 311＝1165.ξ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (ξ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝－1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球．∴P (ξ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355.ξ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (ξ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13.ξ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (ξ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355.ξ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (ξ＝2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝3时表示取得3个白球，∴P (ξ＝3)＝C 33C 311＝1165.∴所求概率分布列为：ξ－3－2－10123P116511113551313551111165例11：在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．解：(1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为X 1234P4311831831131解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 39＝542，P (ξ＝1)＝C 25C 14C 39＝1021，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.∴ξ的分布列为ξ0123P5421021514121解：由题意知η可取3,2,1,0即当η＝3时，ξ＝0.η＝2时，ξ＝1.η＝1时，ξ＝2.η＝0时，ξ＝3.∴η的分布列为η3210P5421021514121例13：第:31届奥林匹克夏季运动会于2016年8月5日至21日在里约热内卢举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位：cm)：若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为ξ0123P145528551255155胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F 、E 、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此p (ξ＝0)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (DE F )＋P (DEF )＋P (D EF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.350.40.15因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.离散型随机变量及其分布列训练题1一、选择题1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A. B.C.D.2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤53．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52)的值为()A.23B.34C.45D.564．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为()A.1220 B.2755 C.27220 D.21255．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是()A ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)二、填空题6．随机变量X 的分布列如下：X －101P a b c 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______.7．设随机变量X 只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率相同，则P (X ＞8)＝________，P (6＜X ≤14)＝________.三、解答题8．口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值；(2)X 的分布列．X 012P0.30.40.5X 012P0.3－0.10.8X1234P0.20.50.3X 012P1727379．一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是23，试验不成功的概率都是13.甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，且每次试验相互独立．(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；(2)记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X ，求X 的分布列．10．在某射击比赛中，比赛规则如下：每位选手最多射击3次，射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i (i ＝1,2,3)次射击时击中目标得4－i 分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．(1)求甲恰好射击两次的概率；(2)设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列．1.C2.C3.解析：由(11×2＋12×3＋13×4＋14×5)×a ＝1.知45a ＝1∴a ＝54.故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.答案：D4.解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C5.解析：由超几何分布知P (ξ＝2)＝n －m A 2mA 3n答案：D6.解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案：237.解析：P (X ＞8)＝23，P (6＜X ≤14)＝23.答案：23238.解：(1)由P (X ＝2)＝730知C 13C 1n ＋3×C 1n C 1n ＋2＝730，∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)．∴n ＝7.(2)X ＝1,2,3,4且P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝7120，P (X ＝4)＝1120.∴X 的分布列为X 1234P710730712011209.解：(1)记事件“一次试验中，选择第i 套方案并试验成功”为A i ，i ＝1,2，则P (A i )＝1C 12×23＝13.3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率P ＝P (A 1·A 1·A 1＋A 2·A 2·A 2)＝313⎛⎫ ⎪⎝⎭＋313⎛⎫ ⎪⎝⎭＝227.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则X ～B (3，23)，P (X ＝k )＝C k 3313k-⎛⎫ ⎪⎝⎭23k⎛⎫⎪⎝⎭，k ＝0,1,2,3.X 的分布列为X 0123P127294982710.解：(1)记“选手甲第i 次击中目标的事件”为A i (i ＝1,2,3)，则P (A i )＝0.8，P (A i )＝0.2，依题意可知：A i 与A j (i ，j ＝1,2,3，i ≠j )相互独立，所求的概率为P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.8×0.2＝0.16.(2)ξ的可能取值为0,3,5,6.P (ξ＝0)＝0.2，P (ξ＝3)＝0.8×0.2＝0.16，P (ξ＝5)＝0.82×0.2＝0.128，P (ξ＝6)＝0.83＝0.512.所以ξ的分布列为：ξ0356P 0.20.160.1280.512【参考答案】离散型随机变量及其分布列训练题2一．选择题（共15小题）1．设随机变量ξ的分布列由，则a 的值为（）A ．1B ．C ．D ．2．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P （X ＜4）=0.3，那么（）A ．n=3B ．n=4C ．n=10D ．n=93．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值（）A ．0，1B ．1，2C ．0，1，2D ．0，1，2，35．设离散型随机变量X 的概率分布如表：则随机变量X 的数学期望为（）A ．B ．C ．D ．6．设随机变量X 的概率分布列为X 1234P m则P （|X ﹣3|=1）=（）A ．B ．C ．D ．7．设随机变量X 的概率分布如右下，则P （X≥0）=（）X ﹣101P p A ．B ．C ．D ．8．随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=，k=1，2，3，其中c 为常数，则P （ξ≥2）等于（）A ．B ．C ．D ．9．两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为x 012p那么这两人通过考试的概率最小值为（）A ．B ．C ．D ．10．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P （X ），则P （X=4）的值为（）A ．B ．C ．D ．ζ﹣101P 0.30.40.4ζ123P 0.40.7﹣0.1ζ﹣101P0.30.40.3ζ123P0.30.40.4X123P ip11．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率12．已知随机变量ξ～B（9，）则使P（ξ=k）取得最大值的k值为（）A．2B．3C．4D．513．设随机变量的ξ的分布列为P（ξ=k）=（k=1，2，3，4，5，6），则P（1.5＜ξ＜3.5）=（）A．B．C．D．14．已知随机变量X的分布列为：P（X=k）=，k=1，2，…，则P（2＜X≤4）等于（）A．B．C．D．15．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是（）A．取到红球的次数B．取到白球的次数C．2次取到的红球总数D．取球的总次数二．填空题（共5小题）16．设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣101P0.5q2则q=．17．设随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，3，则P（X=2）=．18．随机变量X的分布列为X x1x2x3P p1p2p3若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是．19．设随机变量X的概率分布为P（X=2k）=ak（a为常数，k=1，2，3，4，5），则P（X＞6）=．20．（2014•嘉定区校级模拟）己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m 个红球与10﹣m个白球，盒子B中有10﹣m个红球与m个白球（0＜m＜10）．分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数，表中表示的是随机变量ξ的分布列则当m为时，D（ξ）取到最小值．ξ012P？三．解答题（共8小题）21．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．22．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．23．2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．24．在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．（1）求选出的4人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．月收入（百元）赞成人数[15，25）8[25，35）7[35，45）10[45，55）6[55，65）2[65，75）1科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计391225．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．26．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．一．选择题（共15小题）1．D；2．C；3．C；4．C；5．C；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．A；13．A；14．A；15．D；二．填空题（共5小题）16．；17．；18．[-，]；19．；20．1或9；三．解答题（共8小题）21.解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22.解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（2）平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，在[60，80）的有0.45×60=27人，在[80，100）的有0.3×60=18人，ξ的可能取值是0，1，2，3，4则，，，，所以ξ的分布列为：∴23.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10=43.5（百元）（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的有2人．则X的所有取值可能为0，1，2，3.，，P （X=2）=+，．∴随机变量X 的分布列为∴E （X ）==1．24.解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B ，由于事件A 、B 相互独立，且P （A ）=，P （B ）=，所以选出的4人均选科目乙的概率为：P （A •B ）=P （A ）•P （B ）=；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，则P （ξ=0）=，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=1．25.解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P （ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P （ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P （ξ=2）=++=；P （ξ=3）==；P （ξ=4）==．∴ξ的分布列为：ξ01234PE ξ=0×+1×+2×+3×+4×=．26.（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+++=16个，则A 事件包含基本事件的个数为=6个，则P （A ）==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，，，，．所以，随机变量X 的分布列为：X 0123P （X ）X 05101520P。
2017-2018学年高中数学第二章概率5第一课时离散型随机变量的均值教学案北师大版选修2-3
第一课时 离散型随机变量的均值[对应学生用书P31]求离散型随机变量的均值[例1] (重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与数学期望EX . [思路点拨] (1)利用古典概型结合计数原理直接求解．(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值．[精解详析] 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知，X 的分布列为X 0 10 50 200 P6743521051105从而有EX ＝0×67＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列(有时可以省略)；(4)利用定义公式EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，求出均值．1．(广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望EX ＝( A.32 B ．2 C.52D ．3解析：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.答案：A2．某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：血型 A B AB O 人数8732(1)现从这20(2)现有A 血型的病人需要输血，从血型为A 、O 的同学中随机选出2人准备献血，记选出A 血型的人数为X ，求随机变量X 的数学期望EX .解：(1)从20人中选出两人的方法数为C 220＝190， 选出两人同血型的方法数为C 28＋C 27＋C 23＋C 22＝53， 故两人血型相同的概率是53190.(2)X 的取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C 22C 210＝145，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 28C 210＝2845.X 的分布列为X 0 1 2 P14516452845∴EX ＝145×0＋1645×1＋2845×2＝45＝5.二项分布及超几何分布的均值[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y ，求(1)X 的概率分布； (2)X 和Y 的数学期望．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布． [精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. 所以X 的概率分布如下表：X 0 1 2 3 P18383818(2)由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23， ∴EX ＝3×12＝1.5，EY ＝3×23＝2.[一点通] 如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则EX ＝np ；如果随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布时，则EX ＝n MN，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．3．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，EX ＝2，则P (X ＝1)等于________． 解析：由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12∴EX ＝n ·12＝2， ∴n ＝4，∴P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14.答案：144．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X 表示取出的红球数，则EX 为________．解析：由题意知随机变量X 服从N ＝7，M ＝4，n ＝3的超几何分布，则EX ＝3×47＝127.答案：1275．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望EX .解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为X 3 4 5 6P542 1021 514 121(2)由(1)知EX ＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.数学期望的实际应用[例3] 某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？[思路点拨] (1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解． [精解详析] (1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A ，则P (A )＝1－C 35C 39＝3742. 即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为3742.(4分)(2)设顾客抽奖的中奖次数为X ，则X ＝0,1,2,3，于是P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝18，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×12＝38， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝3)＝12×12×12＝18，∴顾客中奖的数学期望EX ＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5.(10分)设商场将每次中奖的奖金数额定为x 元，则1.5x ≤180，解得x ≤120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本． (12分)[一点通] 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．6．(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}． 由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25.且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的X 分布列为X 0 100 120 220P 215315415615数学期望为E(X)＝0×15＋100×15＋120×15＋220×15＝＋480＋1 32015＝2 10015＝140.7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值．) 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E1＝400×0.3＝120(万元)；②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失期望值为E3＝400×0.15＝60(万元)，所以总费用为30＋60＝90(万元)；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)，所以总费用为75＋6＝81(万元)．综合①②③④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1．求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值．(2)计算随机变量取每一个值对应的概率．(3)写出分布列，求出数学期望．2．离散型随机变量均值的性质 ①Ec ＝c (c 为常数)；②E (aX ＋b )＝aEX ＋b (a ，b 为常数)； ③E (aX 1＋bX 2)＝aEX 1＋bEX 2(a ，b 为常数)．[对应课时跟踪训练十三]1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为( )A ．0.8B ．0.83C ．3D ．2.4解析：射手独立射击3次中靶次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.8)，∴EX ＝3×0.8＝2.4.答案：D2．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：X 0 1 2 P0.33k4k随机变量Y ＝2X ＋1，则Y A ．1.1 B ．3.2 C ．11kD ．33k ＋1解析：由题意知，0.3＋3k ＋4k ＝1，∴k ＝0.1.EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， ∴EY ＝E (2X ＋1)＝2EX ＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X 表示取出的球的最大号码，则EX ＝( )A ．4B ．5C ．4.5D ．4.75解析：X 的取值为5,4,3. P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝3)＝1C 35＝110.∴EX ＝5×35＋4×310＋3×110＝4.5.答案：C4．(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX ＝( )A.126125B.65C.168125D.75解析：由题意知X 可能为0,1,2,3，P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125，EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，故选B. 答案：B5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________． 解析：设查得次品数为X ，由题意知X 服从超几何分布且N ＝10，M ＝3，n ＝2.∴EX ＝n ·M N ＝2×310＝35.答案：356．某射手射击所得环数X 的分布列如下X 7 8 9 10已知EX ＝8.9，则y 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 答案：0.47．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A ，B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．表一表二(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X ，Y 分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．解：(1)P 甲＝0.8×0.85＝0.68，P 乙＝0.75×0.8＝0.6.(2)随机变量X ，Y 的分布列是EX ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，EY ＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．8．(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327， 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×27＋2×27＋3×27＝9.。
高中数学选修2-3 北师大版 离散型随机变量的均值与方差 课时作业2(含答案)
2015-2016学年高中数学 第2章 5离散型随机变量的均值与方差课时作业 北师大版选修2-3一、选择题1．已知离散型随机变量X 的分布列为( )则X 的均值E (X )＝( A.32 B ．2 C.52 D ．3[答案] A[解析] E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n ，p 的值分别为( ) A ．100和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8[答案] D[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧np ＝8，np 1－p ＝1.6，解之得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.8.3．下列说法中，正确的是( )A ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 [答案] C[解析] 离散型随机变量X 的均值反映了离散随机变量取值的平均水平，随机变量的方差反映了随机变量取值离于均值的平均程度．4．已知随机变量X 的概率分布列是则D (X )等于( ) A ．0 B ．0.8 C ．2 D ．1[答案] B[解析] 根据方差的计算公式，易求DX ＝0.8.5．甲、乙两名运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下：A ．甲B ．乙C ．一样D ．无法比较[答案] B[解析] E (ξ)＝9.2，E (η)＝9.2＝E (ξ)，D (ξ)＝0.76，D (η)＝0.56<D (ξ)，乙稳定．二、填空题6.(2015·上海理，12)赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金，若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E (ξ1)－E (ξ2)＝________(元)．[答案] 0.2 [解析] ξ1的分布列∴E (ξ1)＝15(1＋2＋…＋5)＝3ξ2的分布列E (ξ2)＝1.4×25＋2.8×10＋4.2×5＋5.6×10＝2.8∴E (ξ1)－E (ξ2)＝0.2.[反思总结] 均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．7．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若E (X )＝0，D (X )[答案]512 14[解析] 由分布列中概率满足的条件可知a ＋b ＋c ＋112＝1 ①，由均值和方差的计算公式可得－a ＋c ＋16＝0 ②，12×a ＋12×c ＋22×112＝1 ③，联立①②③解得a ＝512，b ＝14.8．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22、－3、－52、0、52、3、22，用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的均值E (X )＝________. [答案] 47[解析] 设l 的方程为y ＝kx ＋1，则点(0,0)到直线的距离X ＝1k 2＋1，将k ＝－22、－3、－52、0、52、3、22分别代入，求得X 分别为13、12、23、1、23、12、13，由于k 取值是等可能的，故X 的概率分布列为由上表可求得E (X )＝47.三、解答题9.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1、2、3、4；白色卡片3张，编号分别为2、3、4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和均值．[解析] (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则 P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67.。
2018年数学同步优化指导北师大版选修2-3课件：2-1 第2
§1
概
率
离散型随机变量及其分布列
第2课时 离散型随机变量的分布列
学习目标
1.理解分布列的含义，能处理 简单的离散型随机变量的分布
重点难点
1.重点是离散型随机变量 分布列的概念和性质． 2．难点是求简单的离散型 随机变量的分布列.
列问题．
2．理解分布列的性质，并能解 决相关问题.
阅读教材：P35～P37的内容，完成下列问题． 1．离散型随机变量X的分布列 设离散型随机变量 X的取值为a1， a2 ，…，随机变量 X取 ai 的概率为pi(i＝1,2，…)记作： P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…) 或把上式列成表如下： X＝ai P(X＝ai) a1 p1 a2 p2 … … ①
球，另2盒空着；有1盒3球，另3盒空着．
A3 3 4 当 ξ＝1 时，P(ξ＝1)＝ 43 ＝8，
1 1 C2 C 9 3 4C3 当 ξ＝2 时，P(ξ＝2)＝ 43 ＝16，
C1 1 4 当 ξ＝3 时，P(ξ＝3)＝ 43 ＝16． 故 ξ 的分布列为 ξ P 1 3 8 2 9 16 3 1 16
【点评】 个值的概率．
求离散型随机变量的分布列，关键是要明确离
散型随机变量取每个值的意义，然后根据具体的意义来求取每
1．将3个乒乓球任意地放入4个盒子中，记4个盒中球的最
多个数为ξ，求ξ的分布列． 解： 盒中球的最多个数 ξ 的所有可能值为 ξ ＝ 1,2,3 三种情
况，即3个盒子中每盒 1个球，另有1盒空着；有 1盒2 球，1盒1
解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商店销售量为 0 件)＋ 1 5 3 P(当天商品销售量为 1 件)＝20＋20＝10．
(2)由题意知，X 的可能取值为 2,3． 5 1 P(X＝2)＝P(当天商品销售量为 1 件)＝20＝4； P(X＝3)＝P(当天商品销售量为 0 件)＋P(当天商品销售量 1 9 5 3 为 2 件)＋P(当天商品销售量为 3 件)＝20＋20＋20＝4． 所以 X 的分布列为 X P 2 1 4 3 3 4
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册6.2.1-2.2离散型随机变量及其分布列(带答案)
§2离散型随机变量及其分布列2．1 随机变量2．2 离散型随机变量的分布列必备知识基础练知识点一随机变量的概念1.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是( )A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数2．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)白炽灯的寿命X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.知识点二随机变量表示的结果和取值3.写出下列随机变量可能的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1个球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X.4．[多选题]如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数B．ξ取所有可能值的概率之和是1C．ξ的取值与自然数一一对应D．ξ的取值是实数知识点三离散型随机变量的分布列5.某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列．6．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．注：若三个数a ，b ，c 满足a≤b≤c，则称b 为这三个数的中位数．知识点四 离散型随机变量分布列的性质7.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q ＝( )A .1B ．1±22 8．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝i2a(i ＝1，2，3)，则P(X ≥2)＝( )A ．16B ．56C ．13D ．239．已知离散型随机变量X 的分布列P(X ＝k)＝k15，k ＝1，2，3，4，5，令Y ＝2X －2，则P(Y ＞0)＝________．关键能力综合练一、选择题1．[多选题]下列随机变量是离散型随机变量的是( )A ．从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数B ．一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数C ．某林场树木最高达30 m ，则此林场中树木的高度D ．某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差2．某人进行射击训练，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝10”表示的试验结果是( )A ．第10次击中目标B ．第10次未击中目标C ．前9次均未击中目标D ．第9次击中目标3．已知随机变量X 的概率分布为P(X ＝n)＝an （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P(12 ＜X ＜52 )＝( )A ．12B ．23C ．13D ．56 4．设随机变量X 的分布列为则P(|X －3|＝1)A ．712 B ．512 C ．14 D ．16 5．[易错题]若离散型随机变量X 的分布列为则常数c 的值为( A ．23 或13 B ．23 C ．13 D ．1 二、填空题6．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示1次试验的成功次数，则P(ξ`＝0)＝________．7．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck （1＋k ），k ＝1，2，3，其中c 为常数，则P(ξ≥2)＝________．8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则P(X<2)＝________． 三、解答题 9．[探究题]某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23 ，34 ，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．学科素养升级练1.[多选题]下列说法正确的是( )A ．某网站中某歌曲一天内被点击的次数X 是离散型随机变量B ．一天内的温度X 是离散型随机变量C ．若随机变量X 服从两点分布，且P(X ＝1)＝0.2，Y ＝3X －2，则P(Y ＝－2)＝0.8D ．若离散型随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝m k ＋1 (k ＝0，1，2，3)，则m ＝12252．[学科素养——逻辑推理]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．§2 离散型随机变量及其分布列2．1 随机变量2．2 离散型随机变量的分布列必备知识基础练1．解析：∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件， ∴出现7点的次数不能作为随机变量． 答案：A2．解析：(1)白炽灯的寿命X 的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．3．解析：(1)X 的可能取值为1，2，3，…，10，X ＝k (k ＝1，2，…，10)表示取出第k 号球．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.X ＝k 表示取出k 个红球，4－k 个白球，其中k ＝0，1，2，3，4.4．解析：根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A 正确； ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B 正确；ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C 错误，D 正确．故选ABD. 答案：ABD5．解析：由题设知，X 的可能取值为10，5，2，－3， 且P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.所以X 的分布列为6.解析：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 4 ＋C 33 C 39 ＝584 . (2)X 的所有可能取值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24 C 15 ＋C 34 C 39 ＝1742， P (X ＝2)＝C 13 C 14 C 12 ＋C 23 C 16 ＋C 33 C 39 ＝4384 ， P (X ＝3)＝C 22 C 17 C 39 ＝112 ，故X 的分布列为7.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.5＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤0.5，q 2≤0.5， 解得q ＝1－22 .故选C.答案：C8．解析：由概率和为1可知，12a ＋22a ＋32a ＝1，解得a ＝3，则P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝26 ＋36 ＝56.故选B.答案：B9．解析：由已知得Y 的取值为0，2，4，6，8，且P (Y ＝0)＝115 ，P (Y ＝2)＝215 ，P (Y＝4)＝315 ，P (Y ＝6)＝415 ，P (Y ＝8)＝515.则P (Y ＞0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415 .答案：1415关键能力综合练1．解析：A 项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B 项，从10个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正品，2个正品和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C 项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D 项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．答案：AB2．解析：射击次数ξ＝10，说明前9次均未击中目标，故选C. 答案：C3．解析：根据分布列的性质，得P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a (11×2＋12×3 ＋13×4 ＋14×5 )＝1，解得a ＝54 .由12 ＜X ＜52 ，知X ＝1，2，所以P (12 ＜X ＜52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54 ×11×2 ＋54 ×12×3 ＝56. 答案：D4．解析：由13 ＋m ＋14 ＋16 ＝1，得m ＝14 .由|X －3|＝1，得X ＝2或X ＝4，所以P (|X－3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14 ＋16 ＝512.答案：B5．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1， ∴c ＝13 .答案：C6．解析：由题意知该分布为两点分布，又P (ξ＝1)＝2P (ξ＝0)且P (ξ＝1)＋P (ξ＝0)＝1，∴P (ξ＝0)＝13 .答案：137．解析：根据分布列中所有概率的和为1，得c 1×2 ＋c 2×3 ＋c 3×4 ＝1，解得c ＝43，即P (ξ＝k )＝43 ·1k （1＋k ） ，所以P (ξ≥2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝43 ×(12×3 ＋13×4 )＝13. 答案：138．解析：P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 15 C 15 C 15 C 16 C 16 C 16 ＋C 23 C 15 C 15 C 16 C 16 C 16 ＝200216 ＝2527 .答案：25279．解析：(1)记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ，则P (D )＝1－P (A ̅̅̅ A ̅̅̅ A ̅̅̅̅̅)＝1－(1－23 )×(1－34 )×(1－35 )＝1－13 ×14 ×25 ＝2930 .(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，∴P (ξ＝0)＝13 ×14 ×25 ＝130 ；P (ξ＝1)＝23 ×14 ×25 ＋13 ×34 ×25 ＋13 ×14 ×35 ＝1360 ；P (ξ＝2)＝23 ×34 ×25 ＋23 ×14 ×35 ＋13 ×34 ×35 ＝920 ；P (ξ＝3)＝23 ×34 ×35 ＝310. ∴ξ的分布列为学科素养升级练1．解析：A 中X 满足离散型随机变量的四个特征，而B 中一天内的温度X 变化的范围是连续的，无法逐一列出，它不是离散型随机变量，故A 正确，B 错误；因为Y ＝3X －2，所以X ＝13 (Y ＋2)，当Y ＝－2时，X ＝0，所以P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝0.8，故C正确；因为离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝mk ＋1(k ＝0，1，2，3)，所以m0＋1＋m1＋1＋m2＋1＋m3＋1＝1，解得m ＝1225，故D 正确．故选ACD.答案：ACD 2．解析：(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1”为事件M ，则P (M )＝C 48 C 510 ＝518. (2)由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，则 P (X ＝0)＝C 56 C 510 ＝142 ，P (X ＝1)＝C 46 C 14 C 510 ＝521 ，P (X ＝2)＝C 36 C 24 C 510 ＝1021 ，P (X ＝3)＝C 26 C 34 C 510 ＝521 ，P (X ＝4)＝C 16 C 44 C 510 ＝142 .因此X 的分布列为。
高中数学第二章概率课时621离散型随机变量及其分布列作业课件北师大版选修23
解：(1)ξ 可取 0,1,2. ξ＝i 表示取出的 3 个球中有 i 个白球、3－i 个黑球，其中 i ＝0,1,2. (2)ξ 可取 3,4,5. ξ＝3 表示取出的 3 个球的编号分别为 1,2,3； ξ＝4 表示取出的 3 个球的编号分别为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4； ξ＝5 表示取出的 3 个球的编号分别为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3,5 或 2,4,5 或 3,4,5. (3)ξ 的可能取值为区间[0,59.5]内任意一个值，每一个取值表 示这个人所等待的时间．
Hale Waihona Puke 则 n＝( C )A．3
B．4
C．10
D．不确定
解析：∵X 等可能取 1,2,3，…，n，∴X 的每个值的概率均为 1 n.
由题意知 P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.
4．离散型随机变量 ξ 所有可能值的集合为{－2,0,3,5}，且 P(ξ
＝－2)＝14，P(ξ＝3)＝12，P(ξ＝5)＝112，则 P(ξ＝0)的值为( C )
11．随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1 P a bc 2
其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|ξ|＝1)＝___3___，公差 d 的 取值范围是_(_－__13_， ___13_) __．
解析：∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a＋c.又 a＋b＋c＝1， ∴b＝13，P(|ξ|＝1)＝a＋c＝23.又 a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的 性质，得 0<13－d<23，0<13＋d<23，∴－13<d<13，即公差 d 的取值范 围为(－13，13)．
【金版优课】高中数学北师大版选修2-3课时作业：2.1.2 离散型随机变量的分布列 Word版含解析
选修2-3 第二章 §1 课时作业39一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0B ．13C ．D ．1223解析：设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p .依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝.23故P (ξ＝0)＝1－p ＝.13答案：B 2．设离散型随机变量ξ的概率分布列为ξ－10123P110m110n25则下列各式中不成立的是( )A ．P (ξ＝1.5)＝0B ．P (ξ≥－1)＝1C ．P (ξ≤3)＝1D ．P (ξ<0)＝0解析：选项B 、C 中变量ξ可取到所有值，所以B 、C 是正确的；由于ξ不能取1.5，故选项A 也是正确的；对于D ，P (ξ<0)＝P (ξ＝－1)＝，故D 是错误的，故选D.110答案：D 3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )12k A ．B ．31614C ．D ．116516解析：P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝＋＝.123124316答案：A 4．一次骨干教师培训中，共邀请了15名教师，其中男、女教师使用教材情况如下表.版本人教A 版人教B 版性别男教师女教师男教师女教师人数6342从中随机选2名代表发言．记X ＝Error!则X 的分布列为( )A ．X 01P263526105B ．X 01P261051105C ．X 01P2635935D ．X 01P1041051105解析：P (X ＝0)＝＋＝.C02C 213C 215C12C 113C 215104105P (X ＝1)＝＝.C22C 2151105答案：D 二、填空题5．若P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤X ≤x 2)等于__________．解析：P (x 1≤X ≤x 2)＝P (X ≤x 2)＋P (X ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－α－β.答案：1－α－β6．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．解析：依题意可设ξ的三个取值的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有Error!解得－≤d ≤.1313答案：[－13，13]7．已知离散型随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝，k ＝1,2,3,4,5，令Y ＝2X －2，则k15P (Y >0)＝________.解析：由已知Y 取值为0,2,4,6,8，且P (Y ＝0)＝，P (Y ＝2)＝，P (Y ＝4)115215＝＝，P (Y ＝6)＝，P (Y ＝8)＝.则P (Y >0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝31515415515.1415答案：1415三、解答题8．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X 的分布列．解：X 的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P (X ＝1)＝，15第2次取到白球的概率为P (X ＝2)＝×＝，451415第3次取到白球的概率为P (X ＝3)＝××＝，45341315第4次取到白球的概率为P (X ＝4)＝×××＝，4534231215第5次取到白球的概率为P (X ＝5)＝××××＝.453423121115所以X 的分布列是X 12345P15151515159.[2013·重庆高考节选]某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．解：设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝＝.C13C24C371835(2)X 的所有可能的值为：0,10,50,200，且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝·＝，C33C37131105P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝·＝，C33C37232105P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝·＝＝，C23C14C371312105435P (X ＝0)＝1－－－＝.1105210543567综上知X 的分布列为X 01050200P6743521051105。
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【成才之路】2018-2019学年高中数学 第2章 1离散型随机变量及其分布列课时
作业 北师大版选修2-3
一、选择题
1．若随机变量X 的分布列如下表所示，则表中a ＝( )
A.1
2 B.6 C.56 D ．0
[答案] B
[解析] 根据随机变量的分布列的性质可得a ＝1－12－16－16＝1
6
.
2．离散型随机变量ξ所有可能值的集合为{－2,0,3,5}，且P (ξ＝－2)＝14，P (ξ＝3)＝1
2，P (ξ＝5)
＝
1
12
，则P (ξ＝0)的值为( ) A ．0 B.1
4 C.1
6 D.18
[答案] C
[解析] 根据离散型随机变量分布列的性质有P (ξ＝－2)＋P (ξ＝0)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝1，所以
1
4＋P (ξ＝0)＋12＋112＝1.解得P (ξ＝0)＝1
6
.
3．随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝n )＝a n n ＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<ξ<5
2
)
的值为( )
A.2
3 B.3
4 C.4
5 D.5
6 [答案] D
[解析] 因为P (ξ＝n )＝
a
n n ＋(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，因为P (12<ξ<5
2
)
＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×12＋54×16＝5
6
.故选D.
4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，P (ξ＝0)等于( ) A ．0 B ．12 C.13 D ．23
[答案] C
[解析] 设ξ的分布列为
则“ξ＝0”表示试验失败，“ξp ，则成功率为2p . ∴由p ＋2p ＝1得p ＝1
3.应选C.
5．已知离散型随机变量的分布列如下：
A ．2,0
B ．2,5
C ．3,0
D ．3,5
[答案] D
[解析] 由题知，随机变量取所有值的概率之和等于1，可以得到应填的数据分别为3,5.故选D. 二、填空题
6．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ>8)＝________，P (6<ξ≤14)＝________.
[答案] 23 2
3
[解析] 因为P (ξ＝5)＋P (ξ＝6)＋…＋P (ξ＝16)＝1，且P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)，所以P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)＝112，则P (ξ>8)＝P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＋…＋P (ξ＝16)＝1
12×8
＝23.P (6<ξ≤14)＝p (ξ＝7)＋P (ξ＝8)＋…＋P (ξ＝14)＝112×8＝2
3
. 7．设随机变量ξ的分布列为
则m ＝________，η＝ξ－3[答案] 1
4。