整体思考 巧妙解题
2024八年级数学下册练册第2招运用整体思想解题的五种技巧课件新版新人教版
−+
＋
= .
− − = ，①
【解】ቐ
由①得4x－5y＝7.③
−+
＋
= . ②
将③代入②，得4y＋2＝6，解得y＝1.
把y＝1代入③，解得x＝3.
ห้องสมุดไป่ตู้ ，
∴原方程组的解为ቊ
= .
整体换元在解方程组中的应用
（−）
＋
如果直接将x，y的值代入计算，显然比较麻烦，但
注意到x3y＋xy3可以化为xy[(x＋y)2－2xy]，将x＋y，xy均
作为一个整体代入求值，可简化计算.
解：∵x＝ － ，y＝ ＋ ，
∴xy＝( － )( ＋ )＝1，
x＋y＝ － ＋ ＋ ＝2 .
∴x3y＋xy3＝xy(x2＋y2)＝xy[(x＋y)2－2xy]
∴∠J＋∠K＋∠L＋∠M＋∠N＋∠O＋∠P＋∠Q＋∠R＋
∠S＋∠T＋∠U＝(180°－∠1)＋(180°－∠2)＋(180°－
∠5)＋(∠180°－∠6)＋(180°－∠4)＋(180°－∠3)＝
180°×6－(∠1＋∠2＋∠5＋∠6＋∠4＋∠3)＝720°.
整体代换在解方程组中的应用
− − = ，
＝1×[(2 )2－2×1]＝22.
整体代换在求值中的应用
1.已知a＋ ＝1＋
2
【解】a ＋
2
a＋
＝
2
，求a ＋
的值.
＋
－2.将a＋ ＝1＋
2－2＝9＋2 .
＝(1＋
)
代入上式，得
利用整体思想,巧解三角函数题
此， 在解 决三 角函 数问 题中 的 齐次 式问 题时，
用 整 体 的 思 想 买 现 整 体 代 换 就 司 以 实 现 高 效
解题 。
式进 行 化 解 ， 得
一
（ ｓ ｉ ｎ 一 。 。
）＋
三、 利用整 体 思想 ， 将 代 数 式 作 整 体 在解 决解 三 角 形 的 问题 中 ， 通 常 要 运 用 整体 思想 ， 将 “ ｃ ｎ＋ ｃ、 ａ ｚ ＋Ｃ ２ —６ ｚ等 代 数 式
一
２ ｔ ａ ｎ Ｏ ｆ 一３ ｔ ａ ｎ ａ＋ ｉ
一
１ ＋ ａ ｎ ａ 由例 题 可 知 ， 本题将 ｔ ａ ｎ 看 成 一 个 整 体 ， 将被 求式 看 成 一 个 分 母 为 “ １ ”的 分 式 ， 通 过 三 角 函数 的 平 方 关 系 和 商 数 关 系 转 化 为 一 个关于 ｔ ａ ｎ ａ的 关 系 式 ， 最 后 运 用 整 体 的 思
？ ｏ －
－ －
个整体 ， 但 也 可 以 将√ ｎ ｃ看 成 一 个 整 体 ， 其 都
是运用 整体 思想 ， 实 现整 体 代 换 ， 均 可 以很 快 地解 出答 案 。因此 ， 在 解 决 解 三角 形 问 题 时 ， 要学会 利用整体 思想 ， 将代数式 整体化 。 综 上所述 ， 整 体 思 想 在 三 角 函数 的应 用
利 用整 体 思 想 ， 巧 解 三 角 函数 题
■ 周 建 兵
所 谓 整 体 思想 ， 就 是 将 需 要 解 决 的 问 题 看成 一个整 体 ， 做 出整体 处理 ， 从 而 顺 利 而 简 洁 地 解 决 问 题 。 在 三 角 函 数 中运 用 整 体 思 想 去解 题 ， 将 会 起 到 事 半 功 倍 的效 果 。
应用整体思想巧解角度问题
应用整体思想 巧解角度问题“整体思想”是中学数学中的一种重要思想方法,贯穿于中学数学的全过程,有些问题局部求解,各个击破,无法解决,而从全局着眼,整体思考,会使问题化繁为简,化难为易,思路清淅,演算简单,复杂问题迎刃而解,现就如何应用整体思想,巧解角度问题,略举几例析解如下,供同学们学习时参考：例1 如图, △ABC 的∠B 和∠C 的平分线相交于点D,若∠A=800,试求∠BDC 的度数.分析 若能分别求得∠DBC 和∠DCB 的度数,则∠BDC 的度数立即可得,由题设条件,无法得到.但可求得∠ABC+∠ACB=1000.又BD 、CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,则∠DBC=21∠ABC, ∠DCB=21∠ACB,从而可得∠DBC+∠DCB=500.,这时若把∠DBC+∠DCB 的和看成一个整体,则∠BDC 的度数容易求得.解 在△ABC 中, ∠ABC+∠ACB=1800-∠A=1800-800=1000.∠DBC+∠DCB=21∠ABC+21∠ACB=21(∠ABC+∠ACB)=21×1000=500. 在△BCD 中,∠BDC=1800-(∠DBC+∠DCB)=1800-500=1300.例2 如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC, ∠ACE 是△ABC 的外角,CD平分∠ACE,BD 、CD 相交于点D.若∠A=1160,试求∠BDC 的度数.分析 若能分别求得∠DBC 和∠DCB 的度数,则易得∠BDC 的度数,由题设∠DBC 和∠DCB 的度数难以求得.而根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质,可得∠DBC=21∠ABC, ∠ACD=21∠ACE, ∠DCB=∠ACB+∠ACD 及∠ACE=∠A+∠ABC,在求解过程中把∠DBC+∠DCB 和∠A+∠ABC+∠ACB 的和当成整体来考虑,则问题会迎刃而解.解根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质,可得∠DBC=21∠ABC, ∠ACD=21∠ACE,∠DCB=∠ACB+∠ACD,∠ACE=∠A+∠ABC, 在△BCD 中,∠D=1800-(∠DBC+∠BCD)=1800-[21∠ABC+∠ACB+21(∠A+∠ABC)] =1800-[(∠A+∠ABC+∠ACB)-21∠A]=1800-1800+21∠A=21∠A=21×1160=580. 例3 如图,BG 平分∠ABD,CG 平分∠ACD,若∠BDC=1400, ∠BGC=1100.求∠A 的度数.分析连BC,构成△ABC,△GBC 和△DBC,根据三角形内角和定理,把∠DBC+∠DCB, ∠GBC+∠GCB,∠GBD+∠GCD, ∠ABD+∠ACD 和∠ABC+∠ACB 分别当成整体来考虑,则问题迅捷可解.解 在△DBC 中,由∠BDC=1400,得∠DBC+∠DCB=400.在△GBC 中,由∠BGC=1100,得∠GBC+∠GCB=700.所以∠GBD+∠GCD=300. 由BG 平分∠ABD,CG 平分∠ACD, 得到21∠ABD+21∠ACD=300,则∠ABD+∠ACD=600, 又∠DBC+∠DCB=400,所以∠ABC+∠ACB=1000,从而得到∠A=800.点评: 在解题过程中,多次运用了整体思想,才使问题得以顺利解决.例4.如图,在四边形ABCD 中,延长BA 、CD 相交于点E,延长DA 、CB相交于点F,∠BEC 、∠CFD 的角平分线相交于点G ,若∠ADC=800, ∠ABC=600, 试求∠EGF 的度数.分析:延长EG交BC于点H, 则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2,若能分别求得∠1、∠2和∠C的大小,则∠EGF的度数可求,但从题设条件无法求得.若把∠1+∠2+∠C当成一个整体,再在△BCE和△CDF中利用三角形内角和定理,可使问题迎刃而解.解:因为EG、FG分别平分∠BEC和∠CFD,所以∠BEC=2∠1,∠CDF=2∠2,延长EG交BC于点H,则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2,在△BCE中, 2∠1+∠C+∠CBE=1800;在△CDF中, 2∠2+∠C+∠CDF=1800,两式相加,得2(∠1+∠2+∠C)+ ∠CBE+∠CDF=3600,因为∠CBE=600,∠CDF=800,所以∠1+∠2+∠C=1100,即∠EGF=1100.点评:在求解与三角形有关的角度问题时,局部求解比较困难,可利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和及三角形的三角内角的和等于1800,应用整体思想求解,可使问题化繁为简,化难为易,复杂问题迎刃而解,同时也有利于同学们数学思维能力的培养.下面还有几道练习题,同学们不妨试一试1.如图,在△ABC中, ∠ABC=∠ACB, ∠A=380,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,试求∠BPC的度数.2. 如图,三角形纸片ABC中,∠A=650,∠B=750,将纸片一角折叠,使点C落在△ABC内,若∠1=200,试求∠2的度数.提示与解:1.∠ABC=∠ACB=710.又∠1=∠2,可以得到∠1+∠PCB=710,这时可把∠1+∠PCB 看成整体,则可求得∠BPC=1800-710=1090.2. 由∠A=650,∠B=750,可得∠C=400,则∠3+∠4=1800-∠C=1800-400=1400而∠A+∠B+∠1+∠2+∠3+∠4=3600,这时可把∠3+∠4看成一个整体,则∠2=3600-(∠A+∠B+∠1+∠3+∠4)=3600-(650+750+200+1400)=600.。
巧用整体的思想方法解题
解 得
即
点评
一 “ 孕≤ 孚， ≤
一 ≤ｏ＋ 华 ． 半 ｃ ｃ≤ Ｓ。
利 用整 体代 换 构 建 不 等式 也 是 求 解此
戈 ｙ １ Ｙ ＋（ 一 ）＝ ）＝ ＋（ 一 ）＝ １
１ 及乘积式 ， 联想 到可用面积 公 式证 明． 证 明 构 造 如 图 ５所 示 的正 三角形 ， 则
＋２ 一 斫 ｂ
——— ：
— 一
， 需求 测只 则只
４ 整体 展开
出 ｎ＋ ｂ与 ｎ ６即可． 联想 到韦达定 理 中根与 系数 易 的关 系 ， 问题 即可迎 刃 而解． 解
因此
例 ４ 有一 个各条 棱长 均为 。的正 四棱 锥 ， 现 用 一张 正方形 包装 纸 将 其完 全 包 住 ， 能 剪裁 ， 不 但 可 以折 叠 ， 求包 装纸 的最小 边长．
径．
都有 不 同层次 的渗透 ．
２ 解 题 方法指 导
（ ） 用整体 的思想 方 法解 题 ， 有 强烈 的整 １运 要 体意识 ， 认 真 分 析 问题 的 条 件 或 结 论 的 表 达 形 要
式、 内部 结 构特征 ， 不拘 泥 于常规 ， 着 眼于 问题 的 不 各 个组 成部 分 ， 整体上 观察 、 析 ， 整体结 构及 从 分 从 原 有 问题 的改造 与转化 人手 ， 找解 题 的途径 ． 寻
ＰＡ Ｃ －Ｂ 的体积 为
Ａ． Ｏ ４ Ｂ． ０ ８ Ｃ．１ ０ ６ Ｄ． ４ ２０
（
）
分析
若按常规 方 法利用 体积公 式求解 ， 则底
图 ３
面积 可用海伦 公式求 出 ， 但顶 点到底 面 的高无 法作 出． 换个 角度思 考 ， 意 到 三棱 锥 的有 ３对边 两 两 注
利用整体思想解题
利用整体思想解题一、整体代入一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋220141a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋12014a=， ∴a 2－2013a ＋220141a + ＝a －1＋20142014a＝a ＋1120141a -=-， ＝2013．评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．二、整体约减整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．例2 观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；第2个等式：21111 35235a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；第3个等式：31111 57257a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；第4个等式：41111 79279a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；……请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝_______；(2)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝_______＝_______；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．评析本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．三、整体换元整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．例3 计算：11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111232013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子111232013+++． 不妨令a ＝111232013+++，则评析 把111232013+++看成一个整体，并用一个新字母a 来代替，使待求的式子变成一个含有字母a 的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．四、整体补形整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．例4 如图1，六边形ABCDEF 的六个角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个六边形的周长等于_______．解 分别作线段AB 、CD 、EF 的延长线和反向延长线，使它们交于点G 、H 、P ，如图2．∵六边形ABCDEF 的六个角都等于120°，∴六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°，∴△AHF 、△BGC 、△DPE 、△GHP 都是等边三角形．∴GC ＝BC ＝3，DP ＝DE ＝2，GH ＝GP ＝GC ＋CD ＋DP＝3＋3＋2＝8．F A＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4．EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2．所以，六边形的周长为：1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．五、整体改造当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为S△ABC＝12×2×2＝2(cm2)．评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．六、整体合并解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．例6 已知x，y满足方程组2100821005x yx y+=⎧⎨+=-⎩，则x2－y2的值为_______．解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得x－y＝2013；将两个方程相加整理，得3x＋3y＝3，化简得x＋y＝1．∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2013．评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．七、整体操作整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过有限次的翻动，把它们全部改为－1．改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。
巧用整体思想方法解题
一
【 ４ 有一个各 条棱 长均为 。的正四梭锥 ， 例 】 现用 张正方形包装纸将 其完全包住 ， 不能剪裁 ， 但可 以折
个 原 型 ；０ 是 ｆｘ ｙ＋（－ ）２（ｆ ） 一 个 原 型 ； ｃ （＋ ） ｘ ｙ＝ｆｘ （ 的 ｆ ｝ｙ 和 — ） ｙ 的一 个原型 ； 等 ． 等 抽
维普资讯
设 ｃ．ｃ ￣ ， ｎ ｄ ￣ ， 则 Ｃｇ ｏａ ｏ ｓ ａ ｎ ｉ Ｏ
一
｝ ……①， 又ｙ＝…… ②，联立①、 ３ ②式解得
｛ ． 音 此ｓ ： ｃ 茎 ｏ ．
在 解 数 学题 时 ，一 些 同学 往 往 习惯 于从 问题 的 局 部 出发 。 问题 分 解 成 若 干 个 简 单 的 子 问题 ， 后 再 各 将 然 个 击 破 、 而 治 之 ． 不 知 ， 种 “ 见 树 木 ， 见 森 分 殊 这 只 不 林 ” 思维 方 法 ， 常 导致 解题 过 程 繁 杂 、 算 量 大 ， 的 常 运 甚 至 半 途 而废 ． 实 。 很 多 问题 ， 果 我 们 有 意识 地 放 其 有 如 大 考 查 问题 的 “ 角 ” 往 往 能 发 现 问题 中 隐 舍 的某 个 视 ， 点 评 ： 题 条 件 分 散 、 蔽 ， 由 三 角 恒 等 变形 求 本 隐 若 解 难 以迭 到 目标 ． 从待 求 ｃｓ ｏ 与 已求 ｃｓ — 中 ． ｏ（ 固 ａ 我
叠 ， 包 装 纸 的 最小 边长 、 求
ｈ 是 ／ ｙ鼍 ） 【 和Ａ － ）Ａ￣＿【 的一 个原 型 ； ＋ ） ， ｙ ’ ｘ ｙ＝ ）， ’ ｙ
是 ＋ ）， ｙ ）
象函数 问题在 近几年 的 高考 中出现的频 率有上 升趋 势， 充分体现 了禹考加 大对考生理性 思维能力考 查的
整体思考巧解答
整体思考巧解答
“整体思考”是一种很有用的解题策略，它可以帮助我们巧妙地解答一些比较复杂的题目。
现举一例说明：
星期天弟弟和妈妈一同去姥姥家。
他们走了20分钟后，哥哥发现带给姥姥的礼品忘在家里。
便立刻带上礼品去追。
可爱的小花狗，也同时跟着飞奔而去。
小花狗追上弟弟后，又立即返回到哥哥这里，遇到哥哥后再返回追弟弟。
就这样，小花狗不停地在哥哥和弟弟之间跑来跑去，直到哥哥追上弟弟。
如果弟弟每分钟行30米，哥哥每分钟行50米，小花狗每分钟跑120米，问在哥哥追上弟弟时，小花狗一共跑了多少米？
分析：如果把这道题当成一般的“行程问题”，按照“先找小花狗来回跑了几趟，每趟各跑了多少路程，然后一起加起来求出一共跑的路程”的思路来求解是极其困难的。
我们从整体着手这样去思考：因为题中已经告诉小花狗每分钟跑120米，所以要求小花狗一共跑了多少米，只要找到小花狗一共跑了多少分钟就可以了。
我们知道小花狗跑的时间，实际就是哥哥追上弟弟所用的时间。
因为从哥哥出发时，它就一直没停往返于哥哥和弟弟之间。
思考到这一步，问题便容易解决了。
哥哥比弟弟每分钟多行的路程是：50－30＝20（米）即每经过 1 分钟，哥哥便可追上弟弟20米。
弟弟先出发20分钟，已走的路程是：20×30＝600（米）
哥哥追上他需用：600÷20＝30（分钟）即哥哥用30分钟，便可追上弟弟。
小花狗在这30分钟中跑的路程是：120×30＝3600（米）。
提分练习：巧用整体思想解题的三类十技巧
《提分练习16 巧用整体思想解题的三类十技巧》典例剖析例 先化简,再求值.当3,1x y =-=时,求223()4()7()6()x y x y x y x y ---+---的值.解题秘方:对于一些形似独立,实为联系紧密的量,我们在解答时可将它们作为一个整体来处理,用整体思想解答问题可以起到化繁为简、变难为易的效果.本例中由于每一项都有x y -,我们可以把x y -看作一个整体进行解答.解:原式223()6()4()7()x y x y x y x y =-----+-2(36)()(47)()x y x y =--+-+-23()3()x y x y =--+-.当3,1x y =-=时,314x y -=--=-,所以,原式23(4)3(4)=-⨯-+⨯-481260=--=-.分类训练类型1 利用整体思想巧解整式问题技巧1 应用整体合并同类项1.化简:4()3()2()x y z x y z x y z ++---+---7()()x y z x y z ++---.技巧2 应用整体去括号2.计算:()22223224x y x z xyz x z x y ⎡⎤---+⎣⎦.技巧3应用整体直接代入3.设23,23M a b N a b =-=--,则(M N += )A.46a b -B.4aC.6b -D.46a b +4.已知22,51A a a B a =-=-+.(1)化简:322A B -+;(2)当12a =-时,求322A B -+的值. 技巧4 应用整体先添括号后代入5.【中考・威海】若1m n -=-,则2()m n --22m n +的值是( )A.3B.2C.1D.1-6.已知7,10a b ab +==,则式子(54ab a ++7b)(43)ab a --的值为________.7.已知2145212x x +-=-,求式子2645x x -+的值.技巧5 应用整体先求值后整体代入8.当1x =时,34ax bx ++的值为0,求当1x =-时,34ax bx ++的值.9.当2x =时,多项式35ax bx -+的值是4,求当2x =-时,多项式35ax bx -+的值. 技巧6 应用特殊值法先求值后整体代入10.已知44320123(2)x a x a x a x a x +=++++4a ,求:(1)01234a a a a a ++++的值;(2)01234a a a a a -+-+的值;(3)13a a +的值.类型2 利用整体思想巧解方程问题技巧7 应用整体合并同类项解方程11.解方程:12(1)(1)2(1)2x x x +--=-+1(1)2x +. 技巧8 应用整体设未知数解方程12.一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字1移到右端，那么所得新的六位数等于原数的3倍，求原来的六位数.类型3 利用整体思想巧解几何问题技巧9 应用整体求线段长13.已知,,,A B C D 四点在同一条直线上,点C 是线段AB 的中点,点D 在线段AB 上.(1)若16,3AB BD BC ==,求线段CD 的长度. (2)若点E 是线段AB 上一点,且2AE BE =,当:2:3AD BD =时,线段CD 与CE 具有怎样的数量关系?请说明理由.技巧10 应用整体求角度14.如图,已知AOB ∠内部顺次有四条射线:OE ,,,.OC OD OF OE 平分,AOC OF ∠平分BOD ∠.(1)若160,40AOB COD ∠=︒∠=︒,求EOF ∠的度数;(2)若,AOB COD αβ∠=∠=,求EOF ∠的度数;(3)从(1)(2)的结果,你能得出什么规律吗?参考答案1.答案：见解析解析：原式3()2()x y z x y z =-++---333222x y z x y z =----++5x y z =--- .2.答案：见解析解析：原式()22223224x y x z xyz x z x y =-+-+2222223224732.x y x z xyz x z x y x y x z xyz =-+-+=-+ 3.答案：C4.答案：见解析解析：(1)322A B -+()2322(51)2a a a =---++2631022a a a =-+-+267a a =+.(2)当12a =-时,原式2216762a a ⎛⎫=+=⨯-+ ⎪⎝⎭1722⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 5.答案：A点拨:原式22()2()(1)2m n m n =---=--⨯(1)3-=.6.答案：59点拨:原式化简后为7()ab a b ++,再整体代入求值.7.答案：见解析解析：因为2145212x x +-=-,所以214217x x -=-.所以2321x x -=.所以()22645232x x x x -+=-+57=.点拨:求多项式的值时,有时给出相应字母的值,直接求值;有时不能求出字母的值,就需要观察已知条件与所求式子之间的关系,将已知条件和所求式子经过适当变形后,运用整体代入的方法求解.8.答案：见解析解析：当1x =时,3440ax bx a b ++=++= ,所以a +4b =- .当1x =-时,344ax bx a b ++=--+=()4448a b -++=+=.9.答案：见解析解析：当2x =时,3352254ax bx a b -+=-+=,即821a b -=-.当2x =-时,335(2)(2)ax bx a -+=-⨯--⨯ 5b +825(82)5(1)56a b a b =-++=--+=--+=.10.答案：见解析解析：(1)将1x =代入4432012(2)x a x a x a x +=+++34a x a +，得401234(12)81a a a a a ++++=+=.(2)将1x =-代入4432012(2)x a x a x a x +=+++34a x a +，得401234(12)1a a a a a -+-+=-+=.(3)因为()(01234012a a a a a a a a ++++--+-)()34132a a a a +=+，所以()138112a a -=+,所以1340a a +=.点拨:直接求各项系数所组成的式子的值是行不通的,通过观察各式子的特点,适当地赋予x 特殊的值可以求出各式子的值.11.答案：见解析解析：将(1)x +和(1)x -看作整体. 原方程可变形为12(1)(1)2(2x x x +-+=-1)1(1)2x +-, 即35(1)(1)22x x +=-, 去括号得33552222x x +=-， 解得4x =.12.答案：见解析解析：设原来的六位数去掉最高位上的数字后得到的五位数为x ,则根据题意,得101x +=3(100000)x +.解得42857x =.所以100000142857x +=.答:原来的六位数为142857.点拨:本题若逐个设出各位上的数字,则未知数过多,不易列出方程,如果从整体思考,设后五位数为一个整体,方便简捷.13.答案：见解析解析：(1)如图①.因为点C 是线段AB 的中点,6AB =, 所以132BC AB ==. 因为13BD BC =,所以1313BD =⨯=. 所以312CD BC BD =-=-=.(2)53CD CE =.理由:如图②,设2,3AD x BD x ==,则5AB x =,因为点C 是线段AB 的中点, 所以1522AC AB x ==. 所以51222CD AC AD x x x =-=-=. 因为2AE BE =,所以21033AE AB x ==. 所以1055326CE AE AC x x x =-=-=.所以15::3:526CD CE ==. 所以53CD CE =.14.答案：见解析解析：(1)因为OE 平分,AOC OF ∠平分BOD ∠, 所以11,22COE AOC FOD BOD ∠=∠∠=∠. 所以EOF COE COD FOD ∠=∠+∠+∠ 112211.22AOC COD BOD AOB COD =∠+∠+∠=∠+∠ 因为160,40AOB COD ∠=︒∠=︒, 所以8020100EOF ∠=︒+︒=︒.(2)因为EOF COE COD FOD ∠=∠+∠+∠=1122AOC COD BOD ∠+∠+∠ 1122AOB COD =∠+∠， ,.AOB COD αβ∠=∠= 所以111()222EOF αβαβ∠=+=+. (3)若AOB ∠内部顺次有四条射线:,,OE OC OD ,,OF OE 平分,AOC OF ∠平分BOD ∠,则EOF ∠=1()2AOB COD ∠+∠.。
用整体思想巧解复数题
2 zx cos C
分析 : 构 造 一 个 二 次 函 数 f ( x ) = x 2 2 ( y cos A + z cos C ) x + y 2 + z 2 - 2 yz cos B 这是 一个以 x 为自变量 , y 、 z、 A、 B、 C 为常量的一 元二次函数 , Δ = 4 ( y cos A + z cos C ) 2 - 4 ( y 2 + z 2 ∵ 2 yz cos B ) = 4 y 2 ( cos2 A - 1) + 8 yz ( cos A cos C + cos B ) + 4 z 2 ( cos2 C - 1) = - 4 y 2sin 2 A + 8 yz [ cos A cos C - cos ( A + C ) ] - 4 z 2sin 2 C
9
z2
为实数 , 利用复数 z ∈ R 的充
的圆周上 ( 如图 1) , 又因 为 | OA | = 41 < 7 , 故 原点 O 在圆 A 内 . 连接 OA 并延长交圆 A 于两点 B ,
C,
要条件 z = z 可得 :
z2 +
9
z2
= z2 +
9
z2
,即 : z2 - z2 = 9 (
z - z ). z2 z2
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★ 解题方法与技巧
构造法解题五例
广西全州高中 ( 541500) 王治林 不少数学问题若能根据有关题设条件和 结论中反馈的信息 , 构造出适当的函数 , 或进行 一种特殊的构造 , 常可使问题简便 、 快速获解 。 这里枚举几例 , 谈谈构造法处理数学问题的技 巧. 【例 1】 将面积为 S 的菱形以一边为轴旋
典中点《提分练习18 整体思想在解题中的七种技巧》
《提分练习18 整体思想在解题中的七种技巧》典例剖析例 若实数a ，b 满足2a b b a+=，求22224a ab b a ab b ++++的值. 解题秘方：整体思想在一些复杂、非常规的命题中是一种应用非常广泛的思想，它能将复杂问题简单化.解答本题时，可将所求式子的分子、分母同时除以ab ，再进行适当变形，使之出现条件式，最后整体代入求值.解：由2a b b a+=，知ab ≠0. ∴2222144a b a ab b b a a b a ab b b a ++++=++++= ()1()4a b b a a b b a++++=211242+=+. 分类训练技巧1 整体代换在求值中的应用1.（1）已知2830a a --=，求（a -1）（a -3）+（a -5）（a -7）的值.（2）已知2222019,2020,2021a d b d c d +=+=+=，且abc =24，求a b c bc ca ab++-111a b c --的值. 技巧2 整体代换在求角的度数中的应用2.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.技巧3 整体代换在比较线段大小中的应用3.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分∠BAF ，试判断AF 与BC +CF 的大小关系，并说明理由.技巧4 整体变形在求值中的应用4.计算：2022920229202299999991999⨯+个个个.技巧5 整体设元在求值中的应用5.计算：1111111111(1)()(1)2320212342022232022----++++----- 1111()2342021++++. 技巧6 整体补形在求图形周长中的应用6.如图，凸六边形 ABCDEF 的六个角都是120°，AB =5 cm ，BC =8 cm ，CD =10 cm ，DE =6 cm.求这个六边形的周长.技巧7 整体配凑在求值中的应用7.若abc ≠0，且a +b +c =0，求222222222111a b c b c a c a b+++-+-+-的值.参考答案1.答案：解：（1）原式=221638a a -+.∵2830a a --=，∴283a a -=.∴原式=28)38442(a a -+=.（2）由已知可得a -b =-1，b -c =-1，c -a =2，则原式=2221()a b c bc ac ab abc ++--- 2221[()()()]2a b b c c a abc=-+-+- 11(114)488=⨯++=. 2.答案：解：由题图可知，∠1+∠2=∠DAB ，∠3+∠4=∠IBA ，∠5+∠6=∠GCB . 根据三角形外角和定理，得∠DAB +∠IBA +∠GCB =360°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.3.答案：解：AF 与BC +CF 的大小关系为AF =BC +CF .理由如下：如图，分别延长AE ，DC 交于点G .∵E 为BC 边的中点，∴易证△ABE ≌△GCE .∴AB =GC ，∠BAE =∠CGE .又∵AB =BC ，∴BC =GC .∴BC +CF =GF .∵AE 平分∠BAF .∴∠BAE =∠F AE .∴∠F AE =∠CGE .∴AF =GF .∴AF =BC +CF .点拨：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题.本题中我们将BC +CF 转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的.4.解：原式=20229202292022920229999(9991)9991999⨯+-+个个个个 =202292022202299910001000⨯+个个0个0 =2022202291000(9991)⨯+个0个 =10004044个0. 点拨：观察式子特点，用凑整法可简化运算.整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的.5.答案：解：设11112342021a ++++=，则原式=11(1)()(1)20222022a a a a -⋅+--- 2211.2022202220222022a a a a a a =+---++= 点拨：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现相同算式，因而考虑整体设元.整体设元是用新元去代替已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的.6.答案：解：如图，延长CB ，F A 交于点G ，延长BC ，ED 交于点H ，延长DE ，AF 交于点M .则△ABG ，△CDH ，△EFM ，△GHM 均为等边三角形，∴GB =AB =5 cm ，CH =CD =10 cm.∴GH =GB +BC +CH =23 cm.∴ME =MH -DH -DE =GH -CD -DE =23-10-6=7（cm ）.∴EF =7 cm.∴AF =GM -GA -MF = GH -AB -EF = 23-5-7=11（cm ）.∴六边形ABCDEF 的周长为5+8+10+6+7+11=47 cm.点拨：整体补形是对一些不规则的图形进行添补，从而得到常见的图形.本题通过适当向外作延长线，根据六个角都是120°，可得到等边三角形，进而求解.7.答案：解：原式=222111()()()()()()a b c b c b c a c a c a b a b ++++-+-++-+ 222111()()()a abc b b c a c c a b =++------ 111()()()a abc b b c a c c a b =++-+-+-+ 111222ab bc ca=--- 02a b c abc ++=-=. 点拨：本题是把所求式子配凑成与条件a +b +c =0相关的式子，再进行求解.。
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例 ３ （０６ 山 东省 初 中数 学 竞 赛题 ） ２０ 年 已知 ａ ｂ ｃ ０ ａ＋ ｃ＝ ＋ ＋ ＝ ，２６＋ ４ ，求ａ＋ ｃ的值 ． ４ｂ＋ ． 解： 由已知 等式 ， ＋ ＝ ｃ ａ＋ ４ ｃ． 得口 ６ 一 ，２６＝ 一
又 因为 ： １［（ ＋ ｚ 口 ｂ）
—
解 ： 三个 条 件等 式分 别 取倒 数 ， 将 得
＝， ３
＝， ４
＝． ５
即 ＋＝÷÷４ ＋＝ ３ ＋＝÷ ５ ， ， ．
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露 § ｜ ｌ 缓 ＿ ： 羲 ＿ ｌ一 √ ｜ 鬣 穗Ｉ
证明 ： 因为— ｃｅ＝ ｂ ｘ ０ ０ 一ｆ ～ ｃ ９ ９ 一ｃ 一ｆ） ａ —ｆ 一 ｃ １０ ＋ ｅ＝ ｂ ｘ ９ ＋（ ｂ ＋ ｅ ， ｂｄ ａ ｄ ａ ａ ｄ 又 因为 ９ ９ ９ １ １ ９ ３ ３ ． ９ ＝ ￣ １＝ × ｘ ７
￣ ９ ９ 被３ 整 除 ， ｐ９能 ７
’
同理 ， 得 ２ ＝ ． ｎ１ 又 因为 （ ｍ 一 ４ ａ）（ ｒ一 ７） ８ ７ １ ｍ＋ ３ｔ ６ 一 ＝ ，
即 ［ ｍ － ｍ ） 口］ ３ ｔ－ ｎ） ７］ ８ ７（ ２２ ＋ ［ （ｌ ２ 一 ＝ ， ， ２
所 以 （＋ （ － ＝ 。 ＝ ９ ７ ａ） ３ ７） ８ 即口 一 ．选 Ｃ ．
所以 （＋一 （＋＋ ＝． ｘ ｙ ６） ｘ ｙ ７） ０
所 以ｘ ｙ ６ ＋ ＝ ７ ＋ ＝ 或 ｙ 一 ．
三、 整璃把 握
例６ （ 八届 “ 冲 之 杯 ” 中数 学邀 请 赛题 ） 知 两个 三 位 数 第 祖 初 已 与 钧 和 ， ＋ 能 被３整 除 ， 证 ： ７ 求 六位 数 能被 ３整 除 ． ７
分 析 ： 、 ｃ 变量 ， 大小 关 系不 确 定 ， 以分 别 判 断 Ｙｚ 因口ｂ、是 且 难 、 、的
值 的 结 论 ．
＋ｚ２ｂ＇６２ 詈＋－＋ ｙ＝－＋ ＋—＋ ｃ２詈 ＋ａ２ 了 ２ｃ ２口 Ｉ Ｔ
所 以 ｔ ＞ ． ＋ ０ ｙ
所 以 、 、中至少 有 一个 大 于０ Ｙｚ ．选Ａ．
例５
（０ １ １ ２０ 年１杯全 国初 中数 学竞 赛题 ）若 ＇ ｙ ｙ １ ．２ｘ＋ ＋ ＋ ＝４ ｙ＋ ｙ ｘ
ｘ ２ ， ＋ 的值 ． ＝ ８ 求ｘ ｙ 解 ： 两个方 程 相加 并整 理 得 （ ＋ ｘ ｙ） ４ ， 把 ｘ ｙ）＋（ ＋ ＝ ２
譬 薯｜
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＝
（ ２２ ＋ ） ｂ＿ ｂ １ ＋ Ｃ－ ｃ １ ＋ ３ ａ＿ ａ １ ＋（ ｚ２ ＋ ） （ ２２ ＋ ） 订一 （ 一 ）＋ ｂ １ ｃ １ 订一 ， ｎ １ （ — ）＋（ 一 ）＋ ３
＝
因为 （ 一 ）＞０ （ — ）≥０ （ — ）Ｉ０ 订一 ＞ ． ｎ １ ， ６ １ ， ｃ １ ， ３ ０ １ ＞
一
（ ２ｂ ）］ ［（ ）一 ４ ｃ ）］ ＿ ， ａ＋ ｚ ： 一 ｚ （ － ２ ： ２２
于是 有口＋ 口＋ ２ ２ ＝（ 一 ２（ ２２）＝ 一 ６＝（ ６ ）一 ａｂ ４ ｃ ）一 ｃ－ ８ ｃ．
所 以口＋ ｃ＝ ． ６＋ ８
二、 『 ＝ 整 礤百｝ ｆ
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例２ （０６ ２０ 年全国初 中数学竞赛题 ） 已知ｍ ｌ 、 ，＝ 一 ／ ， ＝ ＋ ／ ｎ ｌ 、
且 （ ｍ２１ｍ＋ ）（ ｒ一 ７） ８ 则 口 ７ － ４ ａ ３ｔ ６ 一 ＝ ， 的值 等 于 （
的长 为
ｎ． 精 确到 ０１ ） １（ ．ｍ
分析 ： 观察 图形 ， 想 到 四边 形Ａ Ｃ 是 Ｒ Ｂ 的 一 部分 ， 可 易 ＢＤ ｔ ＡＡ Ｅ 故 整体 补 形成 直 角 三角 形 ， 利 用解 直 角三 角 形 的有 关 知识 解决 ． 再
麓 Ｉ 罄ｌ
三 式相 加 ， 整 理得 ： ＋１＋ １ 并 ＿
一
：
６
ａ
Ｄ
ｃ
ｂ 即 —ｃ ｃａ ＋ａ ｂ＋
—
＿
一
：６ ．
ａ Ｄｃ
故
＝ ．
丘、 『 整 礤仆
例 ８ （０ ３ 全 国初 中数 学联 赛题 ） 图 １ 已知 电线 杆Ａ 直 立 ２０ 年 如 ， Ｂ 于地 面 上 ， 的影 子恰 好 照 在 土 坡 的坡 面 Ｃ 它 Ｄ和地 面 Ｂ 上 ．如 果 Ｃ 与 Ｃ Ｄ 地 面成 ４ 。 Ａ＝ ０ ， Ｄ＝ ｍ， Ｃ ４ ／ 一 、 ）ｌ ５， ６ 。 Ｃ ４ Ｂ ＝（ 、 百 ２ ／ ｎ，则 电线 杆Ａ Ｂ
Ａ． 一５ Ｂ． ５ Ｃ． 一９
） ．
Ｄ ．９
分析 ： 直接代人计算 ， 然较繁 ， 显 可分别对 已知两个等式 进行 整
体 变形 ， 再整 体 代 人 ．
解： 因为ｒ ｌ 、 。 ｅ ＋／ ＝ 所以（ 一 ） （ ／ ） ｍ １ ２ 、 ２即ｍ ｍ １ ＝ ２２ ＝ ．
又 因 为ｎｃ ｄ ￣ 被３ 整 除 ， ６＋ｅ ｆ ７ 所 以ｎｃ ６ 被 ３整 除 ． ７
四、 整璃 转化
例 知、 为 数且＋ ，Ｃ斗ｃ ，么 ７已 ｎ、 实 ，口 ＝ ＋ 了那’ ６ ｃ ＋ 丢 ２１ 。 ＤｊＤ＝ ，， ＝
ａ ＋ ｃ ＋ｃａ Ｉ＇值是 ｂｂ －Ｊ Ｉ 肚 ．
例４
．
（ ０ ２ 全 国初 中数 学 竞 赛 题 ） 设 口、 ｃ 买 数 ， 口 ｂ ２０ 年 ｂ、 为 ＝ ２ ２ ＋
詈，６２ 詈，ｃ２ 号， 、 中至 有 个 （ ） ， ｃ ｚ２口 则 ｙ ，少 一 值 ． ，一＋ ＝－＋ 、 ＝
Ａ ．大 于 ０ Ｂ ．等 于０ Ｃ ．不大 于０ Ｄ ．小 于０