巧妙解题
关于小学数学难题解法大全之巧妙解题方法
关于小学数学难题解法大全之巧妙解题方法
将某一问题化归为另一问题，将某些条件或数量关系化归为另外的条件或关系，变难为易，变复杂为简单。
此题具有与追及问题类似的数量关系：甲每天修筑12米，相当于甲的“速度”;乙每天修筑10米，相当于乙的“速度”，乙队先修2天，就是乙先修10×2=20(米)，又要甲比乙多修10米，相当于追及“间隔”是20+10=30(米)。
由此可用追及问题的思维方法解答，即
追及“间隔”÷“速度”差=追及时间
↓ ↓ ↓
(10×2+10)÷(12-10)=15(天)
此题假设按一般思路解答起来比拟困难，假设归为“鸡兔问题”解答那么简便易懂。
把1个大灯球下缀2个小灯球看成鸡，把1个大灯球下缀4个小灯球看成免。那么，1个大灯球缀2个小灯球的盏数为：
(360×4-1200)÷(4-2)=120(盏)
1个大灯球下缀4个小灯球的盏数为：
360-120=240(盏)
或(1200-2×360)÷(4-2)=240(盏)
根据题意，在预定时间内，每小时加工4件，那么还有(4×2)件未加工完，假设每小时加工6件，那么超额(“不定”)(6×1)件。符合《盈亏问题》条件。
在算术中，一定人数分一定物品，每人分的少那么有余(盈)，每人分的多那么缺乏(亏)，这类问题称盈亏问题。其算法是：
人数=(盈余+缺乏)÷分差(即两次每人分物个数之差)。 物品数=每人分得数×人数。
假设两次分得数皆盈或皆亏，那么
人数=两盈(亏)之差÷分差。
故有解：
零件总数：4×7+4×2=36(件)
或 6×7-6×1=36(件)
按“相遇问题”解是比拟困难的，转化成为“工程问题”那么能顺利求解。
快车每小时比慢车多行120÷6=20(千米)
此题，看起来好似非要用方程解不可，其实它也可以用“工程问题”来解，把它化归为工程问题：“一件工作，甲独做3天完成，乙独做2天完成。如果两人合做完成这样的10件工作，乙做了几件?
数学技巧如何巧妙地处理综合算式中的括号
数学技巧如何巧妙地处理综合算式中的括号
括号是数学中常用的符号，可以改变算式的运算顺序和优先级。在处理综合算式中的括号时，我们可以运用一些巧妙的数学技巧来简化计算和解题。本文将介绍几种数学技巧，帮助读者更好地处理综合算式中的括号。
一、消除括号法则
消除括号法则是数学中最常用的技巧之一，也是处理综合算式中括号的基础。消除括号法则有两种情况，一是正号括号，二是负号括号。
1. 正号括号的消除：
当一个括号前面没有符号或者是正号时，我们可以直接去掉括号，并保持括号内的运算不变。例如，对于算式 2 × (3 + 4)，我们可以将括号去掉，得到 2 × 3 + 2 × 4。
2. 负号括号的消除：
当一个括号前面有一个负号时，我们需要将括号内的每一项都取相反数，即将符号翻转。例如，对于算式 5 × (-2 + 3)，我们可以将括号去掉，并将括号内的每一项取相反数，得到 5 × -2 + 5 × 3。
二、分配律（乘法分配律和加法分配律）
分配律也是处理综合算式中括号的常用技巧之一。分配律有两种情况，一是乘法分配律，二是加法分配律。
1. 乘法分配律： 乘法分配律指的是，当一个数与括号中的两个数相乘时，可以分别与括号内的每一项相乘，然后将结果相加。例如，对于算式 3 × (2 + 4)，我们可以将乘法分配律应用到括号内的两个数上，得到 3 × 2 + 3 × 4。
2. 加法分配律：
加法分配律指的是，当一个数与括号外面的两个数相加时，可以分别与括号内的每一项相加，然后将结果相加。例如，对于算式 (2 + 3) +
(4 + 5)，我们可以将加法分配律应用到括号内的两个数上，得到 2 + 3
+ 4 + 5。
三、综合运用技巧
在处理综合算式中的括号时，我们可以综合运用上述的技巧，以求更快速和准确地计算。
1. 多重括号的处理：
当一个综合算式中包含多重括号时，我们可以先从最内层的括号开始处理，使用消除括号法则和分配律，逐步向外推进，直到所有括号都消除为止。例如，对于算式 ((2 + 3) × (4 + 5)) + (6 + 7)，我们可以先处理最内层的括号，得到 (5 × 9) + (6 + 7)，再依次处理外层的括号，最终得到 45 + 6 + 7。
运用转化法巧妙解题
运用转化法巧妙解题
有些应用题，数量关系较为复杂，求解时有一定的难度，可考虑运用转化的方法进行解答。
例1、水果店里有橘子的重量比苹果多100千克。橘子卖出1/3后，苹果的重量比橘子多25千克，问水果店里有橘子多少千克？
分析与解答：假设橘子的重量比苹果多125（100＋25）千克，那么橘子卖出1/3后，苹果的重量正好同剩下的橘子重量相等，因此可将题目转化成：水果店里苹果比橘子少125千克，正好比橘子少1/3。因此可得，水果店里橘子的重量为：（100＋25）÷1/3＝375（千克）；苹果的重量则为：375－100＝275（千克）。
例2、某工程由甲先做12小时，再由甲、乙两人合作，完成任务时，甲做了这项工程的5/8，甲每小时的工作量是乙的2/3，如果这项工程由甲单独做，需要几小时才能完成？
分析与解答：这题数量关系较为复杂，求解时有一定的难度，可考虑运用转化的方法进行解答。
因为由题目条件可知道，完成任务时，甲做了这项工程的5/8，因此可得，完成任务时，乙完成了这项工程的：1－5/8＝3/8；又因为甲每小时的工作量是乙的2/3，所以可得，乙完成这项工程的3/8的时间，正好相当于甲完成这项工程：3/8×2/3＝1/4。因此可得，甲先做12小时，完成了这项工程的：5/8－1/4＝3/8，甲单独完成这项工程要用的时间为：12÷（5/8－1/4）＝32（小时）。
例3、甲、乙两人共同加工一批零件，加工完毕时，甲加工了这批零件的60%多30个，正好是乙的3倍，问这批零件共几个？
分析与解答：因为甲加工的正好是乙的3倍，如果乙加工了1份，甲则加工了3份，这批零件共为：1＋3＝4份，甲加工了这批零件的：3÷4＝3/4，又因为甲加工了这批零件的60%多30个，因此这批零件的个数为：30÷（3/4－60%）＝200（个）。
巧用公式n(n-1)除以2解题
巧用公式n(n-1)/2解题
河北省沧州市青县曹寺中学 赵虹影 （邮编062650）
初三的复习是紧张而忙碌的，因此要想把整个初中阶段所学知识都能牢固的掌握，就要把一些题型进行归类整理。现在就一些有相同解题思路的题型做一整理，以便大家共同探讨。
一：数线段
如图所示：图中共有（ ）条线段。这道题我们可以采用最基本的方法去一条一条的数，但这种方法有费时间有容易丢拉。如果我们掌握了数线段的方法就可以轻松解决了。方法就是：线段上一共有n个点（包括两端点），每个点都与其余的（n-1）个点组成一条线段，这样就有n(n-1)条线段，但每条线段都重复了一次，所以就有n(n-1)/2条线段。按照如上方法我们可以知道上面这道题共有6×（6-1）÷2=15条线段。
题型变换： 线段上没有点（不包括两端点），共有（ ）条线段；
线段上有一个点时，共有（ ）条线段；
线段上有两个点时，共有（ ）条线段；
线段上有三个点时，共有（ ）条线段；
线段上有m个点时，共有（ ）条线段。这道题和上面的那道是一样的，只不过这里两个端点没有算，所以我们计算时只要将题中所说的点数加上2，再按上面的公式n(n-1)/2计算就可以了，因此线段上有m个点时，共有(m+2)(m+1)/2条线段。
二：数角 O如图所示：图中共有（ ）个角。此题和上面的数线段一样，可以用最原始的方法，一个一个的去数，当然也有既简便又不容易出错的方法。可以这样想：从O点引出n条射线中的每一条射线都与其它的(n-1)条射线组成一个角，因此有n(n-1)个角，但是每个角都重复了一次，所以有n(n-1)/2个角。所以这道题中共有6个角。
题型变换：（1）在角的内部引一条射线，如下图①中的角共有（ ）个；（2）若引两条射线，如图②中的角共有（ ）个；（3）若引10条射线，如图③中的角共有（ ）个；若引n条射线，图④中的角共有（ ）个。
巧妙解决数学难题的解题方法
巧妙解决数学难题的解题方法
巧妙解决数学难题的解题方法
巧想时间
两人相距250米，已知甲平均每分钟跑200米，求乙每分钟跑多少米?
逆用这种解法，又得另一巧解：
一般解法：
=225(米)
例2甲乙两城相距120千米。甲城汽车站每隔15分钟依次向乙城发出一辆公共汽车，车速都是每小时40千米。某日，当甲城发出的第一辆车行驶
第一辆车出发，到桥行
这时，途中汽车为150÷15-1=9(辆)。即(⑩～②号车)。
第一辆车从桥返回甲城行
17（辆）。就是
例3永光港每隔5分钟，向下游180千米的创业港发出一只时速55千米的M型货船。若时速50千米的P型船和M船各一只同时发出，水速10千米，P船到时被几只M船追过?(同时发出的`M船不计)。
思路一：M船顺行速55+10=65(千米)，P船顺行时速50+10=60(千
船追过。
(小时)。所求 即P船到时，被2只M船追过。
思路二：M1船追及P船需5÷(65-60)=1(小时)。其后的M船追过P船也需自前船追及开始，经1小时。
发出的M船比P船早到
思路四：P船进港要180÷60=3(小时)，追过P船的M船用时，必小于3。
M1追过P，要5÷(65-60)=1(小时)后;
M2追过P，要1+1=2(小时)后;
M3追过P，要2+1=3(小时)后，不符合题意，故只有2只船追过。
利用平移巧妙解题
1 利用平移巧妙解题
平移与轴对称一样，也是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.现举例说明.
一、求图形的面积
例1 如图1，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？
简析 利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可使本题迅速解决.由图形可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，其长为（a－c），宽为（b－c），所以面积为：（a－c）（b－c）＝ab－ac－bc+c2.
说明 这里通过平移的知识，避免了对图形的分割，使求解简洁、方便.
二、求线段的长度
例2 如图2，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？
简析 我们可以利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到BC上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角长度，所以地毯的总长度至少为5.6米+2.8米＝8.4米，此总面积为8.4米×3米＝25.2平方米，所以购买地毯至少需要25.8平方米×40元/平方米＝1018元.
说明 这道若要通过逐步计算，你会觉得比较复杂的，而运用了平移的知识，则问题就显得这么简单，因此，同学们在学习平移知识时一定要用心去体会.
三、说明角的关系
例3 如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＜BC，则∠B与∠C的数量关系怎样？试说明你的理由.
简析 由于∠B与∠C的位置较散，故考虑将∠B与∠C变换到同一个三角形中来.而AD∥BC，AD＜BC，故将线段AB沿着AD的方向平移AD长，即点B平移到点E，此时有DE＝AB，DE∥AB，所以∠DEC＝∠B，于是，在△DEC中，因为DE＝DC，所以∠DEC＝∠C，故∠B＝∠C.
巧妙“猜想” 快速解题
２００９年４月 宁波教育学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＮＩＮＧＢＯ ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ ＯＦ ＥＤＵＣＡ￣ＯＮ
巧妙“猜想＂快速解题
张 菁
（宁波市高新区信懋学校，浙江宁波３１５１０３）
摘要：猜想在数学中是一种非常独特的解题方法。在解题时，教师巧妙运用猜想，会激发学生的思维，并顺利完成 解题，起到意想不到的功效。 关键词：数学；猜想；思维；解题方法 中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—２５６０（２００９）Ｓ１—０１０２—０３
著名科学家牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。在数学解题的过程中，如果
没有猜想，就很难有所发现，有所突破。一个好的猜想会给学生的思维插上翅膀，顺利地完成解题。
１让严谨、呆板的逻辑推理，变成鲜活、趣味、简捷的运算
数学是一门逻辑性很强的学科，对每个命题通常需要进行严密地、有条不紊地证明。这使得数学
变得呆板、枯燥。在数学学习的过程中，教师巧妙地运用“猜想”会起到意想不到的作用，它会使严肃的
数学面孔露出它那灿烂的一笑；循规蹈矩时，那欢快地一跃。
＾ｎ 例１：如图ｌ，／ｘＡＢＣ为等腰Ｒ￡△，Ｄ为ＡＢ的中点，ＡＢ＝２，以Ａ、日为圆心，以 为半径在ＡＢ
Ｅ
Ｅ Ｃ Ｆ
Ａ Ａ（Ｂ） 、
／ ｛
—／ Ｄ
同侧作９０。的扇形，ＨＧｊ－ＢＡ、ＲＳ＿ＬＡＢ，求阴影部分的面积（图１）。
分析：这道题用常规解题方法是可以求出答案的，但解题过程较繁琐。若放弃常规方法，引导学生
大胆地用“猜想”，则可以起到事半功倍的作用。由于扇形是圆的一部分，我们可以根据半径相等的两
个圆是等圆，圆是轴对称图形，相等的圆旋转任意角度以后可以重合。从圆的这两条性质出发，展开
我们的想象，猜一猜，这个问题中旋转一下、拼接一下，可以得到什么样的图形呢？这样学生的思维豁
然打开，将右半部分旋转再平移拼到左边，可以得到半个圆。图形的组成结构就一目了然：它是由两个
等圆的１／４拼成了一个半圆，由两个直角等腰三角形拼成了一个等腰三角形，如图２所示。问题就容
联想——巧妙解题的基础
・４８・ 重庆 《数学教学通讯￣２００２年第７期（总第１５２期）
联想 巧她髓题硇基础
（浙江省金华职业技术学院 ３２１００７） 楼海平 潘天娟
联想是想象的一种表现形式，它是由某种 信息情景想到与其相关联的另一种信息情景的 思维过程，联想是创造性思维的基础，是巧妙解 题的基础，它具有思维的跳跃性、独创性和综合 性．数学活动中常用的联想有相似联想、方法联 想、逆向联想、数形联想、关系联想等等． １ 相似联想 相似联想是指解题时，对具有相似特点的 事物由此及彼地联想到与之相似且已经解决的 问题及其解法，常可以使我们茅塞顿开，是巧解 题目的方法之一． 例１ 若 ∈Ｒ，求厂（ ）一ｖ／ｚ 十 十１ 一 一 十１的值域． 按常规解法，难以奏效，若联想到平面上两点 距离之差为常数的动点轨迹是双曲线，再由三角 形两边之差小于第三边的关系，思路豁然开朗． 由厂（ ）一√（ｚ十专） 十（Ｔ，／－２－） 一
√（ 一 十（孚 ２ ＞ｏ）
且设Ｆ （～丢，ｏ），Ｆ：（丢，ｏ），Ｐ（ｚ， ） 为△ＰＦ Ｆ：的三顶点，则 Ｉ厂（ｚ）Ｊ—Ｊ Ｊ ＰＦ Ｉ—ＩＰＦ：Ｉ Ｉ＜ＩＦ Ｆ：Ｉ＝１ 那么一１＜厂（ｚ）＜１． 即厂（ ）的值域为（一１，１）． ２ 方法联想 由于数学内容与研究对象的不同，解决数 学问题的方法也不相同．从方法角度联想，如运 用代数法、几何法、三角法等都能得到简捷的解
４ 在解不等式或解析几何时，构造与之对应 例５ 已知。ｉｎ 一 在［ ，娑）中恰有两 的图形来求解，可使问 洁明了 个不同的实数 的值，则 。的 值范围是 例４ 解不等式￣／２ 十１＞ 一１． 解：令 一 ２ｘ十１， １ 它的图像是以（一去，Ｏ）为 厶 顶点，以 轴为对称轴，开口 向右的抛物线的一部分，令 ｙ— 一１，这是一条直线． 设两图像的交点为 ，如图 ， Ｉ ／ 一ｌ 图４ １ ４，不等式的解为一专≤ ＜ 一，而 一是方程 、 了干＿ｒ— 一１的解 一４．所以不等式的解 为一 １≤ｚ＜４． ５ 在解决有关集合和三角函数问题时，借助 图像往往能化难为易 解：在同一坐标系内作出ｙ 一ｓｉｎｘ和 ｚ— ａ的图像，如图５所示．平行移动直线Ｙ—ａ，当 直线 —ａ与正弦曲线 —ｓｉｎｚ在［警，－Ｓｆ）中 的图像有两交点时的ａ即符合题意．即一１＜ａ ＜一孚． 】 孚
探索规律 巧妙解题
竞赛加油站
困规律匿
陕西・宝鸡 宫正升 解答数目较大的数学题目时，我－ｔｒｌａｖ妨举出与题意类似、数目
较小的例子，以探索解题规律或途径，从而使问题顺利得到解决。 【题目】２０１０个连续自然数由小到大排成一排，排
在奇数个上的各数的平均数是２３４５，那么，排在偶数个上
各数的平均数是 。 （２ＯｌＯ年“数学解题能力展 示”读者评选活动四年级组初赛试卷２题）
【分析与解】２０１０个连续自然数，数目较大。我．ｒＪ 】不妨举出 １～１Ｏ这１０个连续自然数来看看。将１￣１ｏ由小到大排成一排，排在
奇数个上的各数的平均数是（１＋３＋５＋７＋９）－５－５＝５，排在偶数 个上各数的平均数是（２＋４＋６＋８＋１０）÷５＝６。排在偶数个上各
数的平均数比排在奇数个上的各数的平均数大６—５：１。这是不是 具有规律性呢？我们再进一步探讨。
将３５￣４０这６个自然数由小到大排成一排，排在奇数个上的各
数的平均数是（３５＋３７＋３９）÷３＝３７，排在偶数个上各数的平均 数是（３６＋３８＋４０）－－３－３＝３８。排在偶数个上各数的平均数比排在
奇数个上的各数的平均数大３８—３７＝１。由此得出规律：排在偶数个
上各数的平均数比排在奇数个上的各数的平均数大１。即排在偶数个上
各数的平均数是２３４５＋１＝２３４６。 这道题也可用选基数再补差的方法来解。 我们先选定自然数１～２０１０为计算的基数。将自然数１￣２０１０由
小到大排成一排，排在奇数个上的各数的平均数是（１＋３＋５＋…
＋２００５＋２００７＋２００９）÷１００５＝１００５，排在偶数个上各数的平均数
是（２＋４＋６＋…＋２００６＋２００８＋２０１０）÷１００５＝１００６。１００５与２３４５ 相差１３４０，则排在偶数个上各数的平均数是１００６＋１３４０＝２３４６。
以上两种解法相比较，前一种比较简捷。
、 一
二年级数学：选择、填空题解答技巧招招巧妙
选择题和填空题应该算得上是数学学科的小题。虽然没有占大头，但是数学成绩的好坏往往就是由这部分分数决定。小题的解题策略实际上非常重要，一定要充分利用题目中给出的有效信息进行“巧算”。今天，就给大家介绍一些解小题的技巧。
选择题答题攻略
1、剔除法利用已知条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
2、特殊值检验法对于具有一般性的数学问题，在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
3、极端性原则将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，采用极端性去分析，就能瞬间解决问题。
4、顺推破解法利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。
5、逆推验证法将选项代入题干进行验证，从而否定错误选项而得出正确答案的方法。
6、正难则反法从题的正面解决比较难时，可从选项出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
7、数形结合法由题目条件，做出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
8、递推归纳法通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。
9、特征分析法对题设和选择项的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。
10、估值选择法有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。
填空题答题攻略
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。